www.wikidata.uk-ua.nina.az

Власні вектори та власні значення Ця стаття містить правописні лексичні граматичні стилістичні або інші мовні помилки як

Власні вектори та власні значення

Ця стаття містить правописні, лексичні, граматичні, стилістичні або інші мовні помилки, які треба виправити. Ви можете допомогти вдосконалити цю статтю, погодивши її із чинними мовними стандартами.

Вла́сний ве́ктор (англ. eigenvector) квадратної матриці (з вла́сним зна́ченням (англ. eigenvalue) ) — це ненульовий вектор , для якого виконується співвідношення

На зображенні ми бачимо транформацію зсуву, що відбувається з Джокондою. Синій вектор змінює напрям, а червоний — ні. Тому червоний є власним вектором такого перетворення, а синій — ні. Через те, що червоний вектор ні розтягнувся, ні стиснувся, його власне значення дорівнює одиниці. Всі вектори колінеарні червоному теж власні.

де це певний скаляр, тобто дійсне або комплексне число.

Тобто, власні вектори матриці  — це ненульові вектори, які під дією лінійного перетворення, що задається матрицею не міняють напрямку, але можуть змінювати довжину на коефіцієнт .

Матриця розмірами має не більше власних векторів, та власних значень, що відповідають їм.

Співвідношення (*) має сенс також для лінійного оператора у векторному просторі Якщо цей простір — скінченновимірний, то оператор можна записати у вигляді матриці відносно до певного базису

Оскільки власні вектори і власні значення означено без застосування координат, вони не залежать від вибору базису. Тому подібні матриці мають однакові власні значення.

Приклади Редагувати

  • це одинична матриця. Оскільки для довільного вектора виконується довільний ненульовий вектор є власним вектором із власним значенням

Власні значення і спектр матриць Редагувати

Провідну роль у розумінні власних значень матриць відіграє характеристичний поліном матриці. Власні значення матриці і тільки вони є коренями характеристичного поліному матриці :

p(λ) є поліномом степеня , отже за основною теоремою алгебри, існує рівно комплексних власних значень, враховуючи їх кратності.

Отже, матриця має не більше ніж власних значень (але безліч власних векторів для кожного з них).

Запишемо характеристичний поліном через його корені:

Кратність кореня характеристичного полінома матриці називається алгебраїчною кратністю власного значення .

Сукупність усіх власних значень матриці або лінійного оператора у скінченновимірному векторному просторі називається спектром матриці або лінійного оператора. (Ця термінологія видозмінюється для нескінченновимірних векторних просторів: у загальному випадку, до спектра оператора можуть належати які не є власними значеннями.)

Завдяки зв'язку характеристичного поліному матриці з її власними значеннями, останні ще називають характеристичними числами матриці.

Власний простір та кратність Редагувати

Для кожного власного значення , отримаємо свою систему рівнянь:

що матиме лінійно незалежних розв'язків.

Сукупність усіх розв'язків системи утворює лінійний підпростір розмірності та називається вла́сним про́стором (англ. eigenspace) матриці з власним значенням .

Розмірність власного простору називається геометричною кратністю відповідного власного значення .

Всі власні простори є інваріантними підпросторами для .

Якщо існують принаймні два лінійно-незалежні власні вектори з однаковим власним значенням то таке власне значення називається виродженим. Ця термінологія використовується переважно у тому разі, якщо геометрична і алгебраїчна кратності власних значень збігаються, наприклад, для ермітових матриць.

Властивості Редагувати

  • Для будь-якої матриці з комплексних чисел існує хоча б один власний вектор.
  • Якщо  — власні вектори матриці із попарно відмінними власними значеннями, то ці вектори є лінійно незалежні.
  • Якщо матриця розміру n×n, подібна до деякої діагональної матриці, то вона має n лінійно незалежних векторів.
  • Якщо матриці є переставними, то в них існує спільний власний вектор:

Розклад матриці за допомогою власних векторів Редагувати

  • Якщо квадратна матриця розміру n×n, а  — лінійно незалежні власні вектори матриці , тоді справедлива формула:

де  — квадратна матриця розміру n×n, -тий стовпець якої є вектор , а  — це діагональна матриця з відповідними значеннями .

Проблеми власних значень Редагувати

Проблема власних значень має назву задача знаходження власних векторів та чисел матриці.

За означенням (з допомогою характеристичного рівняння) можна знаходити тільки власні значення матриць розмірності менше п'яти. Характеристичне рівняння має степінь рівний степеню матриці. Для більших степенів знаходження розв'язків рівняння стає дуже проблематичним, тому використовують різні чисельні методи

Різні задачі вимагають отримання різної кількості власних значень. Тому розрізняють кілька проблем пошуку власних значень, для кожної з яких використовують свої методи.

  • Повна — знайти всі власні значення
  • Часткова — знайти кілька власних значень
    1. Максимальне чи мінімальне за модулем власні значення.
    2. Два максимальні власні значення
    3. Найближче до даного власне значення.

Здавалось б що часткова проблема власних значень є частковою проблемою повної, і вирішується тими ж методами що і повна. Проте, методи що застосовуються до часткових задач набагато ефективніші, тому можуть застосовуватись до матриць великої розмірності (наприклад в ядерній фізиці виникають проблеми знаходження власних значень для матриць розмірності ).

Метод Якобі Редагувати

Одним з найстаріших та найзагальніших підходів до розв'язання повної проблеми власних значень є метод Якобі, що вперше був опублікований в 1846.

Метод застосовують до симетричних матриць.

Це простий ітеративний алгоритм, у якому матриця зі власними векторами обчислюється послідовністю множень.

Див. також Редагувати

Література Редагувати

Посилання Редагувати


Це незавершена стаття з математики.
Ви можете допомогти проєкту, виправивши або дописавши її.
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри
Дата публікації:
Cya stattya mistit pravopisni leksichni gramatichni stilistichni abo inshi movni pomilki yaki treba vipraviti Vi mozhete dopomogti vdoskonaliti cyu stattyu pogodivshi yiyi iz chinnimi movnimi standartami Vla snij ve ktor angl eigenvector kvadratnoyi matrici A displaystyle A z vla snim zna chennyam angl eigenvalue l displaystyle lambda ce nenulovij vektor v displaystyle v dlya yakogo vikonuyetsya spivvidnoshennyaNa zobrazhenni mi bachimo tranformaciyu zsuvu sho vidbuvayetsya z Dzhokondoyu Sinij vektor zminyuye napryam a chervonij ni Tomu chervonij ye vlasnim vektorom takogo peretvorennya a sinij ni Cherez te sho chervonij vektor ni roztyagnuvsya ni stisnuvsya jogo vlasne znachennya dorivnyuye odinici Vsi vektori kolinearni chervonomu tezh vlasni A v l v displaystyle Av lambda v qquad de l displaystyle lambda ce pevnij skalyar tobto dijsne abo kompleksne chislo Tobto vlasni vektori matrici A displaystyle A ce nenulovi vektori yaki pid diyeyu linijnogo peretvorennya sho zadayetsya matriceyu A displaystyle A ne minyayut napryamku ale mozhut zminyuvati dovzhinu na koeficiyent l displaystyle lambda Matricya rozmirami n n displaystyle n times n maye ne bilshe n displaystyle n vlasnih vektoriv ta vlasnih znachen sho vidpovidayut yim Spivvidnoshennya maye sens takozh dlya linijnogo operatora u vektornomu prostori V displaystyle V Yaksho cej prostir skinchennovimirnij to operator mozhna zapisati u viglyadi matrici vidnosno do pevnogo bazisu V displaystyle V Oskilki vlasni vektori i vlasni znachennya oznacheno bez zastosuvannya koordinat voni ne zalezhat vid viboru bazisu Tomu podibni matrici mayut odnakovi vlasni znachennya Zmist 1 Prikladi 2 Vlasni znachennya i spektr matric 3 Vlasnij prostir ta kratnist 4 Vlastivosti 5 Rozklad matrici za dopomogoyu vlasnih vektoriv 6 Problemi vlasnih znachen 6 1 Metod Yakobi 7 Div takozh 8 Literatura 9 PosilannyaPrikladi RedaguvatiA I n displaystyle A I n nbsp ce odinichna matricya Oskilki dlya dovilnogo vektora v displaystyle v nbsp vikonuyetsya A v v displaystyle Av v nbsp dovilnij nenulovij vektor ye vlasnim vektorom I n displaystyle I n nbsp iz vlasnim znachennyam 1 displaystyle 1 nbsp Yaksho A diag a 1 a n displaystyle A operatorname diag a 1 ldots a n nbsp ce diagonalna matricya to bud yakij element e i displaystyle e i nbsp standartnogo bazisu n displaystyle n nbsp mirnogo vektornogo prostoru ce vlasnij vektor iz vlasnim znachennyam a i displaystyle a i nbsp Vlasni znachennya i spektr matric RedaguvatiProvidnu rol u rozuminni vlasnih znachen matric vidigraye harakteristichnij polinom matrici Vlasni znachennya n n displaystyle n times n nbsp matrici A displaystyle A nbsp i tilki voni ye korenyami harakteristichnogo polinomu matrici A displaystyle A nbsp p l det l I A 0 displaystyle p lambda equiv det lambda I A 0 nbsp p l ye polinomom stepenya n displaystyle n nbsp otzhe za osnovnoyu teoremoyu algebri isnuye rivno n displaystyle n nbsp kompleksnih vlasnih znachen vrahovuyuchi yih kratnosti Otzhe n n displaystyle n times n nbsp matricya A displaystyle A nbsp maye ne bilshe nizh n displaystyle n nbsp vlasnih znachen ale bezlich vlasnih vektoriv dlya kozhnogo z nih Zapishemo harakteristichnij polinom cherez jogo koreni p l l l 1 n 1 l l 2 n 2 l l k n k 0 i 1 k n i n displaystyle p lambda lambda lambda 1 n 1 lambda lambda 2 n 2 ldots lambda lambda k n k 0 qquad sum i 1 k n i n nbsp Kratnist korenya l i displaystyle lambda i nbsp harakteristichnogo polinoma matrici A displaystyle A nbsp nazivayetsya algebrayichnoyu kratnistyu vlasnogo znachennya l i displaystyle lambda i nbsp Sukupnist usih vlasnih znachen matrici abo linijnogo operatora u skinchennovimirnomu vektornomu prostori nazivayetsya spektrom matrici abo linijnogo operatora Cya terminologiya vidozminyuyetsya dlya neskinchennovimirnih vektornih prostoriv u zagalnomu vipadku do spektra operatora mozhut nalezhati l displaystyle lambda nbsp yaki ne ye vlasnimi znachennyami Zavdyaki zv yazku harakteristichnogo polinomu matrici z yiyi vlasnimi znachennyami ostanni she nazivayut harakteristichnimi chislami matrici Vlasnij prostir ta kratnist RedaguvatiDlya kozhnogo vlasnogo znachennya l i displaystyle lambda i nbsp otrimayemo svoyu sistemu rivnyan A l i I v 0 displaystyle A lambda i I v 0 nbsp sho matime 1 m i n i displaystyle 1 leq m i leq n i nbsp linijno nezalezhnih rozv yazkiv Sukupnist usih rozv yazkiv sistemi utvoryuye linijnij pidprostir rozmirnosti m i displaystyle m i nbsp ta nazivayetsya vla snim pro storom angl eigenspace matrici A displaystyle A nbsp z vlasnim znachennyam l i displaystyle lambda i nbsp Rozmirnist vlasnogo prostoru nazivayetsya geometrichnoyu kratnistyu vidpovidnogo vlasnogo znachennya l displaystyle lambda nbsp Vsi vlasni prostori ye invariantnimi pidprostorami dlya A displaystyle A nbsp Yaksho isnuyut prinajmni dva linijno nezalezhni vlasni vektori z odnakovim vlasnim znachennyam l displaystyle lambda nbsp to take vlasne znachennya nazivayetsya virodzhenim Cya terminologiya vikoristovuyetsya perevazhno u tomu razi yaksho geometrichna i algebrayichna kratnosti vlasnih znachen zbigayutsya napriklad dlya ermitovih matric Vlastivosti RedaguvatiDlya bud yakoyi matrici z kompleksnih chisel isnuye hocha b odin vlasnij vektor Yaksho v 1 v k displaystyle v 1 ldots v k nbsp vlasni vektori matrici A displaystyle A nbsp iz poparno vidminnimi vlasnimi znachennyami to ci vektori ye linijno nezalezhni Yaksho matricya A displaystyle A nbsp rozmiru n n podibna do deyakoyi diagonalnoyi matrici to vona maye n linijno nezalezhnih vektoriv Vlasni znachennya matric A A displaystyle A A nbsp ye kompleksno spryazhenimi Yaksho matrici A B displaystyle A B nbsp ye perestavnimi to v nih isnuye spilnij vlasnij vektor A B B A v l 1 l 2 A v l 1 v B v l 2 v displaystyle AB BA quad Rightarrow quad exists v lambda 1 lambda 2 Av lambda 1 v Bv lambda 2 v nbsp Yaksho A displaystyle A nbsp normalnij operator u gilbertovomu prostori to jogo vlasni vektori sho vidpovidayut riznim vlasnim znachennyam ye ortogonalnimi i z nih mozhna utvoriti povnu ortonormovanu sistemu Rozklad matrici za dopomogoyu vlasnih vektoriv RedaguvatiYaksho A displaystyle A nbsp kvadratna matricya rozmiru n n a q i i 1 n displaystyle q i i overline 1 n nbsp linijno nezalezhni vlasni vektori matrici A displaystyle A nbsp todi spravedliva formula A Q L Q 1 displaystyle A Q Lambda Q 1 nbsp de Q displaystyle Q nbsp kvadratna matricya rozmiru n n i displaystyle i nbsp tij stovpec yakoyi ye vektor q i displaystyle q i nbsp a L displaystyle Lambda nbsp ce diagonalna matricya z vidpovidnimi znachennyami l i displaystyle lambda i nbsp Obernena matricya mozhe buti predstavlena u viglyadi A 1 Q L 1 Q 1 displaystyle A 1 Q Lambda 1 Q 1 nbsp Yaksho A displaystyle A nbsp normalna matricya to matricya Q displaystyle Q nbsp bude unitarnoyu matriceyu Problemi vlasnih znachen RedaguvatiProblema vlasnih znachen maye nazvu zadacha znahodzhennya vlasnih vektoriv ta chisel matrici Za oznachennyam z dopomogoyu harakteristichnogo rivnyannya mozhna znahoditi tilki vlasni znachennya matric rozmirnosti menshe p yati Harakteristichne rivnyannya maye stepin rivnij stepenyu matrici Dlya bilshih stepeniv znahodzhennya rozv yazkiv rivnyannya staye duzhe problematichnim tomu vikoristovuyut rizni chiselni metodiRizni zadachi vimagayut otrimannya riznoyi kilkosti vlasnih znachen Tomu rozriznyayut kilka problem poshuku vlasnih znachen dlya kozhnoyi z yakih vikoristovuyut svoyi metodi Povna znajti vsi vlasni znachennya Chastkova znajti kilka vlasnih znachen Maksimalne chi minimalne za modulem vlasni znachennya Dva maksimalni vlasni znachennya Najblizhche do danogo vlasne znachennya Zdavalos b sho chastkova problema vlasnih znachen ye chastkovoyu problemoyu povnoyi i virishuyetsya timi zh metodami sho i povna Prote metodi sho zastosovuyutsya do chastkovih zadach nabagato efektivnishi tomu mozhut zastosovuvatis do matric velikoyi rozmirnosti napriklad v yadernij fizici vinikayut problemi znahodzhennya vlasnih znachen dlya matric rozmirnosti 10 3 10 6 displaystyle 10 3 10 6 nbsp Metod Yakobi Redaguvati Dokladnishe Metod obertannya YakobiOdnim z najstarishih ta najzagalnishih pidhodiv do rozv yazannya povnoyi problemi vlasnih znachen ye metod Yakobi sho vpershe buv opublikovanij v 1846 Metod zastosovuyut do simetrichnih matric Ce prostij iterativnij algoritm u yakomu matricya zi vlasnimi vektorami obchislyuyetsya poslidovnistyu mnozhen Div takozh RedaguvatiAlgoritm obchislennya vlasnih znachen Vlasna funkciya Spektralna teorema Stepenevij metod Zvorotnij stepenevij metod Algebrichna zv yaznistLiteratura RedaguvatiGantmaher F R Teoriya matric 5 e M Fizmatlit 2010 559 s ISBN 5 9221 0524 8 ros Gelfand I M Lekcii po linejnoj algebre 5 e Moskva Nauka 1998 320 s ISBN 5791300158 ros N S Bahvalov N P Zhidkov G M Kobelkov Chislennye metody Problemi vlasnih znachen Posilannya RedaguvatiVlasni chisla ta vlasni vektora Visha matematika v prikladah i zadachah Klepko V Yu Golec V L 2 ge vidannya K Centr uchbovoyi literaturi 2009 S 58 594 s nbsp Ce nezavershena stattya z matematiki Vi mozhete dopomogti proyektu vipravivshi abo dopisavshi yiyi Otrimano z https uk wikipedia org w index php title Vlasni vektori ta vlasni znachennya amp oldid 36371866