www.wikidata.uk-ua.nina.az

Скінченновимірний простір Не плутати з скінченним топологічним простором Скінченнови мірний про стір це векторний прості

Скінченновимірний простір

Не плутати з скінченним топологічним простором.

Скінченнови́мірний про́стір — це векторний простір, у якому є скінченний базис — породжувальна (повна) лінійно незалежна система векторів. Іншими словами, в такому просторі існує скінченна лінійно незалежна система векторів, лінійною комбінацією яких можна подати будь-який вектор даного простору.

Базис — це (одночасно) і мінімальна породжувальна (повна) система, і максимальна лінійно незалежна система векторів. Всі базиси містять однакову кількість елементів, яку називають розмірністю векторного простору.

Скінченновимірний простір, у якому введено скалярний добуток його елементів, називають евклідовим. Скінченновимірний простір, у якому введено норму його елементів, називають скінченновимірним нормованим. Наявність скалярного добутку або норми породжує в скінченновимірному просторі метрику.

Властивості скінченновимірних просторів

Кожен елемент скінченновимірного простору можна подати єдиним чином у вигляді

де  — поле (часто або ), над яким розглядається простір ,  — елементи базису. Це випливає з визначення базису.

Також будь-який базис в евклідовому просторі можна зробити ортонормованим за допомогою ортогоналізації Шмідта.

  • Всі базиси скінченновимірного простору складаються з однакової кількості елементів. Ця властивість дає коректність визначення розмірності простору.
  • Нехай  — скінченновимірний простір і  — лінійно-незалежна система елементів. Тоді цю систему завжди можна доповнити до базиса.
  • Всі скінченновимірні простори однакової розмірності ізоморфні один одному.
  • В будь-якому скінченновимірному просторі над полем можна ввести скалярний добуток. Наприклад, у просторі із фіксованим базисом, розмірності , можна ввести скалярний добуток за правилом:

    , де  — компоненти векторів і відповідно.

    Із цієї властивості випливає, що в скінченновимірному просторі над полем можна ввести норму і метрику. Як наслідок, можна отримати що:
    •  — рефлексивний простір.
    • Простір , спряжений до деякого скінченновимірного простору , скінченновимірний і його розмірність збігається з розмірністю .
    • Для будь-якого підпростору скінченновимірного простору існує підпростір такий, що і розкладається в пряму суму і , .
  • В евклідовому просторі кожна слабко збіжна послідовність збігається сильно.
  • Всі норми у скінченновимірному просторі над полем еквівалентні. Збіжність у евклідовому просторі еквівалентна покоординатній збіжності.
  • Кожен лінійний неперервний оператор у скінченновимірному просторі можна подати у вигляді матриці.
  • Простір над полем є скінченновимірним тоді й лише тоді, коли одиничний оператор є цілком неперервним.
  • Простір є скінченновимірним тоді й лише тоді, коли знайдеться оборотний цілком неперервний оператор, що діє над .
  • Простір є скінченновимірним тоді й лише тоді, коли одинична куля в передкомпактна. Цю властивість можна переформулювати так: простір є скінченновимірним тоді й лише тоді, коли будь-яка обмежна в множина передкомпактна.
  • Будь-який лінійний оператор , визначений у скінченновимірному просторі є неперервним і навіть цілком неперервним.
  • У скінченновимірному просторі кожен оператор є унітарним тоді й лише тоді, коли він ізометричний, тобто зберігає скалярний добуток.

Приклади

Загальніший випадок — простору розмірності n. Норму в них зазвичай задають одним з таких способів ():

Якщо ввести норму і скалярний добуток то простір буде евклідовим.

  •  — простір усіх многочленів степеня не вище . Розмірність цього простору . Многочлени утворюють у ньому базис.
  • Нехай  — довільний лінійний простір і нехай деяка лінійно-незалежна система векторів. Тоді лінійна оболонка, натягнута на цю систему є скінченновимірним простором.

Див. також

Примітки

  1. Цей факт можна отримати як за допомогою теореми Ріса — Фреше, так і прямими викладками, без використання теорії гільбертових просторів.
  2. часто називають ортогональним доповненням до

Література

  • Треногин В. А. Функциональный анализ. — М. : Наука, 1980. — 495 с.
  • Халмош П. Конечномерные векторные пространства = Finite-dimensional vector spaces. — М. : Физматгиз, 1963. — 264 с.
  • Шилов Г.Е. Математический анализ. Специальный курс. — 2-е. — М. : Физматлит, 1961. — 436 с.
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри
Дата публікації:
Ne plutati z skinchennim topologichnim prostorom Skinchennovi mirnij pro stir ce vektornij prostir u yakomu ye skinchennij bazis porodzhuvalna povna linijno nezalezhna sistema vektoriv Inshimi slovami v takomu prostori isnuye skinchenna linijno nezalezhna sistema vektoriv linijnoyu kombinaciyeyu yakih mozhna podati bud yakij vektor danogo prostoru Bazis ce odnochasno i minimalna porodzhuvalna povna sistema i maksimalna linijno nezalezhna sistema vektoriv Vsi bazisi mistyat odnakovu kilkist elementiv yaku nazivayut rozmirnistyu vektornogo prostoru Skinchennovimirnij prostir u yakomu vvedeno skalyarnij dobutok jogo elementiv nazivayut evklidovim Skinchennovimirnij prostir u yakomu vvedeno normu jogo elementiv nazivayut skinchennovimirnim normovanim Nayavnist skalyarnogo dobutku abo normi porodzhuye v skinchennovimirnomu prostori metriku Zmist 1 Vlastivosti skinchennovimirnih prostoriv 2 Prikladi 3 Div takozh 4 Primitki 5 LiteraturaVlastivosti skinchennovimirnih prostoriv RedaguvatiKozhen element x x skinchennovimirnogo prostoru X X mozhna podati yedinim chinom u viglyadi x a 1 e 1 a 2 e 2 a n e n displaystyle x a 1 e 1 a 2 e 2 a n e n a 1 a 2 a n P displaystyle a 1 a 2 a n in mathbb P de P displaystyle mathbb P pole chasto R mathbb R abo C displaystyle mathbb C nad yakim rozglyadayetsya prostir X X e 1 e 2 e n X displaystyle e 1 e 2 e n in X elementi bazisu Ce viplivaye z viznachennya bazisu Takozh bud yakij bazis v evklidovomu prostori mozhna zrobiti ortonormovanim za dopomogoyu ortogonalizaciyi Shmidta Vsi bazisi skinchennovimirnogo prostoru skladayutsya z odnakovoyi kilkosti elementiv Cya vlastivist daye korektnist viznachennya rozmirnosti prostoru Nehaj X X skinchennovimirnij prostir i x 1 x 2 x k displaystyle x 1 x 2 x k linijno nezalezhna sistema elementiv Todi cyu sistemu zavzhdi mozhna dopovniti do bazisa Vsi skinchennovimirni prostori odnakovoyi rozmirnosti izomorfni odin odnomu V bud yakomu skinchennovimirnomu prostori nad polem R mathbb R mozhna vvesti skalyarnij dobutok Napriklad u prostori X X iz fiksovanim bazisom rozmirnosti n n mozhna vvesti skalyarnij dobutok za pravilom x 1 x 2 X x 1 x 2 k 1 n a k b k displaystyle forall x 1 x 2 in X x 1 x 2 sum k 1 n a k cdot b k de a k b k displaystyle a k b k komponenti vektoriv x 1 x 1 i x 2 x 2 vidpovidno Iz ciyeyi vlastivosti viplivaye sho v skinchennovimirnomu prostori nad polem R mathbb R mozhna vvesti normu i metriku Yak naslidok mozhna otrimati sho X X refleksivnij prostir 1 Prostir X displaystyle X spryazhenij do deyakogo skinchennovimirnogo prostoru X X skinchennovimirnij i jogo rozmirnist zbigayetsya z rozmirnistyu X X Dlya bud yakogo pidprostoru M X displaystyle M subset X skinchennovimirnogo prostoru X X isnuye pidprostir M X displaystyle M perp subset X 2 takij sho x M y M x y displaystyle forall x in M forall y in M perp x perp y i X X rozkladayetsya v pryamu sumu M M i M displaystyle M perp X M M displaystyle X M oplus M perp V evklidovomu prostori kozhna slabko zbizhna poslidovnist zbigayetsya silno Vsi normi u skinchennovimirnomu prostori nad polem R mathbb R ekvivalentni Zbizhnist u evklidovomu prostori ekvivalentna pokoordinatnij zbizhnosti Kozhen linijnij neperervnij operator u skinchennovimirnomu prostori mozhna podati u viglyadi matrici Prostir X X nad polem R mathbb R ye skinchennovimirnim todi j lishe todi koli odinichnij operator I X X displaystyle I X rightarrow X ye cilkom neperervnim Prostir X X ye skinchennovimirnim todi j lishe todi koli znajdetsya oborotnij cilkom neperervnij operator sho diye nad X X Prostir X X ye skinchennovimirnim todi j lishe todi koli odinichna kulya v X X peredkompaktna Cyu vlastivist mozhna pereformulyuvati tak prostir X X ye skinchennovimirnim todi j lishe todi koli bud yaka obmezhna v X X mnozhina peredkompaktna Bud yakij linijnij operator A X Y displaystyle A X rightarrow Y viznachenij u skinchennovimirnomu prostori X X ye neperervnim i navit cilkom neperervnim U skinchennovimirnomu prostori kozhen operator ye unitarnim todi j lishe todi koli vin izometrichnij tobto zberigaye skalyarnij dobutok Prikladi RedaguvatiEvklidiv prostir E 3 displaystyle mathbb E 3 maye rozmirnist 3 za jogo bazis mozhna vibrati trijku vektoriv 1 0 0 0 1 0 0 0 1 displaystyle left begin pmatrix 1 0 0 end pmatrix begin pmatrix 0 1 0 end pmatrix begin pmatrix 0 0 1 end pmatrix right Zagalnishij vipadok prostoru R n displaystyle mathbb R n rozmirnosti n Normu v nih zazvichaj zadayut odnim z takih sposobiv 1 p lt displaystyle 1 leq p lt infty x p i 1 n x i p p displaystyle x p sqrt p sum i 1 n x i p abo x max i 1 2 n x i displaystyle x infty max i 1 2 dots n x i Yaksho vvesti normu x 2 displaystyle x 2 i skalyarnij dobutok x y i 1 n x i y i displaystyle x y sqrt sum i 1 n x i y i to prostir bude evklidovim P n displaystyle P n prostir usih mnogochleniv stepenya ne vishe n n Rozmirnist cogo prostoru n 1 displaystyle n 1 Mnogochleni 1 x x 2 x n displaystyle 1 x x 2 x n utvoryuyut u nomu bazis Nehaj X X dovilnij linijnij prostir i nehaj x 1 x 2 x n displaystyle x 1 x 2 x n deyaka linijno nezalezhna sistema vektoriv Todi linijna obolonka natyagnuta na cyu sistemu ye skinchennovimirnim prostorom Div takozh RedaguvatiNeskinchennovimirnij prostirPrimitki Redaguvati Cej fakt mozhna otrimati yak za dopomogoyu teoremi Risa Freshe tak i pryamimi vikladkami bez vikoristannya teoriyi gilbertovih prostoriv M displaystyle M perp chasto nazivayut ortogonalnim dopovnennyam do M displaystyle M Literatura RedaguvatiTrenogin V A Funkcionalnyj analiz M Nauka 1980 495 s Halmosh P Konechnomernye vektornye prostranstva Finite dimensional vector spaces M Fizmatgiz 1963 264 s Shilov G E Matematicheskij analiz Specialnyj kurs 2 e M Fizmatlit 1961 436 s Otrimano z https uk wikipedia org w index php title Skinchennovimirnij prostir amp oldid 36518961