www.wikidata.uk-ua.nina.az

Лінійний неперервний оператор A X Y displaystyle A X rightarrow Y що діє з лінійного топологічного простору X у лінійний

Лінійний неперервний оператор

Лінійний неперервний оператор , що діє з лінійного топологічного простору X у лінійний топологічний простір Y — це лінійне відображення із X в Y, що має властивість неперервності.

Термін «лінійний неперервний оператор» зазвичай вживають у разі, коли Y багатовимірний. Якщо Y одновимірний, тобто збігається із самим полем ( або ), то прийнято вживати термін лінійний неперервний функціонал. Множину всіх лінійних неперервних операторів із X в Y позначають .

В теорії нормованих просторів лінійні неперервні оператори більш відомі як обмежені лінійні з причин, викладених нижче. Теорія лінійних неперервних операторів відіграє важливу роль у функціональному аналізі, математичній фізиці та обчислювальній математиці.

Властивості Редагувати

  • Якщо X скінченновимірний, то будь-який лінійний оператор неперервний.
  • Неперервність лінійного оператора в нулі рівносильна його неперервності в будь-якій іншій точці (і, отже, у всьому X).
  • Для нормованих просторів умови неперервності й обмеженості (тобто скінченності операторної норми) рівносильні.. В загальному випадку з неперервності лінійного оператора випливає обмеженість, але зворотне істинне не завжди.
  • Якщо X і Y — банахові простори, і образ оператора  збігається з простором Y, то існує обернений оператор  (так звана теорема про обернений оператор).
  • Множина всіх лінійних неперервних операторів з X в Y сама є лінійним топологічним простором. Якщо X і Y нормовані, то також нормована операторною нормою. Якщо Y — банахів, то й є такою, незалежно від повноти X.

Властивості лінійного неперервного оператора дуже залежать від властивостей просторів X і Y. Наприклад, якщо X — скінченновимірний простір, то оператор буде цілком неперервним оператором, область його значень буде скінченновимірним лінійним підпростором, і кожен такий оператор можна подати у вигляді матриці.

Неперервність і збіжні послідовності Редагувати

Лінійний оператор , що діє з лінійного топологічного простору X у лінійний топологічний простір Y, неперервний тоді й лише тоді, коли для будь-якої послідовності точка X, із випливає .

Нехай ряд збігається і  — лінійний неперервний оператор. Тоді виконується рівність

Це означає, що до збіжних рядів у лінійних топологічних просторах лінійний оператор можна застосовувати почленно.

Якщо X, Y — банахові простори, то неперервний оператор переводить кожну слабко збіжну послідовність у слабко збіжну:

Пов'язані визначення Редагувати

  • Лінійний оператор називають обмеженим знизу, якщо .

Див. також Редагувати

Література Редагувати

  • Треногин В. А. Функциональный анализ. — М. : Наука, 1980. — 495 с.
  • Халмош П. Конечномерные векторные пространства = Finite-dimensional vector spaces. — М. : Физматгиз, 1963. — 264 с.
  • Шилов Г.Е. Математический анализ (функции одного переменного), часть 3. — М. : Наука, 1970. — 352 с.

Примітки Редагувати

  1. Лінійні неперервні функціонали мають специфічні властивості, які відсутні в загальному випадку, і породжують особливі математичні структури, тому теорію лінійних неперервних функціоналів розглядають окремо від загальної теорії.
  2. Наймарк М. А. Нормированные кольца. — М. : Наука, 1968. — С. 98. з джерела 2 жовтня 2021
  3. Також, у скінченновимірному просторі із базисом , лінійний неперервний оператор можна подати у вигляді , де  — функції зі спряженого простору.
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри
Дата публікації:
Linijnij neperervnij operator A X Y displaystyle A X rightarrow Y sho diye z linijnogo topologichnogo prostoru X u linijnij topologichnij prostir Y ce linijne vidobrazhennya iz X v Y sho maye vlastivist neperervnosti Termin linijnij neperervnij operator zazvichaj vzhivayut u razi koli Y bagatovimirnij Yaksho Y odnovimirnij tobto zbigayetsya iz samim polem R displaystyle mathbb R abo C displaystyle mathbb C to prijnyato vzhivati termin linijnij neperervnij funkcional 1 Mnozhinu vsih linijnih neperervnih operatoriv iz X v Y poznachayut L X Y displaystyle L X Y V teoriyi normovanih prostoriv linijni neperervni operatori bilsh vidomi yak obmezheni linijni z prichin vikladenih nizhche Teoriya linijnih neperervnih operatoriv vidigraye vazhlivu rol u funkcionalnomu analizi matematichnij fizici ta obchislyuvalnij matematici Zmist 1 Vlastivosti 2 Neperervnist i zbizhni poslidovnosti 3 Pov yazani viznachennya 4 Div takozh 5 Literatura 6 PrimitkiVlastivosti RedaguvatiYaksho X skinchennovimirnij to bud yakij linijnij operator neperervnij Neperervnist linijnogo operatora v nuli rivnosilna jogo neperervnosti v bud yakij inshij tochci i otzhe u vsomu X Dlya normovanih prostoriv umovi neperervnosti j obmezhenosti tobto skinchennosti operatornoyi normi rivnosilni 2 V zagalnomu vipadku z neperervnosti linijnogo operatora viplivaye obmezhenist ale zvorotne istinne ne zavzhdi Yaksho X i Y banahovi prostori i obraz operatora A L X Y displaystyle A in L X Y nbsp zbigayetsya z prostorom Y to isnuye obernenij operator A 1 L Y X displaystyle A 1 in L Y X nbsp tak zvana teorema pro obernenij operator Mnozhina vsih linijnih neperervnih operatoriv z X v Y sama ye linijnim topologichnim prostorom Yaksho X i Y normovani to L X Y displaystyle L X Y nbsp takozh normovana operatornoyu normoyu Yaksho Y banahiv to j L X Y displaystyle L X Y nbsp ye takoyu nezalezhno vid povnoti X Vlastivosti linijnogo neperervnogo operatora duzhe zalezhat vid vlastivostej prostoriv X i Y Napriklad yaksho X skinchennovimirnij prostir to operator A L X Y displaystyle A in L X Y nbsp bude cilkom neperervnim operatorom oblast jogo znachen R A displaystyle R A nbsp bude skinchennovimirnim linijnim pidprostorom i kozhen takij operator mozhna podati u viglyadi matrici 3 Neperervnist i zbizhni poslidovnosti RedaguvatiLinijnij operator A X Y displaystyle A X rightarrow Y nbsp sho diye z linijnogo topologichnogo prostoru X u linijnij topologichnij prostir Y neperervnij todi j lishe todi koli dlya bud yakoyi poslidovnosti x n displaystyle x n nbsp tochka X iz x n x 0 displaystyle x n rightarrow x 0 nbsp viplivaye A x n A x 0 displaystyle Ax n rightarrow Ax 0 nbsp Nehaj ryad n 1 x n s displaystyle sum limits n 1 infty x n s nbsp zbigayetsya i A X Y displaystyle A X rightarrow Y nbsp linijnij neperervnij operator Todi vikonuyetsya rivnist n 1 A x n A s displaystyle sum limits n 1 infty Ax n As nbsp Ce oznachaye sho do zbizhnih ryadiv u linijnih topologichnih prostorah linijnij operator mozhna zastosovuvati pochlenno Yaksho X Y banahovi prostori to neperervnij operator perevodit kozhnu slabko zbizhnu poslidovnist u slabko zbizhnu yaksho x n x displaystyle x n to x nbsp slabke to A x n A x displaystyle Ax n to Ax nbsp slabke Pov yazani viznachennya RedaguvatiLinijnij operator nazivayut obmezhenim znizu yaksho k gt 0 x X A x k x displaystyle exists k gt 0 forall x in X Ax geq k x nbsp Div takozh RedaguvatiSpryazhenij operatorLiteratura RedaguvatiTrenogin V A Funkcionalnyj analiz M Nauka 1980 495 s Halmosh P Konechnomernye vektornye prostranstva Finite dimensional vector spaces M Fizmatgiz 1963 264 s Shilov G E Matematicheskij analiz funkcii odnogo peremennogo chast 3 M Nauka 1970 352 s Primitki Redaguvati Linijni neperervni funkcionali mayut specifichni vlastivosti yaki vidsutni v zagalnomu vipadku i porodzhuyut osoblivi matematichni strukturi tomu teoriyu linijnih neperervnih funkcionaliv rozglyadayut okremo vid zagalnoyi teoriyi Najmark M A Normirovannye kolca M Nauka 1968 S 98 Arhivovano z dzherela 2 zhovtnya 2021 Takozh u skinchennovimirnomu prostori X displaystyle X nbsp iz bazisom x k k 1 n displaystyle x k k 1 n nbsp linijnij neperervnij operator A displaystyle A nbsp mozhna podati u viglyadi A x f 1 x x 1 f 2 x x 2 f n x x n x X displaystyle Ax f 1 x x 1 f 2 x x 2 cdots f n x x n forall x in X nbsp de f k X displaystyle f k in X nbsp funkciyi zi spryazhenogo prostoru Otrimano z https uk wikipedia org w index php title Linijnij neperervnij operator amp oldid 36349764