www.wikidata.uk-ua.nina.az

Лінійне відображення Лінійним відображенням лінійним оператором лінійним перетворенням називається відображення векторно

Лінійне відображення

Лінійним відображенням (лінійним оператором, лінійним перетворенням) — називається відображення векторного простору над полем в векторний простір (над тим же полем )

що має властивість лінійності:

Лінійне відображення зберігає операції додавання векторів і множення вектора на скаляр:

Лінійне відображення векторних просторів є їх гомоморфізмом. А у випадку бієктивності відображення то і ізоморфізмом.

Лінійне відображення — найважливіше поняття лінійної алгебри, завдяки якому вона отримала свою назву.

У функціональному аналізі розглядаються неперервні лінійні оператори між топологічними векторними просторами, але означення "неперервний" зазвичай випускається.

Лінійне відображення, лінійний оператор - узагальнення лінійної числової функції (точніше, функції у = кх) на випадок більш загальної множини аргументів і значень. Лінійні оператори, на відміну від нелінійних, достатньо добре досліджені, що дозволяє успішно застосовувати результати загальної теорії, оскільки їх властивості не залежать від природи величин.

Часткові випадки

  • Лінійний функціонал — лінійний оператор, для якого

множина всіх лінійних функціоналів складає спряжений простір до , який теж є лінійним простором (позначається звичайно )

  • Тотожний оператор — оператор , що відображає кожен елемент простору в самого себе.
  • Нульовий оператор — оператор, що переводить кожен елемент простору в нульовий елемент простору

Композиції лінійних відображень

  • Якщо f:V→W і g:W→Z є лінійними відображеннями, то відображення g•f : V→Z також є лінійним.
  • Якщо існує обернене відображення до лінійного відображення, то воно теж є лінійним.
  • Якщо f1:V→W і f2:V→W є лінійними відображеннями, то відображення f1+f2 (визначене як (f1+f2)(x) = f1(x) + f2(x)) теж є лінійним.
  • Якщо f:V→W є лінійним відображенням і a елемент з поля K (базового для V і W), тоді відображення af, визначене як (af)(x) = a (f(x)), також лінійне.

В скінченномірному випадку ці властивості подібні властивостям матриць: множення, додавання і множення на скаляр.

Ядро та образ відображення

  • Ядром лінійного відображення називається така підмножина що:
  • Образом лінійного відображення називається така підмножина що:
  • Між розмірностями образу і ядра існує таке співвідношення:

Число називається ранг і записується як чи Якщо розмірності і скінченні і вибрані базиси, то лінійне відображення задається своєю матрицею відносно до цих базисів. І ранг відображення збігається з рангом матриці відображення.

Матриця лінійного відображення

Якщо в просторі вибрано базис , в просторі вибрано базис , то матрицею лінійного відображення в даних базисах називається матриця

j-ий стовпчик якої складається з координат вектора , тобто координат образу j-го базисного вектора

Координати образу вектора в базисі при лінійному відображенні
виражаються через координати вектора в базисі за формулою:

Матриці лінійного відображення в різних базисах

Якщо A і Ã відповідно матриці лінійного відображення в базисах і то

де S і T — матриці переходу від базиса до базиса і від базиса до базиса відповідно:

При лінійному перетворенні (тобто, коли відображення в той же простір):

Див. також

Примітки

Джерела

Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри
Дата публікації:
Linijnim vidobrazhennyam linijnim operatorom linijnim peretvorennyam nazivayetsya vidobrazhennya vektornogo prostoru V displaystyle V nad polem K displaystyle K v vektornij prostir W displaystyle W nad tim zhe polem K displaystyle K f V K W K displaystyle f colon V K to W K sho maye vlastivist linijnosti f a x b y a f x b f y x y V K a b K displaystyle f alpha x beta y alpha f x beta f y qquad forall x y in V K quad forall alpha beta in K Linijne vidobrazhennya zberigaye operaciyi dodavannya vektoriv i mnozhennya vektora na skalyar f x y f x f y displaystyle f x y f x f y aditivnist f a x a f x displaystyle f alpha x alpha f x odnoridnistLinijne vidobrazhennya vektornih prostoriv ye yih gomomorfizmom A u vipadku biyektivnosti vidobrazhennya to i izomorfizmom Linijne vidobrazhennya najvazhlivishe ponyattya linijnoyi algebri zavdyaki yakomu vona otrimala svoyu nazvu U funkcionalnomu analizi rozglyadayutsya neperervni linijni operatori mizh topologichnimi vektornimi prostorami ale oznachennya neperervnij zazvichaj vipuskayetsya Linijne vidobrazhennya linijnij operator uzagalnennya linijnoyi chislovoyi funkciyi tochnishe funkciyi u kh na vipadok bilsh zagalnoyi mnozhini argumentiv i znachen Linijni operatori na vidminu vid nelinijnih dostatno dobre doslidzheni sho dozvolyaye uspishno zastosovuvati rezultati zagalnoyi teoriyi oskilki yih vlastivosti ne zalezhat vid prirodi velichin Zmist 1 Chastkovi vipadki 2 Kompoziciyi linijnih vidobrazhen 3 Yadro ta obraz vidobrazhennya 4 Matricya linijnogo vidobrazhennya 4 1 Matrici linijnogo vidobrazhennya v riznih bazisah 5 Div takozh 6 Primitki 7 DzherelaChastkovi vipadki RedaguvatiLinijnij funkcional linijnij operator dlya yakogo W K K displaystyle W K K f V K K displaystyle f V K to K mnozhina vsih linijnih funkcionaliv skladaye spryazhenij prostir do V displaystyle V yakij tezh ye linijnim prostorom poznachayetsya zvichajno V displaystyle V linijne peretvorennya linijnij operator dlya yakogo V K W K displaystyle V K W K f V K V K displaystyle f V K to V K Totozhnij operator operator x x displaystyle x mapsto x sho vidobrazhaye kozhen element prostoru V K displaystyle V K v samogo sebe Nulovij operator operator sho perevodit kozhen element prostoru V K displaystyle V K v nulovij element prostoru W K displaystyle W K Kompoziciyi linijnih vidobrazhen RedaguvatiYaksho f V W i g W Z ye linijnimi vidobrazhennyami to vidobrazhennya g f V Z takozh ye linijnim Yaksho isnuye obernene vidobrazhennya do linijnogo vidobrazhennya to vono tezh ye linijnim Yaksho f1 V W i f2 V W ye linijnimi vidobrazhennyami to vidobrazhennya f1 f2 viznachene yak f1 f2 x f1 x f2 x tezh ye linijnim Yaksho f V W ye linijnim vidobrazhennyam i a element z polya K bazovogo dlya V i W todi vidobrazhennya af viznachene yak af x a f x takozh linijne V skinchennomirnomu vipadku ci vlastivosti podibni vlastivostyam matric mnozhennya dodavannya i mnozhennya na skalyar Yadro ta obraz vidobrazhennya RedaguvatiDokladnishe Yadro ta obraz linijnogo operatoraYadrom linijnogo vidobrazhennya f V W displaystyle f V to W nazivayetsya taka pidmnozhina V displaystyle V sho ker f x V f x 0 displaystyle ker f x in V f x 0 Yadro linijnogo vidobrazhennya utvoryuye linijnij pidprostir v prostori V displaystyle V Obrazom linijnogo vidobrazhennya f V W displaystyle f V to W nazivayetsya taka pidmnozhina W displaystyle W sho im f w W w f x x V displaystyle operatorname im f w in W w f x x in V Obraz linijnogo vidobrazhennya utvoryuye linijnij pidprostir v prostori W displaystyle W Mizh rozmirnostyami obrazu i yadra isnuye take spivvidnoshennya dim ker f dim im f dim V displaystyle dim ker f dim operatorname im f dim V Chislo dim im f displaystyle dim operatorname im f nazivayetsya rang f displaystyle f i zapisuyetsya yak rank f displaystyle operatorname rank f chi rk f displaystyle operatorname rk f Yaksho rozmirnosti V displaystyle V i W displaystyle W skinchenni i vibrani bazisi to linijne vidobrazhennya zadayetsya svoyeyu matriceyu vidnosno do cih bazisiv I rang vidobrazhennya zbigayetsya z rangom matrici vidobrazhennya Matricya linijnogo vidobrazhennya RedaguvatiYaksho v prostori V displaystyle V vibrano bazis e 1 e n displaystyle e 1 ldots e n v prostori W displaystyle W vibrano bazis f 1 f m displaystyle f 1 ldots f m to matriceyu linijnogo vidobrazhennya v danih bazisah nazivayetsya matricya A a 11 a 1 n a m 1 a m n displaystyle A begin Vmatrix a 11 amp cdots amp a 1n amp cdots amp a m1 amp cdots amp a mn end Vmatrix j ij stovpchik yakoyi skladayetsya z koordinat vektora A e j displaystyle Ae j tobto koordinat obrazu j go bazisnogo vektora A e j a 1 j f 1 a m j f m displaystyle Ae j a 1j f 1 ldots a mj f m v bazisi f 1 f m displaystyle f 1 ldots f m Koordinati y 1 y m displaystyle y 1 ldots y m obrazu A x displaystyle Ax vektora x displaystyle x v bazisi f 1 f m displaystyle f 1 ldots f m pri linijnomu vidobrazhenni A displaystyle A virazhayutsya cherez koordinati x 1 x n displaystyle x 1 ldots x n vektora x displaystyle x v bazisi e 1 e n displaystyle e 1 ldots e n za formuloyu y 1 y m A x 1 x n displaystyle begin Vmatrix y 1 vdots y m end Vmatrix A begin Vmatrix x 1 vdots x n end Vmatrix Matrici linijnogo vidobrazhennya v riznih bazisah Redaguvati Yaksho A i A vidpovidno matrici linijnogo vidobrazhennya f displaystyle f v bazisah e 1 e n f 1 f m displaystyle e 1 ldots e n f 1 ldots f m i e 1 e n f 1 f m displaystyle e 1 ldots e n f 1 ldots f m to A T 1 A S displaystyle tilde A T 1 AS de S i T matrici perehodu vid bazisa e 1 e n displaystyle e 1 ldots e n do bazisa f 1 f m displaystyle f 1 ldots f m i vid bazisa e 1 e n displaystyle e 1 ldots e n do bazisa f 1 f m displaystyle f 1 ldots f m vidpovidno e 1 e n e 1 e n S displaystyle e 1 ldots e n e 1 ldots e n S f 1 f m f 1 f m T displaystyle f 1 ldots f m f 1 ldots f m T Pri linijnomu peretvorenni tobto koli vidobrazhennya v toj zhe prostir dlya zmini bazisu vikoristovuyetsya matricya perehodu matrici peretvorennya v riznih bazisah ye podibnimi matricyami Div takozh RedaguvatiTeoriya operatoriv Spektr operatora Skalyarnij dobutok Gilbertiv prostir Evklidiv prostir BazisPrimitki RedaguvatiDzherela RedaguvatiGantmaher F R Teoriya matric 5 e M Fizmatlit 2010 559 s ISBN 5 9221 0524 8 ros Gelfand I M Lekcii po linejnoj algebre 5 e Moskva Nauka 1998 320 s ISBN 5791300158 ros Otrimano z https uk wikipedia org w index php title Linijne vidobrazhennya amp oldid 33531032