Топологічний векторний простір

Означення

Топологічний векторний простір над топологічним полем — векторний простір над , наділений топологією, що узгоджується зі структурою векторного простору, тобто задовольняє наступним аксіомам:

1. відображення є неперервним;
2. відображення є неперервним

В цих означеннях добутки і наділені добутками відповідних топологій).

Цілком аналогічно можна визначити топологічний лівий і правий векторний простори над (не обов'язково комутативним) топологічним тілом. Для позначення топологічного векторного простору з топологією іноді використовується символ .

Топологічні векторні простори і над одним і тим же топологічним полем називаються ізоморфними, якщо існує неперервне лінійне взаємно однозначне відображення на , обернене до якого також є неперервним. Розмірністю топологічного векторного простору називається розмірність векторного простору .

Властивості

• Нехай — топологічний векторний простір над топологічним полем . Топологія є інваріантною щодо зсувів (тобто відображення є гомеоморфізмом на себе для кожного ). Як наслідок топологія однозначно визначається базою околів довільної фіксованої точки (зокрема, нуля).

• Для того щоб простір був гаусдорфовим, необхідно і достатньо, щоб для будь-якої точки існував окіл нуля, що не містить .
• Якщо простір є гаусдорфовим, то він є цілком регулярним.
• В просторі існує єдина рівномірна структура, що є інваріантною щодо зсувів (тобто для неї всі зсуви є рівномірно неперервними відображеннями) і асоційована з нею топологія збігається з вихідною топологією простору. Множина в топологічному векторному просторі називається повною, якщо вона є повною щодо цієї рівномірної структури.

• Топологічний векторний простір є повним, якщо кожен фільтр Коші в є збіжним.

• Для будь-якого топологічного векторного простору існує повний топологічний векторний простір над тим же полем, що містить як усюди щільну підмножину і індукує на вихідні лінійну структуру і топологію. Цей простір називається поповненням простору .

• Будь-який гаусдорфів топологічний векторний простір має гаусдорфове поповнення, що є єдиним з точністю до ізоморфізму, що залишає нерухомими елементи простору .

• Нехай тепер — недискретне нормоване поле, наділене топологією, яка визначається нормою. Якщо — векторний простір над , то множина називається збалансованою (або врівноваженою), якщо для всіх . Якщо і — дві підмножини в , то кажуть, що поглинає , якщо існує таке додатне число , що при . Підмножина простору називається поглинаючою (або радіальною), якщо вона поглинає кожну одноточкову множину. У всякому топологічному векторному просторі над існує база замкнутих околів нуля з наступними властивостями:

1. для будь-якої множини існує таке, що ;
2. кожна підмножина є збалансованою і поглинаючою;
3. якщо , то і для всякого

• З іншого боку, нехай — топологія в векторному просторі над , що є інваріантною щодо зсувів і має базу околів нуля, що задовольняє властивості властивості (1) і (2) вище, а також властивість: За) існує таке , що, якщо , то і . Тоді з топологією є топологічним векторним простором над (в тому випадку, коли норма в полі є архімедовою, (За) є наслідком інших вимог, накладених на ). Всякий базис фільтра у векторному просторі над , що задовольняє властивостями (1), (2), (За) є фундаментальною системою околів нуля (не обов'язково замкнутих) деякої однозначно визначеної топології в , що узгоджується зі структурою векторного простору в . У топологічному векторному просторі над полем дійсних чисел або над полем комплексних чисел його топологія називається локально опуклою, якщо має базу околів нуля, що складається з опуклих множин (іноді в визначення локально опуклого простору включається ще вимога його гаусдорфовості).

Література

• Grothendieck, A. (1973). Topological vector spaces. New York: Gordon and Breach Science Publishers. ISBN 0-677-30020-4. 
• Kothe, G. (1983) [1969]. Topological vector spaces I. Grundlehren der mathematischen Wissenschaften 159. New York: Springer-Verlag. ISBN 978-3-642-64990-5. 
• Kothe, G. (1979). Topological vector spaces II. Grundlehren der mathematischen Wissenschaften 237. New York: Springer-Verlag. ISBN 978-1-4684-9411-2. 
• Schaefer, Helmut H.; Wolff, M. P. (1999) [1966]. Topological vector spaces. GTM 3 (вид. 2nd). New York: Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-98726-2. 
• Lang, Serge (1972). Differential manifolds. Reading, Mass.–London–Don Mills, Ont.: Addison-Wesley Publishing Co., Inc. ISBN 0-201-04166-9. 
• Robertson, A.P.; W.J. Robertson (1964). Topological vector spaces. Cambridge Tracts in Mathematics 53. Cambridge University Press. 
• Rudin, Walter (1991) [1973]. Functional Analysis (вид. 2nd). McGraw–Hill. ISBN 0-07-054236-8. MR 1157815. 
• Treves, F. (1967). Topological Vector Spaces, Distributions, and Kernels. Academic Press. ISBN 0-486-45352-9.