Абсолютним значенням на (тілі) або полі називається відображення тіла K в множину невід'ємних дійсних чисел, що задовольняє умовам:
- ;
- ;
Абсолютне значення часто також називають нормою, мультиплікативним нормуванням. Абсолютні значення можуть більш загально розглядатися на будь-якому кільці зі значеннями в (лінійно впорядкованому кільці). Абсолютні значення, що задовольняють умові
називаються (ультраметричними) або неархімедовими. В іншому випадку вони називаються архімедовими.
Приклади
- Якщо — поле дійсних чисел, то є абсолютною величиною, або модулем, числа .
- Аналогічно, якщо K — поле комплексних чисел або тіло (кватерніонів), то
- Абсолютне значення підполя цих полів також забезпечуються індукованим абсолютним значенням.
- Будь-яке тіло має тривіальне абсолютне значення:
- Для (скінченних полів) і їх (алгебраїчних розширень) визначені тільки такі абсолютні значення.
- Приклади абсолютних значень іншого типу дають (логарифмічні нормування) тіла K: якщо v — нормування K зі значеннями в групі і a — дійсне число, таке що , то є абсолютним значенням. Наприклад, якщо , а і є (р-адичним нормуванням) поля , то називається р-адичним абсолютним значенням, або р-адичною нормою.
Властивості
- Якщо 1 — (одиничний елемент) поля чи тіла, то і також для всіх елементів x.
- . Рівняння щодо невідомої має два розв'язки в множині , і . З визначення абсолютного значення випливає , тому .
- Також , тому . Оскільки абсолютне значення не може бути від'ємним, то .
- Нарешті , відповідно
- Для ультраметричних абсолютних значень для всіх цілих чисел n. Навпаки для будь-якого абсолютного значення , якщо хоча б для якогось натурального числа n > 0, то є ультраметричним абсолютним значенням. Еквівалентно, якщо для всіх цілих чисел n і довільного (спільного для всіх n) додатного дійсного числа M, то абсолютне значення є ультраметричним.
- Для ультраметричних абсолютних значень справедливе твердження:
- Припустимо, без втрати загальності, що .
- З визначення ультраметричного абсолютного значення . Звідси .
- Оскільки , також .
- Натомість, .
- З попередніх двох нерівностей випливає, що
- Всі ультраметричні абсолютні значення отримуються з нормування зазначеним вище способом: (і навпаки, за нормування завжди можна взяти ).
- Якщо (характеристика поля) не є рівною 0, то всі абсолютні значення, визначені на ньому є неархімедовими.
- Якщо абсолютне значення визначене для (комутативного кільця) R, що є (областю цілісності) то абсолютне значення можна однозначно продовжити на його (поле часток) прийнявши
Топологічні властивості і еквівалентність
Абсолютне значення визначає (метрику) на K, якщо за відстань між x і y прийняти , і тим самим визначає топологію на K. Так, топологія будь-якого локально компактного тіла визначається деяким абсолютним значенням.
Абсолютні значення і називаються еквівалентними, якщо вони визначають одну топологію; в цьому випадку існує таке , що для всіх .
(Еквівалентні класи) всіх архімедових абсолютних значень (визначених на тілі із значеннями в множині дійсних чисел) описує (теорема Островського): якщо — архімедове абсолютне значення на тілі K, то існує такий ізоморфізм K на деяке всюди щільне підтіло тіла або , що є еквівалентним абсолютному значенню, індукованому з або .
Будь-яке нетривіальне абсолютне значення поля раціональних чисел є еквівалентним або р-адичному абсолютному значенню (де p — (просте число)), або звичайному модулю числа. Ця теорема також називається (теоремою Островського). При цьому для будь-якого раціонального числа :
Аналогічна формула справедлива і для полів (алгебраїчних чисел).
Продовження абсолютних значень
Якщо — деяке абсолютне значення тіла K, то K може бути вкладене, за допомогою класичного процесу поповнення, в тіло , що є (повним) щодо абсолютного значення, що продовжує .
Одним з методів вивчення полів є вкладення поля K в прямим добуток поповнень поля K за всіма абсолютними значеннями. Поле K є (щільним) в : якщо — нетривіальні нееквівалентні абсолютні значення на полі K, і , то існує таке , що для всіх i (теорема апроксимації для абсолютних значень).
Абсолютне значення поля K може бути продовженим (взагалі кажучи неоднозначно) на будь-яке алгебраїчне розширення поля K. Якщо K є повним щодо абсолютного значення , a L є розширенням K степеня n, то продовження на L визначається однозначно і задається формулою:
- де — (норма елемента) для відповідного скінченного розширення.
Див. також
- (Нормування (алгебра))
Посилання
- Hazewinkel, Michiel, ред. (2001), Norm_on_a_field, (Математична енциклопедія), , ISBN
Джерела
- Cohn, P. M. (1991), Algebraic Numbers and Algebraic Functions, Chapman Hall/CRC Mathematics Series, т. 4, CRC Press, ISBN
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет