www.wikidata.uk-ua.nina.az

Кільце алгебра У Вікіпедії є статті про інші значення цього терміна Кільце Кільце в абстрактній алгебрі це алгебрична ст

Кільце (алгебра)

У Вікіпедії є статті про інші значення цього терміна: Кільце.

Кільце́ — в абстрактній алгебрі це алгебрична структура, в якій визначено дві бінарні операції з властивостями, подібними до додавання і множення цілих чисел. Властивості кілець вивчає теорія кілець.

Означення та нотація

Кільце  — це множина з двома бінарними операціями, що зазвичай позначаються «» та «» і називаються додаванням та множенням, яка задовольняє такій системі аксіом:

Деякі автори не вимагають наявності одиниці, і натомість називають кільця з одиницею унітарними кільцями або кільцями з одиницею.

Розглядаються також кільця, в яких не задовольняється асоціативність множення, наприклад, кільця (або алгебри) Лі. У такому разі, кільця, в яких множення асоціативне, називають асоціативними кільцями.

Надалі в цій статті вважатимемо, що наявність мультиплікативної одиниці та асоціативність множення входять до означення кільця.

Кільця, що задовольняють вимогу комутативності множення називають комутативними кільцями. Не всі кільця є комутативними, наприклад, кільце матриць чи кватерніонів.

Символ зазвичай не пишуть, використовуючи стандартні правила порядку операцій, тому, наприклад, є скороченим записом .

Якщо для двох елементів кільця та виконується рівність то кажуть, що є оберненим елементом до відносно множення. В цьому випадку елемент однозначно визначається елементом і позначається (звичайно, маємо також, що ).

Якщо в кільці немає дільників нуля, відмінних від самого нуля, тобто якщо з витікає, що або , або , то кажуть про кільце без дільників нуля. Якщо до того ж кільце є комутативним, то його називають цілісним.

Приклади

  • Поліноми однієї змінної із цілими коефіцієнтами утворюють комутативне кільце, що позначається Додавання та множення поліномів — почленні, тобто

Комутативне кільце утворюють поліноми однієї змінної з раціональними, дійсними або комплексними коефіцієнтами.

  • Для будь-якого натурального , множина всіх матриць із цілими елементами утворює кільце, яке позначається Це кільце — некомутативне, якщо
  • Кватерніони — некомутативне кільце. На відміну від кільця матриць, будь-який ненульовий кватерніон має обернений.
  • Групова алгебра довільної групи  — це надзвичайно важливе кільце, за допомогою якого вдається звести чимало питань стосовно груп та, напередусім, їх зображень, до відповідних питань про кільця. Кільце  — комутативне тоді, і тільки тоді, коли  — комутативна група.

Властивості кілець

  • Якщо кільце містить більше одного елемента, то ;
  • ;
  • ;
  • якщо і обидва мають обернені елементи. Отже множина всіх оборотних елементів кільця є замкненою відносно множення, і тому утворює групу, що позначається .

Ідеали

Непорожня підмножина кільця називається правим ідеалом, якщо:

  • з випливає ;
  • з випливає для будь-якого . Інакше кажучи, ідеал містить усі праві кратні .

Ліві ідеали визначаються подібно, з заміною правих кратних на ліві кратні .
Нарешті, двосторонній ідеал — це така підмножина, що вона одночасно є лівим та правим ідеалом.
Для комутативних кілець усі три поняття збігаються, тож говорять просто про ідеал.

Приклади ідеалів у комутативних кільцях:

  • нульовий ідеал, що містить лише нуль;
  • одиничний ідеал, що містить усі елементи кільця;
  • ідеал , породжений елементом , що складається з усіх його кратних елементів , де .

 — найменший серед ідеалів, які містять елемент . Його можна також визначити як перетин усіх ідеалів, що містять елемент . Наприклад, ідеал у кільці цілих чисел складається з усіх парних чисел. Так само можна побудувати ідеал , породжений кількома елементами , як сукупність сум вигляду , де , або як перетин усіх ідеалів кільця , які містять елементи . У цьому випадку кажуть, що елементи складають базис цього ідеалу.

Головний ідеал — це ідеал, породжений одним елементом. Нульовий та одиничний ідеали завжди головні, бо вони породжені нульовим та одиничним елементами кільця, відповідно.

Поняття ідеалу узагальнює множину кратних деякого числа в кільці цілих чисел. Перетин двох ідеалів відповідає найменшому спільному кратному двох чисел, сума ідеалів (множина всіляких сум їхніх елементів) — найбільшому спільному дільникові.

Множина простих ідеалів кільця називається спектром кільця й позначається Прості ідеали називаються точками спектру. Наприклад, складається із простих ідеалів (2), (3), (5), (7), (11), … й нульового ідеалу. Або нехай  — локальне кільце точки на незвідній алгебричній кривій. складається з двох точок — максимального й нульового ідеалу.

Розгляньмо гомоморфізм кілець який переводить одиницю одного кільця в одиницю іншого. Для будь-якого простого ідеалу кільця його прообраз це простий ідеал . Зіставлення будь-якому простому ідеалу його прообразу визначає відображення яке називається асоційованим із гомоморфізмом Наприклад, спектр кільця гауссових чисел представляється за допомогою імерсії яка визначає відображення

Нехай та це точки та які відповідають нульовим ідеалам. Таким чином, Інші точки відповідають простим числам.

складається з простих ідеалів кільця які ділять Усі такі ідеали є головними ідеалами (їх 2), якщо та один, якщо


Евклідові кільця та кільця головних ідеалів

Евклідове кільце — це цілісне кільце, в якому для кожного елемента визначено число з такими властивостями:

  • Для будь-яких елементів кільця , справедливо .
  • Якщо елемент , то будь-який елемент можна подати у вигляді

де або , або .
Другий пункт у визначенні евклідового кільця узагальнює ділення з остачею в кільцях цілих чисел та многочленів. Для цілих чисел (абсолютна величина), для многочленів (степінь многочлена). Кільця названі на честь Евкліда, який запропонував алгоритм знаходження найбільшого спільного дільника двох цілих чисел, відомий як алгоритм Евкліда. Цей алгоритм з незначними змінами можна застосувати до будь-яких евклідових кілець, що дозволяє довести таку теорему:

Теорема. В евклідовому кільці кожен ідеал є головним.

Цілісне кільце, в якому кожен ідеал є головним, називається кільцем головних ідеалів. Таким чином, кожне евклідове кільце є кільцем головних ідеалів.

Конструювання нових кілець з даних

  • Якщо підмножина кільця разом з операціями «» та «», обмеженими , сама є кільцем, і нейтральний елемент міститься в , тоді називають підкільцем кільця .
  • Центром кільця називають множину елементів , що комутують з кожним елементом з ; таким чином, міститься в центрі кільця, якщо для кожного . Центр є підкільцем кільця . Кажемо, що підкільце кільця є центральним, якщо воно є підкільцем центра кільця .
  • Прямою сумою двох кілець і називаємо декартів добуток разом із операціями
  • Якщо дано кільце та ідеал кільця , кільце відношень (або фактор-кільце) є множиною суміжних класів разом з операціями
  • Оскільки будь-яке кільце є одночасно лівим та правим модулем над собою, можна сконструювати тензорний добуток над кільцем із іншим кільцем і отримати інше кільце, якщо є центральним підкільцем та .
  • До будь-якого кільця , можна приєднати змінну і отримати  — кільце многочленів над . Послідовно приєднуючі знінні, можна отримати  — кільце многочленів від змінних над кільцем .

Див. також

Джерела

Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри
Дата публікації:
U Vikipediyi ye statti pro inshi znachennya cogo termina Kilce Kilce v abstraktnij algebri ce algebrichna struktura v yakij viznacheno dvi binarni operaciyi z vlastivostyami podibnimi do dodavannya i mnozhennya cilih chisel Vlastivosti kilec vivchaye teoriya kilec Zmist 1 Oznachennya ta notaciya 2 Prikladi 3 Vlastivosti kilec 4 Ideali 5 Evklidovi kilcya ta kilcya golovnih idealiv 6 Konstruyuvannya novih kilec z danih 7 Div takozh 8 DzherelaOznachennya ta notaciya RedaguvatiKilce R displaystyle R ce mnozhina z dvoma binarnimi operaciyami sho zazvichaj poznachayutsya displaystyle ta displaystyle cdot i nazivayutsya dodavannyam ta mnozhennyam yaka zadovolnyaye takij sistemi aksiom R displaystyle R ye komutativnoyu grupoyu Yiyi nazivayut aditivnoyu grupoyu kilcya i nejtralnij element u nij poznachayut yak 0 displaystyle 0 nul a b c a b a c a b c a c b c displaystyle a cdot b c a cdot b a cdot c quad a b cdot c a cdot c b cdot c distributivnist dodavannya vidnosno mnozhennya a b c a b c displaystyle a cdot b cdot c a cdot b cdot c asociativnist mnozhennya v R displaystyle R cdot isnuye nejtralnij element 1 displaystyle 1 odinicya sho zadovolnyaye a 1 1 a a displaystyle a cdot 1 1 cdot a a Deyaki avtori ne vimagayut nayavnosti odinici i natomist nazivayut kilcya z odiniceyu unitarnimi kilcyami abo kilcyami z odiniceyu Rozglyadayutsya takozh kilcya v yakih ne zadovolnyayetsya asociativnist mnozhennya napriklad kilcya abo algebri Li U takomu razi kilcya v yakih mnozhennya asociativne nazivayut asociativnimi kilcyami Nadali v cij statti vvazhatimemo sho nayavnist multiplikativnoyi odinici ta asociativnist mnozhennya vhodyat do oznachennya kilcya Kilcya sho zadovolnyayut vimogu komutativnosti mnozhennya a b b a displaystyle a cdot b b cdot a nazivayut komutativnimi kilcyami Ne vsi kilcya ye komutativnimi napriklad kilce matric chi kvaternioniv Simvol displaystyle cdot zazvichaj ne pishut vikoristovuyuchi standartni pravila poryadku operacij tomu napriklad a b c displaystyle a bc ye skorochenim zapisom a b c displaystyle a b cdot c Yaksho dlya dvoh elementiv kilcya a displaystyle a ta b displaystyle b vikonuyetsya rivnist a b b a 1 displaystyle ab ba 1 to kazhut sho b displaystyle b ye obernenim elementom do a displaystyle a vidnosno mnozhennya V comu vipadku element b displaystyle b odnoznachno viznachayetsya elementom a displaystyle a i poznachayetsya b a 1 displaystyle b a 1 zvichajno mayemo takozh sho a b 1 displaystyle a b 1 Yaksho v kilci nemaye dilnikiv nulya vidminnih vid samogo nulya tobto yaksho z a b 0 displaystyle ab 0 vitikaye sho abo a 0 displaystyle a 0 abo b 0 displaystyle b 0 to kazhut pro kilce bez dilnikiv nulya Yaksho do togo zh kilce ye komutativnim to jogo nazivayut cilisnim Prikladi RedaguvatiCili chisla Z displaystyle mathbb Z iz zvichajnimi dodavannyam i mnozhennyam utvoryuyut komutativne kilce Yaksho n displaystyle n bud yake naturalne chislo to mnozhina Z n Z displaystyle mathbb Z n mathbb Z zalishkiv mod n displaystyle operatorname mod n utvoryuye komutativne kilce zalishkiv z n displaystyle n elementiv Yaksho n p displaystyle n p proste chislo to Z p Z displaystyle mathbb Z p mathbb Z ye polem Racionalni dijsni ta kompleksni chisla ye polyami tobto komutativnimi kilcyami v yakih dlya kozhnogo nenulovogo elementa isnuye obernenij element Polinomi odniyeyi zminnoyi x displaystyle x iz cilimi koeficiyentami utvoryuyut komutativne kilce sho poznachayetsya Z x displaystyle mathbb Z x Dodavannya ta mnozhennya polinomiv pochlenni tobto a n x n a n 1 x n 1 a 0 b n x n b n 1 x n 1 b 0 a n b n x n a n 1 b n 1 x n 1 a 0 b 0 displaystyle a n x n a n 1 x n 1 ldots a 0 b n x n b n 1 x n 1 ldots b 0 a n b n x n a n 1 b n 1 x n 1 ldots a 0 b 0 a n x n a n 1 x n 1 a 0 b m x m b m 1 x m 1 b 0 a n b m x n m a n b m 1 a n 1 b m x n m 1 a 0 b 0 displaystyle a n x n a n 1 x n 1 ldots a 0 cdot b m x m b m 1 x m 1 ldots b 0 a n b m x n m a n b m 1 a n 1 b m x n m 1 ldots a 0 b 0 Komutativne kilce utvoryuyut polinomi odniyeyi zminnoyi z racionalnimi dijsnimi abo kompleksnimi koeficiyentami Dlya bud yakogo naturalnogo N displaystyle N mnozhina vsih N N displaystyle N times N matric iz cilimi elementami utvoryuye kilce yake poznachayetsya M N Z displaystyle M N mathbb Z Ce kilce nekomutativne yaksho N 2 displaystyle N geqslant 2 Kvaternioni nekomutativne kilce Na vidminu vid kilcya matric bud yakij nenulovij kvaternion maye obernenij Grupova algebra Z G displaystyle mathbb Z G dovilnoyi grupi G displaystyle G ce nadzvichajno vazhlive kilce za dopomogoyu yakogo vdayetsya zvesti chimalo pitan stosovno grup ta naperedusim yih zobrazhen do vidpovidnih pitan pro kilcya Kilce Z G displaystyle mathbb Z G komutativne todi i tilki todi koli G displaystyle G komutativna grupa Vlastivosti kilec RedaguvatiYaksho kilce mistit bilshe odnogo elementa to 0 1 displaystyle 0 neq 1 0 a a 0 0 displaystyle 0 cdot a a cdot 0 0 1 a a displaystyle 1 cdot a a a b 1 b 1 a 1 displaystyle ab 1 b 1 a 1 yaksho a displaystyle a i b displaystyle b obidva mayut oberneni elementi Otzhe mnozhina vsih oborotnih elementiv kilcya ye zamknenoyu vidnosno mnozhennya i tomu utvoryuye grupu sho poznachayetsya R displaystyle R times Napriklad Z 1 1 Z 2 Z displaystyle mathbb Z times 1 1 simeq mathbb Z 2 mathbb Z ciklichna grupa poryadku 2 displaystyle 2 Ideali RedaguvatiNeporozhnya pidmnozhina I displaystyle I kilcya R displaystyle R nazivayetsya pravim idealom yaksho z a b I displaystyle a b in I viplivaye a b I displaystyle a b in I z a I displaystyle a in I viplivaye a r I displaystyle ar in I dlya bud yakogo r R displaystyle r in R Inakshe kazhuchi ideal mistit usi pravi kratni a r displaystyle ar Livi ideali viznachayutsya podibno z zaminoyu pravih kratnih na livi kratni r a displaystyle ra Nareshti dvostoronnij ideal ce taka pidmnozhina sho vona odnochasno ye livim ta pravim idealom Dlya komutativnih kilec usi tri ponyattya zbigayutsya tozh govoryat prosto pro ideal Prikladi idealiv u komutativnih kilcyah nulovij ideal sho mistit lishe nul odinichnij ideal sho mistit usi elementi kilcya ideal a displaystyle a porodzhenij elementom a displaystyle a sho skladayetsya z usih jogo kratnih elementiv r a displaystyle ra de r R displaystyle r in R a displaystyle a najmenshij sered idealiv yaki mistyat element a displaystyle a Jogo mozhna takozh viznachiti yak peretin usih idealiv sho mistyat element a displaystyle a Napriklad ideal 2 displaystyle 2 u kilci cilih chisel skladayetsya z usih parnih chisel Tak samo mozhna pobuduvati ideal a 1 a 2 a n displaystyle a 1 a 2 ldots a n porodzhenij kilkoma elementami a 1 a 2 a n displaystyle a 1 a 2 ldots a n yak sukupnist sum viglyadu r i a i displaystyle sum r i a i de r i R displaystyle r i in R abo yak peretin usih idealiv kilcya R displaystyle R yaki mistyat elementi a 1 a 2 a n displaystyle a 1 a 2 ldots a n U comu vipadku kazhut sho elementi a 1 a 2 a n displaystyle a 1 a 2 ldots a n skladayut bazis cogo idealu Golovnij ideal ce ideal porodzhenij odnim elementom Nulovij ta odinichnij ideali zavzhdi golovni bo voni porodzheni nulovim ta odinichnim elementami kilcya vidpovidno Ponyattya idealu uzagalnyuye mnozhinu kratnih deyakogo chisla v kilci cilih chisel Peretin dvoh idealiv vidpovidaye najmenshomu spilnomu kratnomu dvoh chisel suma idealiv mnozhina vsilyakih sum yihnih elementiv najbilshomu spilnomu dilnikovi Mnozhina prostih idealiv kilcya A displaystyle A nazivayetsya spektrom kilcya j poznachayetsya S p e c A displaystyle mathrm Spec A Prosti ideali nazivayutsya tochkami spektru Napriklad S p e c Z displaystyle mathrm Spec mathbb Z skladayetsya iz prostih idealiv 2 3 5 7 11 j nulovogo idealu Abo nehaj O x displaystyle mathcal O x lokalne kilce tochki x displaystyle x na nezvidnij algebrichnij krivij S p e c O x displaystyle mathrm Spec mathcal O x skladayetsya z dvoh tochok maksimalnogo j nulovogo idealu Rozglyanmo gomomorfizm kilec f A B displaystyle varphi A rightarrow B yakij perevodit odinicyu odnogo kilcya v odinicyu inshogo Dlya bud yakogo prostogo idealu kilcya B displaystyle B jogo proobraz ce prostij ideal A displaystyle A Zistavlennya bud yakomu prostomu idealu jogo proobrazu viznachaye vidobrazhennya a f S p e c B S p e c A displaystyle a varphi mathrm Spec B rightarrow mathrm Spec A yake nazivayetsya asocijovanim iz gomomorfizmom f displaystyle varphi Napriklad spektr kilcya gaussovih chisel Z i i 2 1 displaystyle mathbb Z i i 2 1 predstavlyayetsya za dopomogoyu imersiyi f Z Z i displaystyle varphi mathbb Z rightarrow mathbb Z i yaka viznachaye vidobrazhennya a f S p e c Z i S p e c Z displaystyle a varphi mathrm Spec mathbb Z i rightarrow mathrm Spec mathbb Z Nehaj w displaystyle omega ta w displaystyle omega ce tochki S p e c Z displaystyle mathrm Spec mathbb Z ta S p e c Z i displaystyle mathrm Spec mathbb Z i yaki vidpovidayut nulovim idealam Takim chinom f 1 w w displaystyle varphi 1 omega omega Inshi tochki vidpovidayut prostim chislam f 1 p displaystyle varphi 1 p skladayetsya z prostih idealiv kilcya Z i displaystyle mathbb Z i yaki dilyat p displaystyle p Usi taki ideali ye golovnimi idealami yih 2 yaksho p 1 mod 4 displaystyle p 1 mod 4 ta odin yaksho p 2 p 3 mod 4 displaystyle p 2 lor p 3 mod 4 Evklidovi kilcya ta kilcya golovnih idealiv RedaguvatiDokladnishe Evklidove kilceEvklidove kilce ce cilisne kilce v yakomu dlya kozhnogo elementa a 0 displaystyle a neq 0 viznacheno chislo g a 0 displaystyle g a geq 0 z takimi vlastivostyami Dlya bud yakih elementiv kilcya a b 0 displaystyle ab neq 0 b 0 displaystyle b neq 0 spravedlivo g a b g a displaystyle g ab geq g a Yaksho element a 0 displaystyle a neq 0 to bud yakij element b displaystyle b mozhna podati u viglyadib a q r displaystyle b aq r de abo r 0 displaystyle r 0 abo g r lt g a displaystyle g r lt g a Drugij punkt u viznachenni evklidovogo kilcya uzagalnyuye dilennya z ostacheyu v kilcyah cilih chisel ta mnogochleniv Dlya cilih chisel g a a displaystyle g a a absolyutna velichina dlya mnogochleniv g a deg a displaystyle g a deg a stepin mnogochlena Kilcya nazvani na chest Evklida yakij zaproponuvav algoritm znahodzhennya najbilshogo spilnogo dilnika dvoh cilih chisel vidomij yak algoritm Evklida Cej algoritm z neznachnimi zminami mozhna zastosuvati do bud yakih evklidovih kilec sho dozvolyaye dovesti taku teoremu Teorema V evklidovomu kilci kozhen ideal ye golovnim Cilisne kilce v yakomu kozhen ideal ye golovnim nazivayetsya kilcem golovnih idealiv Takim chinom kozhne evklidove kilce ye kilcem golovnih idealiv Konstruyuvannya novih kilec z danih RedaguvatiYaksho pidmnozhina S displaystyle S kilcya R displaystyle R cdot razom z operaciyami displaystyle ta displaystyle cdot obmezhenimi S displaystyle S sama ye kilcem i nejtralnij element 1 R displaystyle 1 in R mistitsya v S displaystyle S todi S displaystyle S nazivayut pidkilcem kilcya R displaystyle R cdot Centrom kilcya R displaystyle R nazivayut mnozhinu elementiv R displaystyle R sho komutuyut z kozhnim elementom z R displaystyle R takim chinom c displaystyle c mistitsya v centri kilcya yaksho c r r c displaystyle cr rc dlya kozhnogo r R displaystyle r in R Centr ye pidkilcem kilcya R displaystyle R Kazhemo sho pidkilce S displaystyle S kilcya R displaystyle R ye centralnim yaksho vono ye pidkilcem centra kilcya R displaystyle R Pryamoyu sumoyu dvoh kilec R displaystyle R i S displaystyle S nazivayemo dekartiv dobutok R S displaystyle R times S razom iz operaciyami r 1 s 1 r 2 s 2 r 1 r 2 s 1 s 2 displaystyle r 1 s 1 r 2 s 2 r 1 r 2 s 1 s 2 ta r 1 s 1 r 2 s 2 r 1 r 2 s 1 s 2 displaystyle r 1 s 1 cdot r 2 s 2 r 1 cdot r 2 s 1 cdot s 2 Yaksho dano kilce R displaystyle R ta ideal I displaystyle I kilcya R displaystyle R kilce vidnoshen abo faktor kilce R I displaystyle R I ye mnozhinoyu sumizhnih klasiv I displaystyle I razom z operaciyami a I b I a b I displaystyle a I b I a b I ta a I b I a b I displaystyle a I cdot b I a cdot b I Oskilki bud yake kilce ye odnochasno livim ta pravim modulem nad soboyu mozhna skonstruyuvati tenzornij dobutok R displaystyle R nad kilcem S displaystyle S iz inshim kilcem T displaystyle T i otrimati inshe kilce yaksho S displaystyle S ye centralnim pidkilcem R displaystyle R ta T displaystyle T Do bud yakogo kilcya R displaystyle R mozhna priyednati zminnu x displaystyle x i otrimati R x displaystyle R x kilce mnogochleniv nad R displaystyle R Poslidovno priyednuyuchi zninni mozhna otrimati R x 1 x 2 x n displaystyle R x 1 x 2 ldots x n kilce mnogochleniv vid n displaystyle n zminnih nad kilcem R displaystyle R Div takozh Redaguvati Portal Matematika Napivkilce Pole algebra Banahova algebra Grupove kilceDzherela RedaguvatiBurbaki N Algebra ch 3 Moduli kolca formy M Nauka 1966 S 555 Elementi matematiki ros Vinberg E B Kurs algebri 4 e izd Moskva MCNMO 2011 592 s ISBN 978 5 94057 685 3 ros Bondarenko Ye V 2012 Teoriya kilec navchalnij posibnik Kiyiv RVC Kiyivskij universitet s 64 ukr Otrimano z https uk wikipedia org w index php title Kilce algebra amp oldid 36141524