www.wikidata.uk-ua.nina.az

Абстрактна алгебра Абстра ктна або ви ща а лгебра галузь математики зосереджена на вивченні властивостей аксіоматично вп

Абстрактна алгебра

Абстра́ктна або ви́ща а́лгебра — галузь математики, зосереджена на вивченні властивостей аксіоматично впроваджених алгебраїчних структур. В сучасній науковій літературі називається просто алгебра. Ознака «абстрактна» підкреслює, що об'єктами вивчання є абстрактні структури, такі як групи, кільця, поля і модулі, на відміну від алгебраїчних виразів, що вивчаються в елементарній «шкільній» алгебрі.

Абстрактна алгебра сформувалася протягом другої половини XIX і першої чверті XX століття і була вперше систематично викладена в монографії «Moderne Algebra» Ван дер Вардена (1930 рік). Алгебраїчна точка зору спричинила надзвичайно великий вплив на розвиток багатьох галузей математики в XX столітті, зокрема теорії чисел, топології, алгебраїчної геометрії і функціонального аналізу.

Короткий історичний нарис

Приблизно до другої половини XIX століття в алгебраїчних дослідженнях більше уваги надавалося конкретним об'єктам, що вивчалися методами, спеціально пристосованими до ситуації, ніж загальним концепціям. Наведемо такі приклади:

Але згодом на перший план вийшли власне структури групи, кільця і т. ін. Це дозволяє розглядати, наприклад, будь-яку групу підстановок як абстрактну групу, тобто як множину з операціями, що задовільняє певній системі аксіом, і доводити загальні теореми про групи, які, зокрема, стосуються конкретної групи (Н. Абель, Е. Галуа). Саме впровадження загальної аксіоматичної точки зору на алгебраїчні об'єкти варто вважати початком абстрактної алгебри як незалежної дисципліни. Згодом були дани аксіоматичні означення поля, кільця, векторного простору, алгебри Лі тощо і було розпочато дослідження всіх цих структур.

Величезний внесок до розвитку абстрактної алгебри у 1890—1930 роках зробили Д. Гільберт, Е. Артін та Е. Нетер, що застосували аксіоматичний метод для вивчення комутативних кілець і модулів над ними і отримали низку потужних результатів. Ці дослідження з абстрактної алгебри, разом із деякими попередніми дослідженнями Л. Кронекера, Р. Дедекінда було вперше систематично піднесено у надзвичайно впливовій монографії «Сучасна алгебра» («Moderne Algebra») Ван дер Вардена, перше видання якої з'явилося в 1930—1931 роках.

Починаючи з робот Д.Гільберта з теорії інтегральних операторів на початку XX століття і Дж. фон Неймана з кілець операторів у 1930 році, методи абстрактної алгебри знайшли плідне застосування в аналізі, а згодом і в інших галузях математики. Потреби нової фізики, насамперед, квантової теорії, спричинили як розповсюдження деяких алгебраїчних ідей поза межами алгебри, наприклад групи, операторів з некомутативним множенням, тобто некомутативного кільця, так і подальший розвиток самої алгебри.

В середині XX століття, походячи з ідей алгебричної топології, алгебраїчні структури почали розглядати з позицій теорії категорій (С. Ейленберг—С. Маклейн). Це надало змогу вивчати не тільки структури одного типу, що утворюють категорію, але і певні відображення між категоріями, так звані функтори, і, найбільш абстрактно, природні перетворення між функторами. Неперевершеним майстром категорної алгебри був А. Гротендік, який застосував її для створення підвалин сучасної алгебричної геометрії і теорії топосів.

Чимало досліджень в алгебрі за останні 40-50 років належать до кількох добре влаштованих основних галузей, таких як теорія груп, комутативна алгебра або теорія кілець. З новіших підрозділів абстрактної алгебри відзначимо алгебричну комбінаторику, що на цей час перетворилась на самостійну дисципліну, наближені до топології теорію операд, гомотопічну алгебру і, нарешті, теорію квантових груп, впроваджених В. Г. Дрінфельдом, порівняно новий розділ алгебри, що зазнав бурхливого розвитку протягом останніх двох десятиліть.

Основні структури сучасної алгебри

Чимало алгебраїчних структур виникають як підкласи перелічених вище, що задовільняють додатковим аксіомам, наприклад, булеві алгебри, комутативні групи або кільця. Інші, такі як частково впорядковані множини, ґратки, пуасонові алгебри та алгебри Хопфа мають ще й додаткові операції. Є також чимало структур, що не знайшли широкого застосування поза межами алгебри, наприклад лупи.

Підрозділи абстрактної алгебри

Теорія груп займається вивченням властивостей абстрактних груп та їх зображень.

Теорія кілець розглядає довільні (некомутативні) кільця і асоціативні алгебри.

Лінійна алгебра розглядає лінійні простори і лінійні оператори між ними.

Комутативна алгебра вивчає властивості комутативних кілець та модулів над ними. Вона має щільні зв'язки з алгебраїчною геометрією і алгебраїчною теорією чисел. До комутативної алгебри можна віднести теорію полів і теорію Галуа.

Диференціальна алгебра вивчає алгебраїчні властивості систем диференційних рівнянь.

Гомологічна алгебра вивчає категорії модулів за допомогою комплексів, або диференційних градуйованих модулів.

Універсальна алгебра, що близька до математичної логіки, розглядає довільні алгебраїчні структури, задані системою аксіом.

Теорія категорій надає можливість вивчати різноманітні алгебраїчні концепції та взаємодію між ними в найбільш абстрактному сенсі.

Теорія груп широко застосується як в математиці, наприклад, в геометрії, топології, гармонічному аналізі і теорії диференційних рівнянь, так і поза її межами, в таких галузях як кристалографія, квантова фізика і квантова хімія. Лінійна алгебра відіграє неабияку роль майже в усіх галузях математики, а також в математичній економіці. З інших розділів абстрактної алгебри, гомологічна алгебра і теорія категорій мають плідні зв'язки з алгебраїчною топологією.

Література

  • Костарчук В. М., Хацет Б. І. Курс вищої алгебри. — 3-є вид. перероблене і доповнене. -К.: Вища школа, 1969. — 536с.
  • Завало С. Т. (1985). Курс алгебри. Київ: Вища школа. с. 503.  (укр.)
  • Завало, С. Т.; Левіщенко, С. С.; Пилаєв, В. В.; Рокицький, І. О. (1983). Алгебра і теорія чисел. Практикум: у 2-х частинах. Київ: Вища Школа.  (укр.)
  • Charles C. Pinter. A Book of Abstract Algebra. — Second Edition (Dover Books on Mathematics). — Dover Publications, 2010. — 400 с. — ISBN 978-0486474175. (англ.)
  • I. N. Herstein. Topics in Algebra. — 2. — John Wiley & Sons, 1975. — 388 с. — ISBN 978-0471010906. (англ.)
  • Joseph J. Rotman. A First Course in Abstract Algebra. — 3. — Pearson, 2005. — 640 с. — ISBN 978-0131862678. (англ.)
  • Joseph J. Rotman. Advanced Modern Algebra. — 3 (Graduate Studies in Mathematics). — AMS, 2015. — 709 с. — ISBN 978-1470415549. (англ.)
  • Thomas W. Hungerford. Algebra. — 8th Edition (Graduate Studies in Mathematics). — Springer, 2003. — Т. 73. — 504 с. — ISBN 978-0387905181. (англ.)
  • David S. Dummit, Richard M. Foote. Abstract Algebra. — 3 (Graduate Studies in Mathematics). — Wiley, 2003. — 944 с. — ISBN 978-0471433347. (англ.)
  • Винберг Э. Б. Курс алгебри. — 4-е изд. — Москва : МЦНМО, 2011. — 592 с. — ISBN 978-5-94057-685-3.(рос.)

Посилання

Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри
Дата публікації:
Abstra ktna abo vi sha a lgebra galuz matematiki zoseredzhena na vivchenni vlastivostej aksiomatichno vprovadzhenih algebrayichnih struktur V suchasnij naukovij literaturi nazivayetsya prosto algebra Oznaka abstraktna pidkreslyuye sho ob yektami vivchannya ye abstraktni strukturi taki yak grupi kilcya polya i moduli na vidminu vid algebrayichnih viraziv sho vivchayutsya v elementarnij shkilnij algebri Abstraktna algebra sformuvalasya protyagom drugoyi polovini XIX i pershoyi chverti XX stolittya i bula vpershe sistematichno vikladena v monografiyi Moderne Algebra Van der Vardena 1930 rik Algebrayichna tochka zoru sprichinila nadzvichajno velikij vpliv na rozvitok bagatoh galuzej matematiki v XX stolitti zokrema teoriyi chisel topologiyi algebrayichnoyi geometriyi i funkcionalnogo analizu Zmist 1 Korotkij istorichnij naris 2 Osnovni strukturi suchasnoyi algebri 3 Pidrozdili abstraktnoyi algebri 4 Literatura 5 PosilannyaKorotkij istorichnij naris RedaguvatiPriblizno do drugoyi polovini XIX stolittya v algebrayichnih doslidzhennyah bilshe uvagi nadavalosya konkretnim ob yektam sho vivchalisya metodami specialno pristosovanimi do situaciyi nizh zagalnim koncepciyam Navedemo taki prikladi kilce Z N Z displaystyle mathbb Z N mathbb Z zalishkiv cilih chisel Nemozhlivo rozibrati viraz SVG MathML mozhna vvimknuti cherez plagin brauzera Nedijsna vidpovid Math extension cannot connect to Restbase vid servera http localhost 6011 uk wikipedia org v1 displaystyle mod N L Ejler grupa S 4 displaystyle S 4 vsih perestanovok koreniv rivnyannya chetvertogo stepenya Zh Lagranzh kilcya Z x displaystyle mathbb Z x polinomiv odniyeyi zminnoyi z cilimi koyeficiyentami i Z i displaystyle mathbb Z i gausovih cilih chisel K Gauss Ale zgodom na pershij plan vijshli vlasne strukturi grupi kilcya i t in Ce dozvolyaye rozglyadati napriklad bud yaku grupu pidstanovok G lt S n displaystyle G lt S n yak abstraktnu grupu tobto yak mnozhinu z operaciyami sho zadovilnyaye pevnij sistemi aksiom i dovoditi zagalni teoremi pro grupi yaki zokrema stosuyutsya konkretnoyi grupi G displaystyle G N Abel E Galua Same vprovadzhennya zagalnoyi aksiomatichnoyi tochki zoru na algebrayichni ob yekti varto vvazhati pochatkom abstraktnoyi algebri yak nezalezhnoyi disciplini Zgodom buli dani aksiomatichni oznachennya polya kilcya vektornogo prostoru algebri Li tosho i bulo rozpochato doslidzhennya vsih cih struktur Velicheznij vnesok do rozvitku abstraktnoyi algebri u 1890 1930 rokah zrobili D Gilbert E Artin ta E Neter sho zastosuvali aksiomatichnij metod dlya vivchennya komutativnih kilec i moduliv nad nimi i otrimali nizku potuzhnih rezultativ Ci doslidzhennya z abstraktnoyi algebri razom iz deyakimi poperednimi doslidzhennyami L Kronekera R Dedekinda bulo vpershe sistematichno pidneseno u nadzvichajno vplivovij monografiyi Suchasna algebra Moderne Algebra Van der Vardena pershe vidannya yakoyi z yavilosya v 1930 1931 rokah Pochinayuchi z robot D Gilberta z teoriyi integralnih operatoriv na pochatku XX stolittya i Dzh fon Nejmana z kilec operatoriv u 1930 roci metodi abstraktnoyi algebri znajshli plidne zastosuvannya v analizi a zgodom i v inshih galuzyah matematiki Potrebi novoyi fiziki nasampered kvantovoyi teoriyi sprichinili yak rozpovsyudzhennya deyakih algebrayichnih idej poza mezhami algebri napriklad grupi operatoriv z nekomutativnim mnozhennyam tobto nekomutativnogo kilcya tak i podalshij rozvitok samoyi algebri V seredini XX stolittya pohodyachi z idej algebrichnoyi topologiyi algebrayichni strukturi pochali rozglyadati z pozicij teoriyi kategorij S Ejlenberg S Maklejn Ce nadalo zmogu vivchati ne tilki strukturi odnogo tipu sho utvoryuyut kategoriyu ale i pevni vidobrazhennya mizh kategoriyami tak zvani funktori i najbilsh abstraktno prirodni peretvorennya mizh funktorami Neperevershenim majstrom kategornoyi algebri buv A Grotendik yakij zastosuvav yiyi dlya stvorennya pidvalin suchasnoyi algebrichnoyi geometriyi i teoriyi toposiv Chimalo doslidzhen v algebri za ostanni 40 50 rokiv nalezhat do kilkoh dobre vlashtovanih osnovnih galuzej takih yak teoriya grup komutativna algebra abo teoriya kilec Z novishih pidrozdiliv abstraktnoyi algebri vidznachimo algebrichnu kombinatoriku sho na cej chas peretvorilas na samostijnu disciplinu nablizheni do topologiyi teoriyu operad gomotopichnu algebru i nareshti teoriyu kvantovih grup vprovadzhenih V G Drinfeldom porivnyano novij rozdil algebri sho zaznav burhlivogo rozvitku protyagom ostannih dvoh desyatilit Osnovni strukturi suchasnoyi algebri RedaguvatiMnozhina Grupa Kilce Modul nad kilcem Pole Vektornij prostir Algebra nad kilcem Algebra kilce LiChimalo algebrayichnih struktur vinikayut yak pidklasi perelichenih vishe sho zadovilnyayut dodatkovim aksiomam napriklad bulevi algebri komutativni grupi abo kilcya Inshi taki yak chastkovo vporyadkovani mnozhini gratki puasonovi algebri ta algebri Hopfa mayut she j dodatkovi operaciyi Ye takozh chimalo struktur sho ne znajshli shirokogo zastosuvannya poza mezhami algebri napriklad lupi Pidrozdili abstraktnoyi algebri RedaguvatiTeoriya grup zajmayetsya vivchennyam vlastivostej abstraktnih grup ta yih zobrazhen Teoriya kilec rozglyadaye dovilni nekomutativni kilcya i asociativni algebri Linijna algebra rozglyadaye linijni prostori i linijni operatori mizh nimi Komutativna algebra vivchaye vlastivosti komutativnih kilec ta moduliv nad nimi Vona maye shilni zv yazki z algebrayichnoyu geometriyeyu i algebrayichnoyu teoriyeyu chisel Do komutativnoyi algebri mozhna vidnesti teoriyu poliv i teoriyu Galua Diferencialna algebra vivchaye algebrayichni vlastivosti sistem diferencijnih rivnyan Gomologichna algebra vivchaye kategoriyi moduliv za dopomogoyu kompleksiv abo diferencijnih gradujovanih moduliv Universalna algebra sho blizka do matematichnoyi logiki rozglyadaye dovilni algebrayichni strukturi zadani sistemoyu aksiom Teoriya kategorij nadaye mozhlivist vivchati riznomanitni algebrayichni koncepciyi ta vzayemodiyu mizh nimi v najbilsh abstraktnomu sensi Teoriya grup shiroko zastosuyetsya yak v matematici napriklad v geometriyi topologiyi garmonichnomu analizi i teoriyi diferencijnih rivnyan tak i poza yiyi mezhami v takih galuzyah yak kristalografiya kvantova fizika i kvantova himiya Linijna algebra vidigraye neabiyaku rol majzhe v usih galuzyah matematiki a takozh v matematichnij ekonomici Z inshih rozdiliv abstraktnoyi algebri gomologichna algebra i teoriya kategorij mayut plidni zv yazki z algebrayichnoyu topologiyeyu Literatura RedaguvatiUkrayinskoyuKostarchuk V M Hacet B I Kurs vishoyi algebri 3 ye vid pereroblene i dopovnene K Visha shkola 1969 536s Zavalo S T 1985 Kurs algebri Kiyiv Visha shkola s 503 ukr Zavalo S T Levishenko S S Pilayev V V Rokickij I O 1983 Algebra i teoriya chisel Praktikum u 2 h chastinah Kiyiv Visha Shkola ukr Inshimi movamiCharles C Pinter A Book of Abstract Algebra Second Edition Dover Books on Mathematics Dover Publications 2010 400 s ISBN 978 0486474175 angl I N Herstein Topics in Algebra 2 John Wiley amp Sons 1975 388 s ISBN 978 0471010906 angl Joseph J Rotman A First Course in Abstract Algebra 3 Pearson 2005 640 s ISBN 978 0131862678 angl Joseph J Rotman Advanced Modern Algebra 3 Graduate Studies in Mathematics AMS 2015 709 s ISBN 978 1470415549 angl Thomas W Hungerford Algebra 8th Edition Graduate Studies in Mathematics Springer 2003 T 73 504 s ISBN 978 0387905181 angl David S Dummit Richard M Foote Abstract Algebra 3 Graduate Studies in Mathematics Wiley 2003 944 s ISBN 978 0471433347 angl Vinberg E B Kurs algebri 4 e izd Moskva MCNMO 2011 592 s ISBN 978 5 94057 685 3 ros Van der Varden B L Algebra Moskva Nauka 1975 623 s ISBN 5 8114 0552 9 ros Leng S Algebra Moskva Mir 1968 564 s ISBN 5458320840 ros Posilannya RedaguvatiAbstract Algebra Online Arhivovano 28 grudnya 2020 u Wayback Machine Kurs lekcij Abstract Algebra na YouTube Garvardskij universitet angl Mathematics Museum Abstract Algebra Otrimano z https uk wikipedia org w index php title Abstraktna algebra amp oldid 37872591