Алгебра Хопфа — асоціативна алгебра з одиницею, що є також коасоціативною коалгеброю з коодиницею і, таким чином, біалгеброю з антигомоморфізмом спеціального виду. Названа на честь Хайнца Хопфа.
Алгебри Хопфа зустрічаються в алгебраїчній топології, де вони виникли у зв'язку з концепцією H-простору, в теорії групових схем, в теорії груп (завдяки концепції групового кільця), і в багатьох інших розділах математики, що робить їх одним з найвідоміших прикладів біалгебр. Алгебри Хопфа також вивчаються як самостійний предмет, у зв'язку з великою кількістю певних класів алгебр Хопфа і проблем їх класифікації.
Означення Редагувати
Алгебра Хопфа — асоціативна і коасоціативна біалгебра H над полем разом з -лінійним відображенням (що називається антиподом) таким, що наступна діаграма є комутативною:
Тут Δ — кодобуток біалгебри, ∇ — добуток алгебри, η — одиниця алгебри і ε — коодиниця.
У позначеннях Свідлера, ця властивість записується як:
Наведене означення можна узагальнити для алгебр над кільцями (досить у означенні замінити поле на комутативне кільце ).
Означення алгебри Хопфа є двоїстим самому собі (це відображено в симетрії наведеної діаграми), зокрема, якщо можна задати двоїсту алгебру до H (це завжди можливо якщо H є скінченновимірним простором) то вона автоматично є алгеброю Хопфа.
Структурні константи Редагувати
Зафіксувавши базис алгебри як векторного простору, алгебру Хопфа можна описати за допомогою структурних констант
для множення:
для кодобутку:
для антипода:
Асоціативність алгебри тоді вимагає рівності
для коасоціативності має виконуватися рівність
Також для структурних констав має бути
Властивості антипода Редагувати
В означенні алгебр Хопфа для антипода S часто ставиться вимога існування K-лінійного оберненого відображення, яке автоматично існує у скінченновимірному випадку, або якщо алгебра H є комутативною, кокомутативною або, більш загально, квазітрикутною.
Взагалі кажучи, S є антигомоморфізмом , так S2 - гомоморфізм, який буде автоморфізмом, якщо S є оборотним.
Якщо , то алгебра Хопфа, як кажуть, є інволютивною (основним прикладом інволютивної алгебри є *-алгебра). Якщо H — скінченновимірна напівпроста алгебра над полем характеристики нуль, що є комутативною або кокомутативною, то вона є інволютивною.
Якщо біалгебра B допускає антипод S, то S є єдиним (довільна біалгебра допускає щонайбільше 1 структуру алгебри Хопфа).
Антипод є аналогом відображення інверсії на групі, яке відображає у .
Підалгебри Хопфа Редагувати
Підалгебра A алгебри Хопфа H є підалгеброю Хопфа, якщо вона є підкоалгеброю H і антипод S відображає A в A. Іншими словами, підалгебра Хопфа A - це підпростір в алгебрі Хопфа, замкнутий щодо множення, кодобутку і антипода. Теорема Ніколса — Зеллер (Nichols - Zoeller) про вільність стверджує, що якщо H є скінченновимірною то натуральний A-модуль H є вільним модулем скінченного рангу, що дає узагальнення теореми Лагранжа для підгруп. Як наслідок цього, підалгебра Хопфа напівпростої скінченновимірної алгебри Хопфа автоматично є напівпростою.
Підалгебра Хопфа A називається правою нормальною підалгеброю алгебри Хопфа H, якщо вона задовольняє умові стабільності, для всіх h з H, де приєднане відображення задане як для всіх a з A і h з H. Підалгебра Хопфа K є лівою нормальною в H якщо вона інваріантна при лівому приєднаному відображенню для всіх k з K. Обидві умови нормальності є еквівалентними, якщо антипод S є бієктивним. У цьому випадку A називається нормальною підалгеброю Хопфа.
Нормальна підалгебра Хопфа A в H задовольняє умові рівності підмножин: , де позначає ядро коодиниці K. З цієї умови нормальності випливає, що — ідеал алгебри Хопфа H (тобто є ідеалом алгебри в ядрі коодиниці, коідеалом коалебри і стійким під дією антипода). Як наслідок, можна визначити факторалгебру Хопфа і епіморфізм , аналогічно відповідним конструкціям нормальних підгруп і факторгруп у теорії груп.
Приклади Редагувати
| Залежить від | Кодобуток | Коодиниця | Антипод | Комутативність | Кокомутативність | Зауваження | |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Групова алгебра KG | групи G | Δ(g) = g ⊗ g для всіх g з G | ε(g) = 1 for all g in G | S(g) = g−1 для всіх g з G | тільки коли G є комутативною | так | |
| функції f зі скінченної групи в K, KG (з поточковим додаванням і множенням) | скінченна група G | Δ(f)(x,y) = f(xy) | ε(f) = f(1G) | S(f)(x) = f(x−1) | так | тільки якщо G є комутативною | |
| Функції представлення компактних груп | Компактна група G | Δ(f)(x,y) = f(xy) | ε(f) = f(1G) | S(f)(x) = f(x−1) | так | тільки якщо G є комутативною | Навпаки, кожна комутативна, інволютивна, редукована алгебра Хопфа над C зі скінченним інтегралом Хаара може бути отримана в такий спосіб (двоїстість Танаки — Крейна). |
| Регулярні функції на алгебричних групах | Δ(f)(x,y) = f(xy) | ε(f) = f(1G) | S(f)(x) = f(x−1) | так | тільки якщо G є комутативною | Навпаки, кожна комутативна алгебра Хопфа над полем одержується в такий спосіб їхньої групової схеми. | |
| Тензорна алгебра T(V) | Векторний простір V | Δ(x) = x ⊗ 1 + 1 ⊗ x, x з V, Δ(1) = 1 ⊗ 1 | ε(x) = 0 | S(x) = −x для всіх x з 'T1(V) (і далі узагальнивши на вищі тензорні степені) | Тільки якщо dim(V)=0,1 | так | Симетрична алгебра і зовнішня алгебра (що є факторалгебрами тензорної алгебри) теж є алгебрами Хопфа із відповідними означеннями |
| Універсальна обгортуюча алгебра U(g) | Алгебра Лі g | Δ(x) = x ⊗ 1 + 1 ⊗ x для всіх x з g (це правило можна в єдиний спосіб продовжити на всю U) | ε(x) = 0 для всіх x з g (із продовженням на U) | S(x) = −x | тільки якщо g є комутативною | так | |
| Алгебра Свідлера H=K[c, x]/c2 = 1, x2 = 0 і xc = −cx. | K — поле характеристика якого не рівна 2 | Δ(c) = c ⊗ c, Δ(x) = c ⊗ x + x ⊗ 1, Δ(1) = 1 ⊗ 1 | ε(c) = 1 і ε(x) = 0 | S(c) = c−1 = c і S(x) = −cx | ні | ні | Векторний простір породжений елементами {1, c, x, cx} і має розмірність 4.Це найменший приклад алгебри Хопфа, що не є ні комутативними, ні кокомутативними. |
| Кільце симетричних функцій | в термінах повних однорідних симетричних функцій hk (k ≥ 1): Δ(hk) = 1 ⊗ hk + h1 ⊗ hk−1 + ... + hk−1 ⊗ h1 + hk ⊗ 1. | ε(hk) = 0 | S(hk) = (−1)k ek | так | так |
Когомології груп Лі Редагувати
Алгебра когомологій групи Лі — алгебра Хопфа: множення задано -добутком, а кодобуток
множенням групи .
Це спостереження було фактично джерелом поняття алгебри Хопфа. Використовуючи цю структуру, Хопф довів структурну теорему для алгебри когомологій груп Лі.
Теорема Хопфа Нехай A — скінченновимірна, суперкомутативна, кокомутативна алгебра Хопфа над полем характеристики 0. Тоді A (як алгебра) є вільною зовнішньою алгеброю з генераторами непарного степеня.
Квантові групи Редагувати
Всі приклади вище є або комутативними (тобто множення є комутативним) або кокомутативними (тобто Δ = T ∘ Δ, де T : H ⊗ H → H ⊗ H — перестановка тензорних множників, задана як T(x ⊗ y) = y ⊗ x). Іншими цікавими прикладами алгебр Хопфа — деякі деформації або «квантування» прикладу 4, які не є ні комутативними, ні кокомутативними. Ці алгебри Хопфа часто називають квантовими групами.
Ідея полягає в наступному: звичайна алгебрична група може бути описана в термінах алгебри Хопфа регулярних функцій. Ми можемо тоді думати про деформації цієї алгебри Хопфа як про опис деякої «квантованої» алгебричної групи (хоча вона і не є алгебричною групою). Багато властивостей алгебричних груп, а також конструкції з ними мають свої аналоги для деформованих алгебр Хопфа. Звідси назва «квантова група».
Аналогія з групами Редагувати
Аксіоми груп можна подати за допомогою тих же діаграм (еквівалентностей, операцій) що і алгебри Хопфа, де H — множина, а не модуль. У цьому випадку:
- кільце R замінюється множиною з 1 елемента
- є природна коодиниця (відображення в єдиний елемент)
- є природний кодобуток (діагональне відображення)
- одиниця — нейтральний елемент групи
- множення — множення в групі
- антипод — обернений елементу в групі.
В цьому сенсі групи можна розглядати як алгебри Хопфа над полем з одного елемента.
Примітки Редагувати
- Dascalescu, Nastasescu & Raianu (2001), Prop. 4.2.6, p. 153 [ 6 жовтня 2014 у Wayback Machine.]
- Dascalescu, Nastasescu & Raianu (2001), Remarks 4.2.3,
- Quantum groups lecture notes (англ.).
- S. Montgomery, Hopf algebras and their actions on rings, Conf. Board in Math. Sci. vol. 82, A.M.S., 1993. ISBN 0-8218-0738-2
- Зі скінченності G випливає природний ізоморфізм KG ⊗ KG і KGxG. Це використовується для формули кодобутку. Для нескінченних груп G, KG ⊗ KG є власною підмножиною KGxG.
- Hochschild, G (1965). Structure of Lie groups. Holden-Day. с. 14–32.
- Jantzen, Jens Carsten (2003). Representations of algebraic groups. Mathematical Surveys and Monographs 107 (вид. 2nd). Providence, R.I.: American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-3527-2., section 2.3
- Michiel Hazewinkel, Symmetric Functions, Noncommutative Symmetric Functions, and Quasisymmetric Functions, Acta Applicandae Mathematica, January 2003, Volume 75, Issue 1-3, pp 55–83
- Hopf, 1941.
- Group = Hopf algebra " Secret Blogging Seminar [ 9 липня 2011 у Wayback Machine.], Group objects and Hopf algebras [ 18 квітня 2016 у Wayback Machine.], video of Simon Willerton.
Див. також Редагувати
Література Редагувати
- Dăscălescu, Sorin; Năstăsescu, Constantin; Raianu, Șerban (2001). Hopf Algebras. An introduction. Pure and Applied Mathematics 235 (вид. 1st). Marcel Dekker. ISBN 0-8247-0481-9. Zbl 0962.16026..
- Pierre Cartier, A primer of Hopf algebras [ 9 серпня 2017 у Wayback Machine.], IHES preprint, September 2006, 81 pages
- Fuchs, Jürgen (1992). Affine Lie algebras and quantum groups. An introduction with applications in conformal field theory. Cambridge Monographs on Mathematical Physics. Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 0-521-48412-X. Zbl 0925.17031.
- H. Hopf, Uber die Topologie der Gruppen-Mannigfaltigkeiten und ihrer Verallgemeinerungen, Ann. of Math. 42 (1941), 22–52. Reprinted in Selecta Heinz Hopf, pp. 119–151, Springer, Berlin (1964). MR4784, Zbl 0025.09303
- Montgomery, Susan (1993). Hopf algebras and their actions on rings. Regional Conference Series in Mathematics 82. Providence, Rhode Island: American Mathematical Society. ISBN 0-8218-0738-2. Zbl 0793.16029.
- Street, Ross (2007). Quantum groups. Australian Mathematical Society Lecture Series 19. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-69524-4. MR 2294803. Zbl 1117.16031..
- Sweedler, Moss E. (1969). . Mathematics Lecture Note Series. W. A. Benjamin, Inc., New York. MR 0252485. Zbl 0194.32901. Архів оригіналу за 28 червня 2014. Процитовано 7 грудня 2017.
- Underwood, Robert G. (2011). An introduction to Hopf algebras. Berlin: Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-72765-3. Zbl 1234.16022.