www.wikidata.uk-ua.nina.az

Алгебрична топологія застаріла назва комбінаторна топологія розділ топології який вивчає топологічні простори шляхом зіс

Алгебрична топологія

Алгебрична топологія (застаріла назва: «комбінаторна топологія») — розділ топології, який вивчає топологічні простори шляхом зіставлення їм алгебричних об'єктів, а також поведінку цих об'єктів під дією різних топологічних операцій.

Тор, є одним із об'єктів, що вивчається найчастіше в алгебраїчній топології

Основна ідея Редагувати

Одна з основних ідей алгебричної топологі полягає у тому, щоб розгладати два простори як еквівалентні, якщо вони мають "однакову форму" у деякому сенсі, більш широкому, ніж гомеоморфізм. Це приводить до наступного визначення. Деформаційна ретракція простору на простір - клас відображень для якого (тотожне відображення), та Клас повинен бути неперервним у тому сенсі, що відображення задане формулою є неперервним. Деформаційна ретракція є частковим випадком гомотопії, який є просто класом відображень для якого відображення задане формулою є неперервним.

Таким чином, деформаційна ретракція простору на підпростір - це гомотопія тотожного відображення простору у ретракцію на тобто відображення для якого й

Можна також розглядати ретракцію як відображення обмеження якого на підпростір є тотожним. З більш формальної точки зору ретракція - це відображення для якого оскільки це співвідношення в точності значить, що є тотожним на своєму образі. Ретракції - це аналоги проекторів, які зустрічаються у інших розділах математики.

Методи алгебричної топології засновані на припущенні, що алгебричні структури влаштовані простіше, ніж топологічні.

Крім різних гомологій (зараз дуже велике значення набули екстраординарні гомології, наприклад теорія бордизмів або -теорія) для алгебричної топології важливі гомотопічні групи . З них головною є  — так звана фундаментальна група, на відміну від груп решти вимірностей, що можуть бути неабелевими.

Основні галузі алгебраїчної топології Редагувати

В цьому розділі перелічені основні області, які вивчає алгебраїчна топологія:

Гомотопічні групи Редагувати

Гомотопічні групи використовуються в алгебраїчній топології для класифікації топологічних просторів. Першою і найпростішою гомотопічною групою є Фундаментальна група, яка містить інформацію про петлі в просторі. Гомотопічні групи записують інформацію про базову форму, або дірки топологічного простору.

Гомологія Редагувати

В алгебраїчній топології та абстрактній алгебрі, гомологія (перша частина назви походить від грецького слова ὁμός гомос "ідентичний") це певна загальна процедура асоціації послідовності абелевих груп або модулів із даним математичним об'єктам, таким як топологічний простір або група.

Когомологія Редагувати

В гомології і алгебраїчній топології, когомологія це загальний термін для послідовності абелевих груп визначених через ланцюговий комплекс.

Многовид Редагувати

Многовид це такий топологічний простір, який біля кожної точки є схожим на Евклідів простір. Прикладами є площина, the сфера, і тор, які можуть бути представлені у трьох вимірах, а також пляшка Кляйна і дійсна проективна площина які не можна представити у трьох вимірах, але існують у чотирьох вимірах. Як правило, результати алгебраїчної топології приділяють увагу загальним, не дефереційованим аспектам многовидів, наприклад Двоїстість Пуанкаре.

Теорія вузлів Редагувати

Теорія вузлів вивчає математичні вузли. Хоч ця галузь натхненна вузлами, що існують у повсякденному житті зав'язаними на шнурах та мотузках, математичні вузли відрізняються тим, що їхні кінці сполучені між собою так, що ці вузли неможливо розв'язати. На точній математичній мові, вузол це вкладення кола в 3-вимірний евклідів простір . Два математичні вузли еквівалентні, якщо один з них можна трансформувати в інший деформацією простору самого в себе (так звана об'ємна ізотопія[en]); ці трансформації можна уявити як такі маніпуляції над зв'язаною мотузкою, за яких не застосовують розрізання мотузки чи проходження її через себе

Комплекси Редагувати

Симпліційний 3-комплекс.

Симпліційний комплекс це топологічний простір певного типу, побудований шляхом "склеювання до купи" точок, лінійних відрізків, трикутників, та їх n-вимірних відповідників (див. ілюстрацію). Симпліційні комплекси не слід плутати із більш абстрактним поняттям Симпліційної множини, яке зустрічається в сучасній симпліциальній теорії гомотопії. Суто комбінаторним відповідником симпліциальному комплексу є абстрактний симпліційний комплекс.

CW-комплекс це тим топологічного простору запропонований Д. Г. К. Вайтгедом з метою узгодити потреби теорії гомотопії. Цей клас просторів є ширшим і має дещо кращі властивості категорій ніж симпліційні комплекси, але залишає відповідати комбінаторній природі, що дозволяє здійснювати розрахунки (часто із набагато меншим комплексом).

Теорема Брауера (приклад) Редагувати

Як приклад застосування методів алгебричної топології можна навести доказ знаменитої теореми Брауера. Тут означає замкнена -вимірна куля,  — її -вимірна границя (сфера):

Будь-яке неперервне відображення -вимірної кулі у себе має нерухому точку, тобто таку точку , що

Неважко бачити, що для цього достатньо довести наступну лему:

Не існує неперервного відображення -вимірної кулі на свою границю такого, що для всіх точок границі (що називається ретракцією)

Дійсно, якщо у відображенні немає нерухомих точок, то ми можемо побудувати відображення кулі на сферу провівши для кожної точки кулі промінь, що виходить з і проходить через (у разі відсутності нерухомих точок це різні точки). Точку перетину променя зі сферою позначимо через і покладемо . Ясно, що отримане відображення є неперервним, і якщо належить сфері, то . Ми отримали ретракцію кулі на сферу, що за лемою неможливо. Значить нерухомі точки (хоча б одна) повинні існувати.

Тепер найбільша складність полягає у доведені леми. Нехай існує така ретракція . Позначимо  — вкладення сфери в кулю . Маємо: добуток відображень  — тотожне відображення сфери (спочатку , потім ). Одним з найголовніших інструментів алгебричної топології є так звані групи гомології (наприклад, сімпліциальні або сингулярні). Кожному топологічному простору відповідає в кожній розмірності своя абелева група гомології , а кожному неперервному відображенню відповідає гомоморфізм груп , причому добутку відображень відповідає добуток гомоморфізмів , а тотожному відображенню відповідає тотожний ізоморфізм . (Мовою теорії категорій це означає, що група гомології є коваріантним функтором з категорії топологічних просторів у категорію абелевих груп).

Тепер повертаємося до нашої леми. Легко довести, що , а . Тоді відображення буде відображенням в 0 але, з іншого боку, оскільки , маємо  — є не нульовим гомоморфізмом, ізоморфізму, а тотожним. Таким чином, лема доведена.

Звичайно, є й неалгебричні доведення теореми Брауера, але введення гомології відразу дозволило легко довести безліч тверджень, які раніше здавалися непов'язаними одне з одним.

Історія Редагувати

Деякі теореми алгебричної топології були відомі ще Ейлеру, наприклад, що для всякого опуклого многогранника з числом вершин , ребер і граней має місце .

Топологічними питаннями цікавилися Гаус і Ріман.

Але основну роль у створенні алгебричної топології як науки зіграв Пуанкаре — саме йому належать поняття симпліційної гомології та фундаментальної групи. Великий внесок зробили Александер, Веблен, Лефшец, Уайтхед, Борсук, Гуревич, Стінрод[en], Ейленберг, Серр, Том, Атія, Хірцебрух, Ботт, Адамс Смейл, Мілнор, Квіллен, П С. Александров, Колмогорова, Понтрягін, Люстерник, Рохлін, Новіков, Фоменко, Концевич, Воєводський, Перельман.

Навчальні матеріали Редагувати

Література Редагувати

  • Hatcher A. Algebraic Topology [Архівовано 20 лютого 2012 у WebCite]
  • Васильев В. А. Введение в топологию. — М.: Фазис, 1997
  • Вик Дж. У. Теория гомологий. Введение в алгебраическую топологию. — М.: МЦНМО, 2005
  • Виро О. Я., Иванов О. А., Харламов В. М., Нецветаев Н. Ю. Задачный учебник по топологии [ 19 лютого 2012 у Wayback Machine.]
  • Дольд А. Лекции по алгебраической топологии. — М.: Мир, 1976
  • Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Т. Современная геометрия: Методы и приложения. — М.: Наука, 1979
  • Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Т. Современная геометрия: Методы теории гомологий. — М.: Наука, 1984
  • Зейферт Г., Трельфалль В. Топология. — Ижевск: РХД, 2001
  • Коснёвски Ч. Начальный курс алгебраической топологии. — М.: Мир, 1983
  • Лефшец С. Алгебраическая топология. — М.: ИЛ, 1949
  • Новиков П. С. Топология. — 2 изд., испр. и доп. — Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2002
  • Прасолов В. В. Элементы теории гомологий. — М.: МЦНМО,2006
  • Свитцер Р. М. Алгебраическая топология — гомотопии и гомологии. — М.: Наука, 1985
  • Спеньер Э. Алгебраическая топология. — М.: Мир, 1971
  • Стинрод Н., Эйленберг С. Основания алгебраической топологии. — М.: Физматгиз, 1958
  • Фоменко А. Т., Фукс Д. Б. Курс гомотопической топологии. — М.: Наука, 1989
  • Ковальов С. М., Гумен М. С., Пустюльга С. І., Михайленко В.Є, Бурчак І. Н. Прикладна геометрія та іженерна графіка. Спеціальні розділи. Випуск 1. — Луцьк: Редакційно-видавничий відділ ЛДТУ, 2006. — 256 с. (С. 90)

Див. також Редагувати

Примітки Редагувати

  1. А.Хатчер - Алгебраическая топология. 
  2. Fraleigh, (1976, с. 163)


Це незавершена стаття з математики.
Ви можете допомогти проєкту, виправивши або дописавши її.
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри
Дата публікації:
Algebrichna topologiya zastarila nazva kombinatorna topologiya rozdil topologiyi yakij vivchaye topologichni prostori shlyahom zistavlennya yim algebrichnih ob yektiv a takozh povedinku cih ob yektiv pid diyeyu riznih topologichnih operacij Tor ye odnim iz ob yektiv sho vivchayetsya najchastishe v algebrayichnij topologiyi Zmist 1 Osnovna ideya 2 Osnovni galuzi algebrayichnoyi topologiyi 2 1 Gomotopichni grupi 2 2 Gomologiya 2 3 Kogomologiya 2 4 Mnogovid 2 5 Teoriya vuzliv 2 6 Kompleksi 3 Teorema Brauera priklad 4 Istoriya 5 Navchalni materiali 6 Literatura 7 Div takozh 8 PrimitkiOsnovna ideya RedaguvatiOdna z osnovnih idej algebrichnoyi topologi polyagaye u tomu shob rozgladati dva prostori yak ekvivalentni yaksho voni mayut odnakovu formu u deyakomu sensi bilsh shirokomu nizh gomeomorfizm Ce privodit do nastupnogo viznachennya Deformacijna retrakciya prostoru X displaystyle X nbsp na prostir A displaystyle A nbsp klas vidobrazhen f t X X t I displaystyle f t X rightarrow X t in I nbsp dlya yakogo f 0 1 displaystyle f 0 1 nbsp totozhne vidobrazhennya f 1 X A displaystyle f 1 X A nbsp ta f t A 1 t displaystyle f t A mathbb 1 forall t nbsp Klas f t displaystyle f t nbsp povinen buti neperervnim u tomu sensi sho vidobrazhennya X I X displaystyle X times I rightarrow X nbsp zadane formuloyu x t f t x displaystyle x t mapsto f t x nbsp ye neperervnim Deformacijna retrakciya f t X X displaystyle f t X rightarrow X nbsp ye chastkovim vipadkom gomotopiyi yakij ye prosto klasom vidobrazhen f t X X t I displaystyle f t X rightarrow X t in I nbsp dlya yakogo vidobrazhennya F X I Y displaystyle F X times I rightarrow Y nbsp zadane formuloyu f x t f t x displaystyle f x t f t x nbsp ye neperervnim Takim chinom deformacijna retrakciya prostoru X displaystyle X nbsp na pidprostir A displaystyle A nbsp ce gomotopiya totozhnogo vidobrazhennya prostoru X displaystyle X nbsp u retrakciyu X displaystyle X nbsp na A displaystyle A nbsp tobto vidobrazhennya r X X displaystyle r X rightarrow X nbsp dlya yakogo r X A displaystyle r X A nbsp j r A 1 displaystyle r A mathbb 1 nbsp Mozhna takozh rozglyadati retrakciyu yak vidobrazhennya X A displaystyle X rightarrow A nbsp obmezhennya yakogo na pidprostir A X displaystyle A subset X nbsp ye totozhnim Z bilsh formalnoyi tochki zoru retrakciya ce vidobrazhennya r X X displaystyle r X rightarrow X nbsp dlya yakogo r 2 r displaystyle r 2 r nbsp oskilki ce spivvidnoshennya v tochnosti znachit sho r displaystyle r nbsp ye totozhnim na svoyemu obrazi Retrakciyi ce analogi proektoriv yaki zustrichayutsya u inshih rozdilah matematiki 1 Metodi algebrichnoyi topologiyi zasnovani na pripushenni sho algebrichni strukturi vlashtovani prostishe nizh topologichni Krim riznih gomologij zaraz duzhe velike znachennya nabuli ekstraordinarni gomologiyi napriklad teoriya bordizmiv abo K displaystyle K nbsp teoriya dlya algebrichnoyi topologiyi vazhlivi gomotopichni grupi p n X displaystyle pi n X nbsp Z nih golovnoyu ye p 1 X displaystyle pi 1 X nbsp tak zvana fundamentalna grupa na vidminu vid grup reshti vimirnostej sho mozhut buti neabelevimi Osnovni galuzi algebrayichnoyi topologiyi RedaguvatiV comu rozdili perelicheni osnovni oblasti yaki vivchaye algebrayichna topologiya Gomotopichni grupi Redaguvati Dokladnishe Gomotopichni grupiGomotopichni grupi vikoristovuyutsya v algebrayichnij topologiyi dlya klasifikaciyi topologichnih prostoriv Pershoyu i najprostishoyu gomotopichnoyu grupoyu ye Fundamentalna grupa yaka mistit informaciyu pro petli v prostori Gomotopichni grupi zapisuyut informaciyu pro bazovu formu abo dirki topologichnogo prostoru Gomologiya Redaguvati Dokladnishe GomologiyaV algebrayichnij topologiyi ta abstraktnij algebri gomologiya persha chastina nazvi pohodit vid greckogo slova ὁmos gomos identichnij ce pevna zagalna procedura asociaciyi poslidovnosti abelevih grup abo moduliv iz danim matematichnim ob yektam takim yak topologichnij prostir abo grupa 2 Kogomologiya Redaguvati Dokladnishe KogomologiyaV gomologiyi i algebrayichnij topologiyi kogomologiya ce zagalnij termin dlya poslidovnosti abelevih grup viznachenih cherez lancyugovij kompleks Mnogovid Redaguvati Dokladnishe MnogovidMnogovid ce takij topologichnij prostir yakij bilya kozhnoyi tochki ye shozhim na Evklidiv prostir Prikladami ye ploshina the sfera i tor yaki mozhut buti predstavleni u troh vimirah a takozh plyashka Klyajna i dijsna proektivna ploshina yaki ne mozhna predstaviti u troh vimirah ale isnuyut u chotiroh vimirah Yak pravilo rezultati algebrayichnoyi topologiyi pridilyayut uvagu zagalnim ne deferecijovanim aspektam mnogovidiv napriklad Dvoyistist Puankare Teoriya vuzliv Redaguvati Dokladnishe Teoriya vuzlivTeoriya vuzliv vivchaye matematichni vuzli Hoch cya galuz nathnenna vuzlami sho isnuyut u povsyakdennomu zhitti zav yazanimi na shnurah ta motuzkah matematichni vuzli vidriznyayutsya tim sho yihni kinci spolucheni mizh soboyu tak sho ci vuzli nemozhlivo rozv yazati Na tochnij matematichnij movi vuzol ce vkladennya kola v 3 vimirnij evklidiv prostir R 3 displaystyle mathbb R 3 nbsp Dva matematichni vuzli ekvivalentni yaksho odin z nih mozhna transformuvati v inshij deformaciyeyu prostoru R 3 displaystyle mathbb R 3 nbsp samogo v sebe tak zvana ob yemna izotopiya en ci transformaciyi mozhna uyaviti yak taki manipulyaciyi nad zv yazanoyu motuzkoyu za yakih ne zastosovuyut rozrizannya motuzki chi prohodzhennya yiyi cherez sebe Kompleksi Redaguvati nbsp Simplicijnij 3 kompleks Dokladnishe Simplicijnij kompleks ta CW kompleksSimplicijnij kompleks ce topologichnij prostir pevnogo tipu pobudovanij shlyahom skleyuvannya do kupi tochok linijnih vidrizkiv trikutnikiv ta yih n vimirnih vidpovidnikiv div ilyustraciyu Simplicijni kompleksi ne slid plutati iz bilsh abstraktnim ponyattyam Simplicijnoyi mnozhini yake zustrichayetsya v suchasnij simplicialnij teoriyi gomotopiyi Suto kombinatornim vidpovidnikom simplicialnomu kompleksu ye abstraktnij simplicijnij kompleks CW kompleks ce tim topologichnogo prostoru zaproponovanij D G K Vajtgedom z metoyu uzgoditi potrebi teoriyi gomotopiyi Cej klas prostoriv ye shirshim i maye desho krashi vlastivosti kategorij nizh simplicijni kompleksi ale zalishaye vidpovidati kombinatornij prirodi sho dozvolyaye zdijsnyuvati rozrahunki chasto iz nabagato menshim kompleksom Teorema Brauera priklad RedaguvatiDokladnishe Teorema Brauera pro neruhomu tochkuYak priklad zastosuvannya metodiv algebrichnoyi topologiyi mozhna navesti dokaz znamenitoyi teoremi Brauera Tut D n displaystyle D n nbsp oznachaye zamknena n displaystyle n nbsp vimirna kulya S N 1 displaystyle S N 1 nbsp yiyi n 1 displaystyle n 1 nbsp vimirna granicya sfera Bud yake neperervne vidobrazhennya f displaystyle f nbsp n displaystyle n nbsp vimirnoyi kuli D n displaystyle D n nbsp u sebe maye neruhomu tochku tobto taku tochku x displaystyle x nbsp sho f x x displaystyle f x x nbsp Nevazhko bachiti sho dlya cogo dostatno dovesti nastupnu lemu Ne isnuye neperervnogo vidobrazhennya g displaystyle g nbsp n displaystyle n nbsp vimirnoyi kuli D n displaystyle D n nbsp na svoyu granicyu S n 1 displaystyle S n 1 nbsp takogo sho g x x displaystyle g x x nbsp dlya vsih tochok granici sho nazivayetsya retrakciyeyu Dijsno yaksho u vidobrazhenni f displaystyle f nbsp nemaye neruhomih tochok to mi mozhemo pobuduvati vidobrazhennya g displaystyle g nbsp kuli na sferu provivshi dlya kozhnoyi tochki kuli x displaystyle x nbsp promin sho vihodit z f x displaystyle f x nbsp i prohodit cherez x displaystyle x nbsp u razi vidsutnosti neruhomih tochok ce rizni tochki Tochku peretinu promenya zi sferoyu S n 1 displaystyle S n 1 nbsp poznachimo cherez y displaystyle y nbsp i poklademo g x y displaystyle g x y nbsp Yasno sho otrimane vidobrazhennya ye neperervnim i yaksho x displaystyle x nbsp nalezhit sferi to g x x displaystyle g x x nbsp Mi otrimali retrakciyu kuli na sferu sho za lemoyu nemozhlivo Znachit neruhomi tochki hocha b odna povinni isnuvati Teper najbilsha skladnist polyagaye u dovedeni lemi Nehaj isnuye taka retrakciya g displaystyle g nbsp Poznachimo i displaystyle i nbsp vkladennya sferi v kulyu i x x displaystyle i x x nbsp Mayemo dobutok vidobrazhen g i i d displaystyle gi mathrm id nbsp totozhne vidobrazhennya sferi spochatku i displaystyle i nbsp potim g displaystyle g nbsp Odnim z najgolovnishih instrumentiv algebrichnoyi topologiyi ye tak zvani grupi gomologiyi napriklad simplicialni abo singulyarni Kozhnomu topologichnomu prostoru X displaystyle X nbsp vidpovidaye v kozhnij rozmirnosti n displaystyle n nbsp svoya abeleva grupa gomologiyi H n X displaystyle H n X nbsp a kozhnomu neperervnomu vidobrazhennyu f X Y displaystyle f X to Y nbsp vidpovidaye gomomorfizm grup f H n X H n Y displaystyle f H n X to H n Y nbsp prichomu dobutku vidobrazhen f g displaystyle fg nbsp vidpovidaye dobutok gomomorfizmiv f g displaystyle f g nbsp a totozhnomu vidobrazhennyu i d displaystyle mathrm id nbsp vidpovidaye totozhnij izomorfizm i d displaystyle mathrm id nbsp Movoyu teoriyi kategorij ce oznachaye sho grupa gomologiyi ye kovariantnim funktorom z kategoriyi topologichnih prostoriv u kategoriyu abelevih grup Teper povertayemosya do nashoyi lemi Legko dovesti sho H n 1 S n 1 Z displaystyle H n 1 S n 1 mathbf Z nbsp a H n 1 D n 0 displaystyle H n 1 D n 0 nbsp Todi vidobrazhennya g H n 1 D n H n 1 S n 1 displaystyle g H n 1 D n to H n 1 S n 1 nbsp bude vidobrazhennyam v 0 ale z inshogo boku oskilki g i i d displaystyle gi mathrm id nbsp mayemo g i i d Z Z displaystyle g i mathrm id mathbf Z to mathbf Z nbsp ye ne nulovim gomomorfizmom izomorfizmu a totozhnim Takim chinom lema dovedena Zvichajno ye j nealgebrichni dovedennya teoremi Brauera ale vvedennya gomologiyi vidrazu dozvolilo legko dovesti bezlich tverdzhen yaki ranishe zdavalisya nepov yazanimi odne z odnim Istoriya RedaguvatiDeyaki teoremi algebrichnoyi topologiyi buli vidomi she Ejleru napriklad sho dlya vsyakogo opuklogo mnogogrannika z chislom vershin V displaystyle V nbsp reber E displaystyle E nbsp i granej F displaystyle F nbsp maye misce V E F 2 displaystyle V E F 2 nbsp Topologichnimi pitannyami cikavilisya Gaus i Riman Ale osnovnu rol u stvorenni algebrichnoyi topologiyi yak nauki zigrav Puankare same jomu nalezhat ponyattya simplicijnoyi gomologiyi ta fundamentalnoyi grupi Velikij vnesok zrobili Aleksander Veblen Lefshec Uajthed Borsuk Gurevich Stinrod en Ejlenberg Serr Tom Atiya Hircebruh Bott Adams Smejl Milnor Kvillen P S Aleksandrov Kolmogorova Pontryagin Lyusternik Rohlin Novikov Fomenko Koncevich Voyevodskij Perelman Navchalni materiali Redaguvati angl Kurs lekcij Algebraic Topology a beginner s course na YouTube N J Wildberger University of New South Wales Literatura RedaguvatiHatcher A Algebraic Topology Arhivovano 20 lyutogo 2012 u WebCite Vasilev V A Vvedenie v topologiyu M Fazis 1997 Vik Dzh U Teoriya gomologij Vvedenie v algebraicheskuyu topologiyu M MCNMO 2005 Viro O Ya Ivanov O A Harlamov V M Necvetaev N Yu Zadachnyj uchebnik po topologii Arhivovano 19 lyutogo 2012 u Wayback Machine Dold A Lekcii po algebraicheskoj topologii M Mir 1976 Dubrovin B A Novikov S P Fomenko A T Sovremennaya geometriya Metody i prilozheniya M Nauka 1979 Dubrovin B A Novikov S P Fomenko A T Sovremennaya geometriya Metody teorii gomologij M Nauka 1984 Zejfert G Trelfall V Topologiya Izhevsk RHD 2001 Kosnyovski Ch Nachalnyj kurs algebraicheskoj topologii M Mir 1983 Lefshec S Algebraicheskaya topologiya M IL 1949 Novikov P S Topologiya 2 izd ispr i dop Izhevsk Institut kompyuternyh issledovanij 2002 Prasolov V V Elementy teorii gomologij M MCNMO 2006 Svitcer R M Algebraicheskaya topologiya gomotopii i gomologii M Nauka 1985 Spener E Algebraicheskaya topologiya M Mir 1971 Stinrod N Ejlenberg S Osnovaniya algebraicheskoj topologii M Fizmatgiz 1958 Fomenko A T Fuks D B Kurs gomotopicheskoj topologii M Nauka 1989 Kovalov S M Gumen M S Pustyulga S I Mihajlenko V Ye Burchak I N Prikladna geometriya ta izhenerna grafika Specialni rozdili Vipusk 1 Luck Redakcijno vidavnichij viddil LDTU 2006 256 s S 90 Div takozh RedaguvatiTopologiyaPrimitki Redaguvati A Hatcher Algebraicheskaya topologiya Fraleigh 1976 s 163 nbsp Ce nezavershena stattya z matematiki Vi mozhete dopomogti proyektu vipravivshi abo dopisavshi yiyi Otrimano z https uk wikipedia org w index php title Algebrichna topologiya amp oldid 37797235