Вузол у математиці — вкладення кола (двовимірної сфери) в тривимірний евклідів простір, розглянуте з точністю до ізотопії. Основний предмет вивчення теорії вузлів. Два вузли топологічно еквівалентні, якщо один з них можна деформувати в інший, причому в процесі деформації не повинно виникати самоперетинів.
Частковим випадком є питання про розпізнавання тривіальності того чи іншого вузла, тобто про те, чи є заданий вузол ізотопним тривіальному вузлу (чи можна його розв'язати).
Для визначення того, чи є конкретний вузол тривіальним, можна використовувати різні інваріанти вузлів, наприклад многочлен Александера або фундаментальну групу доповнення. Зазвичай їх можна порахувати виходячи з вузлової діаграми.
Класифікація Редагувати
Трилисник, вузол є першим нетривіальним вузлом і єдиним вузлом з числом перетинів 3. Він є простим і позначається номером 31 у нотації Александера — Бріггса. Нотація Довкера[en] для трилисника — 4 6 2, а нотація Конвея трилисника — [3].
Трилисник нетривіальний, тобто його неможливо «розв'язати» в тривимірному просторі без розрізання. З математичної точки зору це означає, що трилисник не ізотопний тривіальному вузлу. Зокрема, не існує послідовності рухів Рейдемейстера, за допомогою яких вузол розв'язується.
Вісімка, чотириразовий вузол або вузол Лістинга, вузол ― один з найпростіших нетривіальних вузлів. Вісімка позначається символом . Вперше розглянутий Лістингом[ru], учнем Гаусса, в 1847 році.
Трилисник хіральний в тому сенсі, що трилисник відрізняється від свого дзеркального відображення. Два варіанти трилисника відомі як лівобічний і правобічний. Неможливо шляхом деформації лівобічний варіант безперервним чином перевести у правобічний або навпаки. Тобто, ці два трилисники не ізотопні.
Також, можна показати, що трилисник (як правий, так і лівий) неізотопний вісімці.
П'ятилисник, відомий також як вузол у позначеннях Александера та Бріггса, вузол «перстач» і печатка Соломона, — це вузол, для якого число перетинів (мінімальне можливе число самоперетинів на діаграмі — плоскому малюнку — вузла) дорівнює п'яти.
Для багатокомпонентних вузлів у верхньому індексі зазначається кількість компонентів: наприклад, зачеплення двох кілець має символьний запис .
Це були приклади поліноміальних вузлів. Неполіноміальним вузлом є дикий вузол
Дикий вузол — вузол в евклідовому просторі такий, що не існує гомеоморфізму на себе, при якому переходить в замкнуту ламану, що складається зі скінченного числа відрізків.
Вузли та зачеплення Редагувати
Вкладення (частіше — його образ) незв'язної суми примірників кола в або називається зачепленням кратності .
Вузли, що входять до даного зачеплення, називають його компонентами.
Інваріанти вузлів Редагувати
В теорії вузлів число перетинів вузла — це найменше число перетинів на будь-якій діаграмі вузла. Число перетинів є інваріантом вузла.
Наприклад, тривіальний вузол має нульове число перетинів, число перетинів трилисника дорівнює трьом, а число перетинів вісімки дорівнює чотирьом.
Іншими числовими інваріантами вузла є число мостів, коефіцієнт зачеплення, число відрізків і число розв'язування.
Доповнення вузла Редагувати
Теорема Гордона — Люкке[en] стверджує, що доповнення вузла (як топологічного простору) є «повним інваріантом» вузла, в тому сенсі, що воно відрізняє заданий вузол від всіх інших з точністю до охоплювальної ізотопії[ru] та дзеркального відображення. Серед інваріантів, пов'язаних з доповненням вузла, є група вузла, яка є просто фундаментальною групою його доповнення.
Див. також Редагувати
Примітки Редагувати
- Armstrong, (1983), p. 215.
- Livingstone, (1996), Section 2.1 Wild Knots and Unknottings, pp. 11-14.
Література Редагувати
- Simon Jonathan. Mathematical Approaches to Biomolecular Structure and Dynamics / Jill P. Mesirov, Klaus Schulten, De Witt Sumners. — 1996. — Т. 82. — (The IMA Volumes in Mathematics and its Applications). — DOI:10.1007/978-1-4612-4066-2_4.
- P.G. Tait. Scientific papers. — Cambridge University Press, 1898. — Т. 1.
- C. A. Adams. The Knot Book: An Elementary Introduction to the Mathematical Theory of Knots. — American Mathematical Society, 2004. — ISBN 9780821836781.
- Кроуэлл Р., Фокс Р. Введение в теорию узлов / Пер. с англ. — Череповец : Меркурий-Пресс, 2000. — 348 с. — ISBN 5-1148-0112-0..
- Мантуров В. О. Теория узлов. — М. : РХД, 2005. — 512 с. — ISBN 5-93972-404-3..
- Мантуров В. О. Лекции по теории узлов и их инвариантов. — М. : Едиториал УРСС, 2001. — 204 с. — ISBN 5-8360-0287-8..
- Милнор Дж. Особые точки комплексных гиперповерхностей / Пер. с англ. — М. : Мир, 1971. — 127 с.
- Мандельбаум Р. Четырёхмерная топология / Пер. с англ. — М. : Мир, 1981. — 286 с.
- Hillman J. A. Alexander ideals of links B. — Hdlb. — N. Y., 1981.
- Джонс, Воган Ф. Р. Теория узлов и статистическая механика [ 29 липня 2019 у Wayback Machine.] // Scientific American (издание на русском языке). — № 1. — 1991. — С. 44—50.
- Сосинский, А. Б. Узлы и косы. — М. : МЦНМО, 2001. — Т. 10. — 24 с. — (Библиотека «Математическое просвещение»). — ISBN 5-900916-76-6..
- Статьи «Теория узлов в конце XX века» [ 9 червня 2019 у Wayback Machine.] // Математическое просвещение. — № 3. — 1999.
- Мантуров В. О. Экскурс в теорию узлов // Сетевой образовательный журнал. — 2004. — Т. 8, № 1. — С. 122—127.
- H. Gruber. Estimates for the minimal crossing number. — 2003. — arXiv:math/0303273.
- Yuanan Diao. The additivity of crossing numbers // Journal of Knot Theory and its Ramifications. — 2004. — Т. 13, вип. 7. — DOI:.
- Marc Lackenby. The crossing number of composite knots // Journal of Topology. — 2009. — Т. 2, вип. 4. — DOI:.
- Honda K. 3-dimensional methods in contact geometry [ 29 липня 2019 у Wayback Machine.].(англ.)
- Etnyre J. B. Legendrian and Transversal Knots.(англ.)
- Birman J.S. Braids, knots and contact structures.(англ.)
- Weisstein, Eric W. Knot Theory(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.