www.wikidata.uk-ua.nina.az

Вісімка теорія вузлів В теорії вузлів вісімка чотириразовий вузол або вузол Лістинга це єдиний вузол з числом перетинів

Вісімка (теорія вузлів)

В теорії вузлів вісімка (чотириразовий вузол або вузол Лістинга) — це єдиний вузол з числом перетинів 4. Це найменше можливе число перетинів, за винятком тривіального вузла і трилисника. Вісімка є простим вузлом. Вперше розглянутий Лістингом[ru] у 1847 році.

Вузол «Вісімка»

Походження назви ред.

Назва походить від побутового вузла вісімка на мотузці, кінці якої з'єднані.

Опис ред.

Просте параметричне подання вузла «вісімка» задається множиною точок (x,y,z), для яких

де t — дійсна змінна.

Вісімка є простим, альтернованим, раціональним[en] вузлом з відповідним значенням 5/2. Він є також ахіральним вузлом. Вісімка є розшарованим[en] вузлом. Це випливає з іншого, складнішого (але цікавішого) подання вузла:

  1. Вузол є однорідною замкнутою косою (а саме, замиканням коси з 3 нитками σ1σ2−1σ1σ2−1), а теорема Джона Сталлінґса[en] показує, що будь-яка однорідна коса є розшарованою.
  2. Вузол є зачепленням у точці (0,0,0,0) — ізольованій критичній точці дійсного поліноміального відображення F: R4→R2 так, що (згідно з теоремою Джона Мілнора) відображення Мілнора[en] F є розшаруванням. Бернард Перон знайшов першу таку функцію F для цього вузла, а саме:

де

Математичні властивості ред.

Вузол «вісімка» грав історично важливу роль (і продовжує її грати) в теорії 3-многовидів[en] . Десь в середині 1970-х, Вільям Терстон показав, що вісімка є гіперболічним вузлом шляхом розкладання його доповнення на два ідеальних гіперболічних тетраедри (Роберт Райлі і Троельс Йорґенсен, працюючи незалежно один від одного, до цього показали, що вісімка є гіперболічної в іншому сенсі). Ця конструкція, нова на той час, привела його до багатьох сильних результатів і методів. Наприклад він зміг показати, що всі, окрім десяти, хірургій Дена[en] на вузлі «вісімка» дають нехакенові[ru], такі, що не допускають розшарування Зейферта нерозкладні[en] 3-многовиди. Це був перший з таких результатів. Багато інших було відкрито шляхом узагальнення побудови Терстона для інших вузлів і зачеплень.

Вісімка є також гіперболічним вузлом з найменшим можливим об'ємом 2,02 988…, згідно з роботою Чо Чунь (Chun Cao) і Роберта Маєрхофа (Robert Meyerhoff). З цієї точки зору вісімку можна розглядати як найпростіший гіперболічний вузол. Доповнення вісімки є подвійним накриттям многовиду Ґізекінґа[ru], який має найменший об'єм серед некомпактних гіперболічних 3-многовидів.

Вузол «вісімка» і мереживний вузол (−2,3,7)[en] є двомя гіперболічними вузлами, для яких відомо більше шести особливих хірургій, хірургій Дена, які приводять до негіперболічних 3-многовиів. Вони мають 10 і 7 відповідно. Теорема Лекенбі (Lackenby) і Маєргофа, доведення якої спирається на гіпотезу про геометризацію і використання комп'ютерних обчислень, стверджує, що 10 є найбільшим можливим числом особливих хірургій для будь-яких гіперболічних вузлів. Однак досі не встановлено, чи є вісімка єдиним вузлом, на якому досягається межа 10. Добре відома гіпотеза стверджує, що нижня межа (за винятком двох згаданих вузлів) дорівнює 6.

Просте прямокутне зображення вузла «вісімка».
Симетричне зображення, отримане з параметричних рівнянь.
Математична поверхня, що ілюструє вузол вісімку

Інваріанти ред.

Многочлен Александера вісімки дорівнює

многочлен Конвея дорівнює

а многочлен Джонса дорівнює

Симетрія відносно і у многочлені Джонса свідчить про ахіральність вісімки.

Примітки ред.

  1. Коса називається однорідною, якщо будь-який генератор або завжди додатний, або завжди від'ємний.
  2. 4_1 [ 9 лютого 2006 у Wayback Machine.] Knot Atlas

Література ред.

  • Ian Agol. Bounds on exceptional Dehn filling // Geometry & Topology. — 2000. — Т. 4. — С. 431–449. MR1799796
  • Chun Cao, Robert Meyerhoff. The orientable cusped hyperbolic 3-manifolds of minimum volume // Inventiones Mathematicae. — 2001. — Т. 146, вип. 3. MR1869847
  • Marc Lackenby. Word hyperbolic Dehn surgery // Inventiones Mathematicae. — 2000. — Т. 140, вип. 2. — С. 243–282. MR1756996
  • The maximal number of exceptional Dehn surgeries. — arXiv:0808.1176.
  • Robion Kirby. Problems in low-dimensional topology. (див задачу 1.77, за Кемероном Гордоном[en], для окремих нахилів)
  • William Thurston. The Geometry and Topology of Three-Manifolds. — Princeton University lecture notes (1978–1981).

Посилання ред.

  • 4_1 [ 9 лютого 2006 у Wayback Machine.] Knot Atlas
  • Weisstein, Eric W. Figure Eight Knot (англ.) на сайті Wolfram MathWorld.
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри
Дата публікації:
V teoriyi vuzliv visimka chotirirazovij vuzol abo vuzol Listinga ce yedinij vuzol z chislom peretiniv 4 Ce najmenshe mozhlive chislo peretiniv za vinyatkom trivialnogo vuzla i trilisnika Visimka ye prostim vuzlom Vpershe rozglyanutij Listingom ru u 1847 roci Vuzol Visimka Zmist 1 Pohodzhennya nazvi 2 Opis 3 Matematichni vlastivosti 4 Invarianti 5 Primitki 6 Literatura 7 PosilannyaPohodzhennya nazvi red Nazva pohodit vid pobutovogo vuzla visimka na motuzci kinci yakoyi z yednani Opis red Proste parametrichne podannya vuzla visimka zadayetsya mnozhinoyu tochok x y z dlya yakih x 2 cos 2 t cos 3 t y 2 cos 2 t sin 3 t z sin 4 t displaystyle begin aligned x amp left 2 cos 2t right cos 3t y amp left 2 cos 2t right sin 3t z amp sin 4t end aligned nbsp de t dijsna zminna Visimka ye prostim alternovanim racionalnim en vuzlom z vidpovidnim znachennyam 5 2 Vin ye takozh ahiralnim vuzlom Visimka ye rozsharovanim en vuzlom Ce viplivaye z inshogo skladnishogo ale cikavishogo podannya vuzla Vuzol ye odnoridnoyu 1 zamknutoyu kosoyu a same zamikannyam kosi z 3 nitkami s1s2 1s1s2 1 a teorema Dzhona Stallingsa en pokazuye sho bud yaka odnoridna kosa ye rozsharovanoyu Vuzol ye zacheplennyam u tochci 0 0 0 0 izolovanij kritichnij tochci dijsnogo polinomialnogo vidobrazhennya F R4 R2 tak sho zgidno z teoremoyu Dzhona Milnora vidobrazhennya Milnora en F ye rozsharuvannyam Bernard Peron znajshov pershu taku funkciyu F dlya cogo vuzla a same F x y z t G x y z 2 t 2 2 z t displaystyle F x y z t G x y z 2 t 2 2zt nbsp de G x y z t z x 2 y 2 z 2 t 2 x 6 x 2 2 y 2 2 z 2 2 t 2 t x 2 y 6 x 2 2 y 2 2 z 2 2 t 2 displaystyle begin aligned G x y z t amp z x 2 y 2 z 2 t 2 x 6x 2 2y 2 2z 2 2t 2 amp tx sqrt 2 y 6x 2 2y 2 2z 2 2t 2 end aligned nbsp Matematichni vlastivosti red Vuzol visimka grav istorichno vazhlivu rol i prodovzhuye yiyi grati v teoriyi 3 mnogovidiv en Des v seredini 1970 h Vilyam Terston pokazav sho visimka ye giperbolichnim vuzlom shlyahom rozkladannya jogo dopovnennya na dva idealnih giperbolichnih tetraedri Robert Rajli i Troels Jorgensen pracyuyuchi nezalezhno odin vid odnogo do cogo pokazali sho visimka ye giperbolichnoyi v inshomu sensi Cya konstrukciya nova na toj chas privela jogo do bagatoh silnih rezultativ i metodiv Napriklad vin zmig pokazati sho vsi okrim desyati hirurgij Dena en na vuzli visimka dayut nehakenovi ru taki sho ne dopuskayut rozsharuvannya Zejferta nerozkladni en 3 mnogovidi Ce buv pershij z takih rezultativ Bagato inshih bulo vidkrito shlyahom uzagalnennya pobudovi Terstona dlya inshih vuzliv i zacheplen Visimka ye takozh giperbolichnim vuzlom z najmenshim mozhlivim ob yemom 2 02 988 zgidno z robotoyu Cho Chun Chun Cao i Roberta Mayerhofa Robert Meyerhoff Z ciyeyi tochki zoru visimku mozhna rozglyadati yak najprostishij giperbolichnij vuzol Dopovnennya visimki ye podvijnim nakrittyam mnogovidu Gizekinga ru yakij maye najmenshij ob yem sered nekompaktnih giperbolichnih 3 mnogovidiv Vuzol visimka i merezhivnij vuzol 2 3 7 en ye dvomya giperbolichnimi vuzlami dlya yakih vidomo bilshe shesti osoblivih hirurgij hirurgij Dena yaki privodyat do negiperbolichnih 3 mnogoviiv Voni mayut 10 i 7 vidpovidno Teorema Lekenbi Lackenby i Mayergofa dovedennya yakoyi spirayetsya na gipotezu pro geometrizaciyu i vikoristannya komp yuternih obchislen stverdzhuye sho 10 ye najbilshim mozhlivim chislom osoblivih hirurgij dlya bud yakih giperbolichnih vuzliv Odnak dosi ne vstanovleno chi ye visimka yedinim vuzlom na yakomu dosyagayetsya mezha 10 Dobre vidoma gipoteza stverdzhuye sho nizhnya mezha za vinyatkom dvoh zgadanih vuzliv dorivnyuye 6 nbsp Proste pryamokutne zobrazhennya vuzla visimka nbsp Simetrichne zobrazhennya otrimane z parametrichnih rivnyan nbsp Matematichna poverhnya sho ilyustruye vuzol visimkuInvarianti red Mnogochlen Aleksandera visimki dorivnyuye D t t 3 t 1 displaystyle Delta t t 3 t 1 nbsp mnogochlen Konveya dorivnyuye z 1 z 2 displaystyle nabla z 1 z 2 nbsp 2 a mnogochlen Dzhonsa dorivnyuye V q q 2 q 1 q 1 q 2 displaystyle V q q 2 q 1 q 1 q 2 nbsp Simetriya vidnosno q displaystyle q nbsp i q 1 displaystyle q 1 nbsp u mnogochleni Dzhonsa svidchit pro ahiralnist visimki Primitki red Kosa nazivayetsya odnoridnoyu yaksho bud yakij generator s i displaystyle sigma i nbsp abo zavzhdi dodatnij abo zavzhdi vid yemnij 4 1 Arhivovano 9 lyutogo 2006 u Wayback Machine Knot AtlasLiteratura red Ian Agol Bounds on exceptional Dehn filling Geometry amp Topology 2000 T 4 S 431 449 MR1799796 Chun Cao Robert Meyerhoff The orientable cusped hyperbolic 3 manifolds of minimum volume Inventiones Mathematicae 2001 T 146 vip 3 MR1869847 Marc Lackenby Word hyperbolic Dehn surgery Inventiones Mathematicae 2000 T 140 vip 2 S 243 282 MR1756996 The maximal number of exceptional Dehn surgeries arXiv 0808 1176 Robion Kirby Problems in low dimensional topology div zadachu 1 77 za Kemeronom Gordonom en dlya okremih nahiliv William Thurston The Geometry and Topology of Three Manifolds Princeton University lecture notes 1978 1981 Posilannya red 4 1 Arhivovano 9 lyutogo 2006 u Wayback Machine Knot Atlas Weisstein Eric W Figure Eight Knot angl na sajti Wolfram MathWorld Otrimano z https uk wikipedia org w index php title Visimka teoriya vuzliv amp oldid 36696369