www.wikidata.uk-ua.nina.az

Теорія вузлів В топології теорія вузлів вивчає математичні вузли На відміну від вузлів які зустрічаються в повсякденному

Теорія вузлів

В топології, теорія вузлів вивчає математичні вузли. На відміну від вузлів, які зустрічаються в повсякденному житті, такі як, наприклад, вузли на шнурках, математичні вузли завжди замкнені, тобто, їхні кінці не можуть бути роз'єднані. Мовою математики, вузол — це вкладення кола в тривимірний евклідів простір, R3 (у топології, коли ми говоримо про коло, то не обмежуємося його звичним геометричним змістом, але включаємо в це поняття всі його гомеоморфізми). Два математичні вузли вважаються однаковими, якщо їх можна перевести один в інший деформацією простору R3  всередині самого себе (відома як охоплювальна ізотопія); до цих трансформацій відносяться такі маніпуляції з вузлом, що не включають його розрізання і подальше склеювання, або проходження кривої, що формує вузол, самої через себе.

Тривимірне зображення вузла-трилисника, найпростішого нетривіального вузла
Діаграма вузла-трилисника

Вузли можна описати різними способами. Наприклад, поширеним методом описання вузла є пласка схема, що називається діаграмою вузла. Але будь-який вузол можна зобразити на ній багатьма різними способами. З цього випливає одна з фундаментальних проблем теорії вузлів — визначити, чи зображують два різні описи один і той самий вузол.

Розв'язки цієї задачі існують, але їхня складність невідома. На практиці, вузли часто порівнюють, використовуючи інваріанти — кількісні характеристики вузлів, що є незмінними для вузла незалежно від способу його зображення. Важливими інваріантами є різноманітні многочлени вузлів, група вузла, а також гіперболічні інваріанти.

Початковою задачею теорії вузлів було створення таблиці вузлів і зачеплень (вузли з кількох компонент, переплетених між собою). З тих пір було описано близько шести мільярдів вузлів і зачеплень.[джерело?]

Для подальшого розширення теорії вузлів вони генералізуються в кількох напрямках. Вузли можуть вкладатися в інші, неевклідові простори, і вкладатися можуть не кола, а інші об'єкти. Вузлами високих вимірів називають n-вимірні сфери, що вкладені у m-вимірні евклідові простори. 

Історія Редагувати

Кельтський малюнок з Келлської книги, IX ст.

За даними археології, вузли почали в'язати ще в доісторичні часи. Окрім практичного використання, такого як зв'язування предметів або запис інформації, вузли цікавили людей як естетичні об'єкти та релігійні символи. Вузли часто використовуються в китайських витворах мистецтва, що зустрічаються починаючи з кількох століть до нашої ери. Нескінченний вузол трапляється в тибетському буддизмі, тоді як кільця Борромео зустрічаються в різноманітних археологічних згадках різних культур. Кельтські монахи, що створили Келлську книгу, вкривали цілі сторінки заплутаними кельтськими вузлами.

Математичну теорію вузлів започаткував Александр-Теофіл Вандермонд, який довів важливість топологічних ознак для властивостей вузлів. Дослідження вузлів почав у XIX столітті, Гаус, який ввів поняття коефіцієнта зачеплення. В 1860-х теорія лорда Кельвіна про те, що атоми є вузлами в ефірі, спонукала Пітера Гатрі Тета створити першу класифікацію вузлів. Тет опублікував 1885 року таблицю вузлів які мають до 10 зачеплень. Це дослідження мотивувало ранніх дослідників вузлів, але несподівано теорія вузлів стала частиною динамічної дисципліни топології. 

Перший класифікатор вузлів Пітер Гатрі Тет

Еквівалентність вузлів Редагувати

Зліва - тривіальний вузол, і вузол, еквівалентний йому. Але для більш складних вузлів, таких як вузол справа, може бути складніше встановити їхню еквівалентність тривіальному.

Вузол будується, починаючи з одновимірного сегменту, який подовжується, і, можливо, обертається кілька разів навколо самого себе, а потім поєднується зі своїм власним початком. Можна сказати, що вузол   це ін'єктивна і неперервна функція  і . Топологи зауважують, що вузли й інші подібні об'єкти, такі як зачеплення і коси є еквівалентними, якщо їх можна перевести один в одного без розривів і самоперетинів. Формально це можна сформулювати так: два вузли   є еквівалентними, якщо існує гомеоморфізм зі збереженою орієнтацією , такий, що

Базова проблема теорії вузлів — проблема розпізнавання, доведення еквівалентності двох вузлів. Алгоритми для вирішення цієї проблеми створив Вольфганг Гакен[en] у 1960-х. Але ці алгоритми дуже часоємні. Частковим випадком цієї проблеми є відрізнення тривіального вузла від нетривіального (unknotting problem).

Діаграма вузла Редагувати

Зручний спосіб візуалізувати й маніпулювати вузлом полягає в тому, щоб спроєктувати вузол на площину, і позначити в точках перетину ліній, яка з них проходить над іншою — таким чином, проєкція буде ін'єктивним відображенням вузла. Зазвичай у цих точках лінія, що йде знизу, розривається.

Такі діаграми називають діаграмами вузлів, або діаграмами зачеплень (залежно від того, що вони репрезентують).

Аналогічно, заплутані поверхні в 4-вимірному просторі можна спроєктувати на 3-вимірний простір.

Спрощеною діаграмою вузла називається така діаграма, в якій нема перетинів, що можуть бути прибраними.

Рухи Рейдемейстера Редагувати

1927 року, працюючи з діаграмами вузлів, Джеймс Александер[ru] і Г. Б. Бріггс, і, незалежно від них, Курт Рейдемейстер, показали, що дві діаграми, які належать одному вузлу, можна перетворити одну в іншу послідовністю операцій певного виду. Такі операції називають зараз рухами Рейдемейстера, і їх є три види:

  • перекрутити лінію,
  • накласти одну лінію на іншу,
  • перенести лінію через точку перетину інших ліній.
Рухи Рейдемейстера
Тип I Тип II
Тип III

Інваріанти вузлів Редагувати

Інваріантами вузла називаються величини, що є однаковими для будь-яких еквівалентних вузлів. Якщо два вузли мають різні значення інваріантів, то ці вузли нееквівалентні. Проте, в загальному випадку, рівність інваріантів не доводить еквівалентності вузлів, бо різні вузли можуть мати деякі з інваріантів однаковими.

«Класичні» інваріанти вузлів включають фундаментальну групу доповнення до вузла і многочлен Александера. В кінці XX століття відкрито такі інваріанти як квантові многочлени, інваріанти Васильєва і гіперболічні інваріанти.

Многочлени вузлів Редагувати

Многочленом вузла називають інваріант вузла у формі многочлена, коефіцієнти якого кодують деякі властивості цього вузла.

Перший многочлен вузла, многочлен Александера, відкрив Джеймс Александер 1923 року, але інші многочлени відкрито лише через 60 років.

У 1960-х, Джон Конвей запропонував скейн-співвідношення для нової версії многочлена Александера, яка називається тепер многочленом Александера — Конвея. Важливість скейн-співвідношень не була зрозумілою до 1980-х, коли Воен Джонс відкрив многочлен Джонса. Це підштовхнуло до відкриття багатьох інших многочленів, таких як многочлен HOMFLY

Невдовзі після відкриття Джонса, Луїс Кауфман помітив, що многочлен Джонса можна обчислити в термінах моделі сум і станів, і вивів таким чином дужку Кауфмана, інваріант для обрамленого вузла. Це відкриття показало глибокий зв'язок між теорією вузлів і статистичною механікою.

Кожній діаграмі неорієнтованого зачеплення зіставляється дужка Кауфмана від змінних таким чином, щоб виконувалися співвідношення:

Маленькі картинки у першому співвідношенні позначають діаграми, які збігаються поза пунктирними колами, а всередині влаштовані так, як показано на картинках. Якщо позначити діаграми відповідно

то перше співвідношення можна записати як Для перехрестя діаграми уміщеного в коло, діаграми визначені однозначно, незалежно від того, як воно повернуте. Дуги діаграм обираються в областях та відповідно. Позначмо літерою чверть кола, яка при вході у коло є видною ліворуч, і ту чверть кола, яка при виході з кола видна праворуч. Це визначення не залежить від того, з якого боку зайти до кола.

Співвідношення 2 означає, що додавання до діаграми кола, яке не перетинає проєкції відповідного діаграмі зачеплення, приводить до многочлена, який отримується з початкового множенням на Співвідношення 3 означає, що колу відповідає многочлен, який дорівнює 1. Многочлен не змінюється за плоскої ізотопії діаграми. Використавши багаторазово співвідношення 1 і один раз використавши співвідношення 2, отримаємо

Таким чином вдається пов'язати змінні співвідношеннями, щоб отриманий многочлен був інваріантним відносно рухів Рейдемейстра.

Приклади многочленів для деяких вузлів:

Скейн-співвідношення Редагувати

Скейн-співвідношеннями називається рекурсивний спосіб обчислення многочленів. Вони задають співвідношення між трьома діаграмами вузлів, що відрізняються лише в одній точці — в одній з них лінії не перетинаються, у двох інших одна чи інша лінія знаходиться згори. Їх позначають як таким чином:

Кінцевий результат обчислень не залежить від того, як саме ми будемо рухатись по вузлу, але важливо весь час дотримуватися одного й того ж напрямку.

Багато многочленів вузлів можна задати тим чи іншим скейн-співвідношенням. Наприклад, многочлен Джонса задається таким чином:

А многочлен Конвея, так:

(В обох випадках, значення многочлена для тривіального вузла дорівнює одиниці).

Послідовно виражаючи діаграму через простіші, будь-який вузол можна звести до тривіального.

Застосування теорії вузлів Редагувати

Деякі автори вважають, що є тісний зв'язок між квантовою теорією і теорією вузлів. Наприклад, рівняння Янга — Бакстера[ru], що використовуються в квантовій механіці і статистичній механіці, є еквівалентними третьому руху Рейдемейстера, а модель Поттса, що описує фазові переходи речовини, має математичні зв'язки з многочленом Джонса.

Інваріанти Васильєва можна використати для побудови біалгебра[en], схожих на алгебри діаграм Фейнмана.

Ці зв'язки використовуються для топологічного описання квантової теорії.

Примітки Редагувати

  1. ↑ . Архів оригіналу за 13 грудня 2016. Процитовано 22 серпня 2016. 
  2. . Архів оригіналу за 7 червня 2013. Процитовано 22 серпня 2016. 
  3. . Архів оригіналу за 29 березня 2017. Процитовано 22 серпня 2016. 
  4. В.В.Прасолов, А.Б.Сосинский - Узлы, зацепления, косы и трехмерные многообразия. 
  5. . Архів оригіналу за 16 серпня 2016. Процитовано 22 серпня 2016. 
  6. . Архів оригіналу за 12 серпня 2016. Процитовано 22 серпня 2016. 
  7. . Архів оригіналу за 13 серпня 2016. Процитовано 22 серпня 2016. 
  8. . Архів оригіналу за 26 серпня 2016. Процитовано 22 серпня 2016. 
  9. . Архів оригіналу за 23 серпня 2016. Процитовано 22 серпня 2016. 
  10. . Архів оригіналу за 25 серпня 2016. Процитовано 22 серпня 2016. 
  11. . Архів оригіналу за 28 серпня 2016. Процитовано 22 серпня 2016. 

Посилання Редагувати

Таблиці вузлів і програмне забезпечення для вивчення вузлів Редагувати

  • KnotInfo [ 9 грудня 2019 у Wayback Machine.] — таблиці інваріантів вузлів та ресурси теорії вузлів (база даних)
  • The Knot Atlas [ 28 червня 2021 у Wayback Machine.] — детальна інформація про вузли, подана у таблицях (вікі)
  • KnotPlot [ 10 травня 2020 у Wayback Machine.] — програмне забезпечення для вивчення геометричних властивостей вузлів
  • Knotscape [ 28 лютого 2020 у Wayback Machine.] — програмне забезпечення для створення зображень вузлів
  • Knoutilus [ 27 червня 2020 у Wayback Machine.] — онлайн база даних та генератор зображень вузлів
  • KnotData.html [ 18 вересня 2020 у Wayback Machine.] — функції Wolfram Mathematica для дослідження вузлів
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри
Дата публікації:
V topologiyi teoriya vuzliv vivchaye matematichni vuzli Na vidminu vid vuzliv yaki zustrichayutsya v povsyakdennomu zhitti taki yak napriklad vuzli na shnurkah matematichni vuzli zavzhdi zamkneni tobto yihni kinci ne mozhut buti roz yednani Movoyu matematiki vuzol ce vkladennya kola v trivimirnij evklidiv prostir R3 u topologiyi koli mi govorimo pro kolo to ne obmezhuyemosya jogo zvichnim geometrichnim zmistom ale vklyuchayemo v ce ponyattya vsi jogo gomeomorfizmi Dva matematichni vuzli vvazhayutsya odnakovimi yaksho yih mozhna perevesti odin v inshij deformaciyeyu prostoru R3 vseredini samogo sebe vidoma yak ohoplyuvalna izotopiya do cih transformacij vidnosyatsya taki manipulyaciyi z vuzlom sho ne vklyuchayut jogo rozrizannya i podalshe skleyuvannya abo prohodzhennya krivoyi sho formuye vuzol samoyi cherez sebe Trivimirne zobrazhennya vuzla trilisnika najprostishogo netrivialnogo vuzlaDiagrama vuzla trilisnikaVuzli mozhna opisati riznimi sposobami Napriklad poshirenim metodom opisannya vuzla ye plaska shema sho nazivayetsya diagramoyu vuzla Ale bud yakij vuzol mozhna zobraziti na nij bagatma riznimi sposobami Z cogo viplivaye odna z fundamentalnih problem teoriyi vuzliv viznachiti chi zobrazhuyut dva rizni opisi odin i toj samij vuzol Rozv yazki ciyeyi zadachi isnuyut ale yihnya skladnist nevidoma Na praktici vuzli chasto porivnyuyut vikoristovuyuchi invarianti kilkisni harakteristiki vuzliv sho ye nezminnimi dlya vuzla nezalezhno vid sposobu jogo zobrazhennya Vazhlivimi invariantami ye riznomanitni mnogochleni vuzliv grupa vuzla a takozh giperbolichni invarianti Pochatkovoyu zadacheyu teoriyi vuzliv bulo stvorennya tablici vuzliv i zacheplen vuzli z kilkoh komponent perepletenih mizh soboyu Z tih pir bulo opisano blizko shesti milyardiv vuzliv i zacheplen dzherelo Dlya podalshogo rozshirennya teoriyi vuzliv voni generalizuyutsya v kilkoh napryamkah Vuzli mozhut vkladatisya v inshi neevklidovi prostori i vkladatisya mozhut ne kola a inshi ob yekti Vuzlami visokih vimiriv nazivayut n vimirni sferi sho vkladeni u m vimirni evklidovi prostori Zmist 1 Istoriya 2 Ekvivalentnist vuzliv 3 Diagrama vuzla 3 1 Ruhi Rejdemejstera 4 Invarianti vuzliv 4 1 Mnogochleni vuzliv 4 2 Skejn spivvidnoshennya 5 Zastosuvannya teoriyi vuzliv 6 Primitki 7 Posilannya 7 1 Tablici vuzliv i programne zabezpechennya dlya vivchennya vuzlivIstoriya Redaguvati nbsp Keltskij malyunok z Kellskoyi knigi IX st Za danimi arheologiyi vuzli pochali v yazati she v doistorichni chasi Okrim praktichnogo vikoristannya takogo yak zv yazuvannya predmetiv abo zapis informaciyi vuzli cikavili lyudej yak estetichni ob yekti ta religijni simvoli Vuzli chasto vikoristovuyutsya v kitajskih vitvorah mistectva sho zustrichayutsya pochinayuchi z kilkoh stolit do nashoyi eri Neskinchennij vuzol traplyayetsya v tibetskomu buddizmi todi yak kilcya Borromeo zustrichayutsya v riznomanitnih arheologichnih zgadkah riznih kultur Keltski monahi sho stvorili Kellsku knigu vkrivali cili storinki zaplutanimi keltskimi vuzlami Matematichnu teoriyu vuzliv zapochatkuvav Aleksandr Teofil Vandermond yakij doviv vazhlivist topologichnih oznak dlya vlastivostej vuzliv Doslidzhennya vuzliv pochav u XIX stolitti Gaus yakij vviv ponyattya koeficiyenta zacheplennya V 1860 h teoriya lorda Kelvina pro te sho atomi ye vuzlami v efiri sponukala Pitera Gatri Teta stvoriti pershu klasifikaciyu vuzliv Tet opublikuvav 1885 roku tablicyu vuzliv yaki mayut do 10 zacheplen Ce doslidzhennya motivuvalo rannih doslidnikiv vuzliv ale nespodivano teoriya vuzliv stala chastinoyu dinamichnoyi disciplini topologiyi 1 nbsp Pershij klasifikator vuzliv Piter Gatri TetEkvivalentnist vuzliv Redaguvati nbsp nbsp Zliva trivialnij vuzol i vuzol ekvivalentnij jomu Ale dlya bilsh skladnih vuzliv takih yak vuzol sprava mozhe buti skladnishe vstanoviti yihnyu ekvivalentnist trivialnomu Vuzol buduyetsya pochinayuchi z odnovimirnogo segmentu yakij podovzhuyetsya i mozhlivo obertayetsya kilka raziv navkolo samogo sebe a potim poyednuyetsya zi svoyim vlasnim pochatkom Mozhna skazati sho vuzol K displaystyle K nbsp ce in yektivna i neperervna funkciya K 0 1 R 3 displaystyle K colon 0 1 to mathbb R 3 nbsp i K 0 K 1 displaystyle K 0 K 1 nbsp Topologi zauvazhuyut sho vuzli j inshi podibni ob yekti taki yak zacheplennya i kosi ye ekvivalentnimi yaksho yih mozhna perevesti odin v odnogo bez rozriviv i samoperetiniv Formalno ce mozhna sformulyuvati tak dva vuzli K 1 K 2 displaystyle K 1 K 2 nbsp ye ekvivalentnimi yaksho isnuye gomeomorfizm zi zberezhenoyu oriyentaciyeyu h R 3 R 3 displaystyle h colon mathbb R 3 to mathbb R 3 nbsp takij sho h K 1 K 2 displaystyle h K 1 K 2 nbsp Bazova problema teoriyi vuzliv problema rozpiznavannya dovedennya ekvivalentnosti dvoh vuzliv Algoritmi dlya virishennya ciyeyi problemi stvoriv Volfgang Gaken en u 1960 h Ale ci algoritmi duzhe chasoyemni Chastkovim vipadkom ciyeyi problemi ye vidriznennya trivialnogo vuzla vid netrivialnogo unknotting problem Diagrama vuzla RedaguvatiZruchnij sposib vizualizuvati j manipulyuvati vuzlom polyagaye v tomu shob sproyektuvati vuzol na ploshinu i poznachiti v tochkah peretinu linij yaka z nih prohodit nad inshoyu takim chinom proyekciya bude in yektivnim vidobrazhennyam vuzla Zazvichaj u cih tochkah liniya sho jde znizu rozrivayetsya 2 Taki diagrami nazivayut diagramami vuzliv abo diagramami zacheplen zalezhno vid togo sho voni reprezentuyut Analogichno zaplutani poverhni v 4 vimirnomu prostori mozhna sproyektuvati na 3 vimirnij prostir Sproshenoyu diagramoyu vuzla nazivayetsya taka diagrama v yakij nema peretiniv sho mozhut buti pribranimi Ruhi Rejdemejstera Redaguvati Dokladnishe Ruh Rejdemejstera1927 roku pracyuyuchi z diagramami vuzliv Dzhejms Aleksander ru i G B Briggs i nezalezhno vid nih Kurt Rejdemejster pokazali sho dvi diagrami yaki nalezhat odnomu vuzlu mozhna peretvoriti odnu v inshu poslidovnistyu operacij pevnogo vidu 3 Taki operaciyi nazivayut zaraz ruhami Rejdemejstera i yih ye tri vidi perekrutiti liniyu naklasti odnu liniyu na inshu perenesti liniyu cherez tochku peretinu inshih linij Ruhi Rejdemejstera nbsp nbsp nbsp Tip I Tip II nbsp Tip IIIInvarianti vuzliv RedaguvatiDokladnishe Invariant vuzlaInvariantami vuzla nazivayutsya velichini sho ye odnakovimi dlya bud yakih ekvivalentnih vuzliv Yaksho dva vuzli mayut rizni znachennya invariantiv to ci vuzli neekvivalentni Prote v zagalnomu vipadku rivnist invariantiv ne dovodit ekvivalentnosti vuzliv bo rizni vuzli mozhut mati deyaki z invariantiv odnakovimi Klasichni invarianti vuzliv vklyuchayut fundamentalnu grupu dopovnennya do vuzla i mnogochlen Aleksandera V kinci XX stolittya vidkrito taki invarianti yak kvantovi mnogochleni invarianti Vasilyeva i giperbolichni invarianti Mnogochleni vuzliv Redaguvati Dokladnishe Mnogochlen vuzlaMnogochlenom vuzla nazivayut invariant vuzla u formi mnogochlena koeficiyenti yakogo koduyut deyaki vlastivosti cogo vuzla Pershij mnogochlen vuzla mnogochlen Aleksandera vidkriv Dzhejms Aleksander 1923 roku ale inshi mnogochleni vidkrito lishe cherez 60 rokiv U 1960 h Dzhon Konvej zaproponuvav skejn spivvidnoshennya dlya novoyi versiyi mnogochlena Aleksandera yaka nazivayetsya teper mnogochlenom Aleksandera Konveya Vazhlivist skejn spivvidnoshen ne bula zrozumiloyu do 1980 h koli Voen Dzhons vidkriv mnogochlen Dzhonsa Ce pidshtovhnulo do vidkrittya bagatoh inshih mnogochleniv takih yak mnogochlen HOMFLYNevdovzi pislya vidkrittya Dzhonsa Luyis Kaufman pomitiv sho mnogochlen Dzhonsa mozhna obchisliti v terminah modeli sum i staniv i viviv takim chinom duzhku Kaufmana invariant dlya obramlenogo vuzla Ce vidkrittya pokazalo glibokij zv yazok mizh teoriyeyu vuzliv i statistichnoyu mehanikoyu Kozhnij diagrami L displaystyle L nbsp neoriyentovanogo zacheplennya zistavlyayetsya duzhka Kaufmana L displaystyle langle L rangle nbsp vid zminnih a b c displaystyle a b c nbsp takim chinom shob vikonuvalisya spivvidnoshennya nbsp Malenki kartinki u pershomu spivvidnoshenni poznachayut diagrami yaki zbigayutsya poza punktirnimi kolami a vseredini vlashtovani tak yak pokazano na kartinkah Yaksho poznachiti diagrami vidpovidno L L A L B displaystyle L L A L B nbsp nbsp to pershe spivvidnoshennya mozhna zapisati yak L a L A b L B displaystyle L a langle L A rangle b langle L B rangle nbsp Dlya perehrestya diagrami L displaystyle L nbsp umishenogo v kolo diagrami L A L B displaystyle L A L B nbsp viznacheni odnoznachno nezalezhno vid togo yak vono povernute Dugi diagram L A L B displaystyle L A L B nbsp obirayutsya v oblastyah A displaystyle A nbsp ta B displaystyle B nbsp vidpovidno Poznachmo literoyu A displaystyle A nbsp chvert kola yaka pri vhodi u kolo ye vidnoyu livoruch i tu chvert kola yaka pri vihodi z kola vidna pravoruch Ce viznachennya ne zalezhit vid togo z yakogo boku zajti do kola nbsp Spivvidnoshennya 2 oznachaye sho dodavannya do diagrami kola yake ne peretinaye proyekciyi vidpovidnogo diagrami zacheplennya privodit do mnogochlena yakij otrimuyetsya z pochatkovogo mnozhennyam na c displaystyle c nbsp Spivvidnoshennya 3 oznachaye sho kolu vidpovidaye mnogochlen yakij dorivnyuye 1 Mnogochlen L displaystyle langle L rangle nbsp ne zminyuyetsya za ploskoyi izotopiyi diagrami Vikoristavshi bagatorazovo spivvidnoshennya 1 i odin raz vikoristavshi spivvidnoshennya 2 otrimayemo nbsp Takim chinom vdayetsya pov yazati zminni a b c textstyle a b c nbsp spivvidnoshennyami shob otrimanij mnogochlen buv invariantnim vidnosno ruhiv Rejdemejstra 4 Prikladi mnogochleniv dlya deyakih vuzliv Forma Aleksandera Briggza Mnogochlen Aleksandera D t displaystyle Delta t nbsp Mnogochlen Konveya z displaystyle nabla z nbsp Mnogochlen Dzhonsa V q displaystyle V q nbsp Mnogochlen HOMFLYH a z displaystyle H a z nbsp 0 1 displaystyle 0 1 nbsp Trivialnij vuzol 5 1 displaystyle 1 nbsp 1 displaystyle 1 nbsp 1 displaystyle 1 nbsp 1 displaystyle 1 nbsp 3 1 displaystyle 3 1 nbsp Trilisnik 6 t 1 t 1 displaystyle t 1 t 1 nbsp z 2 1 displaystyle z 2 1 nbsp q 1 q 3 q 4 displaystyle q 1 q 3 q 4 nbsp a 4 a 2 z 2 2 a 2 displaystyle a 4 a 2 z 2 2a 2 nbsp 4 1 displaystyle 4 1 nbsp Visimka 7 t 3 t 1 displaystyle t 3 t 1 nbsp z 2 1 displaystyle z 2 1 nbsp q 2 q 1 q 1 q 2 displaystyle q 2 q 1 q 1 q 2 nbsp a 2 a 2 z 2 1 displaystyle a 2 a 2 z 2 1 nbsp 5 1 displaystyle 5 1 nbsp Perstach 8 t 2 t 1 t 1 t 2 displaystyle t 2 t 1 t 1 t 2 nbsp z 4 3 z 2 1 displaystyle z 4 3z 2 1 nbsp q 2 q 4 q 5 q 6 q 7 displaystyle q 2 q 4 q 5 q 6 q 7 nbsp a 6 z 2 2 a 6 a 4 z 4 4 a 4 z 2 3 a 4 displaystyle a 6 z 2 2a 6 a 4 z 4 4a 4 z 2 3a 4 nbsp displaystyle nbsp Babin vuzol 9 t 1 t 1 2 displaystyle left t 1 t 1 right 2 nbsp z 2 1 2 displaystyle left z 2 1 right 2 nbsp q 1 q 3 q 4 2 displaystyle left q 1 q 3 q 4 right 2 nbsp a 4 a 2 z 2 2 a 2 2 displaystyle left a 4 a 2 z 2 2a 2 right 2 nbsp displaystyle nbsp Pryamij vuzol 10 t 1 t 1 2 displaystyle left t 1 t 1 right 2 nbsp z 2 1 2 displaystyle left z 2 1 right 2 nbsp q 1 q 3 q 4 q q 3 q 4 displaystyle left q 1 q 3 q 4 right left q q 3 q 4 right nbsp a 4 a 2 z 2 2 a 2 displaystyle left a 4 a 2 z 2 2a 2 right times nbsp a 4 a 2 z 2 2 a 2 displaystyle left a 4 a 2 z 2 2a 2 right nbsp Skejn spivvidnoshennya Redaguvati Dokladnishe Skejn spivvidnoshennyaSkejn spivvidnoshennyami nazivayetsya rekursivnij sposib obchislennya mnogochleniv Voni zadayut spivvidnoshennya mizh troma diagramami vuzliv sho vidriznyayutsya lishe v odnij tochci v odnij z nih liniyi ne peretinayutsya u dvoh inshih odna chi insha liniya znahoditsya zgori Yih poznachayut yak L L L 0 displaystyle L L L 0 nbsp takim chinom nbsp Kincevij rezultat obchislen ne zalezhit vid togo yak same mi budemo ruhatis po vuzlu ale vazhlivo ves chas dotrimuvatisya odnogo j togo zh napryamku Bagato mnogochleniv vuzliv mozhna zadati tim chi inshim skejn spivvidnoshennyam Napriklad mnogochlen Dzhonsa zadayetsya takim chinom t 1 2 t 1 2 V L 0 t 1 V L t V L displaystyle t 1 2 t 1 2 V L 0 t 1 V L tV L nbsp A mnogochlen Konveya tak L L z L 0 displaystyle nabla L nabla L z nabla L 0 nbsp V oboh vipadkah znachennya mnogochlena dlya trivialnogo vuzla dorivnyuye odinici Poslidovno virazhayuchi diagramu cherez prostishi bud yakij vuzol mozhna zvesti do trivialnogo 11 Zastosuvannya teoriyi vuzliv RedaguvatiDeyaki avtori vvazhayut sho ye tisnij zv yazok mizh kvantovoyu teoriyeyu i teoriyeyu vuzliv Napriklad rivnyannya Yanga Bakstera ru sho vikoristovuyutsya v kvantovij mehanici i statistichnij mehanici ye ekvivalentnimi tretomu ruhu Rejdemejstera a model Pottsa sho opisuye fazovi perehodi rechovini maye matematichni zv yazki z mnogochlenom Dzhonsa Invarianti Vasilyeva mozhna vikoristati dlya pobudovi bialgebra en shozhih na algebri diagram Fejnmana Ci zv yazki vikoristovuyutsya dlya topologichnogo opisannya kvantovoyi teoriyi 1 Primitki Redaguvati a b Uzly HRONOLOGIYa ODNOJ MATEMATIChESKOJ TEORII Arhiv originalu za 13 grudnya 2016 Procitovano 22 serpnya 2016 Uzly i ih invarianty Arhiv originalu za 7 chervnya 2013 Procitovano 22 serpnya 2016 Ekskurs v teoriyu uzlov Arhiv originalu za 29 bereznya 2017 Procitovano 22 serpnya 2016 V V Prasolov A B Sosinskij Uzly zacepleniya kosy i trehmernye mnogoobraziya Trivialnij vuzol v Atlasi vuzliv Arhiv originalu za 16 serpnya 2016 Procitovano 22 serpnya 2016 Trilisnik v Atlasi vuzliv Arhiv originalu za 12 serpnya 2016 Procitovano 22 serpnya 2016 Visimka v Atlasi vuzliv Arhiv originalu za 13 serpnya 2016 Procitovano 22 serpnya 2016 P yatilisnik perstach v Atlasi vuzliv Arhiv originalu za 26 serpnya 2016 Procitovano 22 serpnya 2016 Babin vuzol Arhiv originalu za 23 serpnya 2016 Procitovano 22 serpnya 2016 Pryamij vuzol Arhiv originalu za 25 serpnya 2016 Procitovano 22 serpnya 2016 Matematika XX veka Arhiv originalu za 28 serpnya 2016 Procitovano 22 serpnya 2016 Posilannya RedaguvatiTablici vuzliv i programne zabezpechennya dlya vivchennya vuzliv Redaguvati KnotInfo Arhivovano 9 grudnya 2019 u Wayback Machine tablici invariantiv vuzliv ta resursi teoriyi vuzliv baza danih The Knot Atlas Arhivovano 28 chervnya 2021 u Wayback Machine detalna informaciya pro vuzli podana u tablicyah viki KnotPlot Arhivovano 10 travnya 2020 u Wayback Machine programne zabezpechennya dlya vivchennya geometrichnih vlastivostej vuzliv Knotscape Arhivovano 28 lyutogo 2020 u Wayback Machine programne zabezpechennya dlya stvorennya zobrazhen vuzliv Knoutilus Arhivovano 27 chervnya 2020 u Wayback Machine onlajn baza danih ta generator zobrazhen vuzliv KnotData html Arhivovano 18 veresnya 2020 u Wayback Machine funkciyi Wolfram Mathematica dlya doslidzhennya vuzliv Otrimano z https uk wikipedia org w index php title Teoriya vuzliv amp oldid 35081836