www.wikidata.uk-ua.nina.az

Многочлен ом багаточленом або поліномом однієї змінної в математиці називається вираз виглядуГрафік поліноміальної функц

Многочлен

Многочленом, багаточленом або поліномом однієї змінної в математиці називається вираз вигляду

Графік поліноміальної функції 3-го степеня

де є сталими коефіцієнтами (константами), а  — змінна.

Наприклад, , та , є многочленами, але та не є многочленами.

Многочленом від декількох змінних називається скінченна сума, в якій кожен з доданків є добутком скінченного числа цілих степенів змінних та константи:

Многочлени є одним з найважливіших класів елементарних функцій.

Пов'язані терміни

В многочлені доданки називаються його членами. Якщо , то називається старшим членом, а його степінь степенем многочлена. Степінь многочлена позначається . Член нульового степеня називається вільним членом.

Ще є нульовий многочлен (інколи пишуть , щоб підкреслити, що це не рівняння, а тотожність), який не має жодного члена, тому визначення степеня многочлена до нього застосувати не можна. Для зручності вважають, що степінь нульового многочлена дорівнює мінус нескінченності, .

Многочлен нульового степеня називається константою, першого степеня — лінійним, другого степеня — квадратичним, третього степеня — кубічним. Многочлени степеня більше нуля ми будемо називати неконстантними або нетривіальними.

Многочлен з одним членом називається одночленом, з двома членами — двочленом, з трьома — тричленом.

Наприклад,  — кубічний тричлен з членами , і , причому  — це старший член, а  — вільний член.

Операції над многочленами

  • Сума многочленів є многочленом. Степінь суми многочленів менше або дорівнює максимуму степенів доданків.
  • Добуток многочленів є многочленом. Степінь добутку многочленів дорівнює сумі степенів співмножників.
  • Многочлени можна ділити з остачею: якщо  — ненульовий многочлен, то будь-який многочлен можна представити у вигляді

де і  — многочлени, причому .

Корінь многочлена

Многочлен можна розглядати як функцію від змінної . Число називається коренем многочлена , якщо воно є коренем відповідної функції, тобто якщо . Це рівносильно умові «Многочлен ділиться на двочлен без остачі» (див. теорему Безу). Якщо ділиться на без остачі, то корінь називається кратним; якщо не ділиться, то простим. Кратністю кореня називається найбільше число , для якого ділиться на без остачі (таким чином, прості корені — це корені кратності 1).

Розкладання многочлена на нескоротні множники

Див. також: Факторизація многочленів

Якщо неконстантний многочлен можна представити у вигляді , де і  — многочлени степеня не нижче першого, то кажуть, що розкладено на нетривіальні множники , . Якщо ж такого представлення не існує, многочлен називають нескоротним. Зрозуміло, що оскільки

то

Якщо якийсь з множників , можна розкласти на нетривіальні множники, то ми продовжимо процес розкладання допоки це можливо. Оскільки на кожному кроці степінь множників зменшується, цей процес є скінченним. Отже в результаті ми отримаємо представлення у вигляді

де многочлени є нескоротними. Таке представлення однозначно, з точністю до перестановки множників.

Основна теорема алгебри

Комплексний многочлен степеня має рівно комплексних коренів, з урахуванням кратності.

Інакше кажучи, його можна розкласти на лінійних множників:

Таким чином, серед многочленів з комплексними коефіцієнтами нескоротними є лише лінійні многочлени.

Узагальнений многочлен

Нехай — задана на система линійно незалежних функцій. Узагальненим многочленом будемо називати функцію

де — довільні дійсні числа (коэфіціенти узагальненого многочлена).

Див. також

Джерела

В іншому мовному розділі є повніша стаття Polynomial(англ.). Ви можете допомогти, розширивши поточну статтю за допомогою перекладу з англійської.
  • Дивитись автоперекладену версію статті з мови «англійська».
  • Перекладач повинен розуміти, що відповідальність за кінцевий вміст статті у Вікіпедії несе саме автор редагувань. Онлайн-переклад надається лише як корисний інструмент перегляду вмісту зрозумілою мовою. Не використовуйте невичитаний і невідкоригований машинний переклад у статтях української Вікіпедії!
  • Машинний переклад Google є корисною відправною точкою для перекладу, але перекладачам необхідно виправляти помилки та підтверджувати точність перекладу, а не просто скопіювати машинний переклад до української Вікіпедії.
  • Не перекладайте текст, який видається недостовірним або неякісним. Якщо можливо, перевірте текст за посиланнями, поданими в іншомовній статті.
  • Докладні рекомендації: див. Вікіпедія:Переклад.
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри
Дата публікації:
Mnogochlenom bagatochlenom abo polinomom odniyeyi zminnoyi v matematici nazivayetsya viraz viglyaduGrafik polinomialnoyi funkciyi 3 go stepenya c 0 c 1 x c n x n displaystyle c 0 c 1 x ldots c n x n de c i displaystyle c i ye stalimi koeficiyentami konstantami a x displaystyle x zminna Napriklad 12 3 1 x 2 x 6 displaystyle 12 3 1x 2x 6 ta 1 x x 2 x 3 displaystyle 1 x x 2 x 3 ye mnogochlenami ale 1 x 2 1 displaystyle 1 over x 2 1 ta x 2 1 displaystyle sqrt x 2 1 ne ye mnogochlenami Mnogochlenom vid dekilkoh zminnih nazivayetsya skinchenna suma v yakij kozhen z dodankiv ye dobutkom skinchennogo chisla cilih stepeniv zminnih ta konstanti c 0 c 1 x y 2 c 2 z 3 c 3 x y z displaystyle c 0 c 1 xy 2 c 2 z 3 c 3 xyz ldots Mnogochleni ye odnim z najvazhlivishih klasiv elementarnih funkcij Zmist 1 Pov yazani termini 2 Operaciyi nad mnogochlenami 3 Korin mnogochlena 4 Rozkladannya mnogochlena na neskorotni mnozhniki 5 Osnovna teorema algebri 6 Uzagalnenij mnogochlen 7 Div takozh 8 DzherelaPov yazani termini RedaguvatiV mnogochleni c 0 c 1 x c n x n displaystyle c 0 c 1 x ldots c n x n dodanki c i x i displaystyle c i x i nazivayutsya jogo chlenami Yaksho c n 0 displaystyle c n neq 0 to c n x n displaystyle c n x n nazivayetsya starshim chlenom a jogo stepin n displaystyle n stepenem mnogochlena Stepin mnogochlena f x displaystyle f x poznachayetsya deg f displaystyle deg f Chlen nulovogo stepenya c 0 displaystyle c 0 nazivayetsya vilnim chlenom She ye nulovij mnogochlen f x 0 displaystyle f x 0 inkoli pishut f x 0 displaystyle f x equiv 0 shob pidkresliti sho ce ne rivnyannya a totozhnist yakij ne maye zhodnogo chlena tomu viznachennya stepenya mnogochlena do nogo zastosuvati ne mozhna Dlya zruchnosti vvazhayut sho stepin nulovogo mnogochlena dorivnyuye minus neskinchennosti displaystyle infty Mnogochlen nulovogo stepenya nazivayetsya konstantoyu pershogo stepenya linijnim drugogo stepenya kvadratichnim tretogo stepenya kubichnim Mnogochleni stepenya bilshe nulya mi budemo nazivati nekonstantnimi abo netrivialnimi Mnogochlen z odnim chlenom nazivayetsya odnochlenom z dvoma chlenami dvochlenom z troma trichlenom Napriklad x 3 2 x 5 displaystyle x 3 2x 5 kubichnij trichlen z chlenami x 3 displaystyle x 3 2 x displaystyle 2x i 5 displaystyle 5 prichomu x 3 displaystyle x 3 ce starshij chlen a 5 displaystyle 5 vilnij chlen Operaciyi nad mnogochlenami RedaguvatiSuma mnogochleniv ye mnogochlenom Stepin sumi mnogochleniv menshe abo dorivnyuye maksimumu stepeniv dodankiv i 0 n a i x i i 0 m b i x i i 0 max n m a i b i x i displaystyle sum i 0 n a i x i sum i 0 m b i x i sum i 0 max n m a i b i x i Dobutok mnogochleniv ye mnogochlenom Stepin dobutku mnogochleniv dorivnyuye sumi stepeniv spivmnozhnikiv i 0 n a i x i i 0 m b i x i k 0 n m i j k a i b j x k displaystyle left sum i 0 n a i x i right cdot left sum i 0 m b i x i right sum k 0 n m left sum i j k a i b j right x k Mnogochleni mozhna diliti z ostacheyu yaksho g x displaystyle g x nenulovij mnogochlen to bud yakij mnogochlen f x displaystyle f x mozhna predstaviti u viglyadif x q x g x r x displaystyle f x q x g x r x de q x displaystyle q x i r x displaystyle r x mnogochleni prichomu deg r lt deg g displaystyle deg r lt deg g Korin mnogochlena RedaguvatiDokladnishe Korin mnogochlena ta Metod LilyaMnogochlen mozhna rozglyadati yak funkciyu vid zminnoyi x displaystyle x Chislo a displaystyle a nazivayetsya korenem mnogochlena f x displaystyle f x yaksho vono ye korenem vidpovidnoyi funkciyi tobto yaksho f a 0 displaystyle f a 0 Ce rivnosilno umovi Mnogochlen f x displaystyle f x dilitsya na dvochlen x a displaystyle x a bez ostachi div teoremu Bezu Yaksho f x displaystyle f x dilitsya na x a 2 displaystyle x a 2 bez ostachi to korin a displaystyle a nazivayetsya kratnim yaksho ne dilitsya to prostim Kratnistyu korenya nazivayetsya najbilshe chislo k displaystyle k dlya yakogo f x displaystyle f x dilitsya na x a k displaystyle x a k bez ostachi takim chinom prosti koreni ce koreni kratnosti 1 Rozkladannya mnogochlena na neskorotni mnozhniki RedaguvatiDiv takozh Faktorizaciya mnogochleniv Yaksho nekonstantnij mnogochlen f x displaystyle f x mozhna predstaviti u viglyadi f x g x h x displaystyle f x g x h x de g x displaystyle g x i h x displaystyle h x mnogochleni stepenya ne nizhche pershogo to kazhut sho f x displaystyle f x rozkladeno na netrivialni mnozhniki g x displaystyle g x h x displaystyle h x Yaksho zh takogo predstavlennya ne isnuye mnogochlen nazivayut neskorotnim Zrozumilo sho oskilki deg f deg g deg h displaystyle deg f deg g deg h deg g gt 0 displaystyle deg g gt 0 i deg h gt 0 displaystyle deg h gt 0 to deg g lt deg f displaystyle deg g lt deg f i deg h lt deg f displaystyle deg h lt deg f Yaksho yakijs z mnozhnikiv g x displaystyle g x h x displaystyle h x mozhna rozklasti na netrivialni mnozhniki to mi prodovzhimo proces rozkladannya dopoki ce mozhlivo Oskilki na kozhnomu kroci stepin mnozhnikiv zmenshuyetsya cej proces ye skinchennim Otzhe v rezultati mi otrimayemo predstavlennya f x displaystyle f x u viglyadi f x f 1 x f 2 x f m x displaystyle f x f 1 x f 2 x ldots f m x de mnogochleni f i x displaystyle f i x ye neskorotnimi Take predstavlennya odnoznachno z tochnistyu do perestanovki mnozhnikiv Osnovna teorema algebri RedaguvatiDokladnishe Osnovna teorema algebriKompleksnij mnogochlen stepenya n gt 0 displaystyle n gt 0 maye rivno n displaystyle n kompleksnih koreniv z urahuvannyam kratnosti Inakshe kazhuchi jogo mozhna rozklasti na n displaystyle n linijnih mnozhnikiv f z c n z z 1 z z 2 z z n c n z i C displaystyle f z c n z z 1 z z 2 ldots z z n quad c n z i in mathbb C Takim chinom sered mnogochleniv z kompleksnimi koeficiyentami neskorotnimi ye lishe linijni mnogochleni Uzagalnenij mnogochlen RedaguvatiNehaj F f 0 x f 1 x f m x displaystyle mathbf F f 0 x f 1 x dots f m x zadana na a b displaystyle a b sistema linijno nezalezhnih funkcij Uzagalnenim mnogochlenom budemo nazivati funkciyu P m x a 0 f 0 x a 1 f 1 x a m f m x displaystyle P m x a 0 f 0 x a 1 f 1 x a m f m x de a 0 a 1 a m displaystyle a 0 a 1 dots a m dovilni dijsni chisla koeficienti uzagalnenogo mnogochlena PrikladiF 1 x x m displaystyle mathbf F 1 x dots x m mnogochlen F 1 cos x cos m x displaystyle mathbf F 1 cos x dots cos mx trigonometrichnij mnogochlen F J 0 x J 1 x J m x displaystyle mathbf F J 0 x J 1 x dots J m x de J a x displaystyle J alpha x funkciyi BesselyaDiv takozh RedaguvatiOdnochlen Mnogochlen Tejlora Matrichnij mnogochlen en Dzherela RedaguvatiZavalo S T 1972 Elementi analizu Algebra mnogochleniv Kiyiv Radyanska shkola s 462 ukr Rozklad matrichnih mnogochleniv na mnozhniki monografiya P S Kazimirskij vidp red D O Suprunenko NAN Ukrayini In t priklad problem mehaniki i matematiki im Ya S Pidstrigacha 2 ge vid vipravl Lviv IPPMM 2015 282 s 1 ark portr Bibliogr s 274 280 79 nazv ISBN 978 966 02 7655 0 Mnogochlen Bolshaya sovetskaya enciklopediya v 30 t glavn red A M Prohorov 3 e izd M Sovetskaya enciklopediya 1969 1978 ros Burbaki N Algebra ch 2 Mnogochleny i polya Uporyadochennye gruppy M Nauka 1965 S 300 Elementi matematiki ros Van der Varden B L Algebra Moskva Nauka 1975 623 s ISBN 5 8114 0552 9 ros V inshomu movnomu rozdili ye povnisha stattya Polynomial angl Vi mozhete dopomogti rozshirivshi potochnu stattyu za dopomogoyu perekladu z anglijskoyi Divitis avtoperekladenu versiyu statti z movi anglijska Perekladach povinen rozumiti sho vidpovidalnist za kincevij vmist statti u Vikipediyi nese same avtor redaguvan Onlajn pereklad nadayetsya lishe yak korisnij instrument pereglyadu vmistu zrozumiloyu movoyu Ne vikoristovujte nevichitanij i nevidkorigovanij mashinnij pereklad u stattyah ukrayinskoyi Vikipediyi Mashinnij pereklad Google ye korisnoyu vidpravnoyu tochkoyu dlya perekladu ale perekladacham neobhidno vipravlyati pomilki ta pidtverdzhuvati tochnist perekladu a ne prosto skopiyuvati mashinnij pereklad do ukrayinskoyi Vikipediyi Ne perekladajte tekst yakij vidayetsya nedostovirnim abo neyakisnim Yaksho mozhlivo perevirte tekst za posilannyami podanimi v inshomovnij statti Dokladni rekomendaciyi div Vikipediya Pereklad Otrimano z https uk wikipedia org w index php title Mnogochlen amp oldid 39780589