www.wikidata.uk-ua.nina.az

Графік функції діаграма в математиці яка дає уявлення про геометричний образ функції Графік кубічного поліномаГрафіком ф

Графік функції

Графік функції — діаграма в математиці, яка дає уявлення про геометричний образ функції.

Графік кубічного полінома

Графіком функції називається підмножина декартового добутку на (), що містить всі пари , для яких .

Якщо простіше, то це є малюнок, на якому можна побачити як змінюється значення Y залежно від значення Х. Як правило, значення X позначають на горизонтальній прямій, яку називають віссю абсцис (x), а значення Y на перпендикулярній до неї прямій, яку називають віссю ординат (y). Ці осі разом утворюють систему координат. Кожна вісь має напрямок, у якому значення відповідної координати зростає. У точці найбільшого значення малюють стрілку, яка вказує цей напрям. На кожній осі роблять позначки окремих (ключових) значень і підписують їх цими значеннями. Це допомагає приблизно визначити інші проміжні значення. Точка з координатами називається початком координат.

Графіки елементарних функцій

  1. Пряма пропорційність
  2. Лінійна функція
  3. Обернена пропорційність
  4. Квадратична функція ,

Побудова графіка функції

Побудова графіка функції, що базується на аналітичному дослідженні функції.

Алгоритм дослідження функції:

  1. з'ясування області визначення функції;
  2. вирішується питання про парності або непарності функції;
  3. досліджується періодичність функції;
  4. знаходять точки перетину кривої з осями координат;
  5. знаходять точки розриву функції і визначають їх характер (такими точками є краї інтервалів визначення функції);
  6. проводять дослідження на екстремум, знаходять екстремальні значення функції;
  7. шукаються точки перегину та інтервали опуклості та угнутості кривій;
  8. відшукання асимптоти кривої;
  9. отримані результати наносять на креслення і отримують графік досліджуваної функції.

Графік функції будують за характерними точками й лініями, отриманими у результаті дослідження. Якщо їх недостатньо, знаходять допоміжні точки для деяких конкретних значень аргументу.

Приклад побудови графіка функції

Провести дослідження функції   та побудувати її графік.

1) Функція визначена всюди, крім точок та .

2) Функція непарна, тому що виконується умова , а саме, , і, отже, її графік симетричний відносно початку координат. Тому обмежимося дослідженням тільки для .

3) Функція не періодична.

4) Так як y = 0 лише при x = 0, то перетин з осями координат відбувається тільки на початку координат.

5) Функція має розрив другого роду в точці , причому , . Пряма  — вертикальна асимптота.

6) Знаходимо  і прирівнюємо її до нуля: , звідки , , . На екстремум треба досліджувати тільки точку (точку не досліджуємо, тому що вона є граничною точкою проміжку .

В околі точки має: при та при , отже, в точці функція має максимум, .

Для перевірки правильності знаходження мінімального та максимального значення.

7) Знаходимо . Бачимо, що лише при , при цьому при та при , отже, в точці (0,0) крива має перегин. Іноді напрямок угнутості може змінитися при переході через розрив кривої, тому слід з'ясувати знак і близько точок розриву функції. У даному випадку на проміжку  i на , отже, на крива ввігнута і опукла на .

8) Знаходимо асимптоти.

Наявність вертикальної асимптоти встановлено вище. Шукаємо горизонтальні: , отже, горизонтальних асимптот немає.

Знайдемо похилі асимптоти:

, , виходячи з цього,  — нахилена двобічна асимптота.

9) Тепер, використовуючи отримані дані, будуємо креслення.

Див. також

Посилання

Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри
Дата публікації:
Grafik funkciyi diagrama v matematici yaka daye uyavlennya pro geometrichnij obraz funkciyi Grafik kubichnogo polinomaGrafikom funkciyi f X Y displaystyle f colon X to Y nazivayetsya pidmnozhina dekartovogo dobutku X displaystyle X na Y displaystyle Y G X Y displaystyle G subset X times Y sho mistit vsi pari x y displaystyle x y dlya yakih f x y displaystyle f x y Yaksho prostishe to ce ye malyunok na yakomu mozhna pobachiti yak zminyuyetsya znachennya Y zalezhno vid znachennya H Yak pravilo znachennya X poznachayut na gorizontalnij pryamij yaku nazivayut vissyu abscis x a znachennya Y na perpendikulyarnij do neyi pryamij yaku nazivayut vissyu ordinat y Ci osi razom utvoryuyut sistemu koordinat Kozhna vis maye napryamok u yakomu znachennya vidpovidnoyi koordinati zrostaye U tochci najbilshogo znachennya malyuyut strilku yaka vkazuye cej napryam Na kozhnij osi roblyat poznachki okremih klyuchovih znachen i pidpisuyut yih cimi znachennyami Ce dopomagaye priblizno viznachiti inshi promizhni znachennya Tochka z koordinatami 0 0 displaystyle 0 0 nazivayetsya pochatkom koordinat Zmist 1 Grafiki elementarnih funkcij 2 Pobudova grafika funkciyi 3 Priklad pobudovi grafika funkciyi 4 Div takozh 5 PosilannyaGrafiki elementarnih funkcij RedaguvatiPryama proporcijnist y k x displaystyle y kx Linijna funkciya y k x b displaystyle y kx b Obernena proporcijnist y k x displaystyle y frac k x Kvadratichna funkciya y x 2 displaystyle y x 2 y a x 2 b x c displaystyle y ax 2 bx c Pobudova grafika funkciyi RedaguvatiPobudova grafika funkciyi sho bazuyetsya na analitichnomu doslidzhenni funkciyi Algoritm doslidzhennya funkciyi z yasuvannya oblasti viznachennya funkciyi virishuyetsya pitannya pro parnosti abo neparnosti funkciyi doslidzhuyetsya periodichnist funkciyi znahodyat tochki peretinu krivoyi z osyami koordinat znahodyat tochki rozrivu funkciyi i viznachayut yih harakter takimi tochkami ye krayi intervaliv viznachennya funkciyi provodyat doslidzhennya na ekstremum znahodyat ekstremalni znachennya funkciyi shukayutsya tochki pereginu ta intervali opuklosti ta ugnutosti krivij vidshukannya asimptoti krivoyi otrimani rezultati nanosyat na kreslennya i otrimuyut grafik doslidzhuvanoyi funkciyi Grafik funkciyi buduyut za harakternimi tochkami j liniyami otrimanimi u rezultati doslidzhennya Yaksho yih nedostatno znahodyat dopomizhni tochki dlya deyakih konkretnih znachen argumentu Priklad pobudovi grafika funkciyi RedaguvatiProvesti doslidzhennya funkciyi y x 3 3 x 2 displaystyle y frac x 3 3 x 2 ta pobuduvati yiyi grafik 1 Funkciya viznachena vsyudi krim tochok x 3 displaystyle x sqrt 3 ta x 3 displaystyle x sqrt 3 2 Funkciya neparna tomu sho vikonuyetsya umova f x f x displaystyle f x f x a same y x x 3 3 x 2 x 3 3 x 2 displaystyle y x frac x 3 3 x 2 frac x 3 3 x 2 i otzhe yiyi grafik simetrichnij vidnosno pochatku koordinat Tomu obmezhimosya doslidzhennyam tilki dlya 0 x displaystyle 0 leqslant x leqslant infty 3 Funkciya ne periodichna 4 Tak yak y 0 lishe pri x 0 to peretin z osyami koordinat vidbuvayetsya tilki na pochatku koordinat 5 Funkciya maye rozriv drugogo rodu v tochci x 3 displaystyle x sqrt 3 prichomu lim x 3 0 x 3 3 x 2 displaystyle lim x to sqrt 3 0 frac x 3 3 x 2 infty lim x 3 0 x 3 3 x 2 displaystyle lim x to sqrt 3 0 frac x 3 3 x 2 infty Pryama x 3 displaystyle x sqrt 3 vertikalna asimptota 6 Znahodimo y 9 x 2 x 4 3 x 2 2 displaystyle y frac 9x 2 x 4 3 x 2 2 i pririvnyuyemo yiyi do nulya 3 x 2 3 x 3 x 3 x 2 2 displaystyle frac 3x 2 3 x 3 x 3 x 2 2 zvidki x 1 3 displaystyle x 1 3 x 2 0 displaystyle x 2 0 x 3 3 displaystyle x 3 3 Na ekstremum treba doslidzhuvati tilki tochku x 3 3 displaystyle x 3 3 tochku x 2 0 displaystyle x 2 0 ne doslidzhuyemo tomu sho vona ye granichnoyu tochkoyu promizhku 0 displaystyle 0 infty V okoli tochki x 3 3 displaystyle x 3 3 maye y gt 0 displaystyle y gt 0 pri x lt 3 displaystyle x lt 3 ta y lt 0 displaystyle y lt 0 pri x lt 3 displaystyle x lt 3 otzhe v tochci x 3 displaystyle x 3 funkciya maye maksimum y m a x 3 9 2 displaystyle y max 3 frac 9 2 Dlya perevirki pravilnosti znahodzhennya minimalnogo ta maksimalnogo znachennya 7 Znahodimo y 6 x 9 x 2 3 x 2 3 displaystyle y frac 6x 9 x 2 3 x 2 3 Bachimo sho y 0 displaystyle y 0 lishe pri x 0 displaystyle x 0 pri comu y lt 0 displaystyle y lt 0 pri x lt 0 displaystyle x lt 0 ta y gt 0 displaystyle y gt 0 pri x gt 0 displaystyle x gt 0 otzhe v tochci 0 0 kriva maye peregin Inodi napryamok ugnutosti mozhe zminitisya pri perehodi cherez rozriv krivoyi tomu slid z yasuvati znak y displaystyle y i blizko tochok rozrivu funkciyi U danomu vipadku y gt 0 displaystyle y gt 0 na promizhku 0 3 displaystyle 0 sqrt 3 i y lt 0 displaystyle y lt 0 na 3 displaystyle sqrt 3 infty otzhe na 0 3 displaystyle 0 sqrt 3 kriva vvignuta i opukla na 3 displaystyle sqrt 3 infty 8 Znahodimo asimptoti Nayavnist vertikalnoyi asimptoti x 3 displaystyle x sqrt 3 vstanovleno vishe Shukayemo gorizontalni lim x x 3 3 x 2 displaystyle lim x to infty frac x 3 3 x 2 infty otzhe gorizontalnih asimptot nemaye Znajdemo pohili asimptoti k lim x x 3 x 3 x 2 1 displaystyle k lim x to infty frac x 3 x 3 x 2 1 b lim x x 3 3 x 2 x lim x 3 x 3 x 2 0 displaystyle b lim x to infty frac x 3 3 x 2 x lim x to infty frac 3x 3 x 2 0 vihodyachi z cogo y x displaystyle y x nahilena dvobichna asimptota 9 Teper vikoristovuyuchi otrimani dani buduyemo kreslennya Div takozh Redaguvati Portal Matematika Naukova vizualizaciya Parna funkciya Neparna funkciya Peretvorennya grafikiv funkcijPosilannya RedaguvatiPobudova grafikiv funkcij Visha matematika v prikladah i zadachah Klepko V Yu Golec V L 2 ge vidannya K Centr uchbovoyi literaturi 2009 S 190 594 s Zagalnij plan doslidzhennya funkciyi ta pobudova yiyi grafikiv Visha matematika v prikladah i zadachah Klepko V Yu Golec V L 2 ge vidannya K Centr uchbovoyi literaturi 2009 S 324 594 s Weisstein Eric W Function Graph Arhivovano 7 serpnya 2020 u Wayback Machine From MathWorld A Wolfram Web Resource Dinamichni matematichni modeli nedostupne posilannya z lipnya 2019 Otrimano z https uk wikipedia org w index php title Grafik funkciyi amp oldid 36145739