www.wikidata.uk-ua.nina.az

Система координат спосіб задання точок простору за допомогою чисел Кількість чисел необхідних для однозначного визначенн

Система координат

Система координат — спосіб задання точок простору за допомогою чисел. Кількість чисел, необхідних для однозначного визначення будь-якої точки простору, визначає його вимірність. Обов'язковим елементом системи координат є початок координат — точка, від якої ведеться відлік відстаней. Іншим обов'язковим елементом є одиниця довжини, яка дозволяє відраховувати відстані. Всі точки одновимірного простору можна задати при обраному початку координат одним числом. Для двовимірного простору необхідні два числа, для тривимірного — три. Ці числа називають координатами.

Координати на площині і в тривимірному просторі можна задавати багатьма різними способами. Розв'язуючи ту або іншу математичну або фізичну задачу, можна застосовувати різні координатні системи, обираючи з них ту, в якій завдання розв'язується простіше або зручніше в даному конкретному випадку.

Декартові координати на площині

Системи координат в елементарній геометрії — величини, що визначають положення точки на площині і в просторі. На площині положення точки найчастіше визначається відстанями від двох прямих (координатних осей), що перетинаються в одній точці (початку координат) під прямим кутом; одна з координат називається ординатою, а інша — абсцисою. У просторі за системою Декарта положення точки визначається відстанями від трьох площин координат, що перетинаються в одній точці під прямими кутами одна до одної, або сферичними координатами, де початок координат перебуває в центрі сфери.

Історія

Розвиток систем координат в історії людства пов'язаний як з математичними задачами, так і з практичними проблемами мистецтва навігації, що спиралася на картографію та астрономію. Найвідомішу систему координат, прямокутну, запропонував Рене Декарт у 1637 році. Поняття про полярну систему координат у європейській математиці склалося приблизно в ці ж часи, але перші у'являння про неї існували ще в Стародавній Греції, у середньовічних арабських математиків, які розробляли методи обчислення напрямку на Каабу.

Становлення поняття систем координат призвело до розвитку нових розділів геометрії: аналітичної, проєктивної, нарисної.

Декартова система координат

Точка P та її координати у декартовій системі координат тривимірного простору

Найпоширенішою системою координат у математиці є декартова система координат, названа так на честь Рене Декарта. Декартова система координат задається початком координат і трьома векторами, які визначають напрям координатних осей. Кожна точка простору задається числами, які дорівнюють віддалі від даної точки до координатних площин.

У двововимірній системі Декартових координат, розташування точки P на xy-площині визначається парою чисел .

  •  — відстань від точки P до осі y або значення абсциси (з урахуванням знаку)
  •  — відстань від точки P до осі x або значення ординати (з урахуванням знаку)

В тривимірній системі Декартових координат, точка P в xyz-просторі локалізується вже за допомогою трьох параметрів: .

  •  — відстань від точки P до площини yz
  •  — відстань від точки P до площини xz
  •  — відстань від точки P до площини xy

Різні декартові системи координат зв'язані між собою афінними перетвореннями: зсувом і поворотами.

Криволінійні системи координат

Полярна система координат на площині

Виходячи з декартової системи координат, можна визначити криволіну систему координат, тобто, наприклад, для тривимірного простору числа , зв'язаних із декартовими координатами співідношеннями:

де всі функції однозначні й неперервно диференційовані, причому якобіан:

Властивості

Кожне з рівнянь , задає координатну площину. Перетин двох координатних площин із різними i задає координатну лінію. Кожна точка простору визначається перетином трьох координатних площин.

Важливими характеристиками криволінійних систем координат є довжина елемента дуги й елемента об'єму у них. Ці величини використовуються при інтегруванні. Довжина елементу дуги задається квадратичною формою:

де

є компонентами метричного тензора.

Елемент об'єму дорівнює в криволінійній системі координат

Квадрат якобіана дорівнює детермінанту від метричного тензора:

Система координат називається правою, якщо дотичні до координатних ліній, направлені в бік зростання відповідних координат, утворюють праву трійку векторів.

При описі векторів у криволінійній системі координат зручно користуватися локальним базисом, визначеним у кожній точці.

Полярна система координат

Прикладом криволінійної системи координат на площині є полярна система координат, в якій положення точки задається двома числами: відстанню між точкою та початком координат, і кутом між променем, який сполучає початок координат із точкою та обраною віссю. Декартові та полярні координати точки зв'язані між собою формулами:

Деякі рівняння в полярній системі координат мають простіший вигляд (конічні перетини, спіралі, кардіоїда, тощо). Полярну систему координат можна узагальнити на випадок n-вимірного простору. Випадок n=2 (на площині) відповідає звичайній полярній системі координат, а n=3 — сферичній системі координат.

Циліндрична система координат

Циліндричні координати

Циліндричні координати — тривимірний аналог полярних, у якому розташування точки P подається впорядкованою трійкою параметрів У термінах декартової системи координат:

  • (радіус) — відстань від осі z до точки P,
  • (азимут або довгота) — кут між податною («плюсовою») частиною осі x і відрізком, проведеним від полюса до точки P й спроєктованим на площину xy.
  • (висота), що відповідає декартовій z — координаті точки P.

Циліндричні координати є корисними для вивчення систем, симетричних відносно деякої осі. Наприклад, довга циліндрична поверхня з радіусом R у декартових координатах (з віссю z, яка збігається з віссю циліндра) описується рівнянням тоді як у циліндричних координатах воно має суттєво простіший вигляд, як r = R.

Сферична система координат

Сферичні координати

У сферичній системі координат розташування точки P визначається трьома компонентами: У термінах декартової системи координат:

  • (радіус) — відстань від точки P до полюса,
  • (азимут або довгота) — кут між додатною піввіссю x і проєкцією відрізка, проведеного з полюса до точки P, на площину xy.
  • (широта або полярний кут) — кут між додатною піввіссю z і відрізком, проведеним з полюса до точки P.

Сферична система координат також має недолік: φ і θ є не визначеними, якщо ρ = 0; кут φ є не визначеним також и для граничних значень θ = 0 і θ = 180° (або для θ = ±90°, для випадку прийняття відповідного діапазону для цього кута).

Сферичні координати є корисними при вивченні систем, симетричних відносно точки. Так, рівняння сфери з радіусом R у декартових координатах з початком відліку у центрі сфери записується як тоді як у сферичних координатах воно стає набагато простішим:

Положення літака в просторі можна задати трьома числами: висотою, відстанню від деякої точки на поверхні Землі та кутом між напрямком на літак і напрямком на північ. Таке задання відповідає циліндричній системі координат. Альтернативно, положення літака можна задати відстанню до нього та двома кутами: полярним та азимутальним. Таке задання відповідає сферичній системі координат.

Перехід від однієї системи координат до іншої

Декартові та полярні

де u0 — функція Гевісайда з , а sgn — функція signum. Тут функції u0 та sgn використовуються як «логічні» перемикачі, аналогічні за значенням операторам «якщо..то» (if…else) в мовах програмування. Деякі мови програмування мають спеціальну функцію atan2(y, x), яка знаходить вірне значення θ в необхідному квадранті, визначеному x та y.

Декартові та циліндричні

Декартові та сферичні

Циліндричні та сферичні

Застосування

Застосування в географії

У географії та картографії положення на місцевості визначають трьома числами: широтою, довготою і висотою над відомим загальним рівнем (найчастіше, wt рівень моря). Перші два числа є кутами, і визначення відстаней за ними опирається на відоме значення радіуса Землі.

На мапах зазвичай позначаються лінії паралелей та меридіанів, а також масштаб, за яким зручно визначати відстані. Висота над рівнем моря на картах зображують ізогіпсами (горизонталями).

Застосування в астрономії

Небесна сфера: Z — зеніт, Z' — надир, Р, Р' — полюси світу, РР' — вісь світу, W -захід, E — схід

В астрономії за допомогою координат визначають положення зір і допоміжних точок на небосхилі. В астрономії користуються різними системами небесних координат. Кожна з них по суті є сферичною системою координат, в якій відстань до об'єкта спостереження іноді лишається невідомою. Систему небесних координат задають великим колом небесної сфери (або його полюсом, віддаленим на 90° від будь-якої точки цього кола) із вказівкою на цьому колі початкової точки (від якої відлічують інші координати) та напрямку їх відліку. Залежно від вибору фундаментального кола застосовують такі системи небесних координат:

У Вікісловнику є сторінка система координат.

Застосування у фізиці

Різноманітність систем координат не вичерпується вищенаведеними. Існує дуже багато криволінійних систем координат, зручних для розв'язування тієї чи іншої задачі. Наприклад, для тривимірного простору іноді застосовують циліндричну систему координат.

Описуючи рух фізичних тіл, фізика використовує поняття системи відліку. Система відліку потребує окрім задання просторової системи координат, додаткового числа, яким вимірюється час. Три просторові та одна часова координата утворюють так званий простір-час. Початок відліку системи координат у фізиці зазвичай пов'язується з якимсь тілом, яке в обраній системі координат вважається нерухомим. Обрання початку координат не є однозначним. Так, наприклад, можна обрати за початок координат центр Землі. Тоді Земля буде вважатися нерухомою. Однак, можна обрати за початок координат барицентр Сонячної системи, і в цій системі координат Земля буде рухатися по еліптичній орбіті.

Загальний принцип фізики, принцип відносності, вимагає, щоб формулювання всіх фізичних законів не залежало від обраної системи відліку. Це положення лежить в основі теорії відносності. Іншим важливим положенням теорії відносності є принцип близькодії, за яким існує максимальна швидкість передачі сигналів, яку називають швидкістю світла. Значення швидкості світла, як і вимагає принцип відносності, не залежить від системи відліку.

Див. також

Примітки

  1. Небесні координати // Астрономічний енциклопедичний словник / за заг. ред. І. А. Климишина та А. О. Корсунь. — Львів : Голов. астроном. обсерваторія НАН України : Львів. нац. ун-т ім. Івана Франка, 2003. — С. 314—316. — ISBN 966-613-263-X.

Джерела

  • Корн Г., Корн Т. Справочник по матиматике. — М.: Наука, 1974. — 832 с.(С. 519) (рос.)

Посилання


Це незавершена стаття з математики.
Ви можете допомогти проєкту, виправивши або дописавши її.
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри
Дата публікації:
Sistema koordinat sposib zadannya tochok prostoru za dopomogoyu chisel Kilkist chisel neobhidnih dlya odnoznachnogo viznachennya bud yakoyi tochki prostoru viznachaye jogo vimirnist Obov yazkovim elementom sistemi koordinat ye pochatok koordinat tochka vid yakoyi vedetsya vidlik vidstanej Inshim obov yazkovim elementom ye odinicya dovzhini yaka dozvolyaye vidrahovuvati vidstani Vsi tochki odnovimirnogo prostoru mozhna zadati pri obranomu pochatku koordinat odnim chislom Dlya dvovimirnogo prostoru neobhidni dva chisla dlya trivimirnogo tri Ci chisla nazivayut koordinatami Koordinati na ploshini i v trivimirnomu prostori mozhna zadavati bagatma riznimi sposobami Rozv yazuyuchi tu abo inshu matematichnu abo fizichnu zadachu mozhna zastosovuvati rizni koordinatni sistemi obirayuchi z nih tu v yakij zavdannya rozv yazuyetsya prostishe abo zruchnishe v danomu konkretnomu vipadku Dekartovi koordinati na ploshini Sistemi koordinat v elementarnij geometriyi velichini sho viznachayut polozhennya tochki na ploshini i v prostori Na ploshini polozhennya tochki najchastishe viznachayetsya vidstanyami vid dvoh pryamih koordinatnih osej sho peretinayutsya v odnij tochci pochatku koordinat pid pryamim kutom odna z koordinat nazivayetsya ordinatoyu a insha abscisoyu U prostori za sistemoyu Dekarta polozhennya tochki viznachayetsya vidstanyami vid troh ploshin koordinat sho peretinayutsya v odnij tochci pid pryamimi kutami odna do odnoyi abo sferichnimi koordinatami de pochatok koordinat perebuvaye v centri sferi Zmist 1 Istoriya 2 Dekartova sistema koordinat 3 Krivolinijni sistemi koordinat 3 1 Vlastivosti 3 2 Polyarna sistema koordinat 3 3 Cilindrichna sistema koordinat 3 4 Sferichna sistema koordinat 4 Perehid vid odniyeyi sistemi koordinat do inshoyi 4 1 Dekartovi ta polyarni 4 2 Dekartovi ta cilindrichni 4 3 Dekartovi ta sferichni 4 4 Cilindrichni ta sferichni 5 Zastosuvannya 5 1 Zastosuvannya v geografiyi 5 2 Zastosuvannya v astronomiyi 5 3 Zastosuvannya u fizici 6 Div takozh 7 Primitki 8 Dzherela 9 PosilannyaIstoriya RedaguvatiRozvitok sistem koordinat v istoriyi lyudstva pov yazanij yak z matematichnimi zadachami tak i z praktichnimi problemami mistectva navigaciyi sho spiralasya na kartografiyu ta astronomiyu Najvidomishu sistemu koordinat pryamokutnu zaproponuvav Rene Dekart u 1637 roci Ponyattya pro polyarnu sistemu koordinat u yevropejskij matematici sklalosya priblizno v ci zh chasi ale pershi u yavlyannya pro neyi isnuvali she v Starodavnij Greciyi u serednovichnih arabskih matematikiv yaki rozroblyali metodi obchislennya napryamku na Kaabu Stanovlennya ponyattya sistem koordinat prizvelo do rozvitku novih rozdiliv geometriyi analitichnoyi proyektivnoyi narisnoyi Dekartova sistema koordinat Redaguvati Tochka P ta yiyi koordinati u dekartovij sistemi koordinat trivimirnogo prostoru Dokladnishe Dekartova sistema koordinatNajposhirenishoyu sistemoyu koordinat u matematici ye dekartova sistema koordinat nazvana tak na chest Rene Dekarta Dekartova sistema koordinat zadayetsya pochatkom koordinat i troma vektorami yaki viznachayut napryam koordinatnih osej Kozhna tochka prostoru zadayetsya chislami yaki dorivnyuyut viddali vid danoyi tochki do koordinatnih ploshin U dvovovimirnij sistemi Dekartovih koordinat roztashuvannya tochki P na xy ploshini viznachayetsya paroyu chisel x y displaystyle x y x displaystyle x vidstan vid tochki P do osi y abo znachennya abscisi z urahuvannyam znaku y displaystyle y vidstan vid tochki P do osi x abo znachennya ordinati z urahuvannyam znaku V trivimirnij sistemi Dekartovih koordinat tochka P v xyz prostori lokalizuyetsya vzhe za dopomogoyu troh parametriv x y z displaystyle x y z x displaystyle x vidstan vid tochki P do ploshini yz y displaystyle y vidstan vid tochki P do ploshini xz z displaystyle z vidstan vid tochki P do ploshini xyRizni dekartovi sistemi koordinat zv yazani mizh soboyu afinnimi peretvorennyami zsuvom i povorotami Krivolinijni sistemi koordinat RedaguvatiDokladnishe Krivolinijni koordinati Polyarna sistema koordinat na ploshini Vihodyachi z dekartovoyi sistemi koordinat mozhna viznachiti krivolinu sistemu koordinat tobto napriklad dlya trivimirnogo prostoru chisla x 1 x 2 x 3 displaystyle x 1 x 2 x 3 zv yazanih iz dekartovimi koordinatami x y z displaystyle x y z spividnoshennyami x 1 x 1 x y z x 2 x 2 x y z x 3 x 3 x y z displaystyle x 1 x 1 x y z qquad x 2 x 2 x y z qquad x 3 x 3 x y z de vsi funkciyi odnoznachni j neperervno diferencijovani prichomu yakobian x 1 x 2 x 3 x y z 0 displaystyle frac partial x 1 x 2 x 3 partial x y z neq 0 Vlastivosti Redaguvati Kozhne z rivnyan x i x 1 x y z const displaystyle x i x 1 x y z text const zadaye koordinatnu ploshinu Peretin dvoh koordinatnih ploshin iz riznimi i zadaye koordinatnu liniyu Kozhna tochka prostoru viznachayetsya peretinom troh koordinatnih ploshin Vazhlivimi harakteristikami krivolinijnih sistem koordinat ye dovzhina elementa dugi j elementa ob yemu u nih Ci velichini vikoristovuyutsya pri integruvanni Dovzhina elementu dugi zadayetsya kvadratichnoyu formoyu d s 2 d x 2 d y 2 d z 2 j 1 3 k 1 3 g i k x 1 x 2 x 3 d x j d x k displaystyle ds 2 dx 2 dy 2 dz 2 sum j 1 3 sum k 1 3 g ik x 1 x 2 x 3 dx j dx k de g j k x 1 x 2 x 3 x x j x x k y x j y x k z x j z x k x 1 x 2 x 3 displaystyle g jk x 1 x 2 x 3 left frac partial x x j frac partial x x k frac partial y x j frac partial y x k frac partial z x j frac partial z x k right x 1 x 2 x 3 g j k displaystyle g jk ye komponentami metrichnogo tenzora Element ob yemu dorivnyuye v krivolinijnij sistemi koordinat d V x 1 x 2 x 3 x y z d x 1 d x 2 d x 3 displaystyle dV frac partial x 1 x 2 x 3 partial x y z dx 1 dx 2 dx 3 Kvadrat yakobiana dorivnyuye determinantu vid metrichnogo tenzora x 1 x 2 x 3 x y z 2 det g j k g displaystyle left frac partial x 1 x 2 x 3 partial x y z right 2 det g jk g Sistema koordinat nazivayetsya pravoyu yaksho dotichni do koordinatnih linij napravleni v bik zrostannya vidpovidnih koordinat utvoryuyut pravu trijku vektoriv Pri opisi vektoriv u krivolinijnij sistemi koordinat zruchno koristuvatisya lokalnim bazisom viznachenim u kozhnij tochci Polyarna sistema koordinat Redaguvati Dokladnishe Polyarna sistema koordinatPrikladom krivolinijnoyi sistemi koordinat na ploshini ye polyarna sistema koordinat v yakij polozhennya tochki zadayetsya dvoma chislami vidstannyu r displaystyle rho mizh tochkoyu ta pochatkom koordinat i kutom f displaystyle varphi mizh promenem yakij spoluchaye pochatok koordinat iz tochkoyu ta obranoyu vissyu Dekartovi ta polyarni koordinati tochki zv yazani mizh soboyu formulami x r cos f displaystyle x rho cos varphi y r sin f displaystyle y rho sin varphi Deyaki rivnyannya v polyarnij sistemi koordinat mayut prostishij viglyad konichni peretini spirali kardioyida tosho Polyarnu sistemu koordinat mozhna uzagalniti na vipadok n vimirnogo prostoru Vipadok n 2 na ploshini vidpovidaye zvichajnij polyarnij sistemi koordinat a n 3 sferichnij sistemi koordinat Cilindrichna sistema koordinat Redaguvati Cilindrichni koordinati Dokladnishe Cilindrichna sistema koordinatCilindrichni koordinati trivimirnij analog polyarnih u yakomu roztashuvannya tochki P podayetsya vporyadkovanoyu trijkoyu parametriv r f z displaystyle r varphi z U terminah dekartovoyi sistemi koordinat 0 r displaystyle 0 leqslant r radius vidstan vid osi z do tochki P 0 f lt 360 displaystyle 0 leqslant varphi lt 360 circ azimut abo dovgota kut mizh podatnoyu plyusovoyu chastinoyu osi x i vidrizkom provedenim vid polyusa do tochki P j sproyektovanim na ploshinu xy z displaystyle z visota sho vidpovidaye dekartovij z koordinati tochki P Primitka u literaturi dlya pershoyi radialnoyi koordinati inodi zastosovuyetsya poznachennya r dlya drugoyi kutovoyi chi azimutalnoyi poznachennya 8 dlya tretoyi koordinati poznachennya h Cilindrichni koordinati ye korisnimi dlya vivchennya sistem simetrichnih vidnosno deyakoyi osi Napriklad dovga cilindrichna poverhnya z radiusom R u dekartovih koordinatah z vissyu z yaka zbigayetsya z vissyu cilindra opisuyetsya rivnyannyam x 2 y 2 R 2 displaystyle x 2 y 2 R 2 todi yak u cilindrichnih koordinatah vono maye suttyevo prostishij viglyad yak r R Sferichna sistema koordinat Redaguvati Sferichni koordinati Dokladnishe Sferichna sistema koordinatU sferichnij sistemi koordinat roztashuvannya tochki P viznachayetsya troma komponentami r f 8 displaystyle rho varphi theta U terminah dekartovoyi sistemi koordinat 0 r displaystyle 0 leqslant rho radius vidstan vid tochki P do polyusa 0 f 360 displaystyle 0 leqslant varphi leqslant 360 circ azimut abo dovgota kut mizh dodatnoyu pivvissyu x i proyekciyeyu vidrizka provedenogo z polyusa do tochki P na ploshinu xy 0 8 180 displaystyle 0 leqslant theta leqslant 180 circ shirota abo polyarnij kut kut mizh dodatnoyu pivvissyu z i vidrizkom provedenim z polyusa do tochki P Primitka v literaturi inodi azimut poznachayetsya 8 a polyarnij kut f Inkoli dlya radialnoyi koordinati vikoristovuyetsya r zamist r Krim togo diapazon kutiv dlya azimuta mozhe obiratis yak 180 180 zamist diapazonu 0 360 Nareshti polyarnij kut mozhe mati vidlik ne vid dodatnogo napryamku osi z a vid ploshini xy u comu vipadku vil lezhit u diapazoni 90 90 a ne u diapazoni 0 180 Inodi poryadok koordinat u trijci obirayetsya inshim vid opisanogo napriklad polyarnij i azimutalnij kuti mozhut perestavlyatis Sferichna sistema koordinat takozh maye nedolik f i 8 ye ne viznachenimi yaksho r 0 kut f ye ne viznachenim takozh i dlya granichnih znachen 8 0 i 8 180 abo dlya 8 90 dlya vipadku prijnyattya vidpovidnogo diapazonu dlya cogo kuta Sferichni koordinati ye korisnimi pri vivchenni sistem simetrichnih vidnosno tochki Tak rivnyannya sferi z radiusom R u dekartovih koordinatah z pochatkom vidliku u centri sferi zapisuyetsya yak x 2 y 2 z 2 R 2 displaystyle x 2 y 2 z 2 R 2 todi yak u sferichnih koordinatah vono staye nabagato prostishim r R displaystyle rho R Polozhennya litaka v prostori mozhna zadati troma chislami visotoyu vidstannyu vid deyakoyi tochki na poverhni Zemli ta kutom mizh napryamkom na litak i napryamkom na pivnich Take zadannya vidpovidaye cilindrichnij sistemi koordinat Alternativno polozhennya litaka mozhna zadati vidstannyu do nogo ta dvoma kutami polyarnim ta azimutalnim Take zadannya vidpovidaye sferichnij sistemi koordinat Perehid vid odniyeyi sistemi koordinat do inshoyi RedaguvatiDekartovi ta polyarni Redaguvati x r cos 8 displaystyle x r cos theta quad y r sin 8 displaystyle y r sin theta quad r x 2 y 2 displaystyle r sqrt x 2 y 2 8 arctan y x p u 0 x sgn y displaystyle theta arctan frac y x pi u 0 x operatorname sgn y de u0 funkciya Gevisajda z u 0 0 0 displaystyle u 0 0 0 a sgn funkciya signum Tut funkciyi u0 ta sgn vikoristovuyutsya yak logichni peremikachi analogichni za znachennyam operatoram yaksho to if else v movah programuvannya Deyaki movi programuvannya mayut specialnu funkciyu atan2 y x yaka znahodit virne znachennya 8 v neobhidnomu kvadranti viznachenomu x ta y Dekartovi ta cilindrichni Redaguvati x r cos 8 displaystyle x r cos theta y r sin 8 displaystyle y r sin theta z h displaystyle z h quad r x 2 y 2 displaystyle r sqrt x 2 y 2 8 arctan y x p u 0 x sgn y displaystyle theta arctan frac y x pi u 0 x operatorname sgn y h z displaystyle h z quad d x d y d z cos 8 r sin 8 0 sin 8 r cos 8 0 0 0 1 d r d 8 d h displaystyle begin vmatrix dx dy dz end vmatrix begin vmatrix cos theta amp r sin theta amp 0 sin theta amp r cos theta amp 0 0 amp 0 amp 1 end vmatrix cdot begin vmatrix dr d theta dh end vmatrix d r d 8 d h x x 2 y 2 y x 2 y 2 0 y x 2 y 2 x x 2 y 2 0 0 0 1 d x d y d z displaystyle begin vmatrix dr d theta dh end vmatrix begin vmatrix frac x sqrt x 2 y 2 amp frac y sqrt x 2 y 2 amp 0 frac y x 2 y 2 amp frac x x 2 y 2 amp 0 0 amp 0 amp 1 end vmatrix cdot begin vmatrix dx dy dz end vmatrix Dekartovi ta sferichni Redaguvati x r sin ϕ cos 8 displaystyle x rho sin phi cos theta quad y r sin ϕ sin 8 displaystyle y rho sin phi sin theta quad z r cos ϕ displaystyle z rho cos phi quad r x 2 y 2 z 2 displaystyle rho sqrt x 2 y 2 z 2 ϕ arccos z r displaystyle phi arccos frac z rho ϕ arctan x 2 y 2 z displaystyle phi arctan frac sqrt x 2 y 2 z 8 arctan y x p u 0 x sgn y displaystyle theta arctan frac y x pi u 0 x operatorname sgn y d x d y d z sin ϕ cos 8 r cos ϕ cos 8 r sin ϕ sin 8 sin ϕ sin 8 r cos ϕ sin 8 r sin ϕ cos 8 cos ϕ r sin ϕ 0 d r d ϕ d 8 displaystyle begin vmatrix dx dy dz end vmatrix begin vmatrix sin phi cos theta amp rho cos phi cos theta amp rho sin phi sin theta sin phi sin theta amp rho cos phi sin theta amp rho sin phi cos theta cos phi amp rho sin phi amp 0 end vmatrix cdot begin vmatrix d rho d phi d theta end vmatrix d r d ϕ d 8 x r y r z r x z r 2 x 2 y 2 y z r 2 x 2 y 2 x 2 y 2 r 2 x 2 y 2 y x 2 y 2 x x 2 y 2 0 d x d y d z displaystyle begin vmatrix d rho d phi d theta end vmatrix begin vmatrix frac x rho amp frac y rho amp frac z rho frac xz rho 2 sqrt x 2 y 2 amp frac yz rho 2 sqrt x 2 y 2 amp frac x 2 y 2 rho 2 sqrt x 2 y 2 frac y x 2 y 2 amp frac x x 2 y 2 amp 0 end vmatrix cdot begin vmatrix dx dy dz end vmatrix Cilindrichni ta sferichni Redaguvati r r sin ϕ displaystyle r rho sin phi 8 8 displaystyle theta theta quad h r cos ϕ displaystyle h rho cos phi r r 2 h 2 displaystyle rho sqrt r 2 h 2 ϕ arctan h r p u 0 r sgn h displaystyle phi arctan frac h r pi u 0 r operatorname sgn h 8 8 displaystyle theta theta quad d r d 8 d h sin ϕ r cos ϕ 0 0 0 1 cos ϕ r sin ϕ 0 d r d ϕ d 8 displaystyle begin vmatrix dr d theta dh end vmatrix begin vmatrix sin phi amp rho cos phi amp 0 0 amp 0 amp 1 cos phi amp rho sin phi amp 0 end vmatrix cdot begin vmatrix d rho d phi d theta end vmatrix d r d ϕ d 8 r r 2 h 2 0 h r 2 h 2 h r 2 h 2 0 r r 2 h 2 0 1 0 d r d 8 d h displaystyle begin vmatrix d rho d phi d theta end vmatrix begin vmatrix frac r sqrt r 2 h 2 amp 0 amp frac h sqrt r 2 h 2 frac h r 2 h 2 amp 0 amp frac r r 2 h 2 0 amp 1 amp 0 end vmatrix cdot begin vmatrix dr d theta dh end vmatrix Zastosuvannya RedaguvatiZastosuvannya v geografiyi Redaguvati Dokladnishe Geografichni koordinatiU geografiyi ta kartografiyi polozhennya na miscevosti viznachayut troma chislami shirotoyu dovgotoyu i visotoyu nad vidomim zagalnim rivnem najchastishe wt riven morya Pershi dva chisla ye kutami i viznachennya vidstanej za nimi opirayetsya na vidome znachennya radiusa Zemli Na mapah zazvichaj poznachayutsya liniyi paralelej ta meridianiv a takozh masshtab za yakim zruchno viznachati vidstani Visota nad rivnem morya na kartah zobrazhuyut izogipsami gorizontalyami Zastosuvannya v astronomiyi Redaguvati Nebesna sfera Z zenit Z nadir R R polyusi svitu RR vis svitu W zahid E shid Dokladnishe Sistemi nebesnih koordinatV astronomiyi za dopomogoyu koordinat viznachayut polozhennya zir i dopomizhnih tochok na neboshili V astronomiyi koristuyutsya riznimi sistemami nebesnih koordinat Kozhna z nih po suti ye sferichnoyu sistemoyu koordinat v yakij vidstan do ob yekta sposterezhennya inodi lishayetsya nevidomoyu Sistemu nebesnih koordinat zadayut velikim kolom nebesnoyi sferi abo jogo polyusom viddalenim na 90 vid bud yakoyi tochki cogo kola iz vkazivkoyu na comu koli pochatkovoyi tochki vid yakoyi vidlichuyut inshi koordinati ta napryamku yih vidliku Zalezhno vid viboru fundamentalnogo kola zastosovuyut taki sistemi nebesnih koordinat 1 gorizontalna sistema koordinat golovnoyu ploshinoyu ye spravzhnij matematichnij gorizont vidilenim napryamkom pivden ekvatorialna sistema koordinat golovnoyu ploshinoyu ye ploshina zemnogo ekvatora na yakij vidilyayut tochku vesnyanogo rivnodennya v yakij ekvator peretinayetsya z ekliptikoyu ekliptichna sistema koordinat golovnoyu ploshinoyu ye ekliptika na yakij vidileno tochku vesnyanogo rivnodennya de ekvator peretinayetsya z ekliptikoyu galaktichna sistema koordinat golovnoyu ploshinoyu ye galaktichna ploshina a vidilenim napryamkom napryamok na galaktichnij centr U Vikislovniku ye storinka sistema koordinat Zastosuvannya u fizici Redaguvati Riznomanitnist sistem koordinat ne vicherpuyetsya vishenavedenimi Isnuye duzhe bagato krivolinijnih sistem koordinat zruchnih dlya rozv yazuvannya tiyeyi chi inshoyi zadachi Napriklad dlya trivimirnogo prostoru inodi zastosovuyut cilindrichnu sistemu koordinat Opisuyuchi ruh fizichnih til fizika vikoristovuye ponyattya sistemi vidliku Sistema vidliku potrebuye okrim zadannya prostorovoyi sistemi koordinat dodatkovogo chisla yakim vimiryuyetsya chas Tri prostorovi ta odna chasova koordinata utvoryuyut tak zvanij prostir chas Pochatok vidliku sistemi koordinat u fizici zazvichaj pov yazuyetsya z yakims tilom yake v obranij sistemi koordinat vvazhayetsya neruhomim Obrannya pochatku koordinat ne ye odnoznachnim Tak napriklad mozhna obrati za pochatok koordinat centr Zemli Todi Zemlya bude vvazhatisya neruhomoyu Odnak mozhna obrati za pochatok koordinat baricentr Sonyachnoyi sistemi i v cij sistemi koordinat Zemlya bude ruhatisya po eliptichnij orbiti Zagalnij princip fiziki princip vidnosnosti vimagaye shob formulyuvannya vsih fizichnih zakoniv ne zalezhalo vid obranoyi sistemi vidliku Ce polozhennya lezhit v osnovi teoriyi vidnosnosti Inshim vazhlivim polozhennyam teoriyi vidnosnosti ye princip blizkodiyi za yakim isnuye maksimalna shvidkist peredachi signaliv yaku nazivayut shvidkistyu svitla Znachennya shvidkosti svitla yak i vimagaye princip vidnosnosti ne zalezhit vid sistemi vidliku Div takozh Redaguvati Portal Matematika Sistema vidliku Inercijna sistema vidliku Operator koordinatiPrimitki Redaguvati Nebesni koordinati Astronomichnij enciklopedichnij slovnik za zag red I A Klimishina ta A O Korsun Lviv Golov astronom observatoriya NAN Ukrayini Lviv nac un t im Ivana Franka 2003 S 314 316 ISBN 966 613 263 X Dzherela RedaguvatiKorn G Korn T Spravochnik po matimatike M Nauka 1974 832 s S 519 ros Posilannya RedaguvatiSistema koordinat Universalnij slovnik enciklopediya 4 te vid K Teka 2006 Ce nezavershena stattya z matematiki Vi mozhete dopomogti proyektu vipravivshi abo dopisavshi yiyi Otrimano z https uk wikipedia org w index php title Sistema koordinat amp oldid 39421580