www.wikidata.uk-ua.nina.az

Площина одне з основних понять геометрії При систематичному викладенні геометрії поняття площини як правило сприймається

Площина

Площина́ — одне з основних понять геометрії. При систематичному викладенні геометрії поняття площини як правило сприймається як первісне, котре лише опосередковано визначається аксіомами геометрії. Рівняння площини вперше зустрічається в А.К.Клеро (1731), рівняння площини у відрізках, вочевидь, вперше зустрічається в Ламе (1816—1818), нормальне рівняння увів (1861).

Дві площини, що перетинаються

Деякі характерні властивості площини

  • Площина — поверхня, котра повністю містить кожну пряму, що сполучає її довільні точки;
  • Площина — множина точок, рівновіддалених від двох заданих.

Площини в тривимірному Евклідовому просторі

Визначення на основі точок і прямих, що належать площині

В Евклідовому просторі будь-якої вимірності, площина зазвичай визначається за допомогою:

  • Трьох не-колінеарних точок (точки не знаходяться на одній прямій).
  • Прямою і точкою, що не належить цій прямій.
  • Двома різними прямими, що перетинаються.
  • Двома паралельними прямими.

Властивості

Наступні твердження справедливі для тривимірного Евклідового простору, але не для більших розмірностей, хоча вони мають аналогії при вищих розмірностях:

  • Дві різні площини є або паралельними або перетинаються по прямій.
  • Пряма може бути або паралельною до площини, або перетинає її в єдиній точці, або знаходиться на площині.
  • Дві різні прямі, перпендикулярні до однієї площини мають бути паралельними одна до одної.
  • Дві різні площини перпендикулярні одній прямій мають бути паралельні одна одній.

Рівняння площини

Площина — алгебрична поверхня першого порядку: в декартовій системі координат площина може бути задана рівнянням першого степеня.

  • Загальне (повне) рівняння площини

де та  — сталі, при чому і не всі рівні нулю; у векторній формі:

де  — радіус-вектор точки , вектор перпендикулярний до площини (нормальний вектор). Напрямні косинуси вектора :

Якщо один з коефіцієнтів в рівнянні площини дорівнює нулю рівняння називається неповним. При площина проходить через початок координат, при (або , ) площина паралельна осі (відповідно чи ). При (, чи ) площина паралельна площині (відповідно чи ).

  • Рівняння площини у відрізках:

де  — відрізки, які площина відсікає на осях і .

  • Рівняння площини, що проходить через точку перпендикулярно до вектора :

у векторній формі:

  • Рівняння площини, що проходить через три задані точки , які не лежать на одній прямій:

(мішаний добуток векторів), іншими словами

  • Нормальне (нормоване) рівняння площини

у векторній формі:

де  — одиничний вектор,  — відстань від площини до початку координат. Рівняння(2) можна отримати з рівняння (1), помноживши його на нормуючий множник

(знаки і протилежні).

Пов'язані поняття

  • Відхилення точки від площини

,якщо і початок координат лежать по різні сторони площини, в протилежному випадку. Відстань від точки до площини дорівнює

  • Кут між площинами Якщо рівняння площини задані у вигляді (1), то

Якщо у векторній формі, то

  • Пучок площин — рівняння довільної площини, що проходить через лінію перетину двох площин

де і  — довільні числа, що не одночасно дорівнюють нулю.

Література

  • Ильин В. А., Позняк Э. Г. Аналитическая геометрия М.: ФИЗМАТЛИТ / 2002 р., 240с.

Посилання

Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри
Дата публікації:
Ploshina odne z osnovnih ponyat geometriyi Pri sistematichnomu vikladenni geometriyi ponyattya ploshini yak pravilo sprijmayetsya yak pervisne kotre lishe oposeredkovano viznachayetsya aksiomami geometriyi Rivnyannya ploshini vpershe zustrichayetsya v A K Klero 1731 rivnyannya ploshini u vidrizkah vochevid vpershe zustrichayetsya v Lame 1816 1818 normalne rivnyannya uviv 1861 Dvi ploshini sho peretinayutsya Zmist 1 Deyaki harakterni vlastivosti ploshini 2 Ploshini v trivimirnomu Evklidovomu prostori 2 1 Viznachennya na osnovi tochok i pryamih sho nalezhat ploshini 2 2 Vlastivosti 3 Rivnyannya ploshini 4 Pov yazani ponyattya 5 Literatura 6 PosilannyaDeyaki harakterni vlastivosti ploshini RedaguvatiPloshina poverhnya kotra povnistyu mistit kozhnu pryamu sho spoluchaye yiyi dovilni tochki Ploshina mnozhina tochok rivnoviddalenih vid dvoh zadanih Ploshini v trivimirnomu Evklidovomu prostori RedaguvatiViznachennya na osnovi tochok i pryamih sho nalezhat ploshini Redaguvati V Evklidovomu prostori bud yakoyi vimirnosti ploshina zazvichaj viznachayetsya za dopomogoyu Troh ne kolinearnih tochok tochki ne znahodyatsya na odnij pryamij Pryamoyu i tochkoyu sho ne nalezhit cij pryamij Dvoma riznimi pryamimi sho peretinayutsya Dvoma paralelnimi pryamimi Vlastivosti Redaguvati Nastupni tverdzhennya spravedlivi dlya trivimirnogo Evklidovogo prostoru ale ne dlya bilshih rozmirnostej hocha voni mayut analogiyi pri vishih rozmirnostyah Dvi rizni ploshini ye abo paralelnimi abo peretinayutsya po pryamij Pryama mozhe buti abo paralelnoyu do ploshini abo peretinaye yiyi v yedinij tochci abo znahoditsya na ploshini Dvi rizni pryami perpendikulyarni do odniyeyi ploshini mayut buti paralelnimi odna do odnoyi Dvi rizni ploshini perpendikulyarni odnij pryamij mayut buti paralelni odna odnij Rivnyannya ploshini RedaguvatiPloshina algebrichna poverhnya pershogo poryadku v dekartovij sistemi koordinat ploshina mozhe buti zadana rivnyannyam pershogo stepenya Zagalne povne rivnyannya ploshiniA x B y C z D 0 1 displaystyle Ax By Cz D 0 qquad 1 de A B C displaystyle A B C ta D displaystyle D stali pri chomu A B displaystyle A B i C displaystyle C ne vsi rivni nulyu u vektornij formi r N D 0 displaystyle mathbf r mathbf N D 0 de r displaystyle mathbf r radius vektor tochki M x y z displaystyle M x y z vektor N A B C displaystyle mathbf N A B C perpendikulyarnij do ploshini normalnij vektor Napryamni kosinusi vektora N displaystyle mathbf N cos a A A 2 B 2 C 2 displaystyle cos alpha frac A sqrt A 2 B 2 C 2 cos b B A 2 B 2 C 2 displaystyle cos beta frac B sqrt A 2 B 2 C 2 cos g C A 2 B 2 C 2 displaystyle cos gamma frac C sqrt A 2 B 2 C 2 Yaksho odin z koeficiyentiv v rivnyanni ploshini dorivnyuye nulyu rivnyannya nazivayetsya nepovnim Pri D 0 displaystyle D 0 ploshina prohodit cherez pochatok koordinat pri A 0 displaystyle A 0 abo B 0 displaystyle B 0 C 0 displaystyle C 0 ploshina paralelna osi O x displaystyle Ox vidpovidno O y displaystyle Oy chi O z displaystyle Oz Pri A B 0 displaystyle A B 0 A C 0 displaystyle A C 0 chi B C 0 displaystyle B C 0 ploshina paralelna ploshini O x y displaystyle Oxy vidpovidno O x z displaystyle Oxz chi O y z displaystyle Oyz Rivnyannya ploshini u vidrizkah x a y b z c 1 displaystyle frac x a frac y b frac z c 1 de a D A b D B c D C displaystyle a D A b D B c D C vidrizki yaki ploshina vidsikaye na osyah O x O y displaystyle Ox Oy i O z displaystyle Oz Rivnyannya ploshini sho prohodit cherez tochku M x 0 y 0 z 0 displaystyle M x 0 y 0 z 0 perpendikulyarno do vektora N A B C displaystyle mathbf N A B C A x x 0 B y y 0 C z z 0 0 displaystyle A x x 0 B y y 0 C z z 0 0 u vektornij formi r r 0 N 0 displaystyle mathbf r mathbf r 0 mathbf N 0 Rivnyannya ploshini sho prohodit cherez tri zadani tochki M x i y i z i displaystyle M x i y i z i yaki ne lezhat na odnij pryamij r r 1 r r 2 r r 3 0 displaystyle mathbf r mathbf r 1 mathbf r mathbf r 2 mathbf r mathbf r 3 0 mishanij dobutok vektoriv inshimi slovami x x 1 y y 1 z z 1 x 2 x 1 y 2 y 1 z 2 z 1 x 3 x 1 y 3 y 1 z 3 z 1 0 displaystyle left begin matrix x x 1 amp y y 1 amp z z 1 x 2 x 1 amp y 2 y 1 amp z 2 z 1 x 3 x 1 amp y 3 y 1 amp z 3 z 1 end matrix right 0 Normalne normovane rivnyannya ploshinix cos a y cos b z cos g p 0 2 displaystyle x cos alpha y cos beta z cos gamma p 0 qquad 2 u vektornij formi r N 0 0 displaystyle mathbf r mathbf N 0 0 de N 0 displaystyle mathbf N 0 odinichnij vektor p displaystyle p vidstan vid ploshini do pochatku koordinat Rivnyannya 2 mozhna otrimati z rivnyannya 1 pomnozhivshi jogo na normuyuchij mnozhnik m 1 A 2 B 2 C 2 displaystyle mu pm frac 1 sqrt A 2 B 2 C 2 znaki m displaystyle mu i D displaystyle D protilezhni Pov yazani ponyattya RedaguvatiVidhilennya tochki M 1 x 1 y 1 z 1 displaystyle M 1 x 1 y 1 z 1 vid ploshinid x 1 cos a y 1 cos b z 1 cos g p displaystyle delta x 1 cos alpha y 1 cos beta z 1 cos gamma p d gt 0 displaystyle delta gt 0 yaksho M i displaystyle M i i pochatok koordinat lezhat po rizni storoni ploshini v protilezhnomu vipadkud lt 0 displaystyle delta lt 0 Vidstan vid tochki do ploshini dorivnyuye d displaystyle delta Kut mizh ploshinami Yaksho rivnyannya ploshini zadani u viglyadi 1 tocos f A 1 A 2 B 1 B 2 C 1 C 2 A 1 2 B 1 2 C 1 2 A 2 2 B 2 2 C 2 2 displaystyle cos varphi frac A 1 A 2 B 1 B 2 C 1 C 2 sqrt A 1 2 B 1 2 C 1 2 A 2 2 B 2 2 C 2 2 Yaksho u vektornij formi to cos f N 1 N 2 N 1 N 2 displaystyle cos varphi frac mathbf N 1 mathbf N 2 mathbf N 1 mathbf N 2 Ploshini paralelni yakshoA 1 A 2 B 1 B 2 C 1 C 2 displaystyle frac A 1 A 2 frac B 1 B 2 frac C 1 C 2 chi N 1 N 2 1 displaystyle mathbf N 1 mathbf N 2 1 Ploshini perpendikulyarni yakshoA 1 A 2 B 1 B 2 C 1 C 2 0 displaystyle A 1 A 2 B 1 B 2 C 1 C 2 0 chi N 1 N 2 0 displaystyle mathbf N 1 mathbf N 2 0 Puchok ploshin rivnyannya dovilnoyi ploshini sho prohodit cherez liniyu peretinu dvoh ploshina A 1 x B 1 y C 1 z b A 2 x B 2 y C 2 z 0 displaystyle alpha A 1 x B 1 y C 1 z beta A 2 x B 2 y C 2 z 0 de a displaystyle alpha i b displaystyle beta dovilni chisla sho ne odnochasno dorivnyuyut nulyu Literatura RedaguvatiIlin V A Poznyak E G Analiticheskaya geometriya M FIZMATLIT 2002 r 240s Posilannya RedaguvatiPloshina Visha matematika v prikladah i zadachah Klepko V Yu Golec V L 2 ge vidannya K Centr uchbovoyi literaturi 2009 S 131 594 s Portal Matematika Otrimano z https uk wikipedia org w index php title Ploshina amp oldid 37008378