www.wikidata.uk-ua.nina.az

Поверхня У Вікіпедії є статті про інші значення цього терміна значення в математиці особливо в топології це двовимірний

Поверхня

У Вікіпедії є статті про інші значення цього терміна: Поверхня (значення).

Поверхня в математиці, особливо в топології, це двовимірний топологічний многовид.

Приклад простої поверхні

Найвідомішими прикладами є ті, що виникають як межа тіла у звичайному тривимірному евклідовому просторі R3. Наприклад, це поверхня кулі. З іншого боку, є поверхні, такі як пляшка Клейна, які не можуть бути вкладеними в тривимірний евклідів простір без особливостей або самоперетинів.

Коли кажуть, що поверхня є «двовимірною», то це означає, що у кожної точки існує окіл який можна відобразити без розриву на двовимірний круг.

Поняття поверхні використовується у фізиці, будівництві, комп'ютерній графіці і багатьох інших галузях, які мають справу з поверхнями фізичних об'єктів. Наприклад, під час аналізу аеродинамічних властивостей літака, перш за все, звертають увагу на потік повітря уздовж його поверхні.

Способи задання

В тривимірному просторі поверхню можна визначити неявно, як множину точок, координати яких задовольняють певному виду рівнянь:


Якщо функція неперервна в деякій точці і має в ній неперервні часткові похідні, принаймні одна з яких не перетворюється на нуль, то в околі цієї точки поверхня, задана рівнянням (1), буде правильною поверхнею.

На відміну від неявного способу задання, поверхня може бути визначена явно, якщо одну зі змінних, наприклад z, можна виразити через інші:

Також існує параметричний спосіб задання. У цьому випадку поверхня визначається системою рівнянь:

Приклади рівнянь площини та сфери

Явне та неявне рівняння площини в E3, яка збігається з площиною Oxy мають однаковий вигляд — z=0.

Параметричне рівняння тієї ж площини:

Неявне рівняння сфери одиничного радіуса з центром у початку координат в E3 — .

Явне задання сфери одним рівнянням неможливе. Можна явно описати дві півсфери — .

Параметричне рівняння сфери:

Поняття про просту поверхню

Інтуїтивно просту поверхню можна уявити як шматок площини, підданий неперервним деформаціям (розтягуваням, стисканням і згинанням).

Більш строго, простою поверхнею називається образ гомеоморфного відображення (тобто взаємно однозначного та взаємно неперервного відображення) внітрішніх точок одиничного квадрата. Це визначенню можна виразити аналітично.

Нехай на площині з прямокутною системою координат u і v задано квадрат, координати внутрішніх точок якого задовольняють нерівностям 0 < u < 1, 0 < v < 1. Гомеоморфний образ квадрата у просторі з прямокутною системою координат х, у, z задається за допомогою формул х = x(u, v), у = y(u, v), z = z(u, v) (параметричне задання поверхні). При цьому від функцій x(u, v), y(u, v) і z(u, v) вимагається, щоб вони були неперервними і щоб для різних точок (u, v) і (u', v') були різними відповідні точки (x, у, z) і (x', у', z').

Прикладом простої поверхні є півсфера. Вся ж сфера не є простою поверхнею. Це викликає необхідність подальшого узагальнення поняття поверхні.

Підмножина простору, у кожної точки якого є окіл, що є простою поверхнею, називається правильною поверхнею.

Поверхня в диференціальній геометрії

В диференціальної геометрії досліджувані поверхні зазвичай підпорядковані умовам, пов'язаним з можливістю застосування методів диференціального числення. Як правило, це умови гладкості поверхні, тобто існування в кожній точці поверхні певної дотичної площини, кривини тощо. Ці вимоги зводяться до того, що функції, що задають поверхню, мають бути одноразово, двічі, тричі, а в деяких випадках — необмежену кількість разів диференційовними або навіть аналітичними функціями. При цьому додатково накладається умова регулярності.

Випадок неявного задання. Поверхня, задана рівнянням , є гладкою регулярною поверхнею , якщо: , функція неперервно диференційовна в своїй області визначення , а її часткові похідні одночасно не перетворюються на нуль (умова правильності) на всій множині :

Випадок параметричного задання. Задамо поверхню векторним рівнянням , або, що те ж саме, трьома рівняннями в координатах:

Ця система рівнянь задає гладку регулярну поверхню, якщо:

  • система встановлює взаємно однозначну відповідність між образом та прообразом ;
  • функції неперервно діференційовні в ;
  • виконана умова невиродженості:

Геометрично остання умова означає, що вектори ніде не паралельні.

Координатна сітка на сфері

Параметри u, v можна розглядати як внутрішні координати точок поверхні. Фіксуючи одну з координат, ми отримуємо два сімейства координатних кривих, що покривають поверхню координатною сіткою.

Випадок явного задання. Поверхня може бути визначена як графік функції ; тоді є гладкою регулярною поверхнею, якщо функція диференційовна. Цей варіант можна розглядати як окремий випадок параметричного задання: .

Дотична площина

Дотична площина в точці поверхні.

Дотична площина в точці гладкої поверхні — це площина, що має максимальний порядок дотику з поверхнею в цій точці. Еквівалентний варіант визначення: дотичною площиною є площина, що містить дотичні до всіх гладких кривих, які проходять через цю точку.

Нехай гладка крива на параметрично заданій поверхні задана у вигляді:

Напрямок дотичної до такої кривої дає вектор:

Звідси видно, що всі дотичні до всіх кривих у даній точці лежать в одній площині, що містить вектори , які повинні бути незалежними. Якщо вектори будуть залежними, то поверхня не буде гладко параметризованою в цій точці.

Рівняння дотичної площини в точці має вигляд:

У координатах рівняння дотичної площини для різних способів задання поверхні наведені в таблиці:

Дотична площина до поверхні в точці
Неявне задання
Явне задання
Параметричне задання

Всі похідні обчислюються в точці .

Метрика та внутрішня геометрія

Розглянемо гладку криву:

Елемент її довжини визначається зі співвідношення:

де .

Ця квадратична форма називається першою квадратичною формою та являє собою двовимірний варіант метрики поверхні. Для регулярної поверхні її дискримінант у всіх точках поверхні. Коефіцієнт у точці поверхні тоді і лише тоді, коли в цій точці координатні криві ортогональні. Зокрема, на площині з декартовими координатами отримуємо метрику (теорема Піфагора).

Перетворення гелікоїда в катеноїд.

Метрика не визначає однозначно форму поверхні. Наприклад, метрики гелікоїда та катеноїда, параметризованих відповідним чином, збігаються, тобто між їх областями існує відповідність, що зберігає всі довжини (ізометрія). Властивості, що зберігаються при ізометричних перетвореннях, називаються внутрішньою геометрією поверхні, а самі поверхні називаються ізометричними. Внутрішня геометрія не залежить від положення поверхні в просторі і не змінюється при її згинанні без розтягування та стиснення (наприклад, при згинанні циліндра в конус).

Метричні коефіцієнти , окрім довжин кривих на поверхні, визначають також кути між кривими, площу областей, кривини та інше. Тому все, що залежить лише від метрики, відноситься до внутрішньої геометрії.

Нормаль та нормальний переріз

Вектори нормалі в точках поверхні

Однією з основних характеристик поверхні є її нормаль — одиничний вектор, перпендикулярний до дотичної площини в заданій точці:

Знак нормалі залежить від вибору координат.

Перетин поверхні площиною, що містить нормаль (у даній точці), утворює на поверхні деяку криву, яка називається нормальним перетином поверхні. Головна нормаль для нормального перетину збігається з нормаллю до поверхні (з точністю до знаку).

Якщо ж крива на поверхні не є нормальним перетином, то її головна нормаль утворює з нормаллю поверхні деякий кут . Тоді кривина кривої пов'язана з кривиною нормального перетину (з тією ж дотичною) формулою Меньє:

Координати орта нормалі для різних способів задання поверхні наведені в таблиці:

Координати нормалі в точці поверхні
Неявне задання
Явне задання
Параметричне задання

Тут: .

Всі похідні беруться в точці .

Кривина

Для різних напрямків у заданій точці поверхні виходить різна кривина нормального перетину, яка називається нормальною кривиною; їй приписується знак плюс, якщо головна нормаль кривої йде в тому ж напрямку, що і нормаль до поверхні, або мінус, якщо напрямки нормалей протилежні.

Взагалі кажучи, в кожній точці поверхні існують два перпендикулярних напрями і , в яких нормальна кривина набуває мінімального та максимального значення; ці напрямки називаються головними. Виняток становить випадок, коли нормальна кривина в усіх напрямках однакова (наприклад, у сфери або на торці еліпсоїда обертання), тоді всі напрямки в точці — головні.

Поверхні з від'ємною (ліворуч), нульовою (в центрі) та длодатною (праворуч) кривиною.

Нормальні кривини в головних напрямках називаються головними кривинами; позначимо їх і . Величина:

називається гаусовою кривиною, повною кривиною або просто кривиною поверхні. Зустрічається також термін скаляр кривини, який має на увазі результат згортки тензора кривини; при цьому скаляр кривини вдвічі більший, ніж гаусова кривина.

Гаусова кривина може бути обчислена через метрику, і тому вона є об'єктом внутрішньої геометрії поверхонь (відзначимо, що головні кривини до внутрішньої геометрії не належать). За знаком кривини можна класифікувати точки поверхні (див. малюнок). Кривина площини дорівнює нулю. Кривина сфери радіуса R всюди дорівнює . Існує й поверхня постійної від'ємної кривини — псевдосфера.

Геодезичні лінії, геодезична кривина

Крива на поверхні називається геодезичною лінією, або просто геодезичною, якщо у всіх її точках головна нормаль до кривої збігається з нормаллю до поверхні. Приклад: на площині геодезичними будуть прямі та відрізки прямих, на сфері — великі кола та їх відрізки.

Еквівалентна визначення: у геодезичної лінії проєкція її головної нормалі на дотичну площину є нульовим вектором. Якщо крива не є геодезичною, то зазначена проєкція ненульова; її довжина називається геодезичною кривиною кривої на поверхні. Має місце співвідношення:

де  — кривина цієї кривої, Неможливо розібрати вираз (SVG (MathML можна ввімкнути через плагін браузера): Недійсна відповідь («Math extension cannot connect to Restbase.») від сервера «http://localhost:6011/uk.wikipedia.org/v1/»:): {\displaystyle k_n}  — кривина її нормального перетину з тією ж дотичною.

Геодезичні лінії є об'єктом внутрішньої геометрії. Перелічимо їх головні властивості:

  • Через дану точку поверхні в заданому напрямку проходить одна і лише одна геодезична.
  • На достатньо малій ділянці поверхні дві точки завжди можна з'єднати геодезичною, і притому лише однією. Пояснення: на сфері протилежні полюси з'єднує нескінченна кількість меридіанів, а дві близькі точки можна з'єднати не лише відрізком великого кола, але і його доповненням до повного кола, так що однозначність виконується лише в малому відрізку.
  • Геодезична є найкоротшою. Більш строго: на достатньо малому околі поверхні найкоротший шлях між заданими точками лежить на геодезичній.

Площа

Ще один важливий атрибут поверхні — її площа, яка обчислюється за формулою:

Тут .

В координатах отримуємо:

Явне задання Параметричне задання
Вираз для площі

Поверхня у топології

Орієнтація

Стрічка Мебіуса зроблена з одного шматка паперу або стрічки.

Також важливою характеристикою поверхні є її орієнтація.

Поверхня називається двосторонньою, якщо вона на всій її протяжності має неперервне покриття вектором нормалі. В іншому випадку поверхню називають односторонньою.

Орієнтованою називається двостороння поверхня з вибраним напрямом нормалі.

Прикладами односторонніх поверхонь є стрічка Мебіуса та пляшка Кляйна.

Топологічні типи поверхонь

З точки зору топологічної будови, поверхні, як двовимірні многовиди, бувають:

Багатовимірні узагальнення

Література

Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри
Дата публікації:
U Vikipediyi ye statti pro inshi znachennya cogo termina Poverhnya znachennya Poverhnya v matematici osoblivo v topologiyi ce dvovimirnij topologichnij mnogovid Priklad prostoyi poverhniNajvidomishimi prikladami ye ti sho vinikayut yak mezha tila u zvichajnomu trivimirnomu evklidovomu prostori R3 Napriklad ce poverhnya kuli Z inshogo boku ye poverhni taki yak plyashka Klejna yaki ne mozhut buti vkladenimi v trivimirnij evklidiv prostir bez osoblivostej abo samoperetiniv Koli kazhut sho poverhnya ye dvovimirnoyu to ce oznachaye sho u kozhnoyi tochki isnuye okil yakij mozhna vidobraziti bez rozrivu na dvovimirnij krug Ponyattya poverhni vikoristovuyetsya u fizici budivnictvi komp yuternij grafici i bagatoh inshih galuzyah yaki mayut spravu z poverhnyami fizichnih ob yektiv Napriklad pid chas analizu aerodinamichnih vlastivostej litaka persh za vse zvertayut uvagu na potik povitrya uzdovzh jogo poverhni Zmist 1 Sposobi zadannya 1 1 Prikladi rivnyan ploshini ta sferi 2 Ponyattya pro prostu poverhnyu 3 Poverhnya v diferencialnij geometriyi 3 1 Dotichna ploshina 3 2 Metrika ta vnutrishnya geometriya 3 3 Normal ta normalnij pereriz 3 4 Krivina 3 5 Geodezichni liniyi geodezichna krivina 3 6 Plosha 4 Poverhnya u topologiyi 4 1 Oriyentaciya 4 2 Topologichni tipi poverhon 5 Bagatovimirni uzagalnennya 6 LiteraturaSposobi zadannya RedaguvatiV trivimirnomu prostori poverhnyu mozhna viznachiti neyavno yak mnozhinu tochok koordinati yakih zadovolnyayut pevnomu vidu rivnyan F x y z 0 1 displaystyle F x y z 0 qquad 1 dd Yaksho funkciya F x y z displaystyle F x y z neperervna v deyakij tochci i maye v nij neperervni chastkovi pohidni prinajmni odna z yakih ne peretvoryuyetsya na nul to v okoli ciyeyi tochki poverhnya zadana rivnyannyam 1 bude pravilnoyu poverhneyu Na vidminu vid neyavnogo sposobu zadannya poverhnya mozhe buti viznachena yavno yaksho odnu zi zminnih napriklad z mozhna viraziti cherez inshi z f x y 1 displaystyle z f x y qquad 1 dd Takozh isnuye parametrichnij sposib zadannya U comu vipadku poverhnya viznachayetsya sistemoyu rivnyan x x u v y y u v z z u v 1 displaystyle left begin array ccc x amp amp x u v y amp amp y u v z amp amp z u v end array right qquad 1 dd Prikladi rivnyan ploshini ta sferi Redaguvati Yavne ta neyavne rivnyannya ploshini v E3 yaka zbigayetsya z ploshinoyu Oxy mayut odnakovij viglyad z 0 Parametrichne rivnyannya tiyeyi zh ploshini x u y v z 0 u v R displaystyle left begin array ccc x amp amp u y amp amp v z amp amp 0 end array right quad u v in mathbb R Neyavne rivnyannya sferi odinichnogo radiusa z centrom u pochatku koordinat v E3 x 2 y 2 z 2 1 displaystyle x 2 y 2 z 2 1 Yavne zadannya sferi odnim rivnyannyam nemozhlive Mozhna yavno opisati dvi pivsferi z 1 x 2 y 2 displaystyle z pm sqrt 1 x 2 y 2 Parametrichne rivnyannya sferi x sin v cos u y sin v sin u z cos v 0 u lt 2 p 0 v p displaystyle left begin array ccc x amp amp sin v cos u y amp amp sin v sin u z amp amp cos v end array right quad 0 leqslant u lt 2 pi 0 leqslant v leqslant pi Ponyattya pro prostu poverhnyu RedaguvatiDokladnishe Prosta poverhnyaIntuyitivno prostu poverhnyu mozhna uyaviti yak shmatok ploshini piddanij neperervnim deformaciyam roztyaguvanyam stiskannyam i zginannyam Bilsh strogo prostoyu poverhneyu nazivayetsya obraz gomeomorfnogo vidobrazhennya tobto vzayemno odnoznachnogo ta vzayemno neperervnogo vidobrazhennya vnitrishnih tochok odinichnogo kvadrata Ce viznachennyu mozhna viraziti analitichno Nehaj na ploshini z pryamokutnoyu sistemoyu koordinat u i v zadano kvadrat koordinati vnutrishnih tochok yakogo zadovolnyayut nerivnostyam 0 lt u lt 1 0 lt v lt 1 Gomeomorfnij obraz kvadrata u prostori z pryamokutnoyu sistemoyu koordinat h u z zadayetsya za dopomogoyu formul h x u v u y u v z z u v parametrichne zadannya poverhni Pri comu vid funkcij x u v y u v i z u v vimagayetsya shob voni buli neperervnimi i shob dlya riznih tochok u v i u v buli riznimi vidpovidni tochki x u z i x u z Prikladom prostoyi poverhniye pivsfera Vsya zh sfera ne ye prostoyu poverhneyu Ce viklikaye neobhidnist podalshogo uzagalnennya ponyattya poverhni Pidmnozhina prostoru u kozhnoyi tochki yakogo ye okil sho ye prostoyu poverhneyu nazivayetsya pravilnoyu poverhneyu Poverhnya v diferencialnij geometriyi RedaguvatiDokladnishe Diferencialna geometriya poverhonV diferencialnoyi geometriyi doslidzhuvani poverhni zazvichaj pidporyadkovani umovam pov yazanim z mozhlivistyu zastosuvannya metodiv diferencialnogo chislennya Yak pravilo ce umovi gladkosti poverhni tobto isnuvannya v kozhnij tochci poverhni pevnoyi dotichnoyi ploshini krivini tosho Ci vimogi zvodyatsya do togo sho funkciyi sho zadayut poverhnyu mayut buti odnorazovo dvichi trichi a v deyakih vipadkah neobmezhenu kilkist raziv diferencijovnimi abo navit analitichnimi funkciyami Pri comu dodatkovo nakladayetsya umova regulyarnosti Vipadok neyavnogo zadannya Poverhnya zadana rivnyannyam F x y z 0 F W R 3 displaystyle F x y z 0 F Omega to mathbb R 3 ye gladkoyu regulyarnoyu poverhneyu yaksho P 0 x 0 y 0 z 0 F x 0 y 0 z 0 0 displaystyle exists P 0 x 0 y 0 z 0 F x 0 y 0 z 0 0 funkciya F displaystyle F neperervno diferencijovna v svoyij oblasti viznachennya W displaystyle Omega a yiyi chastkovi pohidni odnochasno ne peretvoryuyutsya na nul umova pravilnosti na vsij mnozhini W displaystyle Omega F x 2 F y 2 F z 2 gt 0 displaystyle left frac partial F partial x right 2 left frac partial F partial y right 2 left frac partial F partial z right 2 gt 0 Vipadok parametrichnogo zadannya Zadamo poverhnyu vektornim rivnyannyam r r u v displaystyle mathbf r mathbf r u v abo sho te zh same troma rivnyannyami v koordinatah x x u v y y u v z z u v u v W displaystyle left begin array ccc x amp amp x u v y amp amp y u v z amp amp z u v end array right quad u v in Omega Cya sistema rivnyan zadaye gladku regulyarnu poverhnyu yaksho sistema vstanovlyuye vzayemno odnoznachnu vidpovidnist mizh obrazom ta proobrazom W displaystyle Omega funkciyi x u v y u v z u v displaystyle x u v y u v z u v neperervno diferencijovni v W displaystyle Omega vikonana umova nevirodzhenosti x u x v y u y v 2 y u y v z u z v 2 z u z v x u x v 2 gt 0 displaystyle begin vmatrix x u amp x v y u amp y v end vmatrix 2 begin vmatrix y u amp y v z u amp z v end vmatrix 2 begin vmatrix z u amp z v x u amp x v end vmatrix 2 gt 0 Geometrichno ostannya umova oznachaye sho vektori r u r v displaystyle frac partial mathbf r partial u frac partial mathbf r partial v nide ne paralelni Koordinatna sitka na sferiParametri u v mozhna rozglyadati yak vnutrishni koordinati tochok poverhni Fiksuyuchi odnu z koordinat mi otrimuyemo dva simejstva koordinatnih krivih sho pokrivayut poverhnyu koordinatnoyu sitkoyu Vipadok yavnogo zadannya Poverhnya S displaystyle S mozhe buti viznachena yak grafik funkciyi z f x y displaystyle z f x y todi S displaystyle S ye gladkoyu regulyarnoyu poverhneyu yaksho funkciya f displaystyle f diferencijovna Cej variant mozhna rozglyadati yak okremij vipadok parametrichnogo zadannya x u y v z f u v displaystyle x u y v z f u v Dotichna ploshina Redaguvati Dotichna ploshina v tochci poverhni Dotichna ploshina v tochci gladkoyi poverhni ce ploshina sho maye maksimalnij poryadok dotiku z poverhneyu v cij tochci Ekvivalentnij variant viznachennya dotichnoyu ploshinoyu ye ploshina sho mistit dotichni do vsih gladkih krivih yaki prohodyat cherez cyu tochku Nehaj gladka kriva na parametrichno zadanij poverhni r r u v displaystyle mathbf r mathbf r u v zadana u viglyadi u u t v v t displaystyle u u t v v t Napryamok v displaystyle mathbf v dotichnoyi do takoyi krivoyi daye vektor v d r d t r u d u d t r v d v d t displaystyle mathbf v frac d mathbf r dt frac partial mathbf r partial u frac du dt frac partial mathbf r partial v frac dv dt Zvidsi vidno sho vsi dotichni do vsih krivih u danij tochci lezhat v odnij ploshini sho mistit vektori r u r v displaystyle frac partial mathbf r partial u frac partial mathbf r partial v yaki povinni buti nezalezhnimi Yaksho vektori budut zalezhnimi to poverhnya ne bude gladko parametrizovanoyu v cij tochci Rivnyannya dotichnoyi ploshini v tochci r 0 x 0 y 0 z 0 displaystyle mathbf r 0 x 0 y 0 z 0 maye viglyad r r 0 r u r v 0 displaystyle left mathbf r mathbf r 0 frac partial mathbf r partial u frac partial mathbf r partial v right 0 quad mishanij dobutok vektoriv U koordinatah rivnyannya dotichnoyi ploshini dlya riznih sposobiv zadannya poverhni navedeni v tablici Dotichna ploshina do poverhni v tochci x 0 y 0 z 0 displaystyle x 0 y 0 z 0 Neyavne zadannya F x x x 0 F y y y 0 F z z z 0 0 displaystyle frac partial F partial x x x 0 frac partial F partial y y y 0 frac partial F partial z z z 0 0 Yavne zadannya f x x x 0 f y y y 0 z z 0 displaystyle frac partial f partial x x x 0 frac partial f partial y y y 0 z z 0 Parametrichne zadannya x x 0 y y 0 z z 0 x u y u z u x v y v z v 0 displaystyle begin vmatrix x x 0 amp y y 0 amp z z 0 x u amp y u amp z u x v amp y v amp z v end vmatrix 0 Vsi pohidni obchislyuyutsya v tochci x 0 y 0 z 0 displaystyle x 0 y 0 z 0 Metrika ta vnutrishnya geometriya Redaguvati Rozglyanemo gladku krivu u u t v v t displaystyle u u t v v t Element yiyi dovzhini viznachayetsya zi spivvidnoshennya d s 2 d r 2 r u d u r v d v 2 E d u 2 2 F d u d v G d v 2 displaystyle ds 2 d mathbf r 2 left frac partial mathbf r partial u du frac partial mathbf r partial v dv right 2 E du 2 2F du dv G dv 2 de E r u r u F r u r v G r v r v displaystyle E mathbf r u mathbf r u F mathbf r u mathbf r v G mathbf r v mathbf r v Cya kvadratichna forma nazivayetsya pershoyu kvadratichnoyu formoyu ta yavlyaye soboyu dvovimirnij variant metriki poverhni Dlya regulyarnoyi poverhni yiyi diskriminant E G F 2 gt 0 displaystyle EG F 2 gt 0 u vsih tochkah poverhni Koeficiyent F 0 displaystyle F 0 u tochci poverhni todi i lishe todi koli v cij tochci koordinatni krivi ortogonalni Zokrema na ploshini z dekartovimi koordinatami u v displaystyle u v otrimuyemo metriku d s 2 d u 2 d v 2 displaystyle ds 2 du 2 dv 2 teorema Pifagora Peretvorennya gelikoyida v katenoyid Metrika ne viznachaye odnoznachno formu poverhni Napriklad metriki gelikoyida ta katenoyida parametrizovanih vidpovidnim chinom zbigayutsya tobto mizh yih oblastyami isnuye vidpovidnist sho zberigaye vsi dovzhini izometriya Vlastivosti sho zberigayutsya pri izometrichnih peretvorennyah nazivayutsya vnutrishnoyu geometriyeyu poverhni a sami poverhni nazivayutsya izometrichnimi Vnutrishnya geometriya ne zalezhit vid polozhennya poverhni v prostori i ne zminyuyetsya pri yiyi zginanni bez roztyaguvannya ta stisnennya napriklad pri zginanni cilindra v konus Metrichni koeficiyenti E F G displaystyle E F G okrim dovzhin krivih na poverhni viznachayut takozh kuti mizh krivimi ploshu oblastej krivini ta inshe Tomu vse sho zalezhit lishe vid metriki vidnositsya do vnutrishnoyi geometriyi Normal ta normalnij pereriz Redaguvati Vektori normali v tochkah poverhniOdniyeyu z osnovnih harakteristik poverhni ye yiyi normal odinichnij vektor perpendikulyarnij do dotichnoyi ploshini v zadanij tochci m r u r v r u r v displaystyle mathbf m frac mathbf r u mathbf r v mathbf r u mathbf r v Znak normali zalezhit vid viboru koordinat Peretin poverhni ploshinoyu sho mistit normal u danij tochci utvoryuye na poverhni deyaku krivu yaka nazivayetsya normalnim peretinom poverhni Golovna normal dlya normalnogo peretinu zbigayetsya z normallyu do poverhni z tochnistyu do znaku Yaksho zh kriva na poverhni ne ye normalnim peretinom to yiyi golovna normal utvoryuye z normallyu poverhni deyakij kut 8 displaystyle theta Todi krivina k displaystyle k krivoyi pov yazana z krivinoyu k n displaystyle k n normalnogo peretinu z tiyeyu zh dotichnoyu formuloyu Menye k n k cos 8 displaystyle k n pm k cos theta Koordinati orta normali dlya riznih sposobiv zadannya poverhni navedeni v tablici Koordinati normali v tochci poverhniNeyavne zadannya F x F y F z F x 2 F y 2 F z 2 displaystyle frac left frac partial F partial x frac partial F partial y frac partial F partial z right sqrt left frac partial F partial x right 2 left frac partial F partial y right 2 left frac partial F partial z right 2 Yavne zadannya f x f y 1 f x 2 f y 2 1 displaystyle frac left frac partial f partial x frac partial f partial y 1 right sqrt left frac partial f partial x right 2 left frac partial f partial y right 2 1 Parametrichne zadannya D y z D u v D z x D u v D x y D u v D y z D u v 2 D z x D u v 2 D x y D u v 2 displaystyle frac left frac D y z D u v frac D z x D u v frac D x y D u v right sqrt left frac D y z D u v right 2 left frac D z x D u v right 2 left frac D x y D u v right 2 Tut D y z D u v y u y v z u z v D z x D u v z u z v x u x v D x y D u v x u x v y u y v displaystyle frac D y z D u v begin vmatrix y u amp y v z u amp z v end vmatrix quad frac D z x D u v begin vmatrix z u amp z v x u amp x v end vmatrix quad frac D x y D u v begin vmatrix x u amp x v y u amp y v end vmatrix Vsi pohidni berutsya v tochci x 0 y 0 z 0 displaystyle x 0 y 0 z 0 Krivina Redaguvati Dlya riznih napryamkiv u zadanij tochci poverhni vihodit rizna krivina normalnogo peretinu yaka nazivayetsya normalnoyu krivinoyu yij pripisuyetsya znak plyus yaksho golovna normal krivoyi jde v tomu zh napryamku sho i normal do poverhni abo minus yaksho napryamki normalej protilezhni Vzagali kazhuchi v kozhnij tochci poverhni isnuyut dva perpendikulyarnih napryami e 1 displaystyle e 1 i e 2 displaystyle e 2 v yakih normalna krivina nabuvaye minimalnogo ta maksimalnogo znachennya ci napryamki nazivayutsya golovnimi Vinyatok stanovit vipadok koli normalna krivina v usih napryamkah odnakova napriklad u sferi abo na torci elipsoyida obertannya todi vsi napryamki v tochci golovni Poverhni z vid yemnoyu livoruch nulovoyu v centri ta dlodatnoyu pravoruch krivinoyu Normalni krivini v golovnih napryamkah nazivayutsya golovnimi krivinami poznachimo yih k 1 displaystyle kappa 1 i k 2 displaystyle kappa 2 Velichina K k 1 k 2 displaystyle K kappa 1 kappa 2 nazivayetsya gausovoyu krivinoyu povnoyu krivinoyu abo prosto krivinoyu poverhni Zustrichayetsya takozh termin skalyar krivini yakij maye na uvazi rezultat zgortki tenzora krivini pri comu skalyar krivini vdvichi bilshij nizh gausova krivina Gausova krivina mozhe buti obchislena cherez metriku i tomu vona ye ob yektom vnutrishnoyi geometriyi poverhon vidznachimo sho golovni krivini do vnutrishnoyi geometriyi ne nalezhat Za znakom krivini mozhna klasifikuvati tochki poverhni div malyunok Krivina ploshini dorivnyuye nulyu Krivina sferi radiusa R vsyudi dorivnyuye 1 R 2 displaystyle frac 1 R 2 Isnuye j poverhnya postijnoyi vid yemnoyi krivini psevdosfera Geodezichni liniyi geodezichna krivina Redaguvati Dokladnishe Geodezichna liniyaKriva na poverhni nazivayetsya geodezichnoyu liniyeyu abo prosto geodezichnoyu yaksho u vsih yiyi tochkah golovna normal do krivoyi zbigayetsya z normallyu do poverhni Priklad na ploshini geodezichnimi budut pryami ta vidrizki pryamih na sferi veliki kola ta yih vidrizki Ekvivalentna viznachennya u geodezichnoyi liniyi proyekciya yiyi golovnoyi normali na dotichnu ploshinu ye nulovim vektorom Yaksho kriva ne ye geodezichnoyu to zaznachena proyekciya nenulova yiyi dovzhina nazivayetsya geodezichnoyu krivinoyuk g displaystyle k g krivoyi na poverhni Maye misce spivvidnoshennya k 2 k g 2 k n 2 displaystyle k 2 k g 2 k n 2 de k displaystyle k krivina ciyeyi krivoyi Nemozhlivo rozibrati viraz SVG MathML mozhna vvimknuti cherez plagin brauzera Nedijsna vidpovid Math extension cannot connect to Restbase vid servera http localhost 6011 uk wikipedia org v1 displaystyle k n krivina yiyi normalnogo peretinu z tiyeyu zh dotichnoyu Geodezichni liniyi ye ob yektom vnutrishnoyi geometriyi Perelichimo yih golovni vlastivosti Cherez danu tochku poverhni v zadanomu napryamku prohodit odna i lishe odna geodezichna Na dostatno malij dilyanci poverhni dvi tochki zavzhdi mozhna z yednati geodezichnoyu i pritomu lishe odniyeyu Poyasnennya na sferi protilezhni polyusi z yednuye neskinchenna kilkist meridianiv a dvi blizki tochki mozhna z yednati ne lishe vidrizkom velikogo kola ale i jogo dopovnennyam do povnogo kola tak sho odnoznachnist vikonuyetsya lishe v malomu vidrizku Geodezichna ye najkorotshoyu Bilsh strogo na dostatno malomu okoli poverhni najkorotshij shlyah mizh zadanimi tochkami lezhit na geodezichnij Plosha Redaguvati She odin vazhlivij atribut poverhni yiyi plosha yaka obchislyuyetsya za formuloyu S r u r v d u d v displaystyle S iint mathbf r u times mathbf r v mathrm d u mathrm d v Tut r u x u y u z u r v x v y v z v displaystyle mathbf r u left frac partial x partial u frac partial y partial u frac partial z partial u right mathbf r v left frac partial x partial v frac partial y partial v frac partial z partial v right V koordinatah otrimuyemo Yavne zadannya Parametrichne zadannyaViraz dlya ploshi f x 2 f y 2 1 d x d y displaystyle iint sqrt left frac partial f partial x right 2 left frac partial f partial y right 2 1 mathrm d x mathrm d y D x y D u v 2 D y z D u v 2 D z x D u v 2 d u d v displaystyle iint sqrt left frac D x y D u v right 2 left frac D y z D u v right 2 left frac D z x D u v right 2 mathrm d u mathrm d v Poverhnya u topologiyi RedaguvatiOriyentaciya Redaguvati Strichka Mebiusa zroblena z odnogo shmatka paperu abo strichki Takozh vazhlivoyu harakteristikoyu poverhni ye yiyi oriyentaciya Poverhnya nazivayetsya dvostoronnoyu yaksho vona na vsij yiyi protyazhnosti maye neperervne pokrittya vektorom normali V inshomu vipadku poverhnyu nazivayut odnostoronnoyu Oriyentovanoyu nazivayetsya dvostoronnya poverhnya z vibranim napryamom normali Prikladami odnostoronnih poverhon ye strichka Mebiusa ta plyashka Klyajna Topologichni tipi poverhon Redaguvati Z tochki zoru topologichnoyi budovi poverhni yak dvovimirni mnogovidi buvayut zamknuti ta vidkriti oriyentovani ta neoriyentovani z mezheyu Bagatovimirni uzagalnennya RedaguvatiGiperpoverhnya Mnogovid Pidmnogovid Tenzornij analizLiteratura RedaguvatiPogoryelov O V Diferencialna geometriya 6 e vidannya Moskva Nauka 1974 Rashevskij P K Kurs diferencialnoyi geometriyi 3 e vidannya Moskva GITTL 1950 Otrimano z https uk wikipedia org w index php title Poverhnya amp oldid 36303866