www.wikidata.uk-ua.nina.az

Кривина математика У диференціальній геометрії кривина збірна назва ряду кількісних характеристик чисельних векторних те

Кривина (математика)

У диференціальній геометрії, кривина́ — збірна назва ряду кількісних характеристик (чисельних, векторних, тензорних), що описують відхилення того або іншого геометричного «об'єкта» (кривої, поверхні, ріманового простору тощо) від відповідних «пласких» об'єктів (пряма, площина, евклідів простір тощо).

Зазвичай кривина визначається для кожної точки на «об'єкті» і виражається як значення деякого диференціального виразу 2-го порядку. Іноді кривина визначається в інтегральному смислі, наприклад як міра, такі визначення використовують для «об'єктів» зниженої гладкості. Як правило, тотожне перетворення на нуль кривини в усіх точках означає збіг (локальний, але не глобальний) «об'єкта», що вивчається, з «пласким» об'єктом.

У цій статті наводяться тільки декілька простих прикладів визначень поняття кривини.

Кривина кривої

Нехай γ(s) — регулярна крива в d-вимірному евклідовому просторі, що параметризується довжиною. Тоді

називається кривиною кривої γ у точці p = γ(s), тут позначає другу похідну по s. Вектор

називається вектором кривини γ в точці p = γ(t0).

Нижче подані більш інтуїтивні визначення, що пояснюють геометричний зміст кривини.

Величина, обернена до кривини кривої (), називається радіусом кривини; він збігається з радіусом стичного кола в даній точці кривої. Центр цього кола називається центром кривини.

Кривина плоскої кривої

Нехай  — плоска крива. Її кривина в деякій точці умовно кажучи визначає наскільки крива в деякому малому околі цієї точки відхиляється від прямої. Для змістовності цієї числової характеристики кривина прямої мала б бути рівною нулю, а кривина в точках кола меншого радіуса мала б бути більшою, ніж у точках кола більшого радіуса. Тому кривину прямої можна визначити рівною нулю, а кривину кола радіуса r, як 1/r.

float

Тому якщо в деякому околі точки p крива досить добре наближається деяким колом (це коло називається стичним колом) радіуса r, то її кривину в точці p теж можна прийняти рівною 1/r. Стичне коло в точці визначається як границя кіл, що проходять через точки при

Нехай тепер для простоти крива параметризується довжиною і її перша та друга похідні по цьому параметру визначені і неперервні. Окрім того є одиничним вектором тобто і де тут і надалі позначає скалярний добуток.

Якщо точки не лежать на одній прямій позначимо через  — центр кола, що проходить через ці точки.

Тоді

З правил диференціювання скалярного добутку і теореми Ролля випливає існування таких чисел перше з яких знаходиться на проміжку між двома найменшими з чисел а друге між двома найбільшими, що:

Повторно продиференціювавши і використавши теорему Ролля отримуємо існування числа для якого

Якщо тепер то також і тому, якщо теж прямує до деякого то попередні рівняння в граничному випадку мають вигляд:

Звідси очевидно, що така границя не може існувати, якщо Якщо ж то можна довести, що жодні три точки в деякому околі точки не лежать на одній прямій і попередні побудови мають зміст. Також в цьому випадку з фінальних рівнянь однозначно визначається і з неперервності скалярного добутку випливає, що

Також з рівнянь випливає, що вектор який є радіус-вектором стичного кола є колінеарним до вектора Звідси маємо, що для радіуса r стичного кола виконується рівність , яку можна переписати як Тому саме можна визначати як кривину кривої в даній точці. У випадку кривина теж вважається нульовою.

Визначення плоскої кривої функцією кривини

Якщо — деяка неперервна функція, із невід'ємними значеннями то існує крива для якої кривина в точці є рівною

Окрім того дві такі криві можуть бути отримані одна з іншої за допомогою перенесення та повороту площини.

Кривина у просторах вищої розмірності

Для кривих у Евклідових просторах розмірності > 2 попередня побудова теж має зміст при В цьому випадку довільні три точки в околі деякої точки теж не належать одній прямій. При прямуванні цих точок до в граничному випадку отримується площина визначена перпендикулярними векторами і В ній і буде лежати граничне коло побудоване як і раніше.

В цьому випадку проте довільна неперервна функція не визначає криву . Для визначення кривої з точністю до ізометричних афінних відображень потрібні додаткові дані. Наприклад у випадку тривимірного простору також скрут кривої у кожній точці.

Визначення кривини як границі кутових функцій

Нехай знову ж деяка двічі неперервно диференційовна функція параметризована своєю довжиною. Кривину в точці можна також визначити в інший спосіб. Нехай — дотичні вектори в точках з відповідними параметрами. Для параметризації довжиною вони є одиничними. Позначимо — кут між

цими векторами. Тоді кривина рівна границі відношення цього кута до довжини кривої між двома точками. Для параметризації довжиною це можна записати як:

Дійсно з елементарних властивостей трикутника справедлива рівність

Звідси маємо

При переході до границі, зважаючи на властивості синуса маємо

Формули для кривини в довільній параметризації

У формулі важливою є параметризація кривої її довжиною. Нехай тепер — довільна параметризація. Тоді є бієктивна функція яка для двічі неперервно диференційовних кривих теж є двічі неперервно диференційовною.

Позначаючи і похідні по відповідних параметрах маємо . Звідси і, як наслідок

Продиференціювавши останню рівність маємо:

Взявши абсолютні значення після подальший спрощень отримується формула:

де всі похідні є по параметру t.

Для плоских кривих записуючи в координатах формула кривини має вигляд:

Для кривих у трьохвимірному просторі кривину можна також записати як:

,

або в координатах

Кривина поверхні

Нехай  — це регулярна поверхня у тривимірному евклідовому просторі. Хай  — точка ,  — дотична площина до у точці ,  — одинична нормаль до у точці , а  — площина, що проходить через і деякий одиничний вектор в . Крива , що виходить як перетин площини з поверхнею , називається нормальним перетином поверхні у точці у напрямі . Величина

де позначає скалярний добуток, а  — вектор кривини у точці , називається нормальною кривиною поверхні у напрямі . З точністю до знаку нормальна кривина дорівнює кривині кривої .

У дотичній площині існують два перпендикулярні напрями і такі, що нормальну кривину в довільному напрямі можна представити за допомогою так званої формули Ейлера:

де  — кут між і , a величини і нормальні кривини в напрямах і , вони називаються головними кривинами, а напрями і  — головними напрямами поверхні в точці .

Головні кривини є екстремальними значеннями нормальних кривин.

Структуру нормальних кривин в даній точці поверхні зручно графічно зображати за допомогою індикатриси Дюпена.

Величина

називається середньою кривиною поверхні.

Величина

називається гаусовою кривиною поверхні. Гаусова кривина є об'єктом внутрішньої геометрії поверхонь, зокрема не змінюється при ізометричних вигинаннях.

Див. також

Література

Це незавершена стаття з математики.
Ви можете допомогти проєкту, виправивши або дописавши її.
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри
Дата публікації:
U diferencialnij geometriyi krivina zbirna nazva ryadu kilkisnih harakteristik chiselnih vektornih tenzornih sho opisuyut vidhilennya togo abo inshogo geometrichnogo ob yekta krivoyi poverhni rimanovogo prostoru tosho vid vidpovidnih plaskih ob yektiv pryama ploshina evklidiv prostir tosho Zazvichaj krivina viznachayetsya dlya kozhnoyi tochki na ob yekti i virazhayetsya yak znachennya deyakogo diferencialnogo virazu 2 go poryadku Inodi krivina viznachayetsya v integralnomu smisli napriklad yak mira taki viznachennya vikoristovuyut dlya ob yektiv znizhenoyi gladkosti Yak pravilo totozhne peretvorennya na nul krivini v usih tochkah oznachaye zbig lokalnij ale ne globalnij ob yekta sho vivchayetsya z plaskim ob yektom U cij statti navodyatsya tilki dekilka prostih prikladiv viznachen ponyattya krivini Zmist 1 Krivina krivoyi 1 1 Krivina ploskoyi krivoyi 1 2 Viznachennya ploskoyi krivoyi funkciyeyu krivini 1 3 Krivina u prostorah vishoyi rozmirnosti 1 4 Viznachennya krivini yak granici kutovih funkcij 1 5 Formuli dlya krivini v dovilnij parametrizaciyi 2 Krivina poverhni 3 Div takozh 4 LiteraturaKrivina krivoyi RedaguvatiNehaj g s regulyarna kriva v d vimirnomu evklidovomu prostori sho parametrizuyetsya dovzhinoyu Todi k g s displaystyle kappa ddot gamma s nazivayetsya krivinoyu krivoyi g u tochci p g s tut g s displaystyle ddot gamma s poznachaye drugu pohidnu po s Vektor k g t displaystyle k ddot gamma t nazivayetsya vektorom krivini g v tochci p g t0 Nizhche podani bilsh intuyitivni viznachennya sho poyasnyuyut geometrichnij zmist krivini Velichina obernena do krivini krivoyi r 1 k displaystyle r 1 kappa nazivayetsya radiusom krivini vin zbigayetsya z radiusom stichnogo kola v danij tochci krivoyi Centr cogo kola nazivayetsya centrom krivini Krivina ploskoyi krivoyi RedaguvatiNehaj g t a b R 2 displaystyle gamma t a b to mathbb R 2 ploska kriva Yiyi krivina v deyakij tochci p g t t a b displaystyle p gamma t t in a b umovno kazhuchi viznachaye naskilki kriva v deyakomu malomu okoli ciyeyi tochki vidhilyayetsya vid pryamoyi Dlya zmistovnosti ciyeyi chislovoyi harakteristiki krivina pryamoyi mala b buti rivnoyu nulyu a krivina v tochkah kola menshogo radiusa mala b buti bilshoyu nizh u tochkah kola bilshogo radiusa Tomu krivinu pryamoyi mozhna viznachiti rivnoyu nulyu a krivinu kola radiusa r yak 1 r floatTomu yaksho v deyakomu okoli tochki p kriva dosit dobre nablizhayetsya deyakim kolom ce kolo nazivayetsya stichnim kolom radiusa r to yiyi krivinu v tochci p tezh mozhna prijnyati rivnoyu 1 r Stichne kolo v tochci p g t displaystyle p gamma t viznachayetsya yak granicya kil sho prohodyat cherez tochki p g t p 1 g t 1 p 2 g t 2 displaystyle p gamma t p 1 gamma t 1 p 2 gamma t 2 pri t 1 t 2 t displaystyle t 1 t 2 to t Nehaj teper dlya prostoti kriva g s displaystyle gamma s parametrizuyetsya dovzhinoyu i yiyi persha ta druga pohidni po comu parametru g s g s displaystyle dot gamma s ddot gamma s viznacheni i neperervni Okrim togo g s displaystyle dot gamma s ye odinichnim vektorom tobto g s 1 s displaystyle dot gamma s 1 forall s i g s g s 0 displaystyle langle dot gamma s ddot gamma s rangle 0 de tut i nadali displaystyle langle cdot cdot rangle poznachaye skalyarnij dobutok Yaksho tochki g s g s 1 g s 2 displaystyle gamma s gamma s 1 gamma s 2 ne lezhat na odnij pryamij poznachimo cherez C s s 1 s 2 displaystyle C s s 1 s 2 centr kola sho prohodit cherez ci tochki Todi g s C s s 1 s 2 g s 1 C s s 1 s 2 g s 2 C s s 1 s 2 displaystyle gamma s C s s 1 s 2 gamma s 1 C s s 1 s 2 gamma s 2 C s s 1 s 2 Z pravil diferenciyuvannya skalyarnogo dobutku i teoremi Rollya viplivaye isnuvannya takih chisel 3 1 3 2 displaystyle xi 1 xi 2 pershe z yakih znahoditsya na promizhku mizh dvoma najmenshimi z chisel s s 1 s 2 displaystyle s s 1 s 2 a druge mizh dvoma najbilshimi sho g 3 i g 3 i C s s 1 s 2 0 i 1 2 displaystyle langle dot gamma xi i gamma xi i C s s 1 s 2 rangle 0 i 1 2 Povtorno prodiferenciyuvavshi i vikoristavshi teoremu Rollya otrimuyemo isnuvannya chisla h 3 1 3 2 displaystyle eta in xi 1 xi 2 dlya yakogo g h g h C s s 1 s 2 g h g h 1 displaystyle langle ddot gamma eta gamma eta C s s 1 s 2 rangle langle dot gamma eta dot gamma eta rangle 1 Yaksho teper s 1 s 2 s displaystyle s 1 s 2 to s to takozh 3 1 h s displaystyle xi 1 eta to s i tomu yaksho C s s 1 s 2 displaystyle C s s 1 s 2 tezh pryamuye do deyakogo C displaystyle C to poperedni rivnyannya v granichnomu vipadku mayut viglyad g s g s C 0 displaystyle langle dot gamma s gamma s C rangle 0 g s g s C 1 displaystyle langle ddot gamma s gamma s C rangle 1 Zvidsi ochevidno sho taka granicya ne mozhe isnuvati yaksho g s 0 displaystyle ddot gamma s 0 Yaksho zh g s 0 displaystyle ddot gamma s neq 0 to mozhna dovesti sho zhodni tri tochki v deyakomu okoli tochki p g s displaystyle p gamma s ne lezhat na odnij pryamij i poperedni pobudovi mayut zmist Takozh v comu vipadku z finalnih rivnyan odnoznachno viznachayetsya C displaystyle C i z neperervnosti skalyarnogo dobutku viplivaye sho C lim s 1 s 2 s C s s 1 s 2 displaystyle C lim s 1 s 2 to s C s s 1 s 2 Takozh z rivnyan viplivaye sho vektor g s C displaystyle gamma s C yakij ye radius vektorom stichnogo kola ye kolinearnim do vektora g s displaystyle ddot gamma s Zvidsi mayemo sho dlya radiusa r stichnogo kola vikonuyetsya rivnist r g s 1 displaystyle r ddot gamma s 1 yaku mozhna perepisati yak g s 1 r displaystyle ddot gamma s frac 1 r Tomu same g s displaystyle ddot gamma s mozhna viznachati yak krivinu krivoyi v danij tochci U vipadku g s 0 displaystyle ddot gamma s 0 krivina tezh vvazhayetsya nulovoyu Viznachennya ploskoyi krivoyi funkciyeyu krivini Redaguvati Yaksho k 0 L R displaystyle kappa 0 L to mathbb R deyaka neperervna funkciya iz nevid yemnimi znachennyami to isnuye kriva g 0 L R 2 displaystyle gamma 0 L to mathbb R 2 dlya yakoyi krivina v tochci p g s s 0 L displaystyle p gamma s s in 0 L ye rivnoyu k s displaystyle kappa s Okrim togo dvi taki krivi mozhut buti otrimani odna z inshoyi za dopomogoyu perenesennya ta povorotu ploshini Krivina u prostorah vishoyi rozmirnosti Redaguvati Dlya krivih u Evklidovih prostorah rozmirnosti gt 2 poperednya pobudova tezh maye zmist pri g s 0 displaystyle ddot gamma s neq 0 V comu vipadku dovilni tri tochki v okoli deyakoyi tochki g s displaystyle gamma s tezh ne nalezhat odnij pryamij Pri pryamuvanni cih tochok do g s displaystyle gamma s v granichnomu vipadku otrimuyetsya ploshina viznachena perpendikulyarnimi vektorami g s displaystyle dot gamma s i g s displaystyle ddot gamma s V nij i bude lezhati granichne kolo pobudovane yak i ranishe V comu vipadku prote dovilna neperervna funkciya k 0 L R displaystyle kappa 0 L to mathbb R ne viznachaye krivu g s displaystyle gamma s Dlya viznachennya krivoyi z tochnistyu do izometrichnih afinnih vidobrazhen potribni dodatkovi dani Napriklad u vipadku trivimirnogo prostoru takozh skrut krivoyi u kozhnij tochci Viznachennya krivini yak granici kutovih funkcij Redaguvati Nehaj znovu zh g 0 L R n displaystyle gamma 0 L to mathbb R n deyaka dvichi neperervno diferencijovna funkciya parametrizovana svoyeyu dovzhinoyu Krivinu v tochci g s s 0 L displaystyle gamma s s in 0 L mozhna takozh viznachiti v inshij sposib Nehaj g s g s D s displaystyle dot gamma s dot gamma s Delta s dotichni vektori v tochkah z vidpovidnimi parametrami Dlya parametrizaciyi dovzhinoyu voni ye odinichnimi Poznachimo 8 s s D s displaystyle theta s s Delta s kut mizhcimi vektorami Todi krivina rivna granici vidnoshennya cogo kuta do dovzhini krivoyi mizh dvoma tochkami Dlya parametrizaciyi dovzhinoyu ce mozhna zapisati yak k lim D s 0 8 s s D s D s displaystyle kappa lim Delta s to 0 frac theta s s Delta s Delta s Dijsno z elementarnih vlastivostej trikutnika spravedliva rivnist g s D s g s 2 sin 8 s s D s 2 displaystyle dot gamma s Delta s dot gamma s 2 sin frac theta s s Delta s 2 Zvidsi mayemo g s D s g s D s sin 8 s s D s 2 8 s s D s 2 8 s s D s D s displaystyle frac dot gamma s Delta s dot gamma s Delta s frac sin frac theta s s Delta s 2 frac theta s s Delta s 2 cdot frac theta s s Delta s Delta s Pri perehodi do granici zvazhayuchi na vlastivosti sinusa mayemo g s lim D s 0 8 s s D s D s displaystyle ddot gamma s lim Delta s to 0 frac theta s s Delta s Delta s Formuli dlya krivini v dovilnij parametrizaciyi Redaguvati U formuli k g s displaystyle kappa ddot gamma s vazhlivoyu ye parametrizaciya krivoyi yiyi dovzhinoyu Nehaj teper g t a b R n displaystyle gamma t a b to mathbb R n dovilna parametrizaciya Todi s t a b 0 L displaystyle s t a b to 0 L ye biyektivna funkciya yaka dlya dvichi neperervno diferencijovnih krivih tezh ye dvichi neperervno diferencijovnoyu Poznachayuchi g s displaystyle dot gamma s i g t displaystyle dot gamma t pohidni po vidpovidnih parametrah mayemo g t g s s t displaystyle dot gamma t dot gamma s dot s t Zvidsi g t s t displaystyle dot gamma t dot s t i yak naslidok g s g t g t displaystyle dot gamma s frac dot gamma t dot gamma t Prodiferenciyuvavshi ostannyu rivnist mayemo g s s s t g t t g t g t g t t g t 3 displaystyle ddot gamma ss dot s t frac ddot gamma tt dot gamma t frac dot gamma t ddot gamma tt dot gamma t 3 Vzyavshi absolyutni znachennya pislya podalshij sproshen otrimuyetsya formula k 2 g 2 g 2 g g 2 g 6 displaystyle kappa 2 frac dot gamma 2 ddot gamma 2 langle dot gamma ddot gamma rangle 2 dot gamma 6 de vsi pohidni ye po parametru t Dlya ploskih krivih zapisuyuchi v koordinatah g t x t y t displaystyle gamma t x t y t formula krivini maye viglyad k y x x y x 2 y 2 3 2 displaystyle kappa frac y x x y left x 2 y 2 right frac 3 2 Dlya krivih u trohvimirnomu prostori krivinu mozhna takozh zapisati yak k g g g 3 displaystyle kappa frac dot gamma times ddot gamma dot gamma 3 abo v koordinatah g t x t y t z t displaystyle gamma t x t y t z t k z y y z 2 x z z x 2 y x x y 2 x 2 y 2 z 2 3 2 displaystyle kappa frac sqrt z y y z 2 x z z x 2 y x x y 2 left x 2 y 2 z 2 right frac 3 2 Krivina poverhni RedaguvatiDokladnishe Krivina GausaNehaj F displaystyle Phi ce regulyarna poverhnya u trivimirnomu evklidovomu prostori Haj p displaystyle p tochka F displaystyle Phi T p displaystyle T p dotichna ploshina do F displaystyle Phi u tochci p displaystyle p n displaystyle n odinichna normal do F displaystyle Phi u tochci p displaystyle p a p e displaystyle pi e ploshina sho prohodit cherez n displaystyle n i deyakij odinichnij vektor e displaystyle e v T p displaystyle T p Kriva g e displaystyle gamma e sho vihodit yak peretin ploshini p e displaystyle pi e z poverhneyu F displaystyle Phi nazivayetsya normalnim peretinom poverhni F displaystyle Phi u tochci p displaystyle p u napryami e displaystyle e Velichina k e k n displaystyle kappa e k cdot n de displaystyle cdot poznachaye skalyarnij dobutok a k displaystyle k vektor krivini g e displaystyle gamma e u tochci p displaystyle p nazivayetsya normalnoyu krivinoyu poverhni F displaystyle Phi u napryami e displaystyle e Z tochnistyu do znaku normalna krivina dorivnyuye krivini krivoyi g e displaystyle gamma e U dotichnij ploshini T p displaystyle T p isnuyut dva perpendikulyarni napryami e 1 displaystyle e 1 i e 2 displaystyle e 2 taki sho normalnu krivinu v dovilnomu napryami mozhna predstaviti za dopomogoyu tak zvanoyi formuli Ejlera k e k 1 cos 2 a k 2 sin 2 a displaystyle kappa e kappa 1 cos 2 alpha kappa 2 sin 2 alpha de a displaystyle alpha kut mizh e 1 displaystyle e 1 i e displaystyle e a velichini k 1 displaystyle kappa 1 i k 2 displaystyle kappa 2 normalni krivini v napryamah e 1 displaystyle e 1 i e 2 displaystyle e 2 voni nazivayutsya golovnimi krivinami a napryami e 1 displaystyle e 1 i e 2 displaystyle e 2 golovnimi napryamami poverhni v tochci p displaystyle p Golovni krivini ye ekstremalnimi znachennyami normalnih krivin Strukturu normalnih krivin v danij tochci poverhni zruchno grafichno zobrazhati za dopomogoyu indikatrisi Dyupena Velichina H k 1 k 2 displaystyle H kappa 1 kappa 2 inodi k 1 k 2 2 displaystyle frac kappa 1 kappa 2 2 nazivayetsya serednoyu krivinoyu poverhni Velichina K k 1 k 2 displaystyle K kappa 1 kappa 2 nazivayetsya gausovoyu krivinoyu poverhni Gausova krivina ye ob yektom vnutrishnoyi geometriyi poverhon zokrema ne zminyuyetsya pri izometrichnih viginannyah Div takozh RedaguvatiKrivina Gausa Afinna krivina Skalyarna krivina Poverhnya Tenzor krivini Forma kriviniLiteratura RedaguvatiPogorelov A I Differencialnaya geometriya 6 e izdanie Arhivovano 6 zhovtnya 2014 u Wayback Machine M Nauka 1974 storinka Rashevskij P K Kurs differencialnoj geometrii 3 e izdanie Arhivovano 10 veresnya 2011 u Wayback Machine M L GITTL 1950 storinka Spivak Michael 1999 A comprehensive introduction to differential geometry Volume II Publish or Perish Press ISBN 0 914098 71 3 storinka Ce nezavershena stattya z matematiki Vi mozhete dopomogti proyektu vipravivshi abo dopisavshi yiyi Otrimano z https uk wikipedia org w index php title Krivina matematika amp oldid 39635530