www.wikidata.uk-ua.nina.az

Ізометрія математика У Вікіпедії є статті про інші значення цього терміна Ізометрія Ізометрія або рух або рідше накладен

Ізометрія (математика)

У Вікіпедії є статті про інші значення цього терміна: Ізометрія.

Ізометрія, або рух, або (рідше) накладення — бієкція (перетворення), яка зберігає відстань між відповідними точками, тобто якщо і  — образи точок і , то . Термін «ізометрія» поширеніший в метричній геометрії, зокрема, в рімановій геометрії. У загальному випадку метричного простору (наприклад, для неплоских ріманових многовидів) рухи можуть існувати далеко не завжди.

Термін «рух» поширеніший в евклідовій геометрії і суміжних галузях.

У евклідовому (або псевдоевклідовому) просторі ізометрія автоматично зберігає також кути, тобто, зберігаються всі скалярні добутки.

Визначення

Хіральність α-амінокислот

Рух — перетворення простору в себе, за якого зберігається відстань між відповідними точками (умова 1) й зберігаються орієнтації просторових фігур (умова 2). Рух у просторі є обертанням навколо осі, або паралельне перенесення, або гвинтовий рух, тобто обертання навколо декотрої осі з наступним паралельним перенесенням уздовж цієї осі. Якщо за перетворення простору в себе виконується лише перша умова, то це перетворення називається ортогональним. Наприклад, перетворення симетрії площини, за кого змінюється орієнтація фігури (Хіральність (математика)).

Початкові координати точки перетворення до нових координат відбувається за лінійного перетворення:

які можна представити квадратною матрицею з елементами

Ця матриця називається матрицею перетворення. Коефіцієнти задовільняють умові (див. Дельта Кронекера):

та визначник, дорівнює +1. У ортогональних перетвореннях можлива рівність що відрізняє їх від руху.

На площині виділяють два роди руху:

  1. Рух першого роду, який не виводить з площини й не змінює орієнтації фігур (паралельне перенесення або обертання).
  2. Рух другого роду, який виводить з площини (переготання площини у просторі) й змінює орієнтацію фігури (симетрія відносно прямої з наступним перенесенням або обертанням).

В разі повороту на кут по годинковій стрілці навколо осі матриця перетворення має вигляд:

Ця матриця є частковим випадком матриці перетворення координат, елементи якої виражені через кути Ейлера Для наведеної матриці

Файл:Hregrevrevwewqvq.tif

або

Рух першого роду у прямокутній системі координат:

де - координати нового початку, - координати точки (образу), яка відповідає координатам точки (прообразу), - кут між додатним напрямком осі та її образом - віссю

Для руху другого роду:


Види ізометрії в евклідовому просторі

На площині

У тривимірному просторі

  • Дзеркальна симетрія (відбиття) щодо площини;
  • Паралельний перенос;
  • Поворот;
  • Ковзна симетрія — композиція перенесення на вектор, що паралельний до площини, і симетрії цієї площини;
  • Дзеркальне обертання — композиція повороту навколо деякої прямої і відбиття відносно площини, що перпендикулярна осі повороту;
  • Гвинтове накладання — композиція повороту відносно деякої прямої і перенесення на вектор, що паралельний цій прямій.

У n-вимірному просторі

У -вимірному всі просторі рухи зводяться до ортогональних перетворень, паралельних переносів або композицій того й іншого.

У свою чергу ортогональні перетворення можуть бути представлені як композиції (власне) обертань і дзеркальних відбиттів.

Загальні властивості ізометрії в евклідовому просторі

Рухи як композиції симетрій

Композиція двох відбиттів щодо незбіжних паралельних осей дає паралельний перенос.
Композиція двох відбиттів щодо непаралельних осей дає поворот.

Будь-яку ізометрію в -мірному евклідовому просторі можна представити у вигляді композиції не більше ніж відбиттів.

Так, паралельний перенос і поворот — композиції двох відбиттів, ковзне відбиття і дзеркальний поворот — трьох, гвинтове накладення — чотирьох.

Див. також



Це незавершена стаття з математики.
Ви можете допомогти проєкту, виправивши або дописавши її.
Ця стаття не містить посилань на джерела. Ви можете допомогти поліпшити цю статтю, додавши посилання на надійні (авторитетні) джерела. Матеріал без джерел може бути піддано сумніву та вилучено. (травень 2014)
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри
Дата публікації:
U Vikipediyi ye statti pro inshi znachennya cogo termina Izometriya Izometriya abo ruh abo ridshe nakladennya biyekciya peretvorennya yaka zberigaye vidstan mizh vidpovidnimi tochkami tobto yaksho A displaystyle A i B displaystyle B obrazi tochok A displaystyle A i B displaystyle B to A B A B displaystyle A B AB Termin izometriya poshirenishij v metrichnij geometriyi zokrema v rimanovij geometriyi U zagalnomu vipadku metrichnogo prostoru napriklad dlya neploskih rimanovih mnogovidiv ruhi mozhut isnuvati daleko ne zavzhdi Termin ruh poshirenishij v evklidovij geometriyi i sumizhnih galuzyah U evklidovomu abo psevdoevklidovomu prostori izometriya avtomatichno zberigaye takozh kuti tobto zberigayutsya vsi skalyarni dobutki Zmist 1 Viznachennya 2 Vidi izometriyi v evklidovomu prostori 2 1 Na ploshini 2 2 U trivimirnomu prostori 2 3 U n vimirnomu prostori 3 Zagalni vlastivosti izometriyi v evklidovomu prostori 4 Ruhi yak kompoziciyi simetrij 5 Div takozhViznachennya Redaguvati Hiralnist a aminokislot Ruh peretvorennya prostoru v sebe za yakogo zberigayetsya vidstan mizh vidpovidnimi tochkami umova 1 j zberigayutsya oriyentaciyi prostorovih figur umova 2 Ruh u prostori ye obertannyam navkolo osi abo paralelne perenesennya abo gvintovij ruh tobto obertannya navkolo dekotroyi osi z nastupnim paralelnim perenesennyam uzdovzh ciyeyi osi Yaksho za peretvorennya prostoru v sebe vikonuyetsya lishe persha umova to ce peretvorennya nazivayetsya ortogonalnim Napriklad peretvorennya simetriyi ploshini za kogo zminyuyetsya oriyentaciya figuri Hiralnist matematika Pochatkovi koordinati tochki A x A y A z A displaystyle A begin pmatrix x A y A z A end pmatrix peretvorennya do novih koordinat vidbuvayetsya za linijnogo peretvorennya x A y A z A U x A y A z A displaystyle begin pmatrix x A y A z A end pmatrix U begin pmatrix x A y A z A end pmatrix yaki mozhna predstaviti kvadratnoyu matriceyu z elementami a i k displaystyle a ik a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 x A y A z A a 11 x A a 12 y A a 13 z A a 21 x A a 22 y A a 23 z A a 31 x A a 32 y A a 33 z A x A y A z A displaystyle begin pmatrix a 11 amp a 12 amp a 13 a 21 amp a 22 amp a 23 a 31 amp a 32 amp a 33 end pmatrix begin pmatrix x A y A z A end pmatrix begin pmatrix a 11 x A a 12 y A a 13 z A a 21 x A a 22 y A a 23 z A a 31 x A a 32 y A a 33 z A end pmatrix begin pmatrix x A y A z A end pmatrix Cya matricya nazivayetsya matriceyu peretvorennya Koeficiyenti a i k displaystyle a ik zadovilnyayut umovi div Delta Kronekera a 1 i a 1 k a 2 i a 2 k a 3 i a 3 k d i j 1 yaksho i k 0 yaksho i k displaystyle a 1i a 1k a 2i a 2k a 3i a 3k delta ij begin cases 1 text yaksho i k 0 text yaksho i neq k end cases ta viznachnik D a 11 a 22 a 33 a 12 a 23 a 31 a 13 a 21 a 32 a 13 a 22 a 31 a 12 a 21 a 33 a 11 a 23 a 32 displaystyle Delta a 11 a 22 a 33 a 12 a 23 a 31 a 13 a 21 a 32 a 13 a 22 a 31 a 12 a 21 a 33 a 11 a 23 a 32 dorivnyuye 1 U ortogonalnih peretvorennyah mozhliva rivnist D 1 displaystyle Delta 1 sho vidriznyaye yih vid ruhu Na ploshini vidilyayut dva rodi ruhu Ruh pershogo rodu yakij ne vivodit z ploshini j ne zminyuye oriyentaciyi figur paralelne perenesennya abo obertannya Ruh drugogo rodu yakij vivodit z ploshini peregotannya ploshini u prostori j zminyuye oriyentaciyu figuri simetriya vidnosno pryamoyi z nastupnim perenesennyam abo obertannyam V razi povorotu na kut f displaystyle varphi po godinkovij strilci navkolo osi z displaystyle z matricya peretvorennya maye viglyad U cos f sin f 0 sin f cos f 0 0 0 1 displaystyle U begin pmatrix cos varphi amp sin varphi amp 0 sin varphi amp cos varphi amp 0 0 amp 0 amp 1 end pmatrix Cya matricya ye chastkovim vipadkom matrici peretvorennya koordinat elementi yakoyi virazheni cherez kuti Ejlera f 8 ps displaystyle varphi theta psi Dlya navedenoyi matrici 8 0 ps 0 displaystyle theta 0 psi 0 Fajl Hregrevrevwewqvq tif x x cos f y sin f y x sin f y cos f z z displaystyle begin cases x x cos varphi y sin varphi y x sin varphi y cos varphi z z end cases abo x cos f x sin f y 0 z y sin f x cos f y 0 z z 0 x 0 y 1 z displaystyle begin cases x cos varphi cdot x sin varphi cdot y 0 cdot z y sin varphi cdot x cos varphi cdot y 0 cdot z z 0 cdot x 0 cdot y 1 cdot z end cases Ruh pershogo rodu u pryamokutnij sistemi koordinat x x cos f y sin f a y x sin f y cos f b displaystyle begin cases x x cos varphi y sin varphi a y x sin varphi y cos varphi b end cases de a b displaystyle a b koordinati novogo pochatku x y displaystyle x y koordinati tochki M displaystyle M obrazu yaka vidpovidaye koordinatam x y displaystyle x y tochki M displaystyle M proobrazu f displaystyle varphi kut mizh dodatnim napryamkom osi O x displaystyle Ox ta yiyi obrazom vissyu O x displaystyle O x Dlya ruhu drugogo rodu x x cos f y sin f a y x sin f y cos f b displaystyle begin cases x x cos varphi y sin varphi a y x sin varphi y cos varphi b end cases Vidi izometriyi v evklidovomu prostori RedaguvatiNa ploshini Redaguvati Osova simetriya vidbittya Paralelne perenesennya Obertannya Kovzna simetriya kompoziciya perenosu na vektor sho paralelnij do pryamoyi i simetriyi ciyeyi pryamoyi U trivimirnomu prostori Redaguvati Dzerkalna simetriya vidbittya shodo ploshini Paralelnij perenos Povorot Kovzna simetriya kompoziciya perenesennya na vektor sho paralelnij do ploshini i simetriyi ciyeyi ploshini Dzerkalne obertannya kompoziciya povorotu navkolo deyakoyi pryamoyi i vidbittya vidnosno ploshini sho perpendikulyarna osi povorotu Gvintove nakladannya kompoziciya povorotu vidnosno deyakoyi pryamoyi i perenesennya na vektor sho paralelnij cij pryamij U n vimirnomu prostori Redaguvati U n displaystyle n vimirnomu vsi prostori ruhi zvodyatsya do ortogonalnih peretvoren paralelnih perenosiv abo kompozicij togo j inshogo U svoyu chergu ortogonalni peretvorennya mozhut buti predstavleni yak kompoziciyi vlasne obertan i dzerkalnih vidbittiv Zagalni vlastivosti izometriyi v evklidovomu prostori RedaguvatiKompoziciya izometrij takozh ye izometriyeyu Izometriyi shodo kompoziciyi utvoryuyut grupu Izometriya afinne peretvorennya Izometriya perevodit vidrizok u vidrizok Ruhi yak kompoziciyi simetrij Redaguvati Kompoziciya dvoh vidbittiv shodo nezbizhnih paralelnih osej daye paralelnij perenos Kompoziciya dvoh vidbittiv shodo neparalelnih osej daye povorot Bud yaku izometriyu v n displaystyle n mirnomu evklidovomu prostori mozhna predstaviti u viglyadi kompoziciyi ne bilshe nizh n 1 displaystyle n 1 vidbittiv Tak paralelnij perenos i povorot kompoziciyi dvoh vidbittiv kovzne vidbittya i dzerkalnij povorot troh gvintove nakladennya chotiroh Div takozh RedaguvatiHiralnist matematika Izometrichni poverhni Izometrichna proyekciya Kongruentnist Prostorova grupa Involyuciya Izometriya u fizici Peretvorennya Lorenca vid izometriyi v chotirivimirnomu psevdoevklidovomu prostori Minkovskogo Teorema tenisnoyi raketki Ce nezavershena stattya z matematiki Vi mozhete dopomogti proyektu vipravivshi abo dopisavshi yiyi Cya stattya ne mistit posilan na dzherela Vi mozhete dopomogti polipshiti cyu stattyu dodavshi posilannya na nadijni avtoritetni dzherela Material bez dzherel mozhe buti piddano sumnivu ta vilucheno traven 2014 Otrimano z https uk wikipedia org w index php title Izometriya matematika amp oldid 37053081