www.wikidata.uk-ua.nina.az

Ізометрична проєкція Ізометри чна проє кція це різновид аксонометричної проєкції при якій у відображенні тривимірного об

Ізометрична проєкція

Ізометри́чна проє́кція — це різновид аксонометричної проєкції, при якій у відображенні тривимірного об'єкта на площину коефіцієнт спотворення по всіх трьох осях однаковий. Термін «ізометрична» в назві проєкції прийшов з грецької мови і означає «однаковий розмір» (isos — однаковий, рівний + metria — розмір, вимірювання), відбиваючи той факт, що в цій проєкції масштаби по всіх осях однакові. В інших видах проєкцій це не так.

Прямокутна ізометрична проєкція деталі типу «Втулка», виконана на основі її ортогональних проєкцій

Ізометрична проєкція використовується в технічному кресленні і САПР для побудови наочних зображень деталей на креслениках, а також в комп'ютерній графіці для побудови тривимірних об'єктів і панорам.

Слід зазначити, що паралельні проєкції, різновидом яких є аксонометричні і, в тому числі ізометричні проєкції поділяються на ортогональні (перпендикулярні), з напрямом проєціювання перпендикулярним до площини проєкції, і косокутні, з кутом між напрямом і площиною, відмінним від прямого.

За ДСТУ 3321:2003 та ГОСТ 2.317-69 аксонометричні проєкції можуть бути і ортогональними, і косокутними.

Стандартні ізометричні проєкції Редагувати

Розташування осей координат в ізометричних проєкціях
Прямокутній Косокутній фронтальній Косокутній горизонтальній

Прямокутна (ортогональна) ізометрична проєкція Редагувати

У прямокутній ізометричній проєкції аксонометричні осі утворюють між собою кути у 120°, вісь Z' спрямована вертикально. Коефіцієнти спотворення () мають числове значення . Зазвичай, для спрощення побудов ізометричну проєкцію виконують без спотворень по осях, тобто коефіцієнт спотворення приймають рівним 1, у цьому випадку отримують збільшення лінійних розмірів в рази.

Косокутна фронтальна ізометрична проєкція Редагувати

Вісь Z' спрямована вертикально, кут між віссю X' і Z' становить 90°, вісь Y' розташована з кутом нахилу 135° (допускається 120° та 150°) до осі Z'.

Фронтальна ізометрична проєкція виконується по осях X', Y' і Z' без спотворення. Криві, що паралельні до фронтальної площини проєктуються без спотворень.

Косокутна горизонтальна ізометрична проєкція Редагувати

Вісь Z' спрямована вертикально, між осями Z' і Y' кут нахилу становить 120° (допускається 135° і 150°), при цьому зберігається кут між осями X' та Y' рівним 90°.

Горизонтальну ізометричну проєкцію виконують без спотворень по осях X', Y' та Z'.

Криві, які паралельні до горизонтальної площини проєктуються без спотворень.

Візуалізація Редагувати

Ізометричний вид об'єкта можна отримати, обравши напрям огляду таким чином, щоб кути між проєкцією осей X, Y та Z були однаковими і становили 120°. Для прикладу, якщо взяти куб, це можна виконати спрямувавши погляд на одну з граней куба, після чого повернути куб на ±45° навколо вертикальної осі і на ±arcsin (tan 30°) ≈ 35,264° навколо горизонтальної осі. При цьому контур ізометричної проєкції куба утворить правильний шестикутник.

Інший шлях візуалізації ізометричної проєкції полягає у розгляді виду кубічної кімнати з верхнього кута з напрямом погляду у протилежний нижній кут. Вісь X тут спрямована діагонально вниз і вправо, вісь Y — діагонально вниз і вліво, вісь Z — прямо вгору. Лінії, проведені здовж осей утворюють між собою кут 120°.

Матричні перетворення Редагувати

Існує вісім різних варіантів отримання ізометричної проєкції в залежності від того, у який октант дивиться спостерігач. Ізометричне перетворення точки у тривимірному просторі в точку на площині при погляді у перший октант може бути математично описане за допомогою матриць повороту наступним чином. Спочатку, виконується поворот навколо горизонтальної осі (тут x) на α = arcsin (tan 30°) ≈ 35,264° і навколо вертикальної осі (тут y) на β = 45°:

Далі виконується ортогональна проєкція на площину x-y:

Інші сім можливих видів отримуються поворотом до протилежно розташованих напрямів та/чи інверсією напряму погляду.

Обмеження аксонометричної проєкції Редагувати

Ізометричний рисунок з блакитною кулькою, що розташована на два рівні вище від червоної

Як і в інших видах паралельних проєкцій, об'єкти в аксонометричній проєкціях не виглядають більшим або меншими при наближенні чи віддаленні від спостерігача. Це є корисним в архітектурних креслениках і зручним у спрайто-орієнтаваних комп'ютерних іграх, але, на відміну від перспективної (центральної) проєкції, приводить до відчуття спотворення, оскільки оком чи при фотографуванні об'єкти сприймаються по іншому.

Часто виникають ситуації, коли глибину і висоту неможливо оцінити, як продемонстровано на ілюстрації приведеній справа. На цьому ізометричному рисунку блакитна кулька розташована на два рівні вище за червону, але цього неможливо побачити, якщо дивитись лише на ліву половину картинки. Якщо виступ, на якому знаходиться блакитна кулька, розширити на один квадрат, то він опиниться точно поряд з квадратом, на якому знаходиться червона кулька, створюючи оптичну ілюзію, ніби то обидві кульки перебувають на одному рівні.

Додаткова проблема, що є специфічною для ізометричної проєкції — складність визначення, який бік об'єкту спостерігається. За відсутності тіней і для об'єктів, що є взаємно перпендикулярними і сумірними, складно визначити, яка із сторін є верхньою, нижньою чи бічною. Це стається через приблизну рівність за розміром і площею проєкцій такого об'єкту.

Більшість сучасних комп'ютерних ігор переважно базуються на перспективній тривимірній графіці. Однак експлуатація проєкційних ілюзій є популярною в оптичному мистецтві — такому, як роботи з серії «неможливої архітектури» Ешера. Водоспад (1961) — гарний приклад, у якому будівля в основному ізометрична, у той же час як блідий фон використовує перспективну проєкцію. Друга перевага полягає у тому, що у кресленні навіть новачки легко можуть будувати кути в 60° з використанням циркуля та лінійки.

Див. також Редагувати

Примітки Редагувати

  1. Коефіцієнт спотворення — відношення довжини спроєктованого на площину паралельного до координатної осі відрізка, до дійсної довжини відрізка
  2. ↑ ДСТУ 3321:2003 Система конструкторської документації. Терміни та визначення основних понять.
  3. ↑ По ГОСТ 2.317-69 — Единая система конструкторской документации. Аксонометрические проекции.
  4. Тут під горизонтальною мається на увазі площина, що є перпендикулярною до осі Z (що є прообразом осі Z').
  5. Ingrid Carlbom, Joseph Paciorek. Planar Geometric Projections and Viewing Transformations // ACM Computing Surveys (CSUR) : журнал. — ACM, грудень 1978. — Т. 10, № 4. — С. 465—502. — ISSN 0360-0300. — DOI:10.1145/356744.356750.

Джерела Редагувати

  • Інженерна графіка: креслення, комп'ютерна графіка: Навчальний посібник / За ред. А. П. Верхоли. — К.: Каравела, 2005. — 304 с. — Вища освіта в Україні. — ISBN 966-8019-35-0
  • Богданов В. Н., Малежик И. Ф., Верхола А. П. и др. Справочное руководство по черчению. — М.: Машиностроение, 1989. — 864 с. — ISBN 5-217-00403-7
  • Фролов С. А. Начертательная геометрия. — 2-е изд., перераб. и доп. — М.: Машиностроение, 1983. — 240 с.

Посилання Редагувати

Вікісховище має мультимедійні дані за темою: Ізометрична проєкція
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри
Дата публікації:
Izometri chna proye kciya ce riznovid aksonometrichnoyi proyekciyi pri yakij u vidobrazhenni trivimirnogo ob yekta na ploshinu koeficiyent spotvorennya 1 po vsih troh osyah odnakovij Termin izometrichna v nazvi proyekciyi prijshov z greckoyi movi i oznachaye odnakovij rozmir isos odnakovij rivnij metria rozmir vimiryuvannya vidbivayuchi toj fakt sho v cij proyekciyi masshtabi po vsih osyah odnakovi V inshih vidah proyekcij ce ne tak Pryamokutna izometrichna proyekciya detali tipu Vtulka vikonana na osnovi yiyi ortogonalnih proyekcijIzometrichna proyekciya vikoristovuyetsya v tehnichnomu kreslenni i SAPR dlya pobudovi naochnih zobrazhen detalej na kreslenikah a takozh v komp yuternij grafici dlya pobudovi trivimirnih ob yektiv i panoram Slid zaznachiti sho paralelni proyekciyi riznovidom yakih ye aksonometrichni i v tomu chisli izometrichni proyekciyi podilyayutsya na ortogonalni perpendikulyarni z napryamom proyeciyuvannya perpendikulyarnim do ploshini proyekciyi i kosokutni z kutom mizh napryamom i ploshinoyu vidminnim vid pryamogo Za DSTU 3321 2003 2 ta GOST 2 317 69 3 aksonometrichni proyekciyi mozhut buti i ortogonalnimi i kosokutnimi Zmist 1 Standartni izometrichni proyekciyi 3 2 1 1 Pryamokutna ortogonalna izometrichna proyekciya 1 2 Kosokutna frontalna izometrichna proyekciya 1 3 Kosokutna gorizontalna izometrichna proyekciya 2 Vizualizaciya 3 Matrichni peretvorennya 4 Obmezhennya aksonometrichnoyi proyekciyi 5 Div takozh 6 Primitki 7 Dzherela 8 PosilannyaStandartni izometrichni proyekciyi 3 2 RedaguvatiRoztashuvannya osej koordinat v izometrichnih proyekciyah nbsp nbsp nbsp Pryamokutnij Kosokutnij frontalnij Kosokutnij gorizontalnijPryamokutna ortogonalna izometrichna proyekciya Redaguvati U pryamokutnij izometrichnij proyekciyi aksonometrichni osi utvoryuyut mizh soboyu kuti u 120 vis Z spryamovana vertikalno Koeficiyenti spotvorennya k x k y k z displaystyle k x k y k z nbsp mayut chislove znachennya 2 3 0 82 displaystyle sqrt frac 2 3 approx 0 82 nbsp Zazvichaj dlya sproshennya pobudov izometrichnu proyekciyu vikonuyut bez spotvoren po osyah tobto koeficiyent spotvorennya prijmayut rivnim 1 u comu vipadku otrimuyut zbilshennya linijnih rozmiriv v 1 0 82 1 22 displaystyle frac 1 0 82 approx 1 22 nbsp razi Kosokutna frontalna izometrichna proyekciya Redaguvati Vis Z spryamovana vertikalno kut mizh vissyu X i Z stanovit 90 vis Y roztashovana z kutom nahilu 135 dopuskayetsya 120 ta 150 do osi Z Frontalna izometrichna proyekciya vikonuyetsya po osyah X Y i Z bez spotvorennya Krivi sho paralelni do frontalnoyi ploshini proyektuyutsya bez spotvoren Kosokutna gorizontalna izometrichna proyekciya Redaguvati Vis Z spryamovana vertikalno mizh osyami Z i Y kut nahilu stanovit 120 dopuskayetsya 135 i 150 pri comu zberigayetsya kut mizh osyami X ta Y rivnim 90 Gorizontalnu izometrichnu proyekciyu vikonuyut bez spotvoren po osyah X Y ta Z Krivi yaki paralelni do gorizontalnoyi ploshini 4 proyektuyutsya bez spotvoren Vizualizaciya RedaguvatiIzometrichnij vid ob yekta mozhna otrimati obravshi napryam oglyadu takim chinom shob kuti mizh proyekciyeyu osej X Y ta Z buli odnakovimi i stanovili 120 Dlya prikladu yaksho vzyati kub ce mozhna vikonati spryamuvavshi poglyad na odnu z granej kuba pislya chogo povernuti kub na 45 navkolo vertikalnoyi osi i na arcsin tan 30 35 264 navkolo gorizontalnoyi osi Pri comu kontur izometrichnoyi proyekciyi kuba utvorit pravilnij shestikutnik Inshij shlyah vizualizaciyi izometrichnoyi proyekciyi polyagaye u rozglyadi vidu kubichnoyi kimnati z verhnogo kuta z napryamom poglyadu u protilezhnij nizhnij kut Vis X tut spryamovana diagonalno vniz i vpravo vis Y diagonalno vniz i vlivo vis Z pryamo vgoru Liniyi provedeni zdovzh osej utvoryuyut mizh soboyu kut 120 Matrichni peretvorennya RedaguvatiIsnuye visim riznih variantiv otrimannya izometrichnoyi proyekciyi v zalezhnosti vid togo u yakij oktant divitsya sposterigach Izometrichne peretvorennya tochki a x y z displaystyle a x y z nbsp u trivimirnomu prostori v tochku b x y displaystyle b x y nbsp na ploshini pri poglyadi u pershij oktant mozhe buti matematichno opisane za dopomogoyu matric povorotu nastupnim chinom Spochatku vikonuyetsya povorot navkolo gorizontalnoyi osi tut x na a arcsin tan 30 35 264 i navkolo vertikalnoyi osi tut y na b 45 c x c y c z 1 0 0 0 cos a sin a 0 sin a cos a cos b 0 sin b 0 1 0 sin b 0 cos b a x a y a z 1 6 3 0 3 1 2 1 2 2 2 a x a y a z displaystyle begin bmatrix mathbf c x mathbf c y mathbf c z end bmatrix begin bmatrix 1 amp 0 amp 0 0 amp cos alpha amp sin alpha 0 amp sin alpha amp cos alpha end bmatrix begin bmatrix cos beta amp 0 amp sin beta 0 amp 1 amp 0 sin beta amp 0 amp cos beta end bmatrix begin bmatrix mathbf a x mathbf a y mathbf a z end bmatrix frac 1 sqrt 6 begin bmatrix sqrt 3 amp 0 amp sqrt 3 1 amp 2 amp 1 sqrt 2 amp sqrt 2 amp sqrt 2 end bmatrix begin bmatrix mathbf a x mathbf a y mathbf a z end bmatrix nbsp Dali vikonuyetsya ortogonalna proyekciya na ploshinu x y b x b y 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 c x c y c z displaystyle begin bmatrix mathbf b x mathbf b y 0 end bmatrix begin bmatrix 1 amp 0 amp 0 0 amp 1 amp 0 0 amp 0 amp 0 end bmatrix begin bmatrix mathbf c x mathbf c y mathbf c z end bmatrix nbsp Inshi sim mozhlivih vidiv otrimuyutsya povorotom do protilezhno roztashovanih napryamiv ta chi inversiyeyu napryamu poglyadu 5 Obmezhennya aksonometrichnoyi proyekciyi Redaguvati nbsp Izometrichnij risunok z blakitnoyu kulkoyu sho roztashovana na dva rivni vishe vid chervonoyiYak i v inshih vidah paralelnih proyekcij ob yekti v aksonometrichnij proyekciyah ne viglyadayut bilshim abo menshimi pri nablizhenni chi viddalenni vid sposterigacha Ce ye korisnim v arhitekturnih kreslenikah i zruchnim u sprajto oriyentavanih komp yuternih igrah ale na vidminu vid perspektivnoyi centralnoyi proyekciyi privodit do vidchuttya spotvorennya oskilki okom chi pri fotografuvanni ob yekti sprijmayutsya po inshomu Chasto vinikayut situaciyi koli glibinu i visotu nemozhlivo ociniti yak prodemonstrovano na ilyustraciyi privedenij sprava Na comu izometrichnomu risunku blakitna kulka roztashovana na dva rivni vishe za chervonu ale cogo nemozhlivo pobachiti yaksho divitis lishe na livu polovinu kartinki Yaksho vistup na yakomu znahoditsya blakitna kulka rozshiriti na odin kvadrat to vin opinitsya tochno poryad z kvadratom na yakomu znahoditsya chervona kulka stvoryuyuchi optichnu ilyuziyu nibi to obidvi kulki perebuvayut na odnomu rivni Dodatkova problema sho ye specifichnoyu dlya izometrichnoyi proyekciyi skladnist viznachennya yakij bik ob yektu sposterigayetsya Za vidsutnosti tinej i dlya ob yektiv sho ye vzayemno perpendikulyarnimi i sumirnimi skladno viznachiti yaka iz storin ye verhnoyu nizhnoyu chi bichnoyu Ce stayetsya cherez pribliznu rivnist za rozmirom i plosheyu proyekcij takogo ob yektu Bilshist suchasnih komp yuternih igor perevazhno bazuyutsya na perspektivnij trivimirnij grafici Odnak ekspluataciya proyekcijnih ilyuzij ye populyarnoyu v optichnomu mistectvi takomu yak roboti z seriyi nemozhlivoyi arhitekturi Eshera Vodospad 1961 garnij priklad u yakomu budivlya v osnovnomu izometrichna u toj zhe chas yak blidij fon vikoristovuye perspektivnu proyekciyu Druga perevaga polyagaye u tomu sho u kreslenni navit novachki legko mozhut buduvati kuti v 60 z vikoristannyam cirkulya ta linijki Div takozh RedaguvatiDimetrichna proyekciyaPrimitki Redaguvati Koeficiyent spotvorennya vidnoshennya dovzhini sproyektovanogo na ploshinu paralelnogo do koordinatnoyi osi vidrizka do dijsnoyi dovzhini vidrizka a b DSTU 3321 2003 Sistema konstruktorskoyi dokumentaciyi Termini ta viznachennya osnovnih ponyat a b Po GOST 2 317 69 Edinaya sistema konstruktorskoj dokumentacii Aksonometricheskie proekcii Tut pid gorizontalnoyu mayetsya na uvazi ploshina sho ye perpendikulyarnoyu do osi Z sho ye proobrazom osi Z Ingrid Carlbom Joseph Paciorek Planar Geometric Projections and Viewing Transformations ACM Computing Surveys CSUR zhurnal ACM gruden 1978 T 10 4 S 465 502 ISSN 0360 0300 DOI 10 1145 356744 356750 Dzherela RedaguvatiInzhenerna grafika kreslennya komp yuterna grafika Navchalnij posibnik Za red A P Verholi K Karavela 2005 304 s Visha osvita v Ukrayini ISBN 966 8019 35 0 Bogdanov V N Malezhik I F Verhola A P i dr Spravochnoe rukovodstvo po chercheniyu M Mashinostroenie 1989 864 s ISBN 5 217 00403 7 Frolov S A Nachertatelnaya geometriya 2 e izd pererab i dop M Mashinostroenie 1983 240 s Posilannya RedaguvatiVikishovishe maye multimedijni dani za temoyu Izometrichna proyekciyaIzometrichna pryamokutna proyekciya Arhivovano 10 veresnya 2013 u Wayback Machine na sajti Osnovi kreslennya Tom Gersic Rendering Isometric Tiles in Blender 3D angl Arhiv originalu za 19 lyutogo 2012 Procitovano 29 sentyabrya 2008 Pidruchnik z prikladami po stvorennyu izometrichnih plitok v programi Blender 3D Otrimano z https uk wikipedia org w index php title Izometrichna proyekciya amp oldid 35796875