Перетворення Лоренца — лінійні перетворення координат простору Мінковського, що залишають незмінним просторово-часовий інтервал. Перетворення Лоренца пов'язують координати подій в різних інерційних системах відліку та мають фундаментальне значення в фізиці. Інваріантність фізичної теорії відносно перетворень Лоренца, або загальна коваріантність, є необхідною умовою достовірності цієї теорії.
Формулювання Редагувати
Найбільш розповсюджена форма запису перетворень Лоренца зв'язує координати події в інерційній системі відліку K з координатами тієї ж події в системі K′, яка рухається відносно K зі швидкістю V вздовж осі x:
Зворотні формули (перехід від системи K′ до K) можна отримати заміною V → -V:
Властивості перетворень Лоренца Редагувати
З формул перетворень легко побачити, що при граничному переході до класичної механіки або — що те ж саме — при швидкостях значно менших швидкості світла формули перетворення Лоренца переходять в перетворення Галілея за принципом відповідності.
При V > c координати x, t стають уявними, що означає той факт, що рух зі швидкістю, більшою за швидкість світла в вакуумі, неможливий. Неможливо навіть використовувати систему відліку, яка б рухалась зі швидкістю світла, бо тоді знаменники у формулах дорівнювали б нулю.
На відміну від перетворень Галілея, перетворення Лоренца некомутативні: результат двох послідовних перетворень Лоренца залежить від їхнього порядку. Це можна побачити з формального тлумачення перетворень Лоренца як обертань чотиривимірної системи координат, де, як відомо, результат двох обертань навколо різних осей залежить від порядку їх виконання. Винятком з цього правила є лише перетворення з паралельними векторами швидкостей V1||V2, які еквівалентні поворотам системи координат відносно однієї осі.
Історична довідка Редагувати
Поштовхом до відкриття перетворень Лоренца послужив нульовий результат інтерференційного експерименту Майкельсона — Морлі. Для усунення виявлених труднощів теорії ефіру Лоренц припустив, що всі тіла при поступальному русі змінюють свої розміри, а саме, що зменшення розмірів тіла в напрямку руху визначається множником , де — зменшення розмірів в напрямку, перпендикулярному руху тіла. Необхідно було органічно ввести це зменшення розмірів у теорію.
Формули, що відомі зараз як перетворення Лоренца, першим вивів Джозеф Лармор в 1900 році, таким чином він врахував зміну масштабу часу при русі. 1904 року Лоренц довів інваріантність рівнянь Максвелла відносно таких перетворень, але в них ще входив невизначений множник та різні інерційні системи не розглядалися повністю рівноправними.
В 1905 Анрі Пуанкаре виправив прогалини в праці Лоренца та досяг повної коваріантності електродинаміки. Принцип відносності був визначений ним як загальне та строге положення. Саме в працях Пуанкаре вперше трапляються назви перетворення Лоренца та група Лоренца.
Виведення Редагувати
В рамках основного виведення використовуються чотири аксіоми.
Одновимірні покомпонентні перетворення Лоренца для просторової та часової компонент Редагувати
Нехай функції перетворень між результатами спостерігання деякої події у різних ІСВ із відносною швидкістю для одновимірного випадку задаються як
.
Враховуючи те, що простір-час однорідний [1] (якісно - кожна точка пустого простору-часу нічим не відрізняється від інших точок), можна стверджувати, що всі геометричні співвідношення між геометричними об'єктами не змінюються в залежності від вибору точки початку координат ІСВ. Це означає, що функції будуть лінійними функціями своїх аргументів, причому коефіцієнти при аргументах будуть залежати лише від відносної швидкості ІСВ:
.
Нехай є бескінечно мале зміщення у системі . Відповідне зміщення системи буде рівне , а проміжок часу, що відповідає зміщенню - .
Тоді для функції координати (для функції часу - аналогічно)
.
Оскільки простір-час однорідний, то зміщення не повинно залежати від точки простору-часу, а отже, є однаковими для всіх точок простору та усіх моментів часу , а отже, є постійними при заданій відносній швидкості. Отже, їх можна у записі функції представити у вигляді коефіцієнтів, які можуть залежати лише від відносної швидкості (оскільки функція залежить лише від координати, часу та відносної швидкості ІСВ):
,
де
.
Нехай, знову ж таки,
,
де - похідні від функцій по аргументу k. Тоді швидкість деякого цільового тіла в ІСВ А', відносно якої кінематичні характеристики відповідають значенням , рівна
.
Якщо вважати, що швидкість постійна (це можна зробити, оскільки функції не залежать від неї), та використати ідею однорідності простору-часу, то швидкість як функція від не залежить від . Тоді, беручи частинні похідні по від виразу для швидкості, можна отримати:
.
Далі, знову ж таки, можна використати ідею довільності швидкості без зменшення загальності отриманих виразів і занулити її. Звідси
,
,
.
Аналогічно, для похідної виразу по часу, можна записати:
,
,
.
Якщо відняти від , а від - , можна отримати:
,
.
Домноживши на , а - на , і після цього віднявши ці вирази, і аналогічно - з домноженням на і - на , можна отримати, що
,
.
Вирази у дужках відповідають якобіанам, які не можуть бути рівними нулю. Звідси . Використовуючи ці рівності і вирази , можна отримати умови рівності нулю всіх інших частинних похідних другого порядку. Звідси слідує, що перетворення-функції повинні бути лінійними.
При нульовому значенні виконується наступна умова:
,
тобто, при початку відліку часу початки координат ІСВ збігаються. Це означає рівність нулю констант у , причому загальність перетворень зменшена не буде (через однорідність простору-часу):
.
Тоді система буде рухатися відносно точки зі зміною координати у , а точка буде рухатися відносно системи зі зміною координати у . Якщо підставити дані значення у , можна знайти величини :
,
.
З можна дійти висновку, що . Можна ввести функції відносних швидкостей:
.
Тоді прийме вигляд:
.
Для визначення виду функцій треба ввести додаткову аксіоматику.
Нехай інерціальні системи відліку рівноправні [2]. Це означає, що перехід від до у буде таким же, як і від до , і обернене перетворення буде відрізнятися від прямого з точністю до знака відносної швидкості . Тоді можна розглянути три ІСВ , причому . Тоді для перетворень між ІСВ прийме вигляд:
,
.
Тоді, якщо прирівняти у другому рівнянні до та у першому рівнянні до , то можна отримати, що
.
Тоді, відповідно до принципа рівноправності ІСВ, можна записати, користуючись :
.
Накінець, якщо ввести принцип ізотропії простору в ІСВ [3], то можна стверджувати, що при інверсіях системи координат , перетворення не змінять вигляду. Тоді
,
з чого видно, що при повторній інверсії цей вираз перейде у початковий (до першої інверсії) тільки за умови, що є парною функцією швидкості, тобто, справджується рівність . Тому, застосовуючи , можна буде отримати:
.
Очевидно, що буде мати розмірність квадрату швидкості в -1 степені, а от знак цієї константи можна отримати лише експериментально. Експеримент же показує, що знак цієї константи додатній, а отже,
,
Тоді приймуть вигляд
,
тобто, вигляд одновимірних перетворень Лоренца для координат.
Чотиривимірні покомпонентні перетворення Лоренца Редагувати
Якщо узагальнити перетворення Лоренца на випадок тривимірного простору, причому , то вигляд зміниться до
.
Використовуючи міркування, наведені у попередньому підрозділі, можна дійти висновку, що при збігові початку координат при початку відліку функції зв'язку координат при переході між ІСВ набудуть вигляду
.
Нехай далі для першої рівності розглядається точка , а для другої - (знову ж таки, через умову однорідності простору-часу загальність функцій через вибір особливих значень координат не зменшується). Тоді рівності
повинні виконуватись для будь-яких . Це означає, що
,
а отже, набуде вигляду
.
причому як наслідок рівноправності координат відносно умови .
Отримані рівності зв'язку штрихованих і нештрихованих координат можна спростити, використавши принцип рівноправності ІСВ. Оскільки ІСВ рівноправні, то відносна зміна повинна бути рівна , звідки . Обирається варіант , оскільки при формальний перехід від одної ІСВ до такої ж самої призводив би до інверсії осей.
Отже, . Таким чином, при русі по осі компоненти не змішуються одна з одною, а також - з , і перетворюються окремо. Це означає також, що коефіцієнти при у виразах для рівні нулю. З цього, накінець, слідує, що за описаних вище умов
.
Перетворення Лоренца для радіус-вектора Редагувати
У довільному випадку, коли радіус-вектор не співнапрямлений з вектором відносної швидкості двох ІСВ, можна отримати більш загальний вигляд перетворень Лоренца, розклавши радіус-вектор на вектор, що паралельний вектору відносної швидкості, та вектор, що перпендикулярний вектору відносної швидкості. Тоді, використовуючи те, що, як слідує з минулого пункту, ортогональні по відношенню до вектора відносної швидкості компоненти радіус-вектора переходять самі у себе, можна отримати:
,
і
,
,
які є перетвореннями Лоренца для радіус-вектора.
Інтервал. Геометричний зміст перетворень Лоренца Редагувати
З отриманих перетворень Лоренца елементарно вивести інваріантність величини
,
яка називається інтервалом (звичайно, його можна записати і у вигляді нескінченно малих приростів).
Для доведення достатньо розписати праву частину у явному вигляді, використовуючи перетворення Лоренца:
.
Інтервал має зміст відстані між подіями у чотиривимірному просторі-часі. Знак інтервала визначає тип цієї відстані.
Якщо дві події причинно пов'язані, то, приймаючи швидкість розповсюдження «події» рівною , можна записати вираз для інтервалу таким чином:
,
тобто, квадрат інтервалу завжди додатній. Відповідний інтервал називають часоподібним. Отриманий вираз є квадратом власного часу «події», який є інваріантним відносно будь-якої ІСВ (поняття власного часу тісно пов'язано з принципом найменшої дії).
Якщо ж дана умова не виконується, то інтервал називають простороподібним, і він виражає умову роз'єднаності в просторі подій при їх причинній незалежності.
Інтервал , який є модулем 4-вектора, компонентами якого є просторовими та часовими координатами - інваріант. При переході від однієї ІСВ до іншої інваріантом його залишають або паралельні переноси, або кручення базиса. Паралельні переноси лише зміщують початок координат, тому не є інтересними. Тоді залишаються лише кручення базиса, які у загальному вигляді при переході від ІСВ А до ІСВ А' можна представити так:
,
.
Звичайно, вирази залишають величину інтервалу інваріантною:
.
Якщо розташувати ІСВ А' на початку координат (тобто, ) та розділити на , можна отримати:
.
Застосовуючи до , можна отримати:
.
Вираз (4) є виразом для перетворень Лоренца просторової та часової координат.
Отже, узагальнюючи написане, можна стверджувати, що з набору аксіом, які були використані при виведенні перетворень Лоренца, слідує, що ми живемо у локально псевдоевклідовому просторі розмірності , причому інтервал набуває також змісту довжини 4-векторів у такому просторі.
Перетворення Лоренца для швидкості. Інваріантність фундаментальної швидкості та максимальність швидкості розповсюдження взаємодії Редагувати
Якщо продиференціювати вирази та розділити перший вираз на останній, можна отримати
,
,
що є перетвореннями Лоренца для компонент швидкості.
Якщо продиференціювати вирази та розділити другий вираз на перший, можна отримати
,
що є перетвореннями Лоренца для вектора швидкості.
Для доведення цього доцільно розглянути дві ІСВ , у яких тіло має швидкість відповідно, причому вектор швидкостей, для спрощення, у обох випадках орієнтований по осі . Тоді, відповідно до перетворень Лоренца, при переході до ІСВ , що рухається зі швидкістю відносно ІСВ , компоненти швидкості змінюються таким чином:
;
;
.
Оскільки
,
,
то, з урахуванням і початкових припущень, вираз можна переписати:
.
Тоді можна виразити швидкість :
,
з чого видно, що швидкість інваріантна відносно будь-якої ІСВ.
Аналогічно можна отримати даний результат у більш загальному випадку для модуля вектора швидкості світла. Нехай у перетвореннях для вектора швидкості . Тоді, взявши модуль від перетворення для вектора швидкості і об'єднавши, у отриманій підкореневій рівності, перший доданок з останнім, другий - з четвертим, а третій - з п'ятим, можна отримати
,
що й треба було довести.
Наступна аксіома — принцип причинності [4], який накладає умови на максимальність швидкості розповсюдження взаємодії. Нехай подія, що відбулася в т. , є наслідком події, що відбулася в т. , швидкість розповсюдження взаємодії даної події є . Тоді, в ІСВ K,
.
Якщо ж записати для ІСВ К' , то, з урахуванням принципа причинності, можна буде отримати:
,
з чого видно, що швидкість є максимальною швидкістю розповсюдження взаємодії (, оскільки інакше перетворення Лоренца були б комплексними).
Залишається лише припустити, що величина чисельно рівна швидкості світла у вакуумі (підстави вибрати за цю константу саме швидкість світла у вакуумі були отримані, в основному, історично — через теорію Максвелла та досліди Майкельсона-Морлі).
Якщо ж додати принцип абсолютності одночасності подій відносно різних ІСВ, можна буде отримати класичні перетворення Галілея:
,
а отже, якщо класична механіка сформульована без протиріч, то релятивістська — також, оскільки вони базуються на однаковому наборі аксіом.
Перетворення Лоренца для сили Редагувати
У рамках СТВ загальний вираз для вектора сили дається похідною від вектора імпульсу:
.
Для величини не вводиться ніякого позначення, оскільки у релятивістській фізиці, як видно із , вона не може бути названою прискоренням, виходячи із визначення сили як .
Сила, як 3-вектор, не є інваріантною у рамках СТВ. Для визначення закону зв'язку векторів сили відносно спостерігачів у ІСВ для сили, вектор якої співнапрямлений з вектором відносної швидкості ІСВ (який задає вісь ), треба послідовно знайти диференціали
.
Для початку, похідна від енергії по часу рівна
.
.
Далі треба знайти власний час частинки, інваріантний відносно будь-якої ІСВ. В принципі, вираз для нього уже був отриманий при аналізі інтервалу причинно пов'язаних подій, але доцільно буде отримати інше виведення. Для цього можна записати перетворення Лоренца для часу:
.