www.wikidata.uk-ua.nina.az

Комутативність Бінарна операція displaystyle на множині S є комутативною якщо x y y x displaystyle x y y x для всіх x і

Комутативність

Бінарна операція на множині S є комутативною, якщо

для всіх x і y ∈ S. В іншому випадку × є некомутативною. Якщо

для окремої пари елементів x, y, тоді кажуть, що x і y комутують.

Найвідомішими прикладами комутативних бінарних операцій є операції додавання «+» і множення «×» дійсних чисел, наприклад:

  • 4 + 5 = 5 + 4 (оскільки обидва вирази дорівнюють 9)
  • 2 × 3 = 3 × 2 (оскільки обидва вирази дорівнюють 6)

Серед некомутативних бінарних операцій:

Група, операція якої є комутативною, називається абелевою групою.

Кільце є комутативним кільцем, якщо його операція множення є комутативною; додавання є комутативним в будь-якому кільці (за означенням кільця).

Математичне визначення

Термін "комутативність" використовується у декількох пов'язаних значеннях.

1. Бінарна операція над множиною S називається комутативною якщо:

Операція, що не задовольняє вищенаведеній властивості називається не комутативною.

2. Говорять, що x комутує із y при виконанні якщо:

3. Бінарна функція називається комутативною якщо:

Приклади

Комутативні операції в повсякденному житті

Збирання до купи яблук, що можна розглядати як наглядний приклад додавання натуральних чисел, є комутативним.

Надягання шкарпеток є комутативною операцією, оскільки не важливо яка шкарпетка вдягається першою. Іншими словами, результат (вдягнені будуть обидві шкарпетки), залишається однаковим. На противагу, вдягання куртки і сорочки не є комутативною.

Комутативність додавання можна спостерігати при розрахунках в магазині. В якому порядку б не було впорядковано рахунок, сума завжди буде однаковою.

Комутативні операції в математиці

Додавання векторів є комутативним, оскільки .

Два добре відомих приклади комутативних бінарних операцій:

Наприклад 4 + 5 = 5 + 4, оскільки обидва вирази дорівнюють 9.
Наприклад, 3 × 5 = 5 × 3, оскільки обидва вирази дають результат 15.
  • Деякі бінарні функції істинності[en] також є комутативними, оскільки таблиці істинності для функцій будуть однакові навіть при зміні порядку операндів.

Інші приклади комутативних бінарних операцій: додавання і множення комплексних чисел; додавання векторів; перетин, об'єднання та симетрична різниця множин.

Важливими некомутативними операціями є множення матриць та векторне множення.

Некомутативні операції в математиці

Віднімання і ділення

Віднімання є некомутативною операцією, оскільки .

Ділення є некомутативною операцією, оскільки .

Функції істиності

Деякі функції істинності не є комутативними, оскільки таблиця істинності буде різною якщо змінювати порядок операндів. Наприклад, таблиця істинності для f (A, B) = A Λ ¬B (A І НЕ B) і f (B, A) = B Λ ¬A буде наступною:

A B f (A, B) f (B, A)
0 0 0 0
0 1 0 1
1 0 1 0
1 1 0 0

Множення матриць

Операція множення матриць майже в усіх випадках не є комутативною, наприклад:

Векторний добуток

Векторний добуток двох векторів тривимірного простору є антикомутативним; тобто, b × a = −(a × b).

Історія і етимологія

Перше відоме використання терміну було у французькому журналі, опублікованому в 1814

Свідчення про використання властивості комутативності існують іще з стародавніх часів. У Єгипті використовували властивість комутативності операції множення аби спростити розрахунок добутку. Евклід у своїй книзі Елементи (Начала) також припустив про наявність властивості комутативності для множення. Формальне використання властивості комутативності виникло наприкінці 18-го і на початку 19-го століть, коли математики почали роботу над теорією функцій. Сьогодні властивість комутативності є базовою для математики і використовується в багатьох її розділах.

Перше письмове використання терміну комутативність належить Франсуа Сервоісу[en] в 1814, який використав слово комутативність при описанні функцій, які як зараз називають мали властивість комутативності. Слово поєднує в собі французьке слово commuter що означає "поміняти місцями" і суфікс -ative що означає "прагнути до" тому дослівно слово означає "прагне до заміни місцями".

Споріднені властивості

Асоціативність

Властивість асоціативності тісно пов'язана із властивістю комутативності. Асоціативна властивість виразу, що містить два або більше операндів, над якими здійснюється однакова операція говорить те, що порядок виконування операцій в такому випадку не змінює кінцевий результат, до тих пір доки порядок операндів не змінюється. На відміну від цього, властивість комутативності говорить про те, що порядок операцій не впливає на результат.

Більшість комутативних операцій, що зустрічаються на практиці є також часто асоціативними. Однак, це не означає, що комутативність передбачає асоціативність. Як контраргумент приведено наступний приклад функції

яка є комутативною (зміна місцями x і y не приведе до зміни результату), але вона не буде асоціативною (оскільки, для прикладу, але ).

Дистрибутивність

Симетрія

Графік, що показує симетрію функції додавання

Деякі форми симетрії можуть бути напряму пов'язані із комутативністю операцій. Коли комутативний оператор записується як бінарна функція, тоді результуюча функція є симетричною вздовж прямої y = x. Наприклад, якщо ми маємо функцію f що представляє додавання (комутативна операція) то f(x,y) = x + y і тоді f є симетричною функцією, як видно із зображення праворуч.

Див. також

Примітки

  1. ↑ Krowne, p.1
  2. Weisstein, Commute, p.1
  3. Lumpkin, p.11
  4. Gay and Shute, p.?
  5. O'Conner and Robertson, Real Numbers
  6. Cabillón and Miller, Commutative and Distributive
  7. O'Conner and Robertson, Servois

Джерела

Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри
Дата публікації:
Binarna operaciya displaystyle na mnozhini S ye komutativnoyu yaksho x y y x displaystyle x y y x dlya vsih x i y S V inshomu vipadku ye nekomutativnoyu Yaksho x y y xdlya okremoyi pari elementiv x y todi kazhut sho x i y komutuyut Najvidomishimi prikladami komutativnih binarnih operacij ye operaciyi dodavannya i mnozhennya dijsnih chisel napriklad 4 5 5 4 oskilki obidva virazi dorivnyuyut 9 2 3 3 2 oskilki obidva virazi dorivnyuyut 6 Sered nekomutativnih binarnih operacij vidnimannya a b dilennya a b pidnesennya do stepenya ab kompoziciya funkcij f g x tetraciya a b Grupa operaciya yakoyi ye komutativnoyu nazivayetsya abelevoyu grupoyu Kilce ye komutativnim kilcem yaksho jogo operaciya mnozhennya ye komutativnoyu dodavannya ye komutativnim v bud yakomu kilci za oznachennyam kilcya Zmist 1 Matematichne viznachennya 2 Prikladi 2 1 Komutativni operaciyi v povsyakdennomu zhitti 2 2 Komutativni operaciyi v matematici 2 3 Nekomutativni operaciyi v matematici 2 3 1 Vidnimannya i dilennya 2 3 2 Funkciyi istinosti 2 3 3 Mnozhennya matric 2 3 4 Vektornij dobutok 3 Istoriya i etimologiya 4 Sporidneni vlastivosti 4 1 Asociativnist 4 2 Distributivnist 4 3 Simetriya 5 Div takozh 6 Primitki 7 DzherelaMatematichne viznachennya RedaguvatiTermin komutativnist vikoristovuyetsya u dekilkoh pov yazanih znachennyah 1 2 1 Binarna operaciya displaystyle nad mnozhinoyu S nazivayetsya komutativnoyu yaksho x y y x dlya vsih x y S displaystyle x y y x qquad mbox dlya vsih x y in S Operaciya sho ne zadovolnyaye vishenavedenij vlastivosti nazivayetsya ne komutativnoyu 2 Govoryat sho x komutuye iz y pri vikonanni displaystyle yaksho x y y x displaystyle x y y x 3 Binarna funkciya f A A B displaystyle f colon A times A to B nazivayetsya komutativnoyu yaksho f x y f y x dlya vsih x y A displaystyle f x y f y x qquad mbox dlya vsih x y in A Prikladi RedaguvatiKomutativni operaciyi v povsyakdennomu zhitti Redaguvati Zbirannya do kupi yabluk sho mozhna rozglyadati yak naglyadnij priklad dodavannya naturalnih chisel ye komutativnim Nadyagannya shkarpetok ye komutativnoyu operaciyeyu oskilki ne vazhlivo yaka shkarpetka vdyagayetsya pershoyu Inshimi slovami rezultat vdyagneni budut obidvi shkarpetki zalishayetsya odnakovim Na protivagu vdyagannya kurtki i sorochki ne ye komutativnoyu Komutativnist dodavannya mozhna sposterigati pri rozrahunkah v magazini V yakomu poryadku b ne bulo vporyadkovano rahunok suma zavzhdi bude odnakovoyu Komutativni operaciyi v matematici Redaguvati Dodavannya vektoriv ye komutativnim oskilki a b b a displaystyle vec a vec b vec b vec a Dva dobre vidomih prikladi komutativnih binarnih operacij 1 Dodavannya dijsnih chisel ye komutativnim oskilkiy z z y dlya vsih y z R displaystyle y z z y qquad mbox dlya vsih y z in mathbb R dd Napriklad 4 5 5 4 oskilki obidva virazi dorivnyuyut 9 Dobutok dijsnih chisel ye komutativnim oskilkiy z z y dlya vsih y z R displaystyle yz zy qquad mbox dlya vsih y z in mathbb R dd Napriklad 3 5 5 3 oskilki obidva virazi dayut rezultat 15 Deyaki binarni funkciyi istinnosti en takozh ye komutativnimi oskilki tablici istinnosti dlya funkcij budut odnakovi navit pri zmini poryadku operandiv Napriklad funkciya Logichnoyi ekvivalentnosti p q ye takoyu zh i dlya q p Funkciyu takozh formulyuyut yak umovu p todi i tilki todi koli q abo zapisuyut yak p q abo Epq Inshi prikladi komutativnih binarnih operacij dodavannya i mnozhennya kompleksnih chisel dodavannya vektoriv peretin ob yednannya ta simetrichna riznicya mnozhin Vazhlivimi nekomutativnimi operaciyami ye mnozhennya matric ta vektorne mnozhennya Nekomutativni operaciyi v matematici Redaguvati Vidnimannya i dilennya Redaguvati Vidnimannya ye nekomutativnoyu operaciyeyu oskilki 0 1 1 0 displaystyle 0 1 neq 1 0 Dilennya ye nekomutativnoyu operaciyeyu oskilki 1 2 2 1 displaystyle 1 div 2 neq 2 div 1 Funkciyi istinosti Redaguvati Deyaki funkciyi istinnosti ne ye komutativnimi oskilki tablicya istinnosti bude riznoyu yaksho zminyuvati poryadok operandiv Napriklad tablicya istinnosti dlya f A B A L B A I NE B i f B A B L A bude nastupnoyu ABf A B f B A 0000010110101100Mnozhennya matric Redaguvati Operaciya mnozhennya matric majzhe v usih vipadkah ne ye komutativnoyu napriklad 0 2 0 1 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 1 1 0 1 0 1 0 1 displaystyle begin bmatrix 0 amp 2 0 amp 1 end bmatrix begin bmatrix 1 amp 1 0 amp 1 end bmatrix cdot begin bmatrix 0 amp 1 0 amp 1 end bmatrix neq begin bmatrix 0 amp 1 0 amp 1 end bmatrix cdot begin bmatrix 1 amp 1 0 amp 1 end bmatrix begin bmatrix 0 amp 1 0 amp 1 end bmatrix Vektornij dobutok Redaguvati Vektornij dobutok dvoh vektoriv trivimirnogo prostoru ye antikomutativnim tobto b a a b Istoriya i etimologiya Redaguvati Pershe vidome vikoristannya terminu bulo u francuzkomu zhurnali opublikovanomu v 1814Svidchennya pro vikoristannya vlastivosti komutativnosti isnuyut ishe z starodavnih chasiv U Yegipti vikoristovuvali vlastivist komutativnosti operaciyi mnozhennya abi sprostiti rozrahunok dobutku 3 4 Evklid u svoyij knizi Elementi Nachala takozh pripustiv pro nayavnist vlastivosti komutativnosti dlya mnozhennya 5 Formalne vikoristannya vlastivosti komutativnosti viniklo naprikinci 18 go i na pochatku 19 go stolit koli matematiki pochali robotu nad teoriyeyu funkcij Sogodni vlastivist komutativnosti ye bazovoyu dlya matematiki i vikoristovuyetsya v bagatoh yiyi rozdilah Pershe pismove vikoristannya terminu komutativnist nalezhit Fransua Servoisu en v 1814 6 7 yakij vikoristav slovo komutativnist pri opisanni funkcij yaki yak zaraz nazivayut mali vlastivist komutativnosti Slovo poyednuye v sobi francuzke slovo commuter sho oznachaye pominyati miscyami i sufiks ative sho oznachaye pragnuti do tomu doslivno slovo oznachaye pragne do zamini miscyami Sporidneni vlastivosti RedaguvatiAsociativnist Redaguvati Dokladnishe AsociativnistVlastivist asociativnosti tisno pov yazana iz vlastivistyu komutativnosti Asociativna vlastivist virazu sho mistit dva abo bilshe operandiv nad yakimi zdijsnyuyetsya odnakova operaciya govorit te sho poryadok vikonuvannya operacij v takomu vipadku ne zminyuye kincevij rezultat do tih pir doki poryadok operandiv ne zminyuyetsya Na vidminu vid cogo vlastivist komutativnosti govorit pro te sho poryadok operacij ne vplivaye na rezultat Bilshist komutativnih operacij sho zustrichayutsya na praktici ye takozh chasto asociativnimi Odnak ce ne oznachaye sho komutativnist peredbachaye asociativnist Yak kontrargument privedeno nastupnij priklad funkciyi f x y x y 2 displaystyle f x y frac x y 2 yaka ye komutativnoyu zmina miscyami x i y ne privede do zmini rezultatu ale vona ne bude asociativnoyu oskilki dlya prikladu f 4 f 0 4 1 displaystyle f 4 f 0 4 1 ale f f 4 0 4 1 displaystyle f f 4 0 4 1 Distributivnist Redaguvati Dokladnishe DistributivnistSimetriya Redaguvati Grafik sho pokazuye simetriyu funkciyi dodavannyaDokladnishe Simetriya v matematiciDeyaki formi simetriyi mozhut buti napryamu pov yazani iz komutativnistyu operacij Koli komutativnij operator zapisuyetsya yak binarna funkciya todi rezultuyucha funkciya ye simetrichnoyu vzdovzh pryamoyi y x Napriklad yaksho mi mayemo funkciyu f sho predstavlyaye dodavannya komutativna operaciya to f x y x y i todi f ye simetrichnoyu funkciyeyu yak vidno iz zobrazhennya pravoruch Div takozh RedaguvatiAntikomutativnist Asociativnist Distributivnist Komutant Komutator matematika Primitki Redaguvati a b Krowne p 1 Weisstein Commute p 1 Lumpkin p 11 Gay and Shute p O Conner and Robertson Real Numbers Cabillon and Miller Commutative and Distributive O Conner and Robertson ServoisDzherela RedaguvatiVinberg E B Kurs algebri 4 e izd Moskva MCNMO 2011 592 s ISBN 978 5 94057 685 3 ros Otrimano z https uk wikipedia org w index php title Komutativnist amp oldid 34227000