www.wikidata.uk-ua.nina.az

Група математика У Вікіпедії є статті про інші значення цього терміна Група Гру па одне з найважливіших понять сучасної

Група (математика)

У Вікіпедії є статті про інші значення цього терміна: Група.

Гру́па — одне з найважливіших понять сучасної алгебри, яке має численні застосування у багатьох суміжних дисциплінах. Здебільшого група виникає як множина всіх перетворень (симетрій) деякої структури. Результатом послідовного застосування двох перетворень буде знову деяке перетворення. Поняття абстрактної групи є узагальненням груп симетрій і визначається як множина із операцією множення (композиції), що задовольняє певним аксіомам (асоціативності, існування нейтрального та оберненого елемента). У застосуваннях математики групи часто виникають як засіб систематично описувати симетрії різного ґатунку або як групи перетворень.

Сукупність маніпуляцій над цим кубиком Рубіка утворюють групу кубика Рубіка.

Означення

Впорядкована пара , де  — непорожня множина, називається групою, якщо виконуються наступні умови:

  1.  — бінарна алгебраїчна операція, задана на множині ;
  2. операція асоціативна на , тобто для будь-яких елементів справедливо ;
  3. в існує нейтральний відносно елемент , тобто такий, що для всіх ;
  4. для будь-якого елемента існує симетричний до нього елемент , тобто такий, що .

Умови 1-4 називаються аксіомами групи.

Часто для позначення групової операції замість знака використовують більш звичні знаки: і . Якщо використовують знак , то алгебраїчну операцію називають додаванням, групу відносно цієї операції — адитивною, нейтральний елемент — нульовим, симетричний — протилежним елементом. Якщо використовують знак , то алгебраїчну операцію називають множенням, групу відносно цієї операції — мультиплікативною, нейтральний елемент — одиничним або просто одиницею, симетричний — оберненим елементом.

Група називається комутативною або абелевою (на честь норвезького математика Нільса Генріка Абеля), якщо операція є ще й комутативною, тобто для будь-яких елементів виконується умова .

Критерій групи

Теорема. Непорожня множина , на якій задана бінарна алгебраїчна операція тоді і лише тоді є групою, коли виконуються умови:

1) операція асоціативна;

2) для будь-яких елементів і множини завжди існує в , причому лише одна, пара елементів та таких, що і

Приклади груп

Години на годиннику утворюють групу класів лишків за модулем 12, тобто
  1.  — абелеві групи. Ці групи називають адитивними групами відповідно цілих, раціональних та дійсних чисел.
  2. Нехай , , . Групи , , також абелеві. Їх називають мультиплікативними групами відносно раціональних, дійсних та комплексних чисел.
  3. Множина відносно операції додавання утворює групу.
  4. Множина відносно операції множення утворює групу. ЇЇ називають одиничною групою.
  5. Множина всіх квадратних матриць -го порядку з дійсними елементами відносно операції додавання утворює групу.
  6. Так званими матричними групами за множенням є: повна лінійна група (група невироджених матриць порядку над полем , яка при є неабелевою), спеціальна лінійна група (група матриць порядку з визначником рівним над полем ), ортогональна група
    Таблиця Келі для групи симетрій квадрата
    (група ортогональних матриць порядку ), унітарна група (група всіх унітарних матриць –го порядку), діагональна група (група всіх невироджених діагональних матриць порядку над полем ).
  7. Розглянемо множину класів лишків з дією додавання і множину класів лишків з дією множення. Вони будуть утворювати відповідно адитивну і мультиплікативну групи. Ці групи є абелевими і називаються групами класів лишків.
  8. Кватерніонні одиниці породжують так звану групу кватерніонів порядку , де , , , , .
  9. Легко зрозуміти, що сукупність усіх перетворень площини (простору), які лишають незмінною певну фігуру (тіло), відносно композиції також утворює групу. Таким чином з'являються групи поворотів і рухів правильних многогранників і т. д. Зокрема, група всіх поворотів правильного –кутника складається з поворотів на кути відносно центра цього –кутника. Група всіх рухів правильного –кутника (діедральна група) складається з поворотів відносно його центра на кути та симетрій відносно осей, що проходять при непарному через вершини –кутника та середини протилежних ребер, а при парному  — через дві протилежні вершини або через середини двох протилежних ребер. Група рухів ромба складається із поворотів на кути та навколо точки перетину діагоналей ромба і двох симетрій , відносно діагоналей ромба.
Елементи групи симетрії квадрата . Вершини ідентифікуються за кольором чи числом.

Елементи , , , утворюють півгрупу групи . Очевидно, що група симетрій квадрата не є абелевою.

Групи з додатковою структурою

Якщо група є топологічним простором, а операції множення і взяття оберненого — неперервні відображення, то  — це топологічна група.

Якщо має структуру многовиду й групові операції сумісні з цією структурою (є гладкими), тоді G називають групою Лі (раніше — неперервною групою), на честь норвезького математика Софуса Лі, який розпочав їх дослідження.

Історія

Поняття групи є одним з основних у сучасній математиці. Воно формувалася поступово з таких галузей математики як геометрія, теорія чисел та теорія рівнянь, тому можна вважати, що абстрактна теорія груп історично має три корені виникнення[джерело?].

Наприкінці XVIII століття геометрія почала швидко розвиватися, античні погляди на геометрію змінились докорінно. Було визначено цілий ряд нових геометрій  і геометричних рядів. Розвиток гіперболічної геометрії (Ламберт, Гаус, Лобачевський та Бойян) на початку століття  та еліптичної (Ріман) спричинив складні проблеми в тодішній геометрії. Дослідження Монжа і Попселя призвели до відкриття проективної геометрії[джерело?].

Геометрія того часу почала втрачати свій метричний характер, розширилися традиційні поняття про координати, було використано для великої, але скінченної кількості вимірювань абстрактні методи. Результати перетворень Мобіуса, який почав класифікацію різних геометрій за властивостями, які залишаються незмінними при певних перетвореннях Штейна, який вивчав рухи, стали частиною теорії груп перетворень.

У дослідженнях теорії інваріантів Келі інтуїтивно розглядав поняття групи. 1854 року він застосував поняття групи за Галуа й дав означення скінченної групи. Побудова скінченної фундаментальної системи інваріантів стала поштовхом для встановлення в 80-ті роки основної теореми скінченних абелевих груп. Отже, абстрактна теорія інваріантів є перехідною до абстрактної теорії груп.

Теорія чисел відіграє велику роль у доведенні існування теоретико-групової теорії. Основні результати було отримано Ейлером та Гаусом. Ейлер вказав приклад розкладу абелевої групи на суміжні класи й довів теорему Лагранжа для частинного випадку циклічної групи. У цьому доведенні Ейлер застосував міркування, що здійснюються зараз при розкладі групи на суміжні класи. 

Гаус продовжив дослідження Ейлера і зробив великий внесок у теорію абелевих груп. Він розглядав 4 види груп: адитивну групу  цілих чисел за модулем , мультиплікативну групу чисел, взаємно простих із , групу класів у квадратичних формах двох змінних , де , мультиплікативну групу коренів -го степеня з одиниці; вивчав їх структуру й відношення ізоморфізму.        

Кронекер був знайомий з роботами Гауса та вважав, що формалізація та аксіоматизація є вигідною[джерело?]. Він вказав закони абстрактної композиції елементів, які еквівалентні повній системі аксіом скінченної абелевої групи. Із цієї системи аксіом Кронекер вивів такі наслідки як існування одиничного елемента. Але Кронекер не застосував потрібним чином вказані закони до теорії груп, хоча й був знайомий із теорією груп Галуа.

Теорія алгебраїчних рівнянь не призвела до аксіоматизації, але саме в ній розглядалися нові на той час групи підстановок. Вже в 60-ті роки зародилась теорія груп, яка була відокремлена від теорії алгебраїчних рівнянь.

У XVI столітті було знайдено загальні розв'язки кубічного рівняння (Кардано) і рівняння 4-го степеня (Феррарі). Ейлер знайшов інший метод розв'язування рівняння 4-го степеня і намагався узагальнити його для будь-якого алгебраїчного рівняння.

Лагранж першим зробив висновок, що загальний розв'язок рівняння степеня  не може бути знайдений за допомогою вже відомих методів. Це твердження першим коректно довів Абель: 1824 року — для рівнянь 5-го степеня, а 1826 року — для всіх степенів . Роботи Лагранжа мали велике значення для теорії груп, оскільки Лагранж вперше встановив зв'язок між розв'язками алгебраїчних рівнянь і підстановками. Симетричні групи підстановок були відкриті завдяки Лагранжу. Розглядаючи симетричні функції, він довів важливу теорему, яка в сучасній теорії груп називається теоремою Лагранжа.

Руффіні навів декілька доведень нерозв'язності рівнянь 5-го степеня в радикалах, і таким чином визначив усі підгрупи симетричної групи . Групу підстановок Руффіні називав «permutazione». Руффіні також розглядав теорему Лагранжа і висловив гіпотезу, що для кожного , що ділить , існує підгрупа порядку .

Термін «група» вперше використав Галуа 1829 року. Він вживав слова французьке слово le groupe, яке в перекладі означає «множини», «комплекси». Галуа не дав означення групи. Під групою він розумів множину підстановок, замкнених відносно операції множення. Однак усталену термінологію він не запровадив.

Отже, в 60-ті роки теорія рівнянь виділилась як самостійна галузь дослідження теорії груп підстановок.

На провідну роль поняття групи в математиці звернули увагу С. Лі та Ф. Клейн. Лі запровадив поняття неперервної групи (групи, елементи якої залежать від систем неперервно змінних параметрів, що задовольняють певним диференціальним умовам) та використав методи теорії груп для класифікації й спрощення розв'язків певних диференціальних рівнянь. Клейн переглянув різні типи геометрій з групової точки зору. Він вважав, що кожна група перетворень задає певну геометрію.

Для розвитку теорії груп велике значення мали підручники Серре, Сальмана, Вебера та монографія Бернсарда. У них зазвичай розглядались скінченні групи. Скінченні групи не змогли задовольнити всіх потреб. Через виникнення нескінченних структур, подібних до груп, виникла як самостійна дисципліна абстрактна теорія груп. Основи теорії груп без обмеження їх скінченності було викладено в монографії «Абстрактна теорія груп» студента-п'ятикурсника Київського університету імені Т. Г. Шевченка О. Ю. Шмідта.

Пізніше розпочався розвиток загальної теорії груп, який був пов'язаний із перебудовою алгебри в 20-ті роки ХХ століття. Сьогодні теорія груп — це надзвичайно важливий та цікавий розділ математики, що займає провідне місце в сучасній алгебрі.

Див. також

Примітки

  1. Корн Г., Корн Т. (1984). 12.2-1. Справочник по математике для научних работников и инженеров (рос.) (вид. друге). Москва: Наука. 
  2. ↑ Требенко, Дмитро Якович; Требенко, Оксана Олександрівна (2009). Алгебра і теорія чисел. Київ: НПУ імені М. П. Драгоманова. с. 420. 

Література

Українською

  • О.О. Безущак; О.Г. Ганюшкін (2005). (українська). Київ: Київський університет. с. 122. Архів оригіналу за 27 листопада 2014. Процитовано 29 березня 2014. 
  • Голод П. І., Клімик А. У. Математичні основи теорії симетрії. — К. : Наукова думка, 1992. — 368 с. (укр.)
  • Требенко Д. Я., Требенко О. О. Алгебра і теорія чисел: У 2 ч. — Ч.1. — К.: НПУ ім. М. П. Драгоманова. — 2009. — 420 с.

Іншими мовами

  • (англ.) John F. Humphreys. A Course in Group Theory. — Oxford Science Publications, 1996. — 296 с. — ISBN 978-0198534532.
  • (англ.) Джозеф Ротман[en]. An Introduction to the Theory of Groups. — 4th. — Springer (Graduate Texts in Mathematics), 1994. — 532 с. — ISBN 978-0387942858.(англ.)
  • (рос.) Курош А. Г. Теория групп. — 3-е изд. — Москва : Наука, 1967. — 648 с. — ISBN 5-8114-0616-9.(рос.)
  • (рос.) Ленг С. Алгебра. — Москва : Мир, 1968. — 564 с. — ISBN 5458320840.(рос.)



Це незавершена стаття з математики.
Ви можете допомогти проєкту, виправивши або дописавши її.
Ця стаття має кілька недоліків. Будь ласка, допоможіть удосконалити її або обговоріть ці проблеми на сторінці обговорення.
Ця стаття містить текст, що не відповідає енциклопедичному стилю. Будь ласка, допоможіть удосконалити цю статтю, погодивши стиль викладу зі стилістичними правилами Вікіпедії. Можливо, сторінка обговорення містить зауваження щодо потрібних змін. (травень 2018)
Цю статтю треба вікіфікувати для відповідності стандартам якості Вікіпедії. Будь ласка, допоможіть додаванням доречних внутрішніх посилань або вдосконаленням розмітки статті. (травень 2018)
Ця стаття потребує додаткових посилань на джерела для поліпшення її перевірності. Будь ласка, допоможіть удосконалити цю статтю, додавши посилання на надійні (авторитетні) джерела. Зверніться на сторінку обговорення за поясненнями та допоможіть виправити недоліки.
Матеріал без джерел може бути піддано сумніву та вилучено. (травень 2018)
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри
Дата публікації:
U Vikipediyi ye statti pro inshi znachennya cogo termina Grupa Gru pa odne z najvazhlivishih ponyat suchasnoyi algebri yake maye chislenni zastosuvannya u bagatoh sumizhnih disciplinah Zdebilshogo grupa vinikaye yak mnozhina vsih peretvoren simetrij deyakoyi strukturi Rezultatom poslidovnogo zastosuvannya dvoh peretvoren bude znovu deyake peretvorennya Ponyattya abstraktnoyi grupi ye uzagalnennyam grup simetrij i viznachayetsya yak mnozhina iz operaciyeyu mnozhennya kompoziciyi sho zadovolnyaye pevnim aksiomam asociativnosti isnuvannya nejtralnogo ta obernenogo elementa 1 U zastosuvannyah matematiki grupi chasto vinikayut yak zasib sistematichno opisuvati simetriyi riznogo gatunku abo yak grupi peretvoren Sukupnist manipulyacij nad cim kubikom Rubika utvoryuyut grupu kubika Rubika Zmist 1 Oznachennya 2 Kriterij grupi 2 3 Prikladi grup 4 Grupi z dodatkovoyu strukturoyu 5 Istoriya 6 Div takozh 7 Primitki 8 Literatura 8 1 Ukrayinskoyu 8 2 Inshimi movamiOznachennya RedaguvatiVporyadkovana para lt G gt displaystyle lt G gt de G G neporozhnya mnozhina nazivayetsya grupoyu yaksho vikonuyutsya nastupni umovi 2 displaystyle binarna algebrayichna operaciya zadana na mnozhini G G operaciya displaystyle asociativna na G G tobto dlya bud yakih elementiv a b c G displaystyle a b c in G spravedlivo a b c a b c displaystyle a b c a b c v G G isnuye nejtralnij vidnosno displaystyle element e e tobto takij sho a e e a a textstyle a e e a a dlya vsih a G displaystyle a in G dlya bud yakogo elementa a G displaystyle a in G isnuye simetrichnij do nogo element a G displaystyle a in G tobto takij sho a a a a e displaystyle a a a a e Umovi 1 4 nazivayutsya aksiomami grupi Chasto dlya poznachennya grupovoyi operaciyi zamist znaka displaystyle vikoristovuyut bilsh zvichni znaki displaystyle i cdot Yaksho vikoristovuyut znak displaystyle to algebrayichnu operaciyu nazivayut dodavannyam grupu vidnosno ciyeyi operaciyi aditivnoyu nejtralnij element nulovim simetrichnij protilezhnim elementom Yaksho vikoristovuyut znak cdot to algebrayichnu operaciyu nazivayut mnozhennyam grupu vidnosno ciyeyi operaciyi multiplikativnoyu nejtralnij element odinichnim abo prosto odiniceyu simetrichnij obernenim elementom Grupa G G nazivayetsya komutativnoyu abo abelevoyu na chest norvezkogo matematika Nilsa Genrika Abelya yaksho operaciya displaystyle ye she j komutativnoyu tobto dlya bud yakih elementiv a b G displaystyle a b in G vikonuyetsya umova a b b a displaystyle a b b a Kriterij grupi 2 RedaguvatiTeorema Neporozhnya mnozhina G G na yakij zadana binarna algebrayichna operaciya displaystyle todi i lishe todi ye grupoyu koli vikonuyutsya umovi 1 operaciya displaystyle asociativna 2 dlya bud yakih elementiv a a i b displaystyle b mnozhini G G zavzhdi isnuye v G G prichomu lishe odna para elementiv x 0 x 0 ta y 0 displaystyle y 0 takih sho a x 0 b displaystyle a x 0 b i y 0 a b displaystyle y 0 a b Prikladi grup Redaguvati Godini na godinniku utvoryuyut grupu klasiv lishkiv za modulem 12 tobto 9 4 1 mod 12 displaystyle 9 4 1 textrm mod 12 Z Q R displaystyle langle mathbb Z rangle langle mathbb Q rangle langle mathbb R rangle abelevi grupi Ci grupi nazivayut aditivnimi grupami vidpovidno cilih racionalnih ta dijsnih chisel Nehaj Q Q 0 displaystyle mathbb Q mathbb Q setminus 0 R R 0 displaystyle mathbb R mathbb R setminus 0 C C 0 displaystyle mathbb C mathbb C setminus 0 Grupi Q displaystyle langle mathbb Q cdot rangle R displaystyle langle mathbb R cdot rangle C displaystyle langle mathbb C cdot rangle takozh abelevi Yih nazivayut multiplikativnimi grupami vidnosno racionalnih dijsnih ta kompleksnih chisel Mnozhina O 0 displaystyle O 0 vidnosno operaciyi dodavannya utvoryuye grupu Mnozhina E 1 displaystyle E 1 vidnosno operaciyi mnozhennya utvoryuye grupu YiYi nazivayut odinichnoyu grupoyu Mnozhina M n R displaystyle M n mathbb R vsih kvadratnih matric n n go poryadku z dijsnimi elementami vidnosno operaciyi dodavannya utvoryuye grupu Tak zvanimi matrichnimi grupami za mnozhennyam ye povna linijna grupa G L n P displaystyle GL n P grupa nevirodzhenih matric poryadku n n nad polem P P yaka pri n 2 displaystyle n geqslant 2 ye neabelevoyu specialna linijna grupa S L n P displaystyle SL n P grupa matric poryadku n n z viznachnikom rivnim 1 displaystyle 1 nad polem P P ortogonalna grupa O n displaystyle O n Tablicya Keli dlya grupi simetrij kvadrata grupa ortogonalnih matric poryadku n n unitarna grupa U n displaystyle U n grupa vsih unitarnih matric n n go poryadku diagonalna grupa D n P displaystyle D n P grupa vsih nevirodzhenih diagonalnih matric poryadku n n nad polem P P Rozglyanemo mnozhinu klasiv lishkiv Z n 0 n 1 displaystyle mathbb Z n overline 0 overline n 1 z diyeyu dodavannya i mnozhinu klasiv lishkiv Z n i NSD i n 1 displaystyle mathbb Z n overline i text NSD i n 1 z diyeyu mnozhennya Voni budut utvoryuvati vidpovidno aditivnu i multiplikativnu grupi Ci grupi ye abelevimi i nazivayutsya grupami klasiv lishkiv Kvaternionni odinici i j k displaystyle i j k porodzhuyut tak zvanu grupu kvaternioniv Q 8 1 1 i j k i j k displaystyle Q 8 1 1 i j k i j k poryadku 8 displaystyle 8 de 1 2 1 displaystyle 1 2 1 i 2 j 2 k 2 1 displaystyle i 2 j 2 k 2 1 i j k displaystyle ij k j k i displaystyle jk i k i j displaystyle ki j Legko zrozumiti sho sukupnist usih peretvoren ploshini prostoru yaki lishayut nezminnoyu pevnu figuru tilo vidnosno kompoziciyi takozh utvoryuye grupu Takim chinom z yavlyayutsya grupi povorotiv i ruhiv pravilnih mnogogrannikiv i t d Zokrema grupa C n displaystyle C n vsih povorotiv pravilnogo n n kutnika skladayetsya z povorotiv na kuti 0 2 360 n n 1 360 n displaystyle 0 circ frac 2 cdot 360 circ n ldots frac n 1 cdot 360 circ n vidnosno centra cogo n n kutnika Grupa D n displaystyle D n vsih ruhiv pravilnogo n n kutnika diedralna grupa skladayetsya z n n povorotiv vidnosno jogo centra na kuti 0 2 360 n n 1 360 n displaystyle 0 circ frac 2 cdot 360 circ n ldots frac n 1 cdot 360 circ n ta n n simetrij l 1 l n displaystyle l 1 ldots l n vidnosno osej sho prohodyat pri neparnomu n n cherez vershini n n kutnika ta seredini protilezhnih reber a pri parnomu n n cherez dvi protilezhni vershini abo cherez seredini dvoh protilezhnih reber Grupa ruhiv romba skladayetsya iz povorotiv na kuti 0 displaystyle 0 circ ta 180 displaystyle 180 circ navkolo tochki peretinu diagonalej romba i dvoh simetrij l 1 displaystyle l 1 l 2 displaystyle l 2 vidnosno diagonalej romba Elementi grupi simetriyi kvadrata D 4 displaystyle D 4 Vershini identifikuyutsya za kolorom chi chislom id totozhne peretvorennya r1 obertannya na 90 za godinnikovoyu strilkoyu r2 obertannya na 180 za godinnikovoyu strilkoyu r3 obertannya na 270 za godinnikovoyu strilkoyu fh gorizontalne vidobrazhennya fv vertikalne vidobrazhennya fd diagonalne vidobrazhennya fd kontr diagonalne vidobrazhennya Elementi i d displaystyle id r 1 displaystyle r 1 r 2 displaystyle r 2 r 3 displaystyle r 3 utvoryuyut pivgrupu grupi D 4 displaystyle D 4 Ochevidno sho grupa simetrij kvadrata ne ye abelevoyu Grupi z dodatkovoyu strukturoyu RedaguvatiYaksho grupa G G ye topologichnim prostorom a operaciyi mnozhennya i vzyattya obernenogo neperervni vidobrazhennya to G G ce topologichna grupa Yaksho G G maye strukturu mnogovidu j grupovi operaciyi sumisni z ciyeyu strukturoyu ye gladkimi todi G nazivayut grupoyu Li ranishe neperervnoyu grupoyu na chest norvezkogo matematika Sofusa Li yakij rozpochav yih doslidzhennya Istoriya RedaguvatiPonyattya grupi ye odnim z osnovnih u suchasnij matematici Vono formuvalasya postupovo z takih galuzej matematiki yak geometriya teoriya chisel ta teoriya rivnyan tomu mozhna vvazhati sho abstraktna teoriya grup istorichno maye tri koreni viniknennya dzherelo Naprikinci XVIII stolittya geometriya pochala shvidko rozvivatisya antichni poglyadi na geometriyu zminilis dokorinno Bulo viznacheno cilij ryad novih geometrij i geometrichnih ryadiv Rozvitok giperbolichnoyi geometriyi Lambert Gaus Lobachevskij ta Bojyan na pochatku stolittya ta eliptichnoyi Riman sprichiniv skladni problemi v todishnij geometriyi Doslidzhennya Monzha i Popselya prizveli do vidkrittya proektivnoyi geometriyi dzherelo Geometriya togo chasu pochala vtrachati svij metrichnij harakter rozshirilisya tradicijni ponyattya pro koordinati bulo vikoristano dlya velikoyi ale skinchennoyi kilkosti vimiryuvan abstraktni metodi Rezultati peretvoren Mobiusa yakij pochav klasifikaciyu riznih geometrij za vlastivostyami yaki zalishayutsya nezminnimi pri pevnih peretvorennyah Shtejna yakij vivchav ruhi stali chastinoyu teoriyi grup peretvoren U doslidzhennyah teoriyi invariantiv Keli intuyitivno rozglyadav ponyattya grupi 1854 roku vin zastosuvav ponyattya grupi za Galua j dav oznachennya skinchennoyi grupi Pobudova skinchennoyi fundamentalnoyi sistemi invariantiv stala poshtovhom dlya vstanovlennya v 80 ti roki osnovnoyi teoremi skinchennih abelevih grup Otzhe abstraktna teoriya invariantiv ye perehidnoyu do abstraktnoyi teoriyi grup Teoriya chisel vidigraye veliku rol u dovedenni isnuvannya teoretiko grupovoyi teoriyi Osnovni rezultati bulo otrimano Ejlerom ta Gausom Ejler vkazav priklad rozkladu abelevoyi grupi na sumizhni klasi j doviv teoremu Lagranzha dlya chastinnogo vipadku ciklichnoyi grupi U comu dovedenni Ejler zastosuvav mirkuvannya sho zdijsnyuyutsya zaraz pri rozkladi grupi na sumizhni klasi Gaus prodovzhiv doslidzhennya Ejlera i zrobiv velikij vnesok u teoriyu abelevih grup Vin rozglyadav 4 vidi grup aditivnu grupu m Z displaystyle m mathbb Z cilih chisel za modulem m m multiplikativnu grupu chisel vzayemno prostih iz m m grupu klasiv u kvadratichnih formah dvoh zminnih a x 2 b x y c y 2 displaystyle ax 2 bxy cy 2 de a b c Z displaystyle a b c in mathbb Z multiplikativnu grupu koreniv n n go stepenya z odinici vivchav yih strukturu j vidnoshennya izomorfizmu Kroneker buv znajomij z robotami Gausa ta vvazhav sho formalizaciya ta aksiomatizaciya ye vigidnoyu dzherelo Vin vkazav zakoni abstraktnoyi kompoziciyi elementiv yaki ekvivalentni povnij sistemi aksiom skinchennoyi abelevoyi grupi Iz ciyeyi sistemi aksiom Kroneker viviv taki naslidki yak isnuvannya odinichnogo elementa Ale Kroneker ne zastosuvav potribnim chinom vkazani zakoni do teoriyi grup hocha j buv znajomij iz teoriyeyu grup Galua Teoriya algebrayichnih rivnyan ne prizvela do aksiomatizaciyi ale same v nij rozglyadalisya novi na toj chas grupi pidstanovok Vzhe v 60 ti roki zarodilas teoriya grup yaka bula vidokremlena vid teoriyi algebrayichnih rivnyan U XVI stolitti bulo znajdeno zagalni rozv yazki kubichnogo rivnyannya Kardano i rivnyannya 4 go stepenya Ferrari Ejler znajshov inshij metod rozv yazuvannya rivnyannya 4 go stepenya i namagavsya uzagalniti jogo dlya bud yakogo algebrayichnogo rivnyannya Lagranzh pershim zrobiv visnovok sho zagalnij rozv yazok rivnyannya stepenya n 5 displaystyle n geqslant 5 ne mozhe buti znajdenij za dopomogoyu vzhe vidomih metodiv Ce tverdzhennya pershim korektno doviv Abel 1824 roku dlya rivnyan 5 go stepenya a 1826 roku dlya vsih stepeniv n gt 4 displaystyle n gt 4 Roboti Lagranzha mali velike znachennya dlya teoriyi grup oskilki Lagranzh vpershe vstanoviv zv yazok mizh rozv yazkami algebrayichnih rivnyan i pidstanovkami Simetrichni grupi pidstanovok buli vidkriti zavdyaki Lagranzhu Rozglyadayuchi simetrichni funkciyi vin doviv vazhlivu teoremu yaka v suchasnij teoriyi grup nazivayetsya teoremoyu Lagranzha Ruffini naviv dekilka doveden nerozv yaznosti rivnyan 5 go stepenya v radikalah i takim chinom viznachiv usi pidgrupi simetrichnoyi grupi S 5 displaystyle S 5 Grupu pidstanovok Ruffini nazivav permutazione Ruffini takozh rozglyadav teoremu Lagranzha i visloviv gipotezu sho dlya kozhnogo k k sho dilit S n displaystyle S n isnuye pidgrupa poryadku k k Termin grupa vpershe vikoristav Galua 1829 roku Vin vzhivav slova francuzke slovo le groupe yake v perekladi oznachaye mnozhini kompleksi Galua ne dav oznachennya grupi Pid grupoyu vin rozumiv mnozhinu pidstanovok zamknenih vidnosno operaciyi mnozhennya Odnak ustalenu terminologiyu vin ne zaprovadiv Otzhe v 60 ti roki teoriya rivnyan vidililas yak samostijna galuz doslidzhennya teoriyi grup pidstanovok Na providnu rol ponyattya grupi v matematici zvernuli uvagu S Li ta F Klejn Li zaprovadiv ponyattya neperervnoyi grupi grupi elementi yakoyi zalezhat vid sistem neperervno zminnih parametriv sho zadovolnyayut pevnim diferencialnim umovam ta vikoristav metodi teoriyi grup dlya klasifikaciyi j sproshennya rozv yazkiv pevnih diferencialnih rivnyan Klejn pereglyanuv rizni tipi geometrij z grupovoyi tochki zoru Vin vvazhav sho kozhna grupa peretvoren zadaye pevnu geometriyu Dlya rozvitku teoriyi grup velike znachennya mali pidruchniki Serre Salmana Vebera ta monografiya Bernsarda U nih zazvichaj rozglyadalis skinchenni grupi Skinchenni grupi ne zmogli zadovolniti vsih potreb Cherez viniknennya neskinchennih struktur podibnih do grup vinikla yak samostijna disciplina abstraktna teoriya grup Osnovi teoriyi grup bez obmezhennya yih skinchennosti bulo vikladeno v monografiyi Abstraktna teoriya grup studenta p yatikursnika Kiyivskogo universitetu imeni T G Shevchenka O Yu Shmidta Piznishe rozpochavsya rozvitok zagalnoyi teoriyi grup yakij buv pov yazanij iz perebudovoyu algebri v 20 ti roki HH stolittya Sogodni teoriya grup ce nadzvichajno vazhlivij ta cikavij rozdil matematiki sho zajmaye providne misce v suchasnij algebri Div takozh Redaguvati Portal Matematika Slovnik terminiv teoriyi grup Geometrichna teoriya grup Obchislyuvalna teoriya grup Simetrichna grupa Ciklichna grupa Faktor grupa Gomomorfizm grup Izomorfizm grup Grupa Galua Normalna pidgrupa Centr grupi Teorema Lagranzha Pidgrupa Grupa kisPrimitki Redaguvati Korn G Korn T 1984 12 2 1 Spravochnik po matematike dlya nauchnih rabotnikov i inzhenerov ros vid druge Moskva Nauka a b Trebenko Dmitro Yakovich Trebenko Oksana Oleksandrivna 2009 Algebra i teoriya chisel Kiyiv NPU imeni M P Dragomanova s 420 Literatura RedaguvatiUkrayinskoyu Redaguvati O O Bezushak O G Ganyushkin 2005 Teoriya grup Navchalnij posibnik dlya studentiv mehaniko matematichnogo fakultetu ukrayinska Kiyiv Kiyivskij universitet s 122 Arhiv originalu za 27 listopada 2014 Procitovano 29 bereznya 2014 Golod P I Klimik A U Matematichni osnovi teoriyi simetriyi K Naukova dumka 1992 368 s ukr Trebenko D Ya Trebenko O O Algebra i teoriya chisel U 2 ch Ch 1 K NPU im M P Dragomanova 2009 420 s Inshimi movami Redaguvati angl John F Humphreys A Course in Group Theory Oxford Science Publications 1996 296 s ISBN 978 0198534532 angl Dzhozef Rotman en An Introduction to the Theory of Groups 4th Springer Graduate Texts in Mathematics 1994 532 s ISBN 978 0387942858 angl ros Kurosh A G Teoriya grupp 3 e izd Moskva Nauka 1967 648 s ISBN 5 8114 0616 9 ros ros Leng S Algebra Moskva Mir 1968 564 s ISBN 5458320840 ros Ce nezavershena stattya z matematiki Vi mozhete dopomogti proyektu vipravivshi abo dopisavshi yiyi Cya stattya maye kilka nedolikiv Bud laska dopomozhit udoskonaliti yiyi abo obgovorit ci problemi na storinci obgovorennya Cya stattya mistit tekst sho ne vidpovidaye enciklopedichnomu stilyu Bud laska dopomozhit udoskonaliti cyu stattyu pogodivshi stil vikladu zi stilistichnimi pravilami Vikipediyi Mozhlivo storinka obgovorennya mistit zauvazhennya shodo potribnih zmin traven 2018 Cyu stattyu treba vikifikuvati dlya vidpovidnosti standartam yakosti Vikipediyi Bud laska dopomozhit dodavannyam dorechnih vnutrishnih posilan abo vdoskonalennyam rozmitki statti traven 2018 Cya stattya potrebuye dodatkovih posilan na dzherela dlya polipshennya yiyi perevirnosti Bud laska dopomozhit udoskonaliti cyu stattyu dodavshi posilannya na nadijni avtoritetni dzherela Zvernitsya na storinku obgovorennya za poyasnennyami ta dopomozhit vipraviti nedoliki Material bez dzherel mozhe buti piddano sumnivu ta vilucheno traven 2018 Otrimano z https uk wikipedia org w index php title Grupa matematika amp oldid 39510376