Симетрична група

Симетрична група множини X — це група всіх перестановок X (тобто бієкцій X →X) щодо операції композиції.

Граф Келі симетричної групи S₄

Симетрична група множини X позначається S(X). Якщо X = {1, 2,…, n}, то S(X) позначається S_n.

Нейтральним елементом в симетричній групі є тотожна перестановка , тобто тотожне відображення:

Порядком групи S_n (тобто кількістю її елементів) є n! (n-факторіал).

Теорема Келі

Будь-яка група ізоморфна деякій підгрупі групи перестановок елементів .

Групи низького порядку

Групи з одного елементу.

Група з 2 елементів, циклічна, а отже і абелева.

Перша неабелева симетрична група. Ізоморфна діедральній групі порядку 6.

Ізоморфна групі поворотів куба.

Є групою Галуа для рівняння п'ятого степеня.

Властивості

• При симетрична група S_n некомутативна.
• При симетрична група S_n є нерозв'язною.

Див. також

• Обчислювальна теорія груп

Джерела

• Курош А. Г. Теория групп. — 3-е изд. — Москва : Наука, 1967. — 648 с. — ISBN 5-8114-0616-9.(рос.)
• Джозеф Ротман^[en]. An Introduction to the Theory of Groups. — 4th. — Springer (Graduate Texts in Mathematics), 1994. — 532 с. — ISBN 978-0387942858.(англ.)