www.wikidata.uk-ua.nina.az

Діедральна група В математиці діедральна група це група симетрій правильного багатокутника яка включає обертання та відб

Діедральна група

В математиці, діедральна група це група симетрій правильного багатокутника, яка включає обертання та відбиття. Діедральна група один з найпростіших прикладів скінченних груп, і вони відіграють важливу роль в теорії груп, геометрії та хімії.

Ця сніжинка має діедральну симетрію правильного шестикутника

Види запису Редагувати

Існують два види запису діедральних груп пов'язаних із багатокутником з n сторонами. У геометрії група записується Dn, тоді як алгебрі та сама група позначається D2n з метою вказання кількості елементів.

У цій статті, Dn (і іноді Dihn) посилається на симетрії правильного багатокутника з n сторонами.

Визначення Редагувати

Елементи Редагувати

Шість осьових симетрій правильного шестикутника

Правильний многокутник з n сторонами має 2n різних симетрій: n обертальних симетрій і n осьових симетрій. Пов'язані обертання і відбиття утворюють діедральну групу Dn. Якщо n непарне, тоді кожна вісь симетрії поєднує середину сторони і протилежну вершину. Якщо n парне, тоді існує n/2 осей симетрій, які поєднують протилежні вершини. Так чи інакше, існує n осей симетрії і 2n елементів у групі симетрій. Відбиття відносно однієї з осей симетрії із наступним відбиттям відносно іншої осі рівноцінно обертанню на подвоєний кут між осями. Наступне зображення показує 16 елементів групи D8 для знаку «Stop»:

Перший рядок показує ефект восьми обертань, другий — восьми відбиттів.

Структура групи Редагувати

Як і з багатьма геометричними об'єктами, композиція двох симетрій правильного многокутника є симетрією. Ця операція надає симетріям алгебраїчну структуру скінченної групи.

Поєднання двох відбиттів дає обертання

Наступна таблиця Келі показує наслідки поєднань в групі D3 (симетрій правильного трикутника). R0 позначає тотжність; R1 і R2 позначають обертання на 120 і 240 градусів проти (руху) годинникової стрілки; і S0, S1, і S2 позначають відбиття через три лінії показані на малюнку праворуч.

R0 R1 R2 S0 S1 S2
R0 R0 R1 R2 S0 S1 S2
R1 R1 R2 R0 S1 S2 S0
R2 R2 R0 R1 S2 S0 S1
S0 S0 S2 S1 R0 R2 R1
S1 S1 S0 S2 R1 R0 R2
S2 S2 S1 S0 R2 R1 R0

Наприклад, S2S1 = R1 бо відбиття S1 із наступним відбиттям S2 утворюють обертання на 120 градусів. (Це звичайний зворотний порядок композиції.) Композиція операцій не комутативна.

Загалом, група Dn має елементи R0,...,Rn−1 і S0,...,Sn−1, з композиціями заданими такими формулами:

В усіх випадках, додавання і віднімання індексів повинно виконуватись із використанням модульної арифметики з модулем n.

Матричне представлення Редагувати

Симетрії п'ятикутника є лінійними відображеннями.

Якщо ми відцентруємо правильний многокутник в початку координат, тоді елементи діедральної групи діють як лінійні перетворення площини. Це дозволяє представити елементи Dn у вигляді матриць, тоді композиція буде добутком матриць. Це приклад (2-вимірного) представлення групи.

Наприклад, елементи групи D4 можуть бути представлені такими вісьмома матрицями:

Загалом, матрицями для елементів з Dn мають такий вигляд:

Rk — матриця повороту, яка уособлює обертання проти годинникової стрілки на кут 2πk ⁄ n. Sk — відбиття через лінію утворену кутом πk ⁄ n з віссю x.

Малі діедральні групи Редагувати

Циклічний граф Dih4
a — поворот за годинниковою стрілкою
і b — горизонтальне відбиття.

Для n = 1 ми маємо Dih1. Такий запис рідко використовується, хіба для рядів, по це дорівнює Z2. Для n = 2 маємо Dih2, 4-група Клейна. Це два винятки з усієї серії:

Циклічні графи діедральних груп містять n-елементний цикл і n 2-елементних циклів. Темна вершина в циклічних графах різних діедральних груп знизу вказує на тотожний елемент, а інші вершини це інші елементи групи. Цикл містить послідовні ступені елементів зв'язаних з нейтральним елементом.

Циклічні графи
Dih1 = Z2 Dih2 = Z22 = K4 Dih3 Dih4 Dih5
Dih6 = Dih3×Z2 Dih7 Dih8 Dih9 Dih10 = Dih5×Z2

Див. також Редагувати

Примітки Редагувати

  1. Dummit, David S.; Foote, Richard M. (2004). Abstract Algebra (вид. 3rd). John Wiley & Sons. ISBN 0-471-43334-9. 
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри
Дата публікації:
V matematici diedralna grupa ce grupa simetrij pravilnogo bagatokutnika yaka vklyuchaye obertannya ta vidbittya 1 Diedralna grupa odin z najprostishih prikladiv skinchennih grup i voni vidigrayut vazhlivu rol v teoriyi grup geometriyi ta himiyi Cya snizhinka maye diedralnu simetriyu pravilnogo shestikutnika Zmist 1 Vidi zapisu 2 Viznachennya 2 1 Elementi 2 2 Struktura grupi 2 3 Matrichne predstavlennya 3 Mali diedralni grupi 4 Div takozh 5 PrimitkiVidi zapisu RedaguvatiIsnuyut dva vidi zapisu diedralnih grup pov yazanih iz bagatokutnikom z n storonami U geometriyi grupa zapisuyetsya Dn todi yak algebri ta sama grupa poznachayetsya D2n z metoyu vkazannya kilkosti elementiv U cij statti Dn i inodi Dihn posilayetsya na simetriyi pravilnogo bagatokutnika z n storonami Viznachennya RedaguvatiElementi Redaguvati nbsp Shist osovih simetrij pravilnogo shestikutnikaPravilnij mnogokutnik z n storonami maye 2n riznih simetrij n obertalnih simetrij i n osovih simetrij Pov yazani obertannya i vidbittya utvoryuyut diedralnu grupu Dn Yaksho n neparne todi kozhna vis simetriyi poyednuye seredinu storoni i protilezhnu vershinu Yaksho n parne todi isnuye n 2 osej simetrij yaki poyednuyut protilezhni vershini Tak chi inakshe isnuye n osej simetriyi i 2n elementiv u grupi simetrij Vidbittya vidnosno odniyeyi z osej simetriyi iz nastupnim vidbittyam vidnosno inshoyi osi rivnocinno obertannyu na podvoyenij kut mizh osyami Nastupne zobrazhennya pokazuye 16 elementiv grupi D8 dlya znaku Stop nbsp Pershij ryadok pokazuye efekt vosmi obertan drugij vosmi vidbittiv Struktura grupi Redaguvati Yak i z bagatma geometrichnimi ob yektami kompoziciya dvoh simetrij pravilnogo mnogokutnika ye simetriyeyu Cya operaciya nadaye simetriyam algebrayichnu strukturu skinchennoyi grupi nbsp nbsp Poyednannya dvoh vidbittiv daye obertannyaNastupna tablicya Keli pokazuye naslidki poyednan v grupi D3 simetrij pravilnogo trikutnika R0 poznachaye totzhnist R1 i R2 poznachayut obertannya na 120 i 240 gradusiv proti ruhu godinnikovoyi strilki i S0 S1 i S2 poznachayut vidbittya cherez tri liniyi pokazani na malyunku pravoruch R0 R1 R2 S0 S1 S2R0 R0 R1 R2 S0 S1 S2R1 R1 R2 R0 S1 S2 S0R2 R2 R0 R1 S2 S0 S1S0 S0 S2 S1 R0 R2 R1S1 S1 S0 S2 R1 R0 R2S2 S2 S1 S0 R2 R1 R0Napriklad S2S1 R1 bo vidbittya S1 iz nastupnim vidbittyam S2 utvoryuyut obertannya na 120 gradusiv Ce zvichajnij zvorotnij poryadok kompoziciyi Kompoziciya operacij ne komutativna Zagalom grupa Dn maye elementi R0 Rn 1 i S0 Sn 1 z kompoziciyami zadanimi takimi formulami R i R j R i j R i S j S i j S i R j S i j S i S j R i j displaystyle R i R j R i j R i S j S i j S i R j S i j S i S j R i j nbsp V usih vipadkah dodavannya i vidnimannya indeksiv povinno vikonuvatis iz vikoristannyam modulnoyi arifmetiki z modulem n Matrichne predstavlennya Redaguvati nbsp Simetriyi p yatikutnika ye linijnimi vidobrazhennyami Yaksho mi vidcentruyemo pravilnij mnogokutnik v pochatku koordinat todi elementi diedralnoyi grupi diyut yak linijni peretvorennya ploshini Ce dozvolyaye predstaviti elementi Dn u viglyadi matric todi kompoziciya bude dobutkom matric Ce priklad 2 vimirnogo predstavlennya grupi Napriklad elementi grupi D4 mozhut buti predstavleni takimi vismoma matricyami R 0 1 0 0 1 R 1 0 1 1 0 R 2 1 0 0 1 R 3 0 1 1 0 S 0 1 0 0 1 S 1 0 1 1 0 S 2 1 0 0 1 S 3 0 1 1 0 displaystyle begin matrix R 0 bigl begin smallmatrix 1 amp 0 0 2em 0 amp 1 end smallmatrix bigr amp R 1 bigl begin smallmatrix 0 amp 1 0 2em 1 amp 0 end smallmatrix bigr amp R 2 bigl begin smallmatrix 1 amp 0 0 2em 0 amp 1 end smallmatrix bigr amp R 3 bigl begin smallmatrix 0 amp 1 0 2em 1 amp 0 end smallmatrix bigr 1em S 0 bigl begin smallmatrix 1 amp 0 0 2em 0 amp 1 end smallmatrix bigr amp S 1 bigl begin smallmatrix 0 amp 1 0 2em 1 amp 0 end smallmatrix bigr amp S 2 bigl begin smallmatrix 1 amp 0 0 2em 0 amp 1 end smallmatrix bigr amp S 3 bigl begin smallmatrix 0 amp 1 0 2em 1 amp 0 end smallmatrix bigr end matrix nbsp Zagalom matricyami dlya elementiv z Dn mayut takij viglyad R k cos 2 p k n sin 2 p k n sin 2 p k n cos 2 p k n i S k cos 2 p k n sin 2 p k n sin 2 p k n cos 2 p k n displaystyle begin aligned R k amp begin pmatrix cos frac 2 pi k n amp sin frac 2 pi k n sin frac 2 pi k n amp cos frac 2 pi k n end pmatrix text i S k amp begin pmatrix cos frac 2 pi k n amp sin frac 2 pi k n sin frac 2 pi k n amp cos frac 2 pi k n end pmatrix end aligned nbsp Rk matricya povorotu yaka uosoblyuye obertannya proti godinnikovoyi strilki na kut 2pk n Sk vidbittya cherez liniyu utvorenu kutom pk n z vissyu x Mali diedralni grupi Redaguvati nbsp Ciklichnij graf Dih4a povorot za godinnikovoyu strilkoyui b gorizontalne vidbittya Dlya n 1 mi mayemo Dih1 Takij zapis ridko vikoristovuyetsya hiba dlya ryadiv po ce dorivnyuye Z2 Dlya n 2 mayemo Dih2 4 grupa Klejna Ce dva vinyatki z usiyeyi seriyi Voni abelevi dlya vsih inshih znachen n grupa Dihn ne abeleva Voni ne pidgrupa simetrichnoyi grupi Sn cherez te sho 2n gt n dlya cih n Ciklichni grafi diedralnih grup mistyat n elementnij cikl i n 2 elementnih cikliv Temna vershina v ciklichnih grafah riznih diedralnih grup znizu vkazuye na totozhnij element a inshi vershini ce inshi elementi grupi Cikl mistit poslidovni stupeni elementiv zv yazanih z nejtralnim elementom Ciklichni grafi Dih1 Z2 Dih2 Z22 K4 Dih3 Dih4 Dih5 nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp Dih6 Dih3 Z2 Dih7 Dih8 Dih9 Dih10 Dih5 Z2Div takozh RedaguvatiDiedralnij kutPrimitki Redaguvati Dummit David S Foote Richard M 2004 Abstract Algebra vid 3rd John Wiley amp Sons ISBN 0 471 43334 9 Otrimano z https uk wikipedia org w index php title Diedralna grupa amp oldid 36799913