www.wikidata.uk-ua.nina.az

Підгрупа Підгрупою групи G називається підмножина H displaystyle H групи G displaystyle G що сама є групою щодо операції

Підгрупа

Підгрупою групи G називається підмножина групи , що сама є групою щодо операції, визначеної в .

Підмножина групи є її підгрупою тоді і тільки тоді, коли вона задовольняє такі умови:

  1. містить добуток будь-яких двох елементів з ,
  2. містить разом зі всяким своїм елементом обернений до нього елемент .

У разі скінченних і періодичних груп перевірка умови 2 є зайвою.

Еквівалентно є підгрупою, якщо виконується умова:


Приклади Редагувати

  • Підмножина групи , що складається з одного елементу , буде, очевидно, підгрупою, і ця підгрупа називається одиничною підгрупою групи .
  • Сама також є своєю підгрупою.
  • Нехай G абелева група елементами якої є

і груповою операцією є додавання за модулем 8. Її таблиця Келі має вигляд:

+ 0 2 4 6 1 3 5 7
0 0 2 4 6 1 3 5 7
2 2 4 6 0 3 5 7 1
4 4 6 0 2 5 7 1 3
6 6 0 2 4 7 1 3 5
1 1 3 5 7 2 4 6 0
3 3 5 7 1 4 6 0 2
5 5 7 1 3 6 0 2 4
7 7 1 3 5 0 2 4 6

Ця група має дві власні підгрупи: J={0,4} і H={0,2,4,6}, де J є також підгрупою H. Таблиця Келі H є верхньою лівою чвертю таблиці Келі групи G. Група G є циклічною, як і її підгрупи.

Пов'язані визначення Редагувати

  • Сама група і одинична підгрупа називається невласними підгрупами групи G, всі інші підгрупи H власними.
  • Перетин всіх підгруп групи , що містять всі елементи деякої непорожньої множини , називається підгрупою, породженою множиною , і позначається .
  • Якщо складається з одного елемента , то називається циклічною підгрупою елемента .
  • Якщо група ізоморфна деякій підгрупі групи , то кажуть, що група може бути вкладена в групу .

Властивості Редагувати

  • Теоретико-множинний перетин будь-яких двох підгруп групи є підгрупою групи .
  • Теоретико-множинне об'єднання підгруп, взагалі кажучи, не зобов'язане бути підгрупою. Об'єднанням підгруп і називається підгрупа, породжена об'єднанням множин .
  • Нехай — гомоморфізм груп. Тоді якщо є підгрупою , то є підгрупою . Якщо є підгрупою , то є підгрупою .
  • Якщо дані дві групи і кожна з них ізоморфна деякій власній підгрупі іншої, то звідси ще не слідує ізоморфізм самих цих груп.

Див. також Редагувати

Джерела Редагувати

  • Джозеф Ротман[en]. An Introduction to the Theory of Groups. — 4th. — Springer (Graduate Texts in Mathematics), 1994. — 532 с. — ISBN 978-0387942858.(англ.)
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри
Дата публікації:
Pidgrupoyu grupi G nazivayetsya pidmnozhina H displaystyle H grupi G displaystyle G sho sama ye grupoyu shodo operaciyi viznachenoyi v G displaystyle G Pidmnozhina H displaystyle H grupi G displaystyle G ye yiyi pidgrupoyu todi i tilki todi koli vona zadovolnyaye taki umovi mistit dobutok bud yakih dvoh elementiv z H displaystyle H mistit razom zi vsyakim svoyim elementom h displaystyle h obernenij do nogo element h 1 displaystyle h 1 U razi skinchennih i periodichnih grup perevirka umovi 2 ye zajvoyu Ekvivalentno H displaystyle H ye pidgrupoyu yaksho vikonuyetsya umova x y H 2 x y 1 H displaystyle forall x y in H 2 x y 1 in H Zmist 1 Prikladi 2 Pov yazani viznachennya 3 Vlastivosti 4 Div takozh 5 DzherelaPrikladi RedaguvatiPidmnozhina grupi G displaystyle G nbsp sho skladayetsya z odnogo elementu 1 displaystyle 1 nbsp bude ochevidno pidgrupoyu i cya pidgrupa nazivayetsya odinichnoyu pidgrupoyu grupi G displaystyle G nbsp Sama G displaystyle G nbsp takozh ye svoyeyu pidgrupoyu Nehaj G abeleva grupa elementami yakoyi yeG 0 2 4 6 1 3 5 7 displaystyle G left 0 2 4 6 1 3 5 7 right nbsp i grupovoyu operaciyeyu ye dodavannya za modulem 8 Yiyi tablicya Keli maye viglyad 0 2 4 6 1 3 5 70 0 2 4 6 1 3 5 72 2 4 6 0 3 5 7 14 4 6 0 2 5 7 1 36 6 0 2 4 7 1 3 51 1 3 5 7 2 4 6 03 3 5 7 1 4 6 0 25 5 7 1 3 6 0 2 47 7 1 3 5 0 2 4 6Cya grupa maye dvi vlasni pidgrupi J 0 4 i H 0 2 4 6 de J ye takozh pidgrupoyu H Tablicya Keli H ye verhnoyu livoyu chvertyu tablici Keli grupi G Grupa G ye ciklichnoyu yak i yiyi pidgrupi Pov yazani viznachennya RedaguvatiSama grupa G displaystyle G nbsp i odinichna pidgrupa nazivayetsya nevlasnimi pidgrupami grupi G vsi inshi pidgrupi H vlasnimi Peretin vsih pidgrup grupi G displaystyle G nbsp sho mistyat vsi elementi deyakoyi neporozhnoyi mnozhini M displaystyle M nbsp nazivayetsya pidgrupoyu porodzhenoyu mnozhinoyu M displaystyle M nbsp i poznachayetsya lt M gt displaystyle lt M gt nbsp Yaksho M displaystyle M nbsp skladayetsya z odnogo elementa a displaystyle a nbsp to lt a gt displaystyle lt a gt nbsp nazivayetsya ciklichnoyu pidgrupoyu elementa a displaystyle a nbsp Yaksho grupa G 1 displaystyle G 1 nbsp izomorfna deyakij pidgrupi H displaystyle H nbsp grupi G displaystyle G nbsp to kazhut sho grupa G 1 displaystyle G 1 nbsp mozhe buti vkladena v grupu G displaystyle G nbsp Vlastivosti RedaguvatiTeoretiko mnozhinnij peretin bud yakih dvoh pidgrup grupi G displaystyle G nbsp ye pidgrupoyu grupi G displaystyle G nbsp Teoretiko mnozhinne ob yednannya pidgrup vzagali kazhuchi ne zobov yazane buti pidgrupoyu Ob yednannyam pidgrup H displaystyle H nbsp i K displaystyle K nbsp nazivayetsya pidgrupa porodzhena ob yednannyam mnozhin H K displaystyle H cup K nbsp Nehaj f G G displaystyle f G rightarrow G nbsp gomomorfizm grup Todi yaksho H displaystyle H nbsp ye pidgrupoyu G displaystyle G nbsp to f H displaystyle f H nbsp ye pidgrupoyu G displaystyle G nbsp Yaksho H displaystyle H nbsp ye pidgrupoyu G displaystyle G nbsp to f 1 H displaystyle f 1 H nbsp ye pidgrupoyu G displaystyle G nbsp Yaksho dani dvi grupi i kozhna z nih izomorfna deyakij vlasnij pidgrupi inshoyi to zvidsi she ne sliduye izomorfizm samih cih grup Div takozh RedaguvatiPidstruktura matematika Teorema Lagranzha teoriya grup Normalna pidgrupa Harakteristichna pidgrupa Centr grupi Teorema HajoshaDzherela RedaguvatiKurosh A G Teoriya grupp 3 e izd Moskva Nauka 1967 648 s ISBN 5 8114 0616 9 ros Leng S Algebra Moskva Mir 1968 564 s ISBN 5458320840 ros Vinberg E B Kurs algebri 4 e izd Moskva MCNMO 2011 592 s ISBN 978 5 94057 685 3 ros Dzhozef Rotman en An Introduction to the Theory of Groups 4th Springer Graduate Texts in Mathematics 1994 532 s ISBN 978 0387942858 angl Otrimano z https uk wikipedia org w index php title Pidgrupa amp oldid 36999430