www.wikidata.uk-ua.nina.az

Нормальна підгрупа інваріантна підгрупа це особлива підгрупа в яких лівий і правий клас суміжності збігаються Інваріантн

Нормальна підгрупа

Нормальна підгрупа (інваріантна підгрупа) — це особлива підгрупа, в яких лівий і правий клас суміжності збігаються. Інваріантні підгрупи дозволяють будувати фактор-групу по заданій групі.

Визначення Редагувати

Підгрупа групи називається нормальною, якщо вона інваріантна відносно спряження, тобто:

Наступні умови нормальності підгрупи є еквівалентними:

  3. Множини лівих і правих суміжних класів в збігаються.
  4. .

Умова (1) слабша, чим (2), а умова (3) слабша, ніж (4). Тому умови (1) та (3) часто використовують при доведенні нормальності підгрупи.

Приклади Редагувати

  • та  — завжди нормальні підгрупи . Вони називаються тривіальними. Якщо інших нормальних підгруп немає, то група називається простою.

Властивості Редагувати

  • Кожна підгрупа індексу 2 є нормальною. Якщо  — найменший простий дільник порядку , то довільна підгрупа індекса нормальна.
  • Якщо  — нормальна підгрупа в , то на множині лівих (правих) суміжних класів можна ввести групову структуру за правилом

Історичні факти Редагувати

Еварист Галуа перший зрозумів важливість нормальних підгруп.

Див. також Редагувати

Джерела Редагувати

  • Джозеф Ротман[en]. An Introduction to the Theory of Groups. — 4th. — Springer (Graduate Texts in Mathematics), 1994. — 532 с. — ISBN 978-0387942858.(англ.)
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри
Дата публікації:
Normalna pidgrupa invariantna pidgrupa ce osobliva pidgrupa v yakih livij i pravij klas sumizhnosti zbigayutsya Invariantni pidgrupi dozvolyayut buduvati faktor grupu po zadanij grupi Zmist 1 Viznachennya 2 Prikladi 3 Vlastivosti 4 Istorichni fakti 5 Div takozh 6 DzherelaViznachennya RedaguvatiPidgrupa N displaystyle N nbsp grupi G displaystyle G nbsp nazivayetsya normalnoyu yaksho vona invariantna vidnosno spryazhennya tobto N G n N g G g n g 1 N displaystyle N triangleleft G quad iff quad forall n in N g in G gng 1 in N nbsp Nastupni umovi normalnosti pidgrupi ye ekvivalentnimi g G g N g 1 N displaystyle forall g in G gNg 1 subseteq N nbsp g G g N g 1 N displaystyle forall g in G gNg 1 N nbsp Mnozhini livih i pravih sumizhnih klasiv N displaystyle N nbsp v G displaystyle G nbsp zbigayutsya g G g N N g displaystyle forall g in G gN Ng nbsp Umova 1 slabsha chim 2 a umova 3 slabsha nizh 4 Tomu umovi 1 ta 3 chasto vikoristovuyut pri dovedenni normalnosti pidgrupi Prikladi Redaguvati e displaystyle e nbsp ta G displaystyle G nbsp zavzhdi normalni pidgrupi G displaystyle G nbsp Voni nazivayutsya trivialnimi Yaksho inshih normalnih pidgrup nemaye to grupa G displaystyle G nbsp nazivayetsya prostoyu Centr grupi normalna pidgrupa Komutant grupi normalna pidgrupa Dovilna harakteristichna pidgrupa ye normalnoyu bo yiyi spryazhennya zavzhdi ye avtomorfizmom Vsi pidgrupi N displaystyle N nbsp abelevoyi grupi G displaystyle G nbsp normalni tomu sho g N N g displaystyle gN Ng nbsp Neabeleva grupa v yakoyi vsi pidgrupi normalni nazivayetsya gamiltonovoyu Vlastivosti RedaguvatiNormalnist zberigayetsya pri epimorfizmah syur yektivnih gomomorfizmah i vzyatti obernenih obraziv Normalnist zberigayetsya pri pobudovi pryamogo dobutku Normalna pidgrupa normalnoyi pidgrupi ne obov yazkovo ye normalnoyu v grupi tobto normalnist ne tranzitivna Ale harakteristichna pidgrupa normalnoyi pidgrupi ye normalnoyu Napriklad diedralna grupa D 4 r f f 2 1 r 4 1 f r r 1 f displaystyle D 4 langle r f f 2 1 r 4 1 fr r 1 f rangle nbsp Pidgrupa H r f f r 1 r f r 2 f r C 2 C 2 displaystyle H langle rf fr rangle 1 rf r 2 fr simeq C 2 times C 2 nbsp izomorfna grupi Klejna i H G displaystyle H triangleleft G nbsp I dali K r f 1 r f H displaystyle K langle rf rangle 1 rf triangleleft H nbsp ale K displaystyle K nbsp ne normalna v G displaystyle G nbsp oskilki f r f f 1 f r f f f r K displaystyle f cdot rf cdot f 1 f cdot rf cdot f fr notin K nbsp Kozhna pidgrupa indeksu 2 ye normalnoyu Yaksho p displaystyle p nbsp najmenshij prostij dilnik poryadku G displaystyle G nbsp to dovilna pidgrupa indeksa p displaystyle p nbsp normalna Yaksho N displaystyle N nbsp normalna pidgrupa v G displaystyle G nbsp to na mnozhini livih pravih sumizhnih klasiv G N displaystyle G N nbsp mozhna vvesti grupovu strukturu za pravilom g 1 N g 2 N g 1 g 2 N displaystyle g 1 N g 2 N g 1 g 2 N nbsp Otrimana mnozhina nazivayetsya faktor grupoyu G displaystyle G nbsp za N displaystyle N nbsp N displaystyle N nbsp normalna todi i tilki todi koli vona trivialno diye na livih sumizhnih klasah G N displaystyle G N nbsp Normalni pidgrupi grupi G utvoryuyut gratku vidnosno operaciyi vklyuchennya z najmenshim elementom e ta najbilshim elementom G Gratka ye povnoyu ta modulyarnoyu Istorichni fakti RedaguvatiEvarist Galua pershij zrozumiv vazhlivist normalnih pidgrup Div takozh RedaguvatiNorma teoriya grup Kvazinormalna pidgrupaDzherela RedaguvatiKurosh A G Teoriya grupp 3 e izd Moskva Nauka 1967 648 s ISBN 5 8114 0616 9 ros Vinberg E B Kurs algebri 4 e izd Moskva MCNMO 2011 592 s ISBN 978 5 94057 685 3 ros Dzhozef Rotman en An Introduction to the Theory of Groups 4th Springer Graduate Texts in Mathematics 1994 532 s ISBN 978 0387942858 angl Otrimano z https uk wikipedia org w index php title Normalna pidgrupa amp oldid 36999482