www.wikidata.uk-ua.nina.az

Індекс підгрупи H displaystyle H у групі G displaystyle G число класів суміжності в кожному правому або лівому із розкла

Індекс підгрупи

Індекс підгрупи у групі ― число класів суміжності в кожному (правому або лівому) із розкладів групи за цією підгрупою (в нескінченному випадку — потужність множини цих класів).

Індекс підгрупи в групі зазвичай позначається .

Пов'язані означення Редагувати

  • Якщо число суміжних класів скінченне, то називається підгрупою скінченного індексу в .

Властивості Редагувати

  • Добуток порядку підгрупи на її індекс рівний порядку групи (теорема Лагранжа).
    • Це твердження є вірним як для скінченної групи , так і у випадку нескінченної ― для відповідних потужностей.
  • Якщо H є підгрупою G, а K — підгрупою H, то:

Теорема Пуанкаре Редагувати

Перетин скінченної кількості підгруп скінченного індексу має скінченний індекс (теорема Пуанкаре).

Твердження достатньо довести для випадку двох підгруп. Нехай підгрупи Н і F — підгрупи скінченного індексу в групі G і D — їх перетин. Елементи a і b тоді і тільки тоді належать одному лівосторонньому суміжному класу по D, якщо , тобто якщо і . Отже всі лівосторонні класи суміжності групи G по підгрупі D, це всі непусті перетини лівосторонніх класів суміжності по підгрупі Н з лівосторонніми класами по підгрупі F. Із скінченності індексів підгруп Н і F випливає скінченність числа цих перетинів і скінченність індексу підгрупи D в групі G.

З доведення також випливає нерівність:

Див. також Редагувати

Література Редагувати

  • О.Г.Ганюшкін, О.О.Безущак. К.: Видавничо-поліграфічний центр Київський університет, 2005.
  • Курош А. Г. Теория групп. — 3-е изд. — Москва : Наука, 1967. — 648 с. — ISBN 5-8114-0616-9.(рос.)
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри
Дата публікації:
Indeks pidgrupi H displaystyle H u grupi G displaystyle G chislo klasiv sumizhnosti v kozhnomu pravomu abo livomu iz rozkladiv grupi G displaystyle G za ciyeyu pidgrupoyu H displaystyle H v neskinchennomu vipadku potuzhnist mnozhini cih klasiv Indeks pidgrupi H displaystyle H v grupi G displaystyle G zazvichaj poznachayetsya G H displaystyle G H Zmist 1 Pov yazani oznachennya 2 Vlastivosti 2 1 Teorema Puankare 3 Div takozh 4 LiteraturaPov yazani oznachennya RedaguvatiYaksho chislo sumizhnih klasiv skinchenne to H displaystyle H nbsp nazivayetsya pidgrupoyu skinchennogo indeksu v G displaystyle G nbsp Vlastivosti RedaguvatiDobutok poryadku pidgrupi H displaystyle H nbsp na yiyi indeks G H displaystyle G H nbsp rivnij poryadku grupi G displaystyle G nbsp teorema Lagranzha Ce tverdzhennya ye virnim yak dlya skinchennoyi grupi G displaystyle G nbsp tak i u vipadku neskinchennoyi G displaystyle G nbsp dlya vidpovidnih potuzhnostej Yaksho H ye pidgrupoyu G a K pidgrupoyu H to G K G H H K displaystyle G K G H H K nbsp Teorema Puankare Redaguvati Peretin skinchennoyi kilkosti pidgrup skinchennogo indeksu maye skinchennij indeks teorema Puankare Tverdzhennya dostatno dovesti dlya vipadku dvoh pidgrup Nehaj pidgrupi N i F pidgrupi skinchennogo indeksu v grupi G i D yih peretin Elementi a i b todi i tilki todi nalezhat odnomu livostoronnomu sumizhnomu klasu po D yaksho a 1 b D displaystyle a 1 b in D nbsp tobto yaksho a 1 b H displaystyle a 1 b in H nbsp i a 1 b F displaystyle a 1 b in F nbsp Otzhe vsi livostoronni klasi sumizhnosti grupi G po pidgrupi D ce vsi nepusti peretini livostoronnih klasiv sumizhnosti po pidgrupi N z livostoronnimi klasami po pidgrupi F Iz skinchennosti indeksiv pidgrup N i F viplivaye skinchennist chisla cih peretiniv i skinchennist indeksu pidgrupi D v grupi G Z dovedennya takozh viplivaye nerivnist G H F G F G F displaystyle G H cap F leq G F G F nbsp Div takozh RedaguvatiKlas sumizhnosti grupi Teorema LagranzhaLiteratura RedaguvatiO G Ganyushkin O O Bezushak Teoriya grup Navchalnij posibnik dlya studentiv mehaniko matematichnogo fakultetu K Vidavnicho poligrafichnij centr Kiyivskij universitet 2005 Kurosh A G Teoriya grupp 3 e izd Moskva Nauka 1967 648 s ISBN 5 8114 0616 9 ros Otrimano z https uk wikipedia org w index php title Indeks pidgrupi amp oldid 32138936