Підмножина

Якщо X та Y — множини та будь-який елемент із X є також елементом із Y, то говорять, що:

• X є підмножиною (частиною) Y, позначення — X ⊆ Y;
• Y — надмножина (охоплююча множина) X, позначення — Y ⊇ X.

A — підмножина B

Кожна множина Y є підмножиною себе самої. Підмножина Y, яка не збігається з Y називається точною підмножиною (або правильною чи власною частиною множини) Y. Якщо X — точна підмножина Y, то цей факт записується як X ⊂ Y. Відношення «бути підмножиною» має назву включення.

Варіанти позначень

Існують дві системи позначень відношень включення: старіша система використовує символ "⊂" для позначення будь-якої підмножини, і символ "⊊" для позначення точної підмножини. Нова система використовує "⊆" для позначення будь-якої підмножини, і "⊂" для позначення точної підмножини.

Власна підмножина

Із означення прямо слідує, що порожня множина мусить бути підмножиною будь-якої множини. Також, очевидно, будь-яка множина є своєю підмножиною:

Якщо , і , то називається власною або нетривіа́льною підмножиною.

Приклади

• Множина {1, 2} є точною підмножиною {1, 2, 3}.
• Множина натуральних чисел є точною підмножиною множини раціональних чисел.
• Будь-яка множина є своєю підмножиною, але не точною.
• Порожня множина ∅ є також точною підмножиною будь-якої множини.

Властивості

ТВЕРДЖЕННЯ 1: Порожня множина є підмножиною всякої множини.

Доведення: Для довільної множини A потрібно довести, що ∅ є підмножиною A. Це рівнозначно тому, щоби показати, що всі елементиТ ∅ є також елементами A. Але в ∅ не існує жодного елемента.

Пояснимо: завдяки тому, що в ∅ немає елементів, "вони" не можуть бути нічиїми елементами. Тому для доведення зворотного, що ∅ не є підмножиною A, нам потрібно було б знайти такий елемент ∅, який не є одночасно елементом A. Таких елементів не існує (їх не існує взагалі), тому твердження 1 справедливе.

ТВЕРДЖЕННЯ 2: Якщо A, B та C є множини, тоді справедливі такі властивості відношення включення:

Це твердження говорить про те, що множина X є алгебраїчною структурою, або решіткою, і якщо вона дистрибутивна (що показано в твердженні 1) та для кожного елементу існує його доповнення, то така структура має назву булевої алгебри.

ТВЕРДЖЕННЯ 3: Якщо A, B та C - підмножини S, то виконується наступне:

ТВЕРДЖЕННЯ 4: Для будь-яких множин A та B, такі твердження еквівалентні:

Посилання

• Thomas Jech (2002). Set Theory. Springer-Verlag. ISBN 3-540-44085-2.