www.wikidata.uk-ua.nina.az

Дія групи Ді я групи G displaystyle G на множині X displaystyle X це відображення G X X g x g x displaystyle G times X t

Дія групи

Ді́я групи на множині — це відображення

що має властивості:

для всіх де — це нейтральний елемент

З аксіом групи випливає, що для кожного відображення множини до себе за формулою є бієкцією або автоморфізмом

Типи дій Редагувати

  • Вільна, якщо для будь-яких не рівних між собою і довільного виконується .
  • Транзитивна якщо для будь-яких існує такий, що , тобто якщо для довільного .
  • Ефективна, якщо для довільних існує такий, що .

Орбіти елементів Редагувати

Підмножина

називається орбітою елемента .

Дія групи на множині визначає на ній відношення еквівалентності

Стабілізатор Редагувати

Підмножина

є підгрупою групи і називається стабілізатором елемента .

Стабілізатори елементів однієї орбіт спряжені, тобто якщо , то існує такий елемент , що

Кількість елементів в орбіті Редагувати

Загальна кількість елементів в орбіті елемента визначається за формулою:

Справді нехай елемент n належить до орбіти елемента m, припустимо n = gm для деякого Визначимо тепер відображення f(n)=nH, де H=Gm  - стабілізатор елемента m. Дане означення відображеняя з множини елементів орбіти m на множину лівих класів суміжності по H ' є несуперечливим, адже якщо y=g1x=g2x то і як наслідок g1H=g2H. Зважаючи на довільність вибору g, одержуємо, що відображення є сюр'єктивним. З іншого боку якщо g1H=g2H тоді і згідно з означенням стабілізатора звідки випливає g1x=g2x. Тобто відображення є ін'єктивним і значить бієктивним. Тобто потужність орбіти рівна потужності лівих класів суміжності по H, тобто за означенням рівна індексу підгрупи H, що доводить твердження

Якщо , то

Звідси випливають наступні тотожності:

  3. Лема Бернсайда

Варіації та узагальнення Редагувати

Див. також Редагувати

Джерела Редагувати

  • Джозеф Ротман[en]. An Introduction to the Theory of Groups. — 4th. — Springer (Graduate Texts in Mathematics), 1994. — 532 с. — ISBN 978-0387942858.(англ.)


Це незавершена стаття з математики.
Ви можете допомогти проєкту, виправивши або дописавши її.
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри
Дата публікації:
Di ya grupi G displaystyle G na mnozhini X displaystyle X ce vidobrazhennya G X X g x g x displaystyle G times X to X quad g x mapsto gx sho maye vlastivosti g h x g h x displaystyle g hx gh x e x x displaystyle ex x dlya vsih g h G x X displaystyle g h in G x in X de e displaystyle e ce nejtralnij element G displaystyle G Z aksiom grupi viplivaye sho dlya kozhnogo g G displaystyle g in G vidobrazhennya mnozhini X displaystyle X do sebe za formuloyu x g x displaystyle x mapsto gx ye biyekciyeyu abo avtomorfizmom X displaystyle X Zmist 1 Tipi dij 2 Orbiti elementiv 2 1 Stabilizator 2 2 Kilkist elementiv v orbiti 3 Variaciyi ta uzagalnennya 4 Div takozh 5 DzherelaTipi dij RedaguvatiVilna yaksho dlya bud yakih g h G displaystyle g h in G nbsp ne rivnih mizh soboyu i dovilnogo m M displaystyle m in M nbsp vikonuyetsya g m h m displaystyle gm neq hm nbsp Tranzitivna yaksho dlya bud yakih m n M displaystyle m n in M nbsp isnuye g G displaystyle g in G nbsp takij sho g m n displaystyle gm n nbsp tobto yaksho G m M displaystyle Gm M nbsp dlya dovilnogo m M displaystyle m in M nbsp Efektivna yaksho dlya dovilnih g h G displaystyle g h in G nbsp isnuye m M displaystyle m in M nbsp takij sho g m h m displaystyle gm neq hm nbsp Orbiti elementiv RedaguvatiPidmnozhina G m g m g G M displaystyle Gm gm mid g in G subset M nbsp nazivayetsya orbitoyu elementa m M displaystyle m in M nbsp Diya grupi G displaystyle G nbsp na mnozhini M displaystyle M nbsp viznachaye na nij vidnoshennya ekvivalentnosti n m M n G m g G g n m G n G m displaystyle forall n m in M n sim G m Longleftrightarrow exists g in G gn m Longleftrightarrow Gn Gm nbsp Stabilizator Redaguvati Pidmnozhina G m g G g m m G displaystyle G m g in G mid gm m subset G nbsp ye pidgrupoyu grupi G displaystyle G nbsp i nazivayetsya stabilizatorom elementa m M displaystyle m in M nbsp Stabilizatori elementiv odniyeyi orbit spryazheni tobto yaksho n G m displaystyle n sim G m nbsp to isnuye takij element g G displaystyle g in G nbsp sho G m g G n g 1 displaystyle G m gG n g 1 nbsp Kilkist elementiv v orbiti Redaguvati Zagalna kilkist elementiv v orbiti elementa m M displaystyle m in M nbsp viznachayetsya za formuloyu G m G G m displaystyle Gm G G m nbsp de G m displaystyle G m nbsp stabilizator elementa m displaystyle m nbsp i G G m displaystyle G G m nbsp indeks pidgrupi G m G displaystyle G m subset G nbsp sho dlya skinchennih grup rivnij G G m displaystyle frac G G m nbsp Spravdi nehaj element n nalezhit do orbiti elementa m pripustimo n gm dlya deyakogo g G displaystyle g in G nbsp Viznachimo teper vidobrazhennya f n nH de H Gm stabilizator elementa m Dane oznachennya vidobrazhenyaya z mnozhini elementiv orbiti m na mnozhinu livih klasiv sumizhnosti po H ye nesuperechlivim adzhe yaksho y g1x g2x to g 1 2 g 1 H displaystyle g 1 2 g 1 in H nbsp i yak naslidok g1H g2H Zvazhayuchi na dovilnist viboru g oderzhuyemo sho vidobrazhennya ye syur yektivnim Z inshogo boku yaksho g1H g2H todi g 1 2 g 1 H displaystyle g 1 2 g 1 in H nbsp i zgidno z oznachennyam stabilizatora g 1 2 g 1 x x displaystyle g 1 2 g 1 x x nbsp zvidki viplivaye g1x g2x Tobto vidobrazhennya ye in yektivnim i znachit biyektivnim Tobto potuzhnist orbiti rivna potuzhnosti livih klasiv sumizhnosti po H tobto za oznachennyam rivna indeksu pidgrupi H sho dovodit tverdzhennyaYaksho M G m 1 G m 2 G m k displaystyle M Gm 1 sqcup Gm 2 sqcup ldots sqcup Gm k nbsp to M t 1 k G G m t displaystyle M sum t 1 k G G m t nbsp formula rozbittya na orbiti Zvidsi viplivayut nastupni totozhnosti m M n G m G n G displaystyle forall m in M sum n in Gm G n G nbsp m M G m k G displaystyle sum m in M G m k G nbsp Lema BernsajdaVariaciyi ta uzagalnennya RedaguvatiPsevdogrupa peretvorenDiv takozh RedaguvatiPredstavlennya grupiDzherela RedaguvatiKurosh A G Teoriya grupp 3 e izd Moskva Nauka 1967 648 s ISBN 5 8114 0616 9 ros Leng S Algebra Moskva Mir 1968 564 s ISBN 5458320840 ros Vinberg E B Kurs algebri 4 e izd Moskva MCNMO 2011 592 s ISBN 978 5 94057 685 3 ros Dzhozef Rotman en An Introduction to the Theory of Groups 4th Springer Graduate Texts in Mathematics 1994 532 s ISBN 978 0387942858 angl nbsp Ce nezavershena stattya z matematiki Vi mozhete dopomogti proyektu vipravivshi abo dopisavshi yiyi Otrimano z https uk wikipedia org w index php title Diya grupi amp oldid 36918167