www.wikidata.uk-ua.nina.az

Автоморфізм моделі ізоморфізм який відображає модель на саму себе Всі автоморфізми даної моделі відносно операції композ

Автоморфізм

Автоморфізм моделі — ізоморфізм, який відображає модель на саму себе.

Всі автоморфізми даної моделі відносно операції композиції із тотожним відображенням як нейтральним елементом утворює групу.

Група автоморфізмів моделі позначається .

Автоморфізм називається внутрішнім, якщо існує такий елемент , що , а в іншому випадку він називається зовнішнім.

Множина всіх внутрішніх автоморфізмів групи G є підгрупою групи автоморфізмів, причому .

Множина автоморфізмів групи Лі також утворює групу Лі.

Визначення Редагувати

Алгебраїчні структури Редагувати

є алгебраїчною структурою разом з кінцевим числом потоків . Можуть бути алгебраїчні структури, такі як векторний простір , група або кільце . Тоді під алгеброю розуміється автоморфізм взаємно однозначне відображення множини на себе, яка є лінійною, це означає що: для всіх . Зворотна функція в цих умовах є автоматично лінійною.

Теорія категорій Редагувати

Нехай об'єкт. Морфізм є автоморфізмом, якщо він є двосторонньо оберненим . Тобто, відповідне відображення існує, так що виконуються: і .

Автоморфізм груп Редагувати

  • Група автоморфізмів групи позначається .
  • Відображення — автоморфізм групи, такі автоморфізми групи називаються внутрішніми.

Множина внутрішніх автоморфізмів позначається . Оскільки та , то - нормальна підгрупа в .

  • Фактор-група називається групою зовнішніх автоморфізмів групи, а її елементи - зовнішніми автоморфізмами. Відображення визначає гомоморфізм , ядро якого є центр групи , так що . *
  • Всі нормальні підгрупи інваріантні під дією внутрішніх автоморфізмів. Підгрупи, інваріантні під дією всіх автоморфізмів групи, називаються характеристичними.
  • Всяка група, що збігається зі своєю групою автоморфізмів, називається досконалою. Досконалими є всі симетричні групи при .
  • Розширення групи, за допомогою групи автоморфізмів, називається голоморфом.

Приклади Редагувати

  • , *
  • - поле характеристики більшої за 2.

Автоморфізми графів Редагувати

Найменше асиметричне дерево
Найменший асиметричний граф

Автоморфізм графу є відображення безлічі вершин графу на себе, що зберігає суміжність. Множина таких автоморфізмів утворює вершинну групу графу або просто групу графу. Група підстановок на множині ребер називається реберною групою графу, яка тісно пов'язана з вершинною:

Реберна і вершинна групи графу ізоморфні тоді і тільки тоді, коли є не більше однієїізольованої вершини і немає компонент зв'язності, які складаються з єдиного ребра.

Граф, для якого єдиний можливий автоморфізм це тотожне відображення, називається асиметричним. Найменше асиметричне дерево має сім вершин, а найменший асиметричний граф шість вершин і стільки ж ребер.

Для будь-якої кінцевої групи знайдеться такий кінцевий неорієнтований граф, що його група автоморфізмів ізоморфна даній. Результат отриманий Р. Фрухтом, в основі докази - перетворення кольорового графу групи, узагальнення графу Келі.

Примітки Редагувати

  1. Л. С. Понтрягін Неперервні групи стр. 21
  2. Л. С. Понтрягін Неперервні групи стр. 121
  3. Ф. Харарі Теорія графів стр. 190
  4. Ф. Харарі Теорія графів стр. 192
  5. А. І. Белоусов. Дискретна математика. — 4-е вид. — МГТУ імені Н. Э. Баумана. — С. 349.
  6. Ф. Харарі Теорія графів стр. 198—201
  7. О. Оре Теорія графів стр. 317

Див. також Редагувати

Література Редагувати

Посилання Редагувати

Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри
Дата публікації:
Avtomorfizm modeli izomorfizm yakij vidobrazhaye model na samu sebe Vsi avtomorfizmi danoyi modeli vidnosno operaciyi kompoziciyi iz totozhnim vidobrazhennyam yak nejtralnim elementom utvoryuye grupu Grupa avtomorfizmiv modeli K displaystyle K poznachayetsya Aut K displaystyle operatorname Aut K Avtomorfizm mnozhini perestanovka elementiv ciyeyi mnozhini simetrichna grupa Avtomorfizm grupi izomorfizm grupi na sebe Avtomorfizm nazivayetsya vnutrishnim yaksho isnuye takij element a displaystyle a sho A u t h G a x a x a 1 displaystyle Auth G a x axa 1 a v inshomu vipadku vin nazivayetsya zovnishnim Mnozhina vsih vnutrishnih avtomorfizmiv grupi G ye pidgrupoyu grupi avtomorfizmiv prichomu A u t h G a A u t h G b A u t h G a b displaystyle Auth G a Auth G b Auth G ab 1 Mnozhina avtomorfizmiv grupi Li takozh utvoryuye grupu Li 2 Zmist 1 Viznachennya 1 1 Algebrayichni strukturi 1 2 Teoriya kategorij 2 Avtomorfizm grup 2 1 Prikladi 3 Avtomorfizmi grafiv 4 Primitki 5 Div takozh 6 Literatura 7 PosilannyaViznachennya RedaguvatiAlgebrayichni strukturi Redaguvati A f i displaystyle A f i nbsp ye algebrayichnoyu strukturoyu A displaystyle A nbsp razom z kincevim chislom potokiv f i displaystyle f i nbsp Mozhut buti algebrayichni strukturi taki yak vektornij prostir A displaystyle A cdot nbsp grupa A displaystyle A nbsp abo kilce A displaystyle A nbsp Todi pid algebroyu rozumiyetsya avtomorfizm ϕ A A displaystyle phi colon A to A nbsp vzayemno odnoznachne vidobrazhennya mnozhini A displaystyle A nbsp na sebe yaka ye linijnoyu ce oznachaye sho ϕ f i a 1 a s i f i ϕ a 1 ϕ a s i displaystyle phi left f i a 1 ldots a sigma i right f i phi a 1 ldots phi a sigma i nbsp dlya vsih a 1 a s i A displaystyle a 1 ldots a sigma i in A nbsp Zvorotna funkciya ϕ 1 A A displaystyle phi 1 A to A nbsp v cih umovah ye avtomatichno linijnoyu Teoriya kategorij Redaguvati Nehaj X displaystyle X nbsp ob yekt Morfizm f X X displaystyle f colon X to X nbsp ye avtomorfizmom yaksho vin ye dvostoronno obernenim g X X displaystyle g colon X to X nbsp Tobto vidpovidne vidobrazhennya g X X displaystyle g colon X to X nbsp isnuye tak sho vikonuyutsya f g id X displaystyle f circ g operatorname id X nbsp i g f id X displaystyle g circ f operatorname id X nbsp Avtomorfizm grup RedaguvatiGrupa avtomorfizmiv grupi G displaystyle G nbsp poznachayetsya Aut G displaystyle operatorname Aut G nbsp Vidobrazhennya a g x g x g 1 displaystyle alpha g x gxg 1 nbsp avtomorfizm grupi taki avtomorfizmi grupi nazivayutsya vnutrishnimi Mnozhina vnutrishnih avtomorfizmiv poznachayetsya Int G displaystyle operatorname Int G nbsp Oskilki a g a h a h g displaystyle alpha g alpha h alpha hg nbsp ta a g a h a g 1 a g 1 h g Int G displaystyle alpha g alpha h alpha g 1 alpha g 1 hg in operatorname Int G nbsp to Int G displaystyle operatorname Int G nbsp normalna pidgrupa v Aut G displaystyle operatorname Aut G nbsp Faktor grupa Out G Aut G Int G displaystyle operatorname Out G operatorname Aut G operatorname Int G nbsp nazivayetsya grupoyu zovnishnih avtomorfizmiv grupi a yiyi elementi zovnishnimi avtomorfizmami Vidobrazhennya g a h displaystyle g to alpha h nbsp viznachaye gomomorfizm G Int G displaystyle G to operatorname Int G nbsp yadro yakogo ye centr grupi Z G displaystyle Z G nbsp tak sho Int G G Z G displaystyle operatorname Int G cong G Z G nbsp Vsi normalni pidgrupi invariantni pid diyeyu vnutrishnih avtomorfizmiv Pidgrupi invariantni pid diyeyu vsih avtomorfizmiv grupi nazivayutsya harakteristichnimi Vsyaka grupa sho zbigayetsya zi svoyeyu grupoyu avtomorfizmiv nazivayetsya doskonaloyu Doskonalimi ye vsi simetrichni grupi S n displaystyle S n nbsp pri n 2 6 displaystyle n neq 2 6 nbsp Rozshirennya grupi za dopomogoyu grupi avtomorfizmiv nazivayetsya golomorfom Prikladi Redaguvati Aut Z Z 2 displaystyle operatorname Aut mathbb Z mathbb Z 2 nbsp Aut Q Q displaystyle operatorname Aut mathbb Q mathbb Q times nbsp Aut Z n Z f n displaystyle operatorname Aut mathbb Z n mathbb Z varphi n nbsp Aut Z p Z f p 1 displaystyle operatorname Aut mathbb Z p times mathbb Z varphi p 1 nbsp Aut S n S n n 2 6 displaystyle operatorname Aut S n S n n neq 2 6 nbsp Out S 6 Z 2 displaystyle operatorname Out S 6 mathbb Z 2 nbsp char K gt 2 Aut GL n K SL n K K displaystyle operatorname char K gt 2 Rightarrow operatorname Aut operatorname GL n K operatorname SL n K K nbsp pole harakteristiki bilshoyi za 2 Avtomorfizmi grafiv Redaguvati nbsp Najmenshe asimetrichne derevo nbsp Najmenshij asimetrichnij grafAvtomorfizm grafu ye vidobrazhennya bezlichi vershin grafu na sebe sho zberigaye sumizhnist 3 Mnozhina takih avtomorfizmiv utvoryuye vershinnu grupu grafu abo prosto grupu grafu Grupa pidstanovok na mnozhini reber nazivayetsya rebernoyu grupoyu grafu yaka tisno pov yazana z vershinnoyu Reberna i vershinna grupi grafu izomorfni todi i tilki todi koli ye ne bilshe odniyeyiizolovanoyi vershini i nemaye komponent zv yaznosti yaki skladayutsya z yedinogo rebra 4 Graf dlya yakogo yedinij mozhlivij avtomorfizm ce totozhne vidobrazhennya nazivayetsya asimetrichnim Najmenshe asimetrichne derevo maye sim vershin a najmenshij asimetrichnij graf shist vershin i stilki zh reber Dlya bud yakoyi kincevoyi grupi znajdetsya takij kincevij neoriyentovanij graf sho jogo grupa avtomorfizmiv izomorfna danij 5 Rezultat otrimanij R Fruhtom v osnovi dokazi peretvorennya kolorovogo grafu grupi uzagalnennya grafu Keli 6 7 Primitki Redaguvati L S Pontryagin Neperervni grupi str 21 L S Pontryagin Neperervni grupi str 121 F Harari Teoriya grafiv str 190 F Harari Teoriya grafiv str 192 A I Belousov Diskretna matematika 4 e vid MGTU imeni N E Baumana S 349 F Harari Teoriya grafiv str 198 201 O Ore Teoriya grafiv str 317Div takozh RedaguvatiIzomorfizm grup Izomorfizm Gomomorfizm grup Teoremi pro izomorfizmiLiteratura RedaguvatiKurosh A G Teoriya grupp 3 e izd Moskva Nauka 1967 648 s ISBN 5 8114 0616 9 ros Kon P Universalnaya algebra Moskva Mir 1968 351 s ros Posilannya RedaguvatiAvtomorfizm Arhivovano 20 veresnya 2020 u Wayback Machine VUE Otrimano z https uk wikipedia org w index php title Avtomorfizm amp oldid 35913684