V abstraktnij algebri centrom grupi G poznachayetsya Z G nazivayut mnozhinu elementiv sho komutuyut z usima elementami grupi G tobto Z G z G z g g z g G displaystyle Z G z in G mid zg gz forall g in G Ochevidno sho grupa bude abelevoyu komutativnoyu todi i tilki todi koli Z G G Z inshoyi storoni yaksho centr grupi mistit lishen nejtralnij element to grupa nazivayetsya grupoyu bez centru Zmist 1 Vlastivosti 2 Prikladi 3 Centri vishih poryadkiv 4 Div takozh 5 LiteraturaVlastivosti RedaguvatiZ G ye pidgrupoyu grupi G Nejtralnij element nalezhit centru e Z G displaystyle e in Z G nbsp oskilki e g g g e g G displaystyle eg g ge quad forall g in G nbsp Dobutok dvoh elementiv z centra nalezhit centru Yaksho x y Z G displaystyle x y in Z G nbsp todi x y g x y g x g y x g y g x y g x y g G displaystyle xy g x yg x gy xg y gx y g xy forall g in G nbsp otzhe x y Z G displaystyle xy in Z G nbsp Obernenij do elementa centra nalezhit centru Yaksho e Z G displaystyle e in Z G nbsp to gx xg Domnozhivshi obidvi storoni rivnosti zliva i sprava na x 1 oderzhimo x 1g gx 1 zvidki x 1 Z G displaystyle x 1 in Z G nbsp Pidgrupa Z G displaystyle Z G nbsp ye abelevoyu i normalnoyu Faktorgrupa G Z G displaystyle G Z G nbsp izomorfna grupi vnutrishnih avtomorfizmiv grupi G tobto grupi vidobrazhen ϕ g h g h g 1 displaystyle phi g h ghg 1 nbsp Dijsno funkciyu f G Aut G mozhna zadati nastupnim chinom f g fg Ochevidno sho dane vidobrazhennya ye gomomorfizmom grup Yaksho g Z G displaystyle g in Z G nbsp to ϕ g h g h g 1 h g g 1 h h G displaystyle phi g h ghg 1 hgg 1 h forall h in G nbsp tobto centr grupi ye pidmnozhinoyu yadra gomomorfizmu Z inshogo boku elementi grupi sho ne nalezhat centru ne ye yadrom oskilki todi h G displaystyle exists h in G nbsp sho ϕ g h g h g 1 h g g 1 h displaystyle phi g h ghg 1 neq hgg 1 h nbsp tobto obrazom vidobrazhennya ne ye odinichnij avtomorfizm Ostatochno z teoremi pro izomorfizm grup mayemo G Z G I n n G displaystyle G Z G cong rm Inn G nbsp dd Yaksho faktorgrupa G Z G displaystyle G Z G nbsp ciklichna to G abeleva Dijsno zgidno z oznachennyam ciklichnoyi grupi mayemo sho dlya deyakogo g Z G displaystyle g in Z G nbsp vikonuyetsya rivnist G Z G g Z G displaystyle G Z G langle gZ G rangle nbsp tomu G Z G g displaystyle G Z G langle g rangle nbsp Zvazhayuchi sho grupa g displaystyle langle g rangle nbsp ye abeleva mayemo sho bud yaki elementi grupi G komutuyut Prikladi RedaguvatiCentrom grupi kvadratnih matric rozmiru n nad polem F z nenulovim viznachnikom ye mnozhina skalyarnih matric s I n s F 0 displaystyle sI n s in F setminus 0 nbsp Grupi perestanovok simetrichni grupi Sn dlya n 3 ye grupami bez centru Grupi parnih perestanovok znakozminni grupi An dlya n 4 ye grupami bez centru Prosti neabelevi grupi ye grupami bez centru Dijsno za oznachennyam yedinimi normalnimi pidgrupami danih grup ye trivialni grupi i sami ci grupi Zvazhayuchi sho centr ye normalnoyu pidgrupoyu i grupa nekomutativna mayemo sho centr rivnij trivialnij grupi Centri vishih poryadkiv RedaguvatiViznachimo poslidovnist pidgrup G 0 G G 1 G 0 Z G 0 G 2 G 1 Z G 1 displaystyle G 0 G G 1 G 0 Z G 0 G 2 G 1 Z G 1 cdots nbsp Yadro vidobrazhennya G G i displaystyle G to G i nbsp nazivayetsya i tim centrom grupi G i poznachayetsya Z i G displaystyle Z i G nbsp Poslidovnist 1 Z G Z 2 G displaystyle 1 leq Z G leq Z 2 G leq cdots nbsp stabilizuyetsya Z i G Z i 1 G displaystyle Z i G Z i 1 G nbsp todi j lishe todi koli G i displaystyle G i nbsp ye grupoyu bez centru Div takozh RedaguvatiNorma teoriya grup Literatura RedaguvatiKurosh A G Teoriya grupp 3 e izd Moskva Nauka 1967 648 s ISBN 5 8114 0616 9 ros Vinberg E B Kurs algebri 4 e izd Moskva MCNMO 2011 592 s ISBN 978 5 94057 685 3 ros Otrimano z https uk wikipedia org w index php title Centr grupi amp oldid 36995859
