www.wikidata.uk-ua.nina.az

Визначник Визна чник або детерміна нт це функція від квадратної матриці яка набуває скалярних значень Він характеризує б

Визначник

Визна́чник або детерміна́нт — це функція від квадратної матриці, яка набуває скалярних значень. Він характеризує багато властивостей матриці та лінійного відображення, визначеного цією матрицею.

Якщо елементами матриці є числа, то її визна́чник — також число. Зокрема, визна́чник може бути функціональним або, взагалі, належати якомусь комутативному кільцю, якщо матриця складається з елементів цього кільця.

Визна́чник квадратної матриці розміру можна визначити декількома еквівалентними способами: через формулу Лейбніца, як суму добутків елементів матриці так, що в кожному із добутків є рівно по одному елементу з кожного рядка і кожного стовпця, та кожному добутку приписується знак плюс чи мінус, в залежності від парності перестановки номерів; через розклад Лапласа, як лінійну комбінацію мінорів -го порядку; як добуток всіх власних чисел матриці; як нормовану знакозмінну полілінійну функцію від векторiв-стовпців матрицi.

Визначники зустрічаються у багатьох розділах математики. Матриці часто використовуються для представлення коефіцієнтів систем лінійних рівнянь, і за допомогою методу Крамера визначники цих матриць можуть бути використані для знаходження розв'язків цих систем. Також визначники використовуються для знаходження характеристичного полінома матриці, коренями якого є власні числа цієї матриці. У геометрії визначник матриці характеризує орієнтоване «розтягнення» або «стиснення» багатовимірного евклідового простору після перетворення лінійного відображення, визначеного цією матрицею. У математичному аналізі використовується при заміні змінних для обчислення кратного інтегралу.

Історія

Історично визначники використовувалися до введення матриць — спочатку визначник визначався як властивість системи лінійних рівнянь. Визначник «визначає», чи має система єдиний розв’язок (що відбувається коли визначник відмінний від нуля). У цьому сенсі визначники вперше були використані в давньокитайському підручнику з математики «Математика в дев'яти книгах». У Європі Джироламо Кардано у своїй роботі 1545 року виводить розв'язок системи двох лінійних рівнянь, який має вирази, схожі на визначники.

Власне поняття визначника походить з робіт Секі Такакадзу (1683 р.) та Лейбніца (1693 р.). У 1750 році Габрієль Крамер сформулював своє правило без доведення. Крамера і, також, Безу (1779 р.) до визначників привели питання про плоскі криві, що проходять через заданий набір точок.

У 1772 році Лаплас довів теорему про розклад визначника у суму добутків мінорів.

Слово «детермінант» ввів Гаусс (1801 р.) (Лаплас використовував слово «результант»), хоча він їм називав дискримінант алгебраїчної форми. У нинішньому значенні його використав Оґюстен-Луї Коші, також він узагальнив і спростив те, що тоді було відомо про визначники, ввів нові позначення та представив свої напрацювання в Інституті Франції 30 листопада 1812 року. У 1841 році Артур Кейлі ввів сучасне позначення визначника через вертикальні риски.

Означення

Існує кілька рівносильних визначень визначника квадратної матриці.

Нехай A — квадратна матриця розміру . Запишемо її наступним чином:

Елементи цієї матриці можуть бути дійсними чи комплексними числами або, взагалі, з довільного комутативного кільця.

Означення через перестановки

Визначником матриці A називається

Тут  — симетрична група на множині , і, відповідно, сума береться по всім перестановкам з цієї групи, через позначено знак (або парність) перестановки, який дорівнює 1 чи −1 залежно від парності числа інверсій в ній.

Позначення: , , , також його можна позначити подібно до матриці, записавши вертикальні риски замість дужок:

Кількість доданків у сумі дорівнює і номери рядка та стовпця елементів матриці, що входять в один добуток, не повторюються.

Рекурентне означення

  1. Якщо , тобто , то визначником матриці A називається .
  2. Якщо , то визначником матриці A називається , де через позначено квадратну матрицю -го порядку, отриману з матриці видаленням першого рядка та k-го стовпця.

Якщо використовується інше означення, то вказане вище є теоремою, яка називається розкладом Лапласа. Дане визначення базується на розкладі вздовж першого рядка, також, еквівалентно визначник можна визначити на основі розкладання вздовж довільного рядка або стовпця.

Аксіоматичне означення

Визначником порядку n над комутативним кільцем R називається функція , яка визначена на множинi усіх квадратних матриць порядку n iз коефіцієнтами з R, набуває значень у R i задовольняє такi умови:

  1. функція є полілінійною функцією від набору векторiв-стовпців матрицi;
  2. функція є знакозмінною, тобто значення змінює свій знак на протилежний, якщо два різні стовпці матрицi поміняти місцями;
  3. функція є нормованою, тобто значення від одиничної матриці дорівнює 1.

Властивості

  1. Якщо помножити якийсь рядок (стовпець) на константу a, то визначник також помножиться на a.
  2. Якщо у матриці поміняти місцями будь-які два рядки (стовпці), то знак визначника зміниться на протилежний.
  3. При додаванні до будь-якого рядка (стовпця) лінійної комбінації кількох інших рядків (стовпців) визначник не зміниться.
  4. У матриці з двома однаковими/пропорційними рядками (стовпцями) або з нульовим рядком, визначник дорівнює нулю.
  5. Всі властивості визначників, що стосуються рядків, так само справедливі і для стовпців.
  6. Визначник трикутної матриці дорівнює добутку елементів на діагоналі.
  7. Визначник квадратної матриці дорівнює добутку всіх її власних чисел.
  8. Теорема Лапласа: визначник квадратної матриці дорівнює сумі добутків елементів деякого рядка на відповідні їм алгебраїчні доповнення.
  9. Теорема про фальшивий розклад: сума добутків елементів деякого рядка на алгебраїчні доповнення відповідних елементів паралельного рядка дорівнює нулю.
  10. Визначник оберненої матриці дорівнює величині, оберненій визначнику початкової матриці:
  11. Транспонування матриці не змінює значення її визначника:
  12. Визначник є однорідною функцією, тобто для квадратної матриці A порядку n і довільної константи c виконується:
  13. Визначник добутку матриць дорівнює добутку визначників цих матриць:

Визначникова тотожність Сильвестра

Визначникова тотожність Сильвестра стверджує, що для матриці A розміру m × n і матриці B розміру n × m (так що A і B мають розмірності, що дозволяють їм бути помноженими в будь-якому порядку) справедлива наступна рівність:

де Im і In це m × m і n × n одиничні матриці, відповідно.

З цієї тотожності випливають наступні наслідки:

  1. Для вектор-стовпця c і вектор-рядка r, які складаються з m компонент буде:
  2. Більш загально, для кожної оборотної матриці X порядку m буде:
  3. Для вектор-стовпця і вектор-рядка, зазначених вище, також буде:
    де  — союзна матриця до X.

Обчислення

Схема обчислення визначника матриці 2×2.

Визначник 2×2 матриці

Визначник квадратної матриці другого порядку обчислюється за формулою, яка безпосередньо випливає з означення через перестановки:

Правило Саррюса схематично.

Визначник 3×3 матриці

Визначник квадратної матриці третього порядку обчислюється за правилом Саррюса:

Правило Саррюса — це мнемоніка, при якій запис визначника розширюється дописуванням з правої сторони перших двох його стовпців і, як показано на ілюстрації, добутки елементів вздовж "червоних стрілок" додаються після чого віднімаються добутки елементів вздовж "синіх стрілок". Ця схема не переноситься квадратні матриці вищих порядків.

Для знаходження визначників високого порядку застосовуються принципово інші методи (насамперед, метод Гауса), що вимагають значно меншої кількості арифметичних операцій ( замість ).

Визначник n×n матриці

У випадку матриць вищого порядку для обчислення їх визначників можна використовувати розклад Лапласа.

Також визначник матриці можна обчислити за допомогою методу Гауса, який ґрунтується на тому, що визначник трикутної матриці дорівнює добутку всіх її діагональних елементів і будь-яку матрицю можна звести до трикутної матриці елементарними перетвореннями, пам’ятаючи, що ці перетворення мають наступний вплив на визначник:

  1. Додавання рядка (стовпця), помноженого на константу, до іншого рядка (стовпця) не змінює значення визначника.
  2. Множення рядка (стовпця) на константу множить значення визначника на цю константу.
  3. При мінянні місцями двох рядків (стовпців) змінюється знак визначника на протилежний.

Обчислення через методи розкладу

Деякі методи обчислюють визначник, записуючи матрицю як добуток матриць, визначники яких можна легше обчислити. Такі методи називають методами розкладу. До таких методів відносяться LU-розклад, QR-розклад або розклад Холецького для додатно визначених матриць.

Наприклад, LU-розклад виражає квадратну матрицю A як добуток , де P — матриця перестановки, яка має по одній одиниці у кожному стовпці, а в інші елементи — нулі, L — нижньотрикутна матриця і U — верхньотрикутна матриця. Визначники двох трикутних матриць L і U дорівнюють відповідним добуткам їх діагональних елементів. Визначник P — це знак відповідної перестановки π. Звідси

Конденсація Доджосона

Конденсація Доджосона — це метод, суть якого полягає у зменшення матриці спеціальним чином до матриці порядку 1, єдиний елементом якої є шуканий визначник.

Геометричне значення

Площа паралелограма є модулем визначника матриці 2×2 із векторів його сторін.

Якщо елементи квадратної матриці A другого порядку є дійсними числами, то її можна використати для представлення двох лінійних відображень: перше відображає вектори стандартного базису у стовпці A, а друге відображає їх у рядки цієї матриці. У будь-якому випадку образи базисних векторів утворюють паралелограм, який являється для відображення образом одиничного квадрата. Паралелограм, визначений стовпцями наведеної вище матриці, має вершини з координатами (0, 0), (a, b), (a + c, b + d) і (c, d), як показано на супровідній ілюстрації.

Абсолютне значення ad − bc є площею паралелограма, і, таким чином, представляє коефіцієнт, на який множаться площі при перетворені відображенням, визначеним матрицею A. Паралелограм, утворений рядками A, загалом є іншим паралелограмом, але оскільки визначник не змінюється при транспонуванні матриці, то площа буде однаковою.

Абсолютне значення визначника разом зі знаком є орієнтованою площею паралелограма. Орієнтована площа така ж, як і звичайна площа, за винятком того, що вона є від’ємною, коли кут від першого до другого вектора, що визначає паралелограм, повертається за годинниковою стрілкою, що протилежно напрямку, який отримується при одиничній матриці.

Щоб показати, що ad − bc є орієнтованою площею, можна розглянути матрицю, яка складається з двох векторів-стовпців u = (a, b)T і v = (c, d)T, що представляють сторони паралелограма. Орієнтована площа цього паралелограма може бути виражена як |u| |v| sin θ, де θ — кут між векторами u і v, утворений обертанням проти годинникової стрілки. Завдяки синусу це вже орієнтована площа, з іншого боку її можна виразити через косинус кута θ′ між u⊥ = (−b, a)T і v як |u⊥| |v| cos θ′. Отриманий вираз є скалярним добутком векторів u⊥ і v, який дорівнює ad − bc.

Об’єм цього паралелепіпеда є модулем визначника матриці 3×3 із векторів його сторін r1, r2 і r3.

Якщо дійсну матрицю A розміру n × n записати у вигляді векторів-стовпців, тобто , то

Це означає, що лінійна функція, визначена матрицею A, відображає одиничний n-куб у n-вимірний паралелотоп, побудований на векторах a1, a2, …, an, тобто у множину

Визначник матриці A дає орієнтовний n-вимірний об’єм цього паралелетопа, і, таким чином, описує коефіцієнт, на який множаться n-вимірні об’єми при перетворені відображенням, визначеним матрицею A. (Знак показує, чи перетворення зберігає або змінює орієнтацію.) Зокрема, якщо визначник дорівнює нулю, то цей паралелотоп має нульовий n-вимірний об’єм і не є повністю n-вимірним, що вказує на те, що розмірність образу лінійного відображення, визначеного матрицею A, менша за n. Це означає, що це відображення не є ані сюр'єкцією, ані ін'єкцією.

Спеціальні види визначників

Див. також

Джерела

Примітки

  1. Grattan-Guinness, I., ред. (2003). Companion Encyclopedia of the History and Philosophy of the Mathematical Sciences 1. Johns Hopkins University Press. ISBN 9780801873966. 
  2. Cajori, F. A History of Mathematics p. 80
  3. ↑ Campbell, H: Linear Algebra With Applications, с. 111–112. Appleton Century Crofts, 1971
  4. Eves, Howard (1990). An introduction to the history of mathematics (вид. 6). Saunders College Publishing. ISBN 0-03-029558-0. MR 1104435. 
  5. A Brief History of Linear Algebra and Matrix Theory at: . Архів оригіналу за 10 вересня 2012. Процитовано 24 січня 2012. 
  6. Cramer, Gabriel (1750). Introduction à l'analyse des lignes courbes algébriques. Genève: Frères Cramer & Cl. Philibert. doi:10.3931/e-rara-4048. 
  7. ↑ Kleiner, Israel (2007). У Kleiner, Israel. A history of abstract algebra. Birkhäuser. ISBN 978-0-8176-4684-4. MR 2347309. doi:10.1007/978-0-8176-4685-1. 
  8. Bourbaki, Nicolas (1994). Elements of the history of mathematics. Springer. ISBN 3-540-19376-6. doi:10.1007/978-3-642-61693-8. 
  9. Laplace, Pierre-Simon, de (1772). Recherches sur le calcul intégral et sur le systéme du monde. Histoire de l'Académie Royale des Sciences (Paris) (seconde partie): 267–376. 
  10. Muir, Sir Thomas, The Theory of Determinants in the historical Order of Development [Лондон, Англія: Macmillan and Co., Ltd., 1906]
  11. Походження математичних термінів: http://jeff560.tripod.com/d.html
  12. Історія матриць та визначників: http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/history/HistTopics/Matrices_and_determinants.html
  13. Cayley, Arthur (1841). On a theorem in the geometry of position. Cambridge Mathematical Journal 2: 267–271. 
  14. Cajori, Florian (1993). A history of mathematical notations: Including Vol. I. Notations in elementary mathematics; Vol. II. Notations mainly in higher mathematics, Reprint of the 1928 and 1929 originals. Dover. ISBN 0-486-67766-4. MR 3363427. 
  15. Доведення можна знайти на сторінці http://www.ee.ic.ac.uk/hp/staff/dmb/matrix/proof003.html
  16. C. L. Dodgson. Condensation of Determinants, Being a New and Brief Method for Computing their Arithmetical Values // Proceedings of the Royal Society of London. — 1866-1867. — Т. 15. — С. 150–155.


Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри
Дата публікації:
Vizna chnik abo determina nt ce funkciya vid kvadratnoyi matrici yaka nabuvaye skalyarnih znachen Vin harakterizuye bagato vlastivostej matrici ta linijnogo vidobrazhennya viznachenogo ciyeyu matriceyu Yaksho elementami matrici ye chisla to yiyi vizna chnik takozh chislo Zokrema vizna chnik mozhe buti funkcionalnim abo vzagali nalezhati yakomus komutativnomu kilcyu yaksho matricya skladayetsya z elementiv cogo kilcya Vizna chnik kvadratnoyi matrici rozmiru n n displaystyle n times n mozhna viznachiti dekilkoma ekvivalentnimi sposobami cherez formulu Lejbnica yak sumu dobutkiv elementiv matrici tak sho v kozhnomu iz dobutkiv ye rivno po odnomu elementu z kozhnogo ryadka i kozhnogo stovpcya ta kozhnomu dobutku pripisuyetsya znak plyus chi minus v zalezhnosti vid parnosti perestanovki nomeriv cherez rozklad Laplasa yak linijnu kombinaciyu minoriv n 1 displaystyle n 1 go poryadku yak dobutok vsih vlasnih chisel matrici yak normovanu znakozminnu polilinijnu funkciyu vid vektoriv stovpciv matrici Viznachniki zustrichayutsya u bagatoh rozdilah matematiki Matrici chasto vikoristovuyutsya dlya predstavlennya koeficiyentiv sistem linijnih rivnyan i za dopomogoyu metodu Kramera viznachniki cih matric mozhut buti vikoristani dlya znahodzhennya rozv yazkiv cih sistem Takozh viznachniki vikoristovuyutsya dlya znahodzhennya harakteristichnogo polinoma matrici korenyami yakogo ye vlasni chisla ciyeyi matrici U geometriyi viznachnik matrici harakterizuye oriyentovane roztyagnennya abo stisnennya bagatovimirnogo evklidovogo prostoru pislya peretvorennya linijnogo vidobrazhennya viznachenogo ciyeyu matriceyu U matematichnomu analizi vikoristovuyetsya pri zamini zminnih dlya obchislennya kratnogo integralu Zmist 1 Istoriya 2 Oznachennya 2 1 Oznachennya cherez perestanovki 2 2 Rekurentne oznachennya 2 3 Aksiomatichne oznachennya 3 Vlastivosti 3 1 Viznachnikova totozhnist Silvestra 4 Obchislennya 4 1 Viznachnik 2 2 matrici 4 2 Viznachnik 3 3 matrici 4 3 Viznachnik n n matrici 4 3 1 Obchislennya cherez metodi rozkladu 4 3 2 Kondensaciya Dodzhosona 5 Geometrichne znachennya 6 Specialni vidi viznachnikiv 7 Div takozh 8 Dzherela 9 PrimitkiIstoriya RedaguvatiIstorichno viznachniki vikoristovuvalisya do vvedennya matric spochatku viznachnik viznachavsya yak vlastivist sistemi linijnih rivnyan Viznachnik viznachaye chi maye sistema yedinij rozv yazok sho vidbuvayetsya koli viznachnik vidminnij vid nulya U comu sensi viznachniki vpershe buli vikoristani v davnokitajskomu pidruchniku z matematiki Matematika v dev yati knigah U Yevropi Dzhirolamo Kardano u svoyij roboti 1545 roku vivodit rozv yazok sistemi dvoh linijnih rivnyan yakij maye virazi shozhi na viznachniki 1 Vlasne ponyattya viznachnika pohodit z robit Seki Takakadzu 1683 r ta Lejbnica 1693 r 2 3 4 5 U 1750 roci Gabriyel Kramer sformulyuvav svoye pravilo bez dovedennya 6 7 Kramera i takozh Bezu 1779 r do viznachnikiv priveli pitannya pro ploski krivi sho prohodyat cherez zadanij nabir tochok 8 U 1772 roci Laplas doviv teoremu pro rozklad viznachnika u sumu dobutkiv minoriv 9 10 Slovo determinant vviv Gauss 1801 r Laplas vikoristovuvav slovo rezultant hocha vin yim nazivav diskriminant algebrayichnoyi formi 7 U ninishnomu znachenni jogo vikoristav Ogyusten Luyi Koshi takozh vin uzagalniv i sprostiv te sho todi bulo vidomo pro viznachniki vviv novi poznachennya ta predstaviv svoyi napracyuvannya v Instituti Franciyi 30 listopada 1812 roku 11 12 3 U 1841 roci Artur Kejli vviv suchasne poznachennya viznachnika cherez vertikalni riski 13 14 Oznachennya RedaguvatiIsnuye kilka rivnosilnih viznachen viznachnika kvadratnoyi matrici Nehaj A kvadratna matricya rozmiru n n displaystyle n times n Zapishemo yiyi nastupnim chinom A a 1 1 a 1 2 a 1 n a 2 1 a 2 2 a 2 n a n 1 a n 2 a n n displaystyle A begin pmatrix a 1 1 amp a 1 2 amp cdots amp a 1 n a 2 1 amp a 2 2 amp cdots amp a 2 n vdots amp vdots amp ddots amp vdots a n 1 amp a n 2 amp cdots amp a n n end pmatrix Elementi ciyeyi matrici mozhut buti dijsnimi chi kompleksnimi chislami abo vzagali z dovilnogo komutativnogo kilcya Oznachennya cherez perestanovki Redaguvati Viznachnikom matrici A nazivayetsya s S n sign s a 1 s 1 a 2 s 2 a n s n displaystyle sum sigma in S n operatorname sign sigma a 1 sigma 1 cdot a 2 sigma 2 cdot ldots cdot a n sigma n Tut S n displaystyle S n simetrichna grupa na mnozhini 1 n displaystyle 1 ldots n i vidpovidno suma beretsya po vsim perestanovkam z ciyeyi grupi cherez sign displaystyle operatorname sign poznacheno znak abo parnist perestanovki yakij dorivnyuye 1 chi 1 zalezhno vid parnosti chisla inversij v nij Poznachennya det A displaystyle det A det A displaystyle det A A displaystyle vert A vert takozh jogo mozhna poznachiti podibno do matrici zapisavshi vertikalni riski zamist duzhok a 1 1 a 1 2 a 1 n a 2 1 a 2 2 a 2 n a n 1 a n 2 a n n displaystyle begin vmatrix a 1 1 amp a 1 2 amp cdots amp a 1 n a 2 1 amp a 2 2 amp cdots amp a 2 n vdots amp vdots amp ddots amp vdots a n 1 amp a n 2 amp cdots amp a n n end vmatrix Kilkist dodankiv u sumi dorivnyuye n displaystyle n i nomeri ryadka ta stovpcya elementiv matrici sho vhodyat v odin dobutok ne povtoryuyutsya Rekurentne oznachennya Redaguvati Yaksho n 1 displaystyle n 1 tobto A a 1 1 displaystyle A begin pmatrix a 1 1 end pmatrix to viznachnikom matrici A nazivayetsya det A a 1 1 displaystyle det A a 1 1 Yaksho n gt 1 displaystyle n gt 1 to viznachnikom matrici A nazivayetsya det A k 1 n 1 k 1 a 1 k det A 1 k displaystyle det A sum k 1 n 1 k 1 a 1 k det A 1 k de cherez A 1 k displaystyle A 1 k poznacheno kvadratnu matricyu n 1 displaystyle n 1 go poryadku otrimanu z matrici A displaystyle A vidalennyam pershogo ryadka ta k go stovpcya Yaksho vikoristovuyetsya inshe oznachennya to vkazane vishe ye teoremoyu yaka nazivayetsya rozkladom Laplasa Dane viznachennya bazuyetsya na rozkladi vzdovzh pershogo ryadka takozh ekvivalentno viznachnik mozhna viznachiti na osnovi rozkladannya vzdovzh dovilnogo ryadka abo stovpcya Aksiomatichne oznachennya Redaguvati Viznachnikom poryadku n nad komutativnim kilcem R nazivayetsya funkciya det displaystyle det yaka viznachena na mnozhini M n R displaystyle M n R usih kvadratnih matric poryadku n iz koeficiyentami z R nabuvaye znachen u R i zadovolnyaye taki umovi funkciya det displaystyle det ye polilinijnoyu funkciyeyu vid naboru vektoriv stovpciv matrici funkciya det displaystyle det ye znakozminnoyu tobto znachennya det displaystyle det zminyuye svij znak na protilezhnij yaksho dva rizni stovpci matrici pominyati miscyami funkciya det displaystyle det ye normovanoyu tobto znachennya det displaystyle det vid odinichnoyi matrici I n displaystyle I n dorivnyuye 1 Vlastivosti RedaguvatiYaksho pomnozhiti yakijs ryadok stovpec na konstantu a to viznachnik takozh pomnozhitsya na a Yaksho u matrici pominyati miscyami bud yaki dva ryadki stovpci to znak viznachnika zminitsya na protilezhnij Pri dodavanni do bud yakogo ryadka stovpcya linijnoyi kombinaciyi kilkoh inshih ryadkiv stovpciv viznachnik ne zminitsya U matrici z dvoma odnakovimi proporcijnimi ryadkami stovpcyami abo z nulovim ryadkom viznachnik dorivnyuye nulyu Vsi vlastivosti viznachnikiv sho stosuyutsya ryadkiv tak samo spravedlivi i dlya stovpciv Viznachnik trikutnoyi matrici dorivnyuye dobutku elementiv na diagonali Viznachnik kvadratnoyi matrici dorivnyuye dobutku vsih yiyi vlasnih chisel Teorema Laplasa viznachnik kvadratnoyi matrici dorivnyuye sumi dobutkiv elementiv deyakogo ryadka na vidpovidni yim algebrayichni dopovnennya Teoremapro falshivij rozklad suma dobutkiv elementiv deyakogo ryadka na algebrayichni dopovnennya vidpovidnih elementiv paralelnogo ryadka dorivnyuye nulyu Viznachnik obernenoyi matrici dorivnyuye velichini obernenij viznachniku pochatkovoyi matrici det A 1 det A 1 displaystyle det A 1 det A 1 Transponuvannya matrici ne zminyuye znachennya yiyi viznachnika det A T det A displaystyle det A T det A Viznachnik ye odnoridnoyu funkciyeyu tobto dlya kvadratnoyi matrici A poryadku n i dovilnoyi konstanti c vikonuyetsya det c A c n det A displaystyle det cA c n det A Viznachnik dobutku matric dorivnyuye dobutku viznachnikiv cih matric det A B det A det B displaystyle det AB det A det B Viznachnikova totozhnist Silvestra Redaguvati Viznachnikova totozhnist Silvestra stverdzhuye sho dlya matrici A rozmiru m n i matrici B rozmiru n m tak sho A i B mayut rozmirnosti sho dozvolyayut yim buti pomnozhenimi v bud yakomu poryadku spravedliva nastupna rivnist det I m A B det I n B A displaystyle det I mathit m AB det I mathit n BA de Im i In ce m m i n n odinichni matrici vidpovidno Z ciyeyi totozhnosti viplivayut nastupni naslidki Dlya vektor stovpcya c i vektor ryadka r yaki skladayutsya z m komponent bude det I m c r 1 r c displaystyle det I m cr 1 rc Bilsh zagalno 15 dlya kozhnoyi oborotnoyi matrici X poryadku m bude det X A B det X det I n B X 1 A displaystyle det X AB det X det I n BX 1 A Dlya vektor stovpcya i vektor ryadka zaznachenih vishe takozh bude det X c r det X det I 1 r X 1 c det X r X c displaystyle det X cr det X det I 1 rX 1 c det X rX c de X displaystyle X soyuzna matricya do X Obchislennya Redaguvati Shema obchislennya viznachnika matrici 2 2 Viznachnik 2 2 matrici Redaguvati Viznachnik kvadratnoyi matrici drugogo poryadku obchislyuyetsya za formuloyu yaka bezposeredno viplivaye z oznachennya cherez perestanovki a 11 a 12 a 21 a 22 a 11 a 22 a 12 a 21 displaystyle begin vmatrix a 11 amp a 12 a 21 amp a 22 end vmatrix a 11 a 22 a 12 a 21 Pravilo Sarryusa shematichno Viznachnik 3 3 matrici Redaguvati Viznachnik kvadratnoyi matrici tretogo poryadku obchislyuyetsya za pravilom Sarryusa a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 a 11 a 22 a 33 a 12 a 23 a 31 a 13 a 21 a 32 a 13 a 22 a 31 a 12 a 21 a 33 a 11 a 23 a 32 displaystyle begin vmatrix a 11 amp a 12 amp a 13 a 21 amp a 22 amp a 23 a 31 amp a 32 amp a 33 end vmatrix a 11 a 22 a 33 a 12 a 23 a 31 a 13 a 21 a 32 a 13 a 22 a 31 a 12 a 21 a 33 a 11 a 23 a 32 Pravilo Sarryusa ce mnemonika pri yakij zapis viznachnika rozshiryuyetsya dopisuvannyam z pravoyi storoni pershih dvoh jogo stovpciv i yak pokazano na ilyustraciyi dobutki elementiv vzdovzh chervonih strilok dodayutsya pislya chogo vidnimayutsya dobutki elementiv vzdovzh sinih strilok Cya shema ne perenositsya kvadratni matrici vishih poryadkiv Dlya znahodzhennya viznachnikiv visokogo poryadku zastosovuyutsya principovo inshi metodi nasampered metod Gausa sho vimagayut znachno menshoyi kilkosti arifmetichnih operacij O n 3 displaystyle O n 3 zamist n displaystyle n Viznachnik n n matrici Redaguvati U vipadku matric vishogo poryadku dlya obchislennya yih viznachnikiv mozhna vikoristovuvati rozklad Laplasa Takozh viznachnik matrici mozhna obchisliti za dopomogoyu metodu Gausa yakij gruntuyetsya na tomu sho viznachnik trikutnoyi matrici dorivnyuye dobutku vsih yiyi diagonalnih elementiv i bud yaku matricyu mozhna zvesti do trikutnoyi matrici elementarnimi peretvorennyami pam yatayuchi sho ci peretvorennya mayut nastupnij vpliv na viznachnik Dodavannya ryadka stovpcya pomnozhenogo na konstantu do inshogo ryadka stovpcya ne zminyuye znachennya viznachnika Mnozhennya ryadka stovpcya na konstantu mnozhit znachennya viznachnika na cyu konstantu Pri minyanni miscyami dvoh ryadkiv stovpciv zminyuyetsya znak viznachnika na protilezhnij Obchislennya cherez metodi rozkladu Redaguvati Deyaki metodi obchislyuyut viznachnik zapisuyuchi matricyu yak dobutok matric viznachniki yakih mozhna legshe obchisliti Taki metodi nazivayut metodami rozkladu Do takih metodiv vidnosyatsya LU rozklad QR rozklad abo rozklad Holeckogo dlya dodatno viznachenih matric Napriklad LU rozklad virazhaye kvadratnu matricyu A yak dobutok A P L U displaystyle A PLU de P matricya perestanovki yaka maye po odnij odinici u kozhnomu stovpci a v inshi elementi nuli L nizhnotrikutna matricya i U verhnotrikutna matricya Viznachniki dvoh trikutnih matric L i U dorivnyuyut vidpovidnim dobutkam yih diagonalnih elementiv Viznachnik P ce znak vidpovidnoyi perestanovki p Zvidsi det A sign p det L det U displaystyle det A operatorname sign pi det L det U Kondensaciya Dodzhosona Redaguvati Dokladnishe Kondensaciya Dodzhosona en Kondensaciya Dodzhosona ce metod sut yakogo polyagaye u zmenshennya matrici specialnim chinom do matrici poryadku 1 yedinij elementom yakoyi ye shukanij viznachnik 16 Geometrichne znachennya Redaguvati Plosha paralelograma ye modulem viznachnika matrici 2 2 iz vektoriv jogo storin Yaksho elementi kvadratnoyi matrici A drugogo poryadku ye dijsnimi chislami to yiyi mozhna vikoristati dlya predstavlennya dvoh linijnih vidobrazhen pershe vidobrazhaye vektori standartnogo bazisu u stovpci A a druge vidobrazhaye yih u ryadki ciyeyi matrici U bud yakomu vipadku obrazi bazisnih vektoriv utvoryuyut paralelogram yakij yavlyayetsya dlya vidobrazhennya obrazom odinichnogo kvadrata Paralelogram viznachenij stovpcyami navedenoyi vishe matrici maye vershini z koordinatami 0 0 a b a c b d i c d yak pokazano na suprovidnij ilyustraciyi Absolyutne znachennya ad bc ye plosheyu paralelograma i takim chinom predstavlyaye koeficiyent na yakij mnozhatsya ploshi pri peretvoreni vidobrazhennyam viznachenim matriceyu A Paralelogram utvorenij ryadkami A zagalom ye inshim paralelogramom ale oskilki viznachnik ne zminyuyetsya pri transponuvanni matrici to plosha bude odnakovoyu Absolyutne znachennya viznachnika razom zi znakom ye oriyentovanoyu plosheyu paralelograma Oriyentovana plosha taka zh yak i zvichajna plosha za vinyatkom togo sho vona ye vid yemnoyu koli kut vid pershogo do drugogo vektora sho viznachaye paralelogram povertayetsya za godinnikovoyu strilkoyu sho protilezhno napryamku yakij otrimuyetsya pri odinichnij matrici Shob pokazati sho ad bc ye oriyentovanoyu plosheyu mozhna rozglyanuti matricyu yaka skladayetsya z dvoh vektoriv stovpciv u a b T i v c d T sho predstavlyayut storoni paralelograma Oriyentovana plosha cogo paralelograma mozhe buti virazhena yak u v sin 8 de 8 kut mizh vektorami u i v utvorenij obertannyam proti godinnikovoyi strilki Zavdyaki sinusu ce vzhe oriyentovana plosha z inshogo boku yiyi mozhna viraziti cherez kosinus kuta 8 mizh u b a T i v yak u v cos 8 Otrimanij viraz ye skalyarnim dobutkom vektoriv u i v yakij dorivnyuye ad bc Ob yem cogo paralelepipeda ye modulem viznachnika matrici 3 3 iz vektoriv jogo storin r1 r2 i r3 Yaksho dijsnu matricyu A rozmiru n n zapisati u viglyadi vektoriv stovpciv tobto A a 1 a 2 a n displaystyle A left begin array c c c c mathbf a 1 amp mathbf a 2 amp cdots amp mathbf a n end array right to A 1 0 0 a 1 A 0 1 0 a 2 A 0 0 1 a n displaystyle A begin pmatrix 1 0 vdots 0 end pmatrix mathbf a 1 quad A begin pmatrix 0 1 vdots 0 end pmatrix mathbf a 2 quad ldots quad A begin pmatrix 0 0 vdots 1 end pmatrix mathbf a n Ce oznachaye sho linijna funkciya viznachena matriceyu A vidobrazhaye odinichnij n kub u n vimirnij paralelotop pobudovanij na vektorah a1 a2 an tobto u mnozhinu P c 1 a 1 c n a n 0 c i 1 i 1 n displaystyle P left c 1 mathbf a 1 cdots c n mathbf a n mid 0 leq c i leq 1 i overline 1 n right Viznachnik matrici A daye oriyentovnij n vimirnij ob yem cogo paraleletopa i takim chinom opisuye koeficiyent na yakij mnozhatsya n vimirni ob yemi pri peretvoreni vidobrazhennyam viznachenim matriceyu A Znak pokazuye chi peretvorennya zberigaye abo zminyuye oriyentaciyu Zokrema yaksho viznachnik dorivnyuye nulyu to cej paralelotop maye nulovij n vimirnij ob yem i ne ye povnistyu n vimirnim sho vkazuye na te sho rozmirnist obrazu linijnogo vidobrazhennya viznachenogo matriceyu A mensha za n Ce oznachaye sho ce vidobrazhennya ne ye ani syur yekciyeyu ani in yekciyeyu Specialni vidi viznachnikiv RedaguvatiViznachnik Yakobi Yakobian Viznachnik Vronskogo Vronskian Viznachnik Vandermonda Viznachnik Grama Viznachnik SlejteraDiv takozh Redaguvati Portal Matematika Teoriya matric Slid matrici Rang matrici Minor matrici Viznachnik blochnoyi matrici Matricya KoshiDzherela RedaguvatiBezushak O O Ganyushkin O G Kochubinska Ye A Navchalnij posibnik z linijnoyi algebri Kiyiv VPC Kiyivskij universitet 2019 224 s Kurdachenko L A Kirichenko V V Semko M M Vibrani rozdili algebri ta teoriyi chisel Kiyiv In t matematiki NAN Ukrayini 2005 208 s Gantmaher F R Teoriya matric 5 e M Fizmatlit 2010 559 s ISBN 5 9221 0524 8 ros Determinant MATHEMATICS Arhivovano 4 bereznya 2018 u Wayback Machine Encyclopaedia Britannica angl Viznachniki Visha matematika v prikladah i zadachah Klepko V Yu Golec V L 2 ge vidannya K Centr uchbovoyi literaturi 2009 S 13 15 594 s Viznachnik matrici formuli vlastivosti prikladi Mathros net ua G E Shilov Linear Algebra New York Dover Publications 1977 387 s ISBN 978 0486635187 Primitki Redaguvati Grattan Guinness I red 2003 Companion Encyclopedia of the History and Philosophy of the Mathematical Sciences 1 Johns Hopkins University Press ISBN 9780801873966 Cajori F A History of Mathematics p 80 a b Campbell H Linear Algebra With Applications s 111 112 Appleton Century Crofts 1971 Eves Howard 1990 An introduction to the history of mathematics vid 6 Saunders College Publishing ISBN 0 03 029558 0 MR 1104435 A Brief History of Linear Algebra and Matrix Theory at A Brief History of Linear Algebra and Matrix Theory Arhiv originalu za 10 veresnya 2012 Procitovano 24 sichnya 2012 Cramer Gabriel 1750 Introduction a l analyse des lignes courbes algebriques Geneve Freres Cramer amp Cl Philibert doi 10 3931 e rara 4048 a b Kleiner Israel 2007 U Kleiner Israel A history of abstract algebra Birkhauser ISBN 978 0 8176 4684 4 MR 2347309 doi 10 1007 978 0 8176 4685 1 Bourbaki Nicolas 1994 Elements of the history of mathematics Springer ISBN 3 540 19376 6 doi 10 1007 978 3 642 61693 8 Laplace Pierre Simon de 1772 Recherches sur le calcul integral et sur le systeme du monde Histoire de l Academie Royale des Sciences Paris seconde partie 267 376 Muir Sir Thomas The Theory of Determinants in the historical Order of Development London Angliya Macmillan and Co Ltd 1906 Pohodzhennya matematichnih terminiv http jeff560 tripod com d html Istoriya matric ta viznachnikiv http www history mcs st and ac uk history HistTopics Matrices and determinants html Cayley Arthur 1841 On a theorem in the geometry of position Cambridge Mathematical Journal 2 267 271 Cajori Florian 1993 A history of mathematical notations Including Vol I Notations in elementary mathematics Vol II Notations mainly in higher mathematics Reprint of the 1928 and 1929 originals Dover ISBN 0 486 67766 4 MR 3363427 Dovedennya mozhna znajti na storinci http www ee ic ac uk hp staff dmb matrix proof003 html C L Dodgson Condensation of Determinants Being a New and Brief Method for Computing their Arithmetical Values Proceedings of the Royal Society of London 1866 1867 T 15 S 150 155 Otrimano z https uk wikipedia org w index php title Viznachnik amp oldid 40107858