Парність перестановки скінченної множини — це парність кількості інверсії цієї множини.
Множина перестановок розбивається на рівні підмножини: парних і непарних перестановок.
Транспозиції та інверсії Редагувати
Відомо, що довільну перестановку можна утворити через послідовність транспозицій(обмінів) пар елементів.
І парність кількості транспозицій буде дорівнювати парності інверсій.
Доведення Редагувати
- Транспозиція двох сусідніх елементів змінює кількість інверсій на
- Транспозиція двох довільних елементів зводиться до непарного числа транспозицій сусідніх елементів.
- Транспозиція — змінює кількість інверсій на непарне число.
- Оскільки тотожна перестановка має 0 транспозицій та 0 інверсій, то парність кількості транспозицій дорівнює парності кількості інверсій.
Підгрупа парних перестановок Редагувати
- Тотожне перетворення є парною перестановкою.
- Добуток парних перестановок є парною перестановкою.
- Обернена перестановка до парної перестановки є парною.
Отже парні перестановки утворюють групу (називається знакозмінною групою), що є підгрупою симетричної групи (групи всіх перестановок множини).
Джерела Редагувати
- Курош А. Г. Теория групп. — 3-е изд. — Москва : Наука, 1967. — 648 с. — ISBN 5-8114-0616-9.(рос.)
- Джозеф Ротман[en]. An Introduction to the Theory of Groups. — 4th. — Springer (Graduate Texts in Mathematics), 1994. — 532 с. — ISBN 978-0387942858.(англ.)