Teore ma Lapla sa rozklad Laplasa odna z teorem v teoriyi matric Nazvana na chest francuzkogo matematika P yera Simona Laplasa yakomu pripisuyut dovedennya ciyeyi teoremi v 1772 roci hocha okremij vipadok ciyeyi teoremi pro rozkladannya viznachnika po ryadku stovpcyu buv vidomij she Lejbnicu Zmist 1 Teorema 2 Rozklad viznachnika po ryadku stovpcyu 3 Falshivij rozklad 4 Prikladi 5 Div takozh 6 DzherelaTeorema RedaguvatiNehaj A a i j displaystyle A a ij nbsp kvadratna matricya rozmiru n n displaystyle n times n nbsp v yakij vibrano dovilni k displaystyle k nbsp ryadkiv Todi viznachnik matrici A displaystyle A nbsp rivnij sumi vsilyakih dobutkiv minoriv k displaystyle k nbsp go poryadku roztashovanih v cih ryadkah na yih algebrayichni dopovnennya det A j 1 lt lt j k M j 1 j k i 1 i k A j 1 j k i 1 i k displaystyle det A sum j 1 lt ldots lt j k M j 1 ldots j k i 1 ldots i k A j 1 ldots j k i 1 ldots i k nbsp de pidsumovuvannya vedetsya po vsih nomerah stovpciv j 1 j k displaystyle j 1 ldots j k nbsp Chislo minoriv po yakih beretsya suma v teoremi Laplasa rivne chislu sposobiv vibrati k displaystyle k nbsp stovpciv z n displaystyle n nbsp tobto binomialnomu koeficiyentu n k displaystyle textstyle n choose k nbsp Oskilki ryadki i stovpci matrici rivnosilni shodo vlastivostej viznachnika teoremu Laplasa mozhna sformulyuvati i dlya stovpciv matrici Dana teorema maye nastupni zastosuvannya Rozklad viznachnika po ryadku stovpcyu RedaguvatiShiroko vidomij okremij vipadok teoremi Laplasa rozkladannya viznachnika po ryadku abo stovpcyu Vin dozvolyaye predstaviti viznachnik kvadratnoyi matrici u viglyadi sumi dobutkiv elementiv bud yakogo yiyi ryadka abo stovpcya na yih algebrayichne dopovnennya Nehaj A a i j displaystyle A a ij nbsp kvadratna matricya rozmiru n n displaystyle n times n nbsp Nehaj takozh zadanij deyakij nomer yiyi ryadka i displaystyle i nbsp abo nomer yiyi stovpcya j displaystyle j nbsp Pri k 1 displaystyle k 1 nbsp minorami budut sami elementi cogo ryadka chi stovpcya Viznachnik A displaystyle A nbsp mozhe buti obchislenij za formulami Rozklad po i displaystyle i nbsp mu ryadku det A j 1 n a i j A i j displaystyle det A sum j 1 n a ij A ij nbsp Rozklad po j displaystyle j nbsp mu stovpcyu det A i 1 n a i j A i j displaystyle det A sum i 1 n a ij A ij nbsp de A i j displaystyle A ij nbsp algebrayichne dopovnennya do elementa roztashovanogo v ryadku z nomerom i displaystyle i nbsp ta stovpci z nomerom j displaystyle j nbsp Falshivij rozklad RedaguvatiSuma dobutkiv usih elementiv deyakogo ryadka stovpcya matrici A na algebrayichni dopovnennya vidpovidnih elementiv bud yakogo inshogo ryadka stovpcya dorivnyuye nulyu i k j 1 n a k j A i j 0 displaystyle i neq k quad Rightarrow quad sum j 1 n a kj A ij 0 nbsp j k i 1 n a i k A i j 0 displaystyle j neq k quad Rightarrow quad sum i 1 n a ik A ij 0 nbsp Prikladi RedaguvatiRozglyanemo matricyu B 1 2 3 4 5 6 7 9 10 displaystyle B begin bmatrix 1 amp 2 amp 3 4 amp 5 amp 6 7 amp 9 amp 10 end bmatrix nbsp Viznachnik matrici obchislimo za dopomogoyu rozkladu Laplasa po pershomu ryadku B 1 5 6 9 10 2 4 6 7 10 3 4 5 7 9 displaystyle B 1 cdot begin vmatrix 5 amp 6 9 amp 10 end vmatrix 2 cdot begin vmatrix 4 amp 6 7 amp 10 end vmatrix 3 cdot begin vmatrix 4 amp 5 7 amp 9 end vmatrix nbsp 1 4 2 2 3 1 3 displaystyle 1 cdot 4 2 cdot 2 3 cdot 1 3 nbsp dd dd Zastosuvavshi rozklad Laplasa po drugomu stovpcyu otrimayemo toj samij rezultat B 2 4 6 7 10 5 1 3 7 10 9 1 3 4 6 displaystyle B 2 cdot begin vmatrix 4 amp 6 7 amp 10 end vmatrix 5 cdot begin vmatrix 1 amp 3 7 amp 10 end vmatrix 9 cdot begin vmatrix 1 amp 3 4 amp 6 end vmatrix nbsp 2 2 5 11 9 6 3 displaystyle 2 cdot 2 5 cdot 11 9 cdot 6 3 nbsp dd dd Div takozh RedaguvatiSpisok ob yektiv nazvanih na chest P yera Simona LaplasaDzherela RedaguvatiGantmaher F R Teoriya matric 5 e M Fizmatlit 2010 559 s ISBN 5 9221 0524 8 ros Otrimano z https uk wikipedia org w index php title Teorema Laplasa amp oldid 38063600
