www.wikidata.uk-ua.nina.az

Квадратна матриця У математиці квадратна матриця це матриця з однаковою кількістю рядків і стовпців n n displaystyle n t

Квадратна матриця

У математиці, квадратна матриця — це матриця з однаковою кількістю рядків і стовпців. -матриця — це квадратна матриця порядку :

Квадратна матриця порядку 4. Елементи утворюють головну діагональ квадратної матриці. Наприклад, основна діагональ квадратної матриці містить елементи =9, =11, =4, =10.

Числа називаються елементами матриці. Положення кожного елемента в матриці визначається номерами рядка і стовпчика, в яких знаходиться цей елемент. Наприклад, елемент знаходиться в -му рядку та -му стовпчику матриці . Це положення часто позначається індексами.

Будь-які дві квадратні матриці одного порядку можна додати та перемножити. Квадратні матриці часто використовують для зображення простих лінійних перетворень, таких як перетворення зсуву чи обертання. Наприклад, якщо — квадратна матриця, що представляє обертання ( матриця повороту), а — вектор-стовпець, що описує положення точки в просторі, добуток визначає інший вектор-стовпець, що описує положення цієї точки після цього обертання. Якщо — вектор-рядок, то те саме перетворення можна отримати, використовуючи , де — транспонована матриця .

Поворот відносно початку координат.

Головна діагональ

Елементи утворюють головну діагональ квадратної матриці. Вони лежать на уявній лінії, яка проходить від лівого верхнього кута до правого нижнього кута матриці. Наприклад, основана діагональ -матриці на рисунку містить елементи , , , .

Діагональ квадратної матриці, яка проходить від правого верхнього кута до нижнього лівого кута, називається побічною.

Спеціальні види

Діагональна або трикутна матриця

Якщо всі елементи за межами основної діагоналі дорівнюють нулю, називається діагональною матрицею. Якщо тільки всі елементи вище (або нижче) основної діагоналі дорівнюють нулю, називається нижньо (або верхньо) трикутною матрицею.

Одинична матриця

Одинична матриця розміру — це -матриця, у якій всі елементи на головній діагоналі рівні , а всі інші елементи дорівнюють , наприклад

Це квадратна матриця порядку , а також особливий вид діагональної матриці. Її називають одиничною матрицею, оскільки добуток з нею залишає матрицю незмінною:

Симетрична або кососиметрична матриця

Квадратна матриця , яка дорівнює її транспонованій, тобто , називається симетричною матрицею. Якщо дорівнюватиме його транспонованій матриці з мінусом, тобто , то називається кососиметричною матрицею. У комплексних матрицях симетрію часто замінюють поняттям ермітових матриць, які задовольняють рівності , де — ермітово-спряжена матриця, тобто транспонована комплексно-спряжена матриця.

За спектральною теоремою, дійсні симетричні (або комплексні ермітові) матриці мають ортогональний (або ортонормований) базис, тобто кожен вектор виражається через лінійну комбінацію власних векторів. В обох випадках усі власні значення є дійсними. Цю теорему можна узагальнити до нескінченновимірного випадку, пов'язаного з матрицями, які мають нескінченно багато рядків і стовпців.

Обернена матриця

Квадратну матрицю називають невиродженою (або несингулярною), якщо існує матриця така, що

Якщо існує, то вона єдина і називається оберненою матрицею до матриці і позначається .

Нормальна матриця

Квадратну матрицю називають нормальною, якщо , тобто якщо вона комутує з своєю транспонованою матрицею.

Додатно та від'ємно визначені матриці

Додатно визначена Невизначена

Точки для яких  = 1
( еліпс).

Точки для яких  = 1
( гіпербола).

Симетричну -матриця називають додатно визначеною (відповідно від'ємно визначеною або невизначеною), якщо для всіх ненульових векторів відповідна квадратична форма

приймає лише додатні значення (відповідно лише від'ємні або як деякі від'ємні так і деякі додатні значення). Якщо квадратична форма приймає лише невід'ємні значення (відповідно лише недодатні) значення, то симетрична матриця називається додатно напіввизначеною (відповідно від'ємно напіввизначена). Отже, матриця є невизначеною саме тоді, коли вона не є ні додатно напіввизначеною, ні від'ємно напіввизначеною.

Симетрична матриця є додатно визначеною тоді і лише тоді, коли всі її власні значення додатні. У таблиці показано дві можливості для -матриць.

Якщо використати два різні вектори, то отримаємо білінійну форму пов'язану з матрицею :

Ортогональна матриця

Ортогональна матриця — це квадратна матриця з дійсними елементами, стовпці та рядки якої є ортогональними одиничними векторами (тобто, ортонормованими векторами). Еквівалентно, матриця є ортогональною, якщо її транспонована матриця дорівнює її оберненій:

звідки випливає

де — одинична матриця.

Ортогональна матриця завжди має обернену (), унітарну () і нормальну ( матрицю. Визначник будь-якої ортогональної матриці дорівнює або , або . Спеціальна ортогональна матриця — ортогональна матриця з визначником . Як лінійне перетворення, кожна ортогональна матриця з визначником — це простий поворот, тоді як кожна ортогональна матриця з визначником є простим відзеркаленням, або суперпозицією віддзеркаленя і повороту.

Комплексний аналог ортогональної матриці — це унітарна матриця.

Операції

Слід

Слід квадратної матриці — це сума її елементів головної діагоналі. Хоча множення матриці не є комутативним, слід добутку двох матриць не залежить від порядку множників:

Це безпосередньо випливає з означення множення матриць:

Також слід матриці дорівнює сліду її транспонованої матриці, тобто

Визначник

Визначник або квадратної матриці — це число, що визначає певні властивості матриці. Матриця є невиродженою тоді і лише тоді, коли її визначник ненульовий. Абсолютне значення визначника дорівнює площі (в ) або об'єму (в ) образу одиничного квадрату (або кубу), при цьому знак визначника відповідає орієнтації відповідного лінійного відображення, визначник додатній тоді і лише тоді, коли орієнтація зберігається. Визначник -матриць обчислюється за формулою

Визначник -матриць використовує 6 добутків (правило Сарруса). Більш довша формула Лейбница узагальнює ці дві формули для будь-якої розмірності.

Лінійне перетворення в , що задане вказаною матрицею. Визначник цієї матриці дорівнює , оскільки площа зеленого паралелограма праворуч дорівнює , але відображення змінило орієнтацію векторів (з орієнтації проти годинникової стрілки на орієнтацію за годинниковою стрілкою).

Визначник добутку квадратних матриць дорівнює добутку їх визначників:

Додавання будь-якого рядка з коефіцієнтом до другого рядка, або будь-якого стовпця з коефіцієнтом до другого стовпця не змінює визначник. Перестановка місцями двох рядків або стовпців приводить до зміни знаку визначника. За допомогою цих операцій будь-яка матриця може бути зведена на нижньо (або верхньо) трикутної матриці, а для таких матриць визначник дорівнює добутку елементів по головній діагоналі, що дає метод обчислювання визначника будь-якої матриці. Нарешті, теорема Лапласа виражає визначник у термінах мінорів, тобто визначників матриць меншої розмірності . Ця теорема дає можливість рекурсивного обчислення визначників (починаючи з визначника -матриці, або навіть з визначника -матриці, який дорівнює 1), що можна розглядати як еквівалент формулі Лейбніца. Визначники можна використовувати для розв'язання лінійних систем за допомогою метода Крамера, де відношення визначників двох пов'язаних квадратних матриць дорівнює значенню кожної зі змінних системи.

Лінійні перетворення векторного простору

Квадратні матриці застосовують для опису лінійного перетворення векторного простору.

Для запису лінійного перетворення матрицею в лінійному просторі потрібно вибрати базис.

Для дослідження властивостей лінійного перетворення використовують власні вектори та власні значення матриці.

Власні значення та власні вектори

Число і ненульовий вектор , що задовольняють рівності

називаються власним значенням та власним вектором матриці відповідно. Число — власне значення -матриці тоді і лише тоді, коли матриця немає оберненої, що еквівалентно умові

Многочлен (поліном) змінної , отриманий як визначник матриці , називається характерестичним многочленом матриці . Це нормований многочлен степеня . Тому рівняння має максимум різних коренів, тобто власних значень матриці. Ці значення можуть бути комплексними, навіть якщо всі елементи матриці дійсні. Згідно теореми Гамільтона-Келі , , тобто при підстановці самої матриці в характеристичний многочлен, отримаємо нульову матрицю.

Див. також

Підвиди матриць:

Джерела

  • Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. — 5-е. — М: : Физматлит, 2010. — 559 с. — ISBN 5-9221-0524-8.(рос.)
  • Р.Хорн, Ч.Джонсон. Матричный анализ. — М: : Мир, 1989. — 653 с.(рос.)
  • Brown, William C. (1991). Matrices and vector spaces. New York, NY: Marcel Dekker. ISBN 978-0-8247-8419-5. 
  • Mirsky, Leonid (1990). An Introduction to Linear Algebra. Courier Dover Publications. ISBN 978-0-486-66434-7. 

Примітки

  1. Horn, Johnson 1985, Theorem 2.5.6
  2. Brown 1991, Definitions I.2.28 and Definition I.5.13
  3. Horn & Johnson 1985, Chapter 7
  4. Horn & Johnson 1985, Theorem 7.2.1
  5. Horn & Johnson 1985, Example 4.0.6, p. 169
  6. Brown 1991, Definition III.2.1
  7. Brown 1991, Theorem III.2.12
  8. Brown 1991, Corollary III.2.16
  9. Mirsky 1990, Theorem 1.4.1
  10. Brown 1991, Theorem III.3.18
  11. Eigen means ``own in German and in Dutch
  12. Brown 1991, Definition III.4.1
  13. Brown 1991,Definition III.4.9
  14. Brown 1991, Corollary III.4.10
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри
Дата публікації:
U matematici kvadratna matricya ce matricya z odnakovoyu kilkistyu ryadkiv i stovpciv n n displaystyle n times n matricya ce kvadratna matricya poryadku n n Kvadratna matricya poryadku 4 Elementi a i i displaystyle a ii utvoryuyut golovnu diagonal kvadratnoyi matrici Napriklad osnovna diagonal kvadratnoyi matrici 4 4 displaystyle 4 times 4 mistit elementi a 11 displaystyle a 11 9 a 22 displaystyle a 22 11 a 33 displaystyle a 33 4 a 44 displaystyle a 44 10 A a 1 1 a 1 2 a 1 n a 2 1 a 2 2 a 2 n a n 1 a n 2 a n n displaystyle A begin pmatrix a 1 1 amp a 1 2 amp cdots amp a 1 n a 2 1 amp a 2 2 amp cdots amp a 2 n vdots amp vdots amp ddots amp vdots a n 1 amp a n 2 amp cdots amp a n n end pmatrix Chisla a i j displaystyle a i j nazivayutsya elementami matrici Polozhennya kozhnogo elementa v matrici viznachayetsya nomerami ryadka i stovpchika v yakih znahoditsya cej element Napriklad element a i j displaystyle a i j znahoditsya v i i mu ryadku ta j j mu stovpchiku matrici A A Ce polozhennya chasto poznachayetsya indeksami Bud yaki dvi kvadratni matrici odnogo poryadku mozhna dodati ta peremnozhiti Kvadratni matrici chasto vikoristovuyut dlya zobrazhennya prostih linijnih peretvoren takih yak peretvorennya zsuvu chi obertannya Napriklad yaksho R R kvadratna matricya sho predstavlyaye obertannya matricya povorotu a v v vektor stovpec sho opisuye polozhennya tochki v prostori dobutok R v displaystyle Rv viznachaye inshij vektor stovpec sho opisuye polozhennya ciyeyi tochki pislya cogo obertannya Yaksho v v vektor ryadok to te same peretvorennya mozhna otrimati vikoristovuyuchi v R T displaystyle vR rm T de R T displaystyle R rm T transponovana matricya R R Povorot vidnosno pochatku koordinat Zmist 1 Golovna diagonal 2 Specialni vidi 2 1 Diagonalna abo trikutna matricya 2 2 Odinichna matricya 2 3 Simetrichna abo kososimetrichna matricya 2 4 Obernena matricya 2 5 Normalna matricya 2 6 Dodatno ta vid yemno viznacheni matrici 2 7 Ortogonalna matricya 3 Operaciyi 3 1 Slid 3 2 Viznachnik 3 3 Linijni peretvorennya vektornogo prostoru 3 4 Vlasni znachennya ta vlasni vektori 4 Div takozh 5 Dzherela 6 PrimitkiGolovna diagonal RedaguvatiElementi a i i displaystyle a ii i 1 n displaystyle i 1 dots n utvoryuyut golovnu diagonal kvadratnoyi matrici Voni lezhat na uyavnij liniyi yaka prohodit vid livogo verhnogo kuta do pravogo nizhnogo kuta matrici Napriklad osnovana diagonal 4 4 displaystyle 4 times 4 matrici na risunku mistit elementi a 11 9 displaystyle a 11 9 a 22 11 displaystyle a 22 11 a 33 4 displaystyle a 33 4 a 44 10 displaystyle a 44 10 Diagonal kvadratnoyi matrici yaka prohodit vid pravogo verhnogo kuta do nizhnogo livogo kuta nazivayetsya pobichnoyu Specialni vidi RedaguvatiNazva Priklad z n 3Diagonalna matricya a 11 0 0 0 a 22 0 0 0 a 33 displaystyle begin bmatrix a 11 amp 0 amp 0 0 amp a 22 amp 0 0 amp 0 amp a 33 end bmatrix Nizhno trikutna matricya a 11 0 0 a 21 a 22 0 a 31 a 32 a 33 displaystyle begin bmatrix a 11 amp 0 amp 0 a 21 amp a 22 amp 0 a 31 amp a 32 amp a 33 end bmatrix Verhno trikutna matricya a 11 a 12 a 13 0 a 22 a 23 0 0 a 33 displaystyle begin bmatrix a 11 amp a 12 amp a 13 0 amp a 22 amp a 23 0 amp 0 amp a 33 end bmatrix Diagonalna abo trikutna matricya Redaguvati Yaksho vsi elementi za mezhami osnovnoyi diagonali dorivnyuyut nulyu A A nazivayetsya diagonalnoyu matriceyu Yaksho tilki vsi elementi vishe abo nizhche osnovnoyi diagonali dorivnyuyut nulyu A A nazivayetsya nizhno abo verhno trikutnoyu matriceyu Odinichna matricya Redaguvati Odinichna matricya I n displaystyle I n rozmiru n n ce n n displaystyle n times n matricya u yakij vsi elementi na golovnij diagonali rivni 1 displaystyle 1 a vsi inshi elementi dorivnyuyut 0 displaystyle 0 napriklad I 1 1 I 2 1 0 0 1 I n 1 0 0 0 1 0 0 0 1 displaystyle I 1 begin bmatrix 1 end bmatrix I 2 begin bmatrix 1 amp 0 0 amp 1 end bmatrix cdots I n begin bmatrix 1 amp 0 amp cdots amp 0 0 amp 1 amp cdots amp 0 vdots amp vdots amp ddots amp vdots 0 amp 0 amp cdots amp 1 end bmatrix Ce kvadratna matricya poryadku n n a takozh osoblivij vid diagonalnoyi matrici Yiyi nazivayut odinichnoyu matriceyu oskilki dobutok z neyu zalishaye matricyu nezminnoyu A I n I m A A displaystyle AI n I m A A quad dlya bud yakoyi m n displaystyle m times n matrici A A Simetrichna abo kososimetrichna matricya Redaguvati Kvadratna matricya A A yaka dorivnyuye yiyi transponovanij tobto A A T displaystyle A A rm T nazivayetsya simetrichnoyu matriceyu Yaksho A A dorivnyuvatime jogo transponovanij matrici z minusom tobto A A T displaystyle A A rm T to A A nazivayetsya kososimetrichnoyu matriceyu U kompleksnih matricyah simetriyu chasto zaminyuyut ponyattyam ermitovih matric yaki zadovolnyayut rivnosti A H A displaystyle A rm H A de A H displaystyle A rm H ermitovo spryazhena matricya tobto transponovana kompleksno spryazhena matricya Za spektralnoyu teoremoyu dijsni simetrichni abo kompleksni ermitovi matrici mayut ortogonalnij abo ortonormovanij bazis tobto kozhen vektor virazhayetsya cherez linijnu kombinaciyu vlasnih vektoriv V oboh vipadkah usi vlasni znachennya ye dijsnimi 1 Cyu teoremu mozhna uzagalniti do neskinchennovimirnogo vipadku pov yazanogo z matricyami yaki mayut neskinchenno bagato ryadkiv i stovpciv Obernena matricya Redaguvati Kvadratnu matricyu A A nazivayut nevirodzhenoyu abo nesingulyarnoyu yaksho isnuye matricya B B taka sho 2 A B B A I n displaystyle AB BA I n Yaksho B B isnuye to vona yedina i nazivayetsya obernenoyu matriceyu do matrici A A i poznachayetsya A 1 displaystyle A 1 Normalna matricya Redaguvati Kvadratnu matricyu A A nazivayut normalnoyu yaksho A T A A A T displaystyle A rm T A AA rm T tobto yaksho vona komutuye z svoyeyu transponovanoyu matriceyu Dodatno ta vid yemno viznacheni matrici Redaguvati Dodatno viznachena Neviznachena 1 4 0 0 1 displaystyle begin bmatrix 1 4 amp 0 0 amp 1 end bmatrix 1 4 0 0 1 4 displaystyle begin bmatrix 1 4 amp 0 0 amp 1 4 end bmatrix Q x y 1 4 x 2 y 2 displaystyle Q x y frac 1 4 x 2 y 2 Q x y 1 4 x 2 1 4 y 2 displaystyle Q x y frac 1 4 x 2 frac 1 4 y 2 Tochki dlya yakih Q x y displaystyle Q x y 1 elips Tochki dlya yakih Q x y displaystyle Q x y 1 giperbola Simetrichnu n n displaystyle n times n matricya nazivayut dodatno viznachenoyu vidpovidno vid yemno viznachenoyu abo neviznachenoyu yaksho dlya vsih nenulovih vektoriv x R n displaystyle x in mathbb R n vidpovidna kvadratichna forma Q x x T A x displaystyle Q x x rm T Ax prijmaye lishe dodatni znachennya vidpovidno lishe vid yemni abo yak deyaki vid yemni tak i deyaki dodatni znachennya 3 Yaksho kvadratichna forma prijmaye lishe nevid yemni znachennya vidpovidno lishe nedodatni znachennya to simetrichna matricya nazivayetsya dodatno napivviznachenoyu vidpovidno vid yemno napivviznachena Otzhe matricya ye neviznachenoyu same todi koli vona ne ye ni dodatno napivviznachenoyu ni vid yemno napivviznachenoyu Simetrichna matricya ye dodatno viznachenoyu todi i lishe todi koli vsi yiyi vlasni znachennya dodatni 4 U tablici pokazano dvi mozhlivosti dlya 2 2 displaystyle 2 times 2 matric Yaksho vikoristati dva rizni vektori to otrimayemo bilinijnu formu pov yazanu z matriceyu A A 5 B A x y x T A y displaystyle B A x y x rm T Ay Ortogonalna matricya Redaguvati Ortogonalna matricya ce kvadratna matricya z dijsnimi elementami stovpci ta ryadki yakoyi ye ortogonalnimi odinichnimi vektorami tobto ortonormovanimi vektorami Ekvivalentno matricya A A ye ortogonalnoyu yaksho yiyi transponovana matricya dorivnyuye yiyi obernenij A T A 1 displaystyle A rm T A 1 zvidki viplivaye A T A A A T I displaystyle A rm T A AA rm T I de I I odinichna matricya Ortogonalna matricya A A zavzhdi maye obernenu A 1 A T displaystyle A 1 A rm T unitarnu A 1 A displaystyle A 1 A i normalnu A A A A displaystyle A A AA matricyu Viznachnik bud yakoyi ortogonalnoyi matrici dorivnyuye abo 1 displaystyle 1 abo 1 displaystyle 1 Specialna ortogonalna matricya ortogonalna matricya z viznachnikom 1 displaystyle 1 Yak linijne peretvorennya kozhna ortogonalna matricya z viznachnikom 1 displaystyle 1 ce prostij povorot todi yak kozhna ortogonalna matricya z viznachnikom 1 displaystyle 1 ye prostim vidzerkalennyam abo superpoziciyeyu viddzerkalenya i povorotu Kompleksnij analog ortogonalnoyi matrici ce unitarna matricya Operaciyi RedaguvatiSlid Redaguvati Slid kvadratnoyi matrici A A tr A displaystyle operatorname tr A ce suma yiyi elementiv golovnoyi diagonali Hocha mnozhennya matrici ne ye komutativnim slid dobutku dvoh matric ne zalezhit vid poryadku mnozhnikiv tr A B tr B A displaystyle operatorname tr AB operatorname tr BA Ce bezposeredno viplivaye z oznachennya mnozhennya matric tr A B i 1 m j 1 n A i j B j i tr B A displaystyle operatorname tr AB sum i 1 m sum j 1 n A ij B ji operatorname tr BA Takozh slid matrici dorivnyuye slidu yiyi transponovanoyi matrici tobto tr A tr A T displaystyle operatorname tr A operatorname tr left A rm T right Viznachnik Redaguvati Viznachnik det A displaystyle det A abo A displaystyle A kvadratnoyi matrici A A ce chislo sho viznachaye pevni vlastivosti matrici Matricya ye nevirodzhenoyu todi i lishe todi koli yiyi viznachnik nenulovij Absolyutne znachennya viznachnika dorivnyuye ploshi v R 2 displaystyle mathbb R 2 abo ob yemu v R 3 displaystyle mathbb R 3 obrazu odinichnogo kvadratu abo kubu pri comu znak viznachnika vidpovidaye oriyentaciyi vidpovidnogo linijnogo vidobrazhennya viznachnik dodatnij todi i lishe todi koli oriyentaciya zberigayetsya Viznachnik 2 2 displaystyle 2 times 2 matric obchislyuyetsya za formuloyu det a b c d a d b c displaystyle det begin bmatrix a amp b c amp d end bmatrix ad bc Viznachnik 3 3 displaystyle 3 times 3 matric vikoristovuye 6 dobutkiv pravilo Sarrusa Bilsh dovsha formula Lejbnica uzagalnyuye ci dvi formuli dlya bud yakoyi rozmirnosti 6 Linijne peretvorennya v R 2 displaystyle mathbb R 2 sho zadane vkazanoyu matriceyu Viznachnik ciyeyi matrici dorivnyuye 1 displaystyle 1 oskilki plosha zelenogo paralelograma pravoruch dorivnyuye 1 displaystyle 1 ale vidobrazhennya zminilo oriyentaciyu vektoriv z oriyentaciyi proti godinnikovoyi strilki na oriyentaciyu za godinnikovoyu strilkoyu Viznachnik dobutku kvadratnih matric dorivnyuye dobutku yih viznachnikiv 7 det A B det A det B displaystyle det AB det A cdot det B Dodavannya bud yakogo ryadka z koeficiyentom do drugogo ryadka abo bud yakogo stovpcya z koeficiyentom do drugogo stovpcya ne zminyuye viznachnik Perestanovka miscyami dvoh ryadkiv abo stovpciv privodit do zmini znaku viznachnika 8 Za dopomogoyu cih operacij bud yaka matricya mozhe buti zvedena na nizhno abo verhno trikutnoyi matrici a dlya takih matric viznachnik dorivnyuye dobutku elementiv po golovnij diagonali sho daye metod obchislyuvannya viznachnika bud yakoyi matrici Nareshti teorema Laplasa virazhaye viznachnik u terminah minoriv tobto viznachnikiv matric menshoyi rozmirnosti 9 Cya teorema daye mozhlivist rekursivnogo obchislennya viznachnikiv pochinayuchi z viznachnika 1 1 displaystyle 1 times 1 matrici abo navit z viznachnika 0 0 displaystyle 0 times 0 matrici yakij dorivnyuye 1 sho mozhna rozglyadati yak ekvivalent formuli Lejbnica Viznachniki mozhna vikoristovuvati dlya rozv yazannya linijnih sistem za dopomogoyu metoda Kramera de vidnoshennya viznachnikiv dvoh pov yazanih kvadratnih matric dorivnyuye znachennyu kozhnoyi zi zminnih sistemi 10 Linijni peretvorennya vektornogo prostoru Redaguvati Kvadratni matrici zastosovuyut dlya opisu linijnogo peretvorennya vektornogo prostoru f V K V K displaystyle f colon V K to V K Dlya zapisu linijnogo peretvorennya matriceyu v linijnomu prostori potribno vibrati bazis Dlya doslidzhennya vlastivostej linijnogo peretvorennya vikoristovuyut vlasni vektori ta vlasni znachennya matrici Vlasni znachennya ta vlasni vektori Redaguvati Chislo l lambda i nenulovij vektor v v sho zadovolnyayut rivnosti A v l v displaystyle Av lambda v nazivayutsya vlasnim znachennyam ta vlasnim vektorom matrici A A vidpovidno 11 12 Chislo l lambda vlasne znachennya n n displaystyle n times n matrici A A todi i lishe todi koli matricya A l I n displaystyle A lambda I n nemaye obernenoyi sho ekvivalentno 13 umovi det A l I n 0 displaystyle det A lambda I n 0 Mnogochlen polinom p A displaystyle p A zminnoyi x x otrimanij yak viznachnik matrici det x I n A displaystyle det xI n A nazivayetsya harakterestichnim mnogochlenom matrici A A Ce normovanij mnogochlen stepenya n n Tomu rivnyannya p A l 0 displaystyle p A lambda 0 maye maksimum n n riznih koreniv tobto vlasnih znachen matrici 14 Ci znachennya mozhut buti kompleksnimi navit yaksho vsi elementi matrici A A dijsni Zgidno teoremi Gamiltona Keli p A A 0 displaystyle p A A 0 tobto pri pidstanovci samoyi matrici v harakteristichnij mnogochlen otrimayemo nulovu matricyu Div takozh RedaguvatiMatricya Kartana Matricya Gessenberga Teoriya matric Formula Lejbnica dlya viznachnikivPidvidi matric virodzheni nevirodzheni obernena perestavni podibni kongruentni normalni unitarni ortogonalni samospryazheni simetrichni kosoermitovi kososimetrichni dodatnooznacheni proyekcijni diagonalni odinichni Dzherela RedaguvatiGantmaher F R Teoriya matric 5 e M Fizmatlit 2010 559 s ISBN 5 9221 0524 8 ros R Horn Ch Dzhonson Matrichnyj analiz M Mir 1989 653 s ros Brown William C 1991 Matrices and vector spaces New York NY Marcel Dekker ISBN 978 0 8247 8419 5 Mirsky Leonid 1990 An Introduction to Linear Algebra Courier Dover Publications ISBN 978 0 486 66434 7 Primitki Redaguvati Horn Johnson 1985 Theorem 2 5 6 Brown 1991 Definitions I 2 28 and Definition I 5 13 Horn amp Johnson 1985 Chapter 7 Horn amp Johnson 1985 Theorem 7 2 1 Horn amp Johnson 1985 Example 4 0 6 p 169 Brown 1991 Definition III 2 1 Brown 1991 Theorem III 2 12 Brown 1991 Corollary III 2 16 Mirsky 1990 Theorem 1 4 1 Brown 1991 Theorem III 3 18 Eigen means ownin German and in Dutch Brown 1991 Definition III 4 1 Brown 1991 Definition III 4 9 Brown 1991 Corollary III 4 10 Otrimano z https uk wikipedia org w index php title Kvadratna matricya amp oldid 36887172