www.wikidata.uk-ua.nina.az

Обертання математика Поверта ння у геометрії та лінійній алгебрі рух який зберігає орієнтацію простору площини та має не

Обертання (математика)

Поверта́ння у геометрії та лінійній алгебрі — рух, який зберігає орієнтацію простору (площини) та має нерухомі точки.

Обертання об'єкта на площині навколо точки
У Вікіпедії є статті про інші значення цього терміна: Поворот.

Повертання відрізняється від паралельного перенесення, яке не має нерухомих точок, однак зберігає орієнтацію. Також відрізняється від відбиття, яке змінює орієнтацію, хоча має нерухомі точки. Повертання та інші згадані перетворення є ізометріями; вони залишають незмінними відстані між двома будь-якими точками.

У двовимірному просторі Редагувати

Пласке повертання навколо точки після попереднього обертання в результаті дає або обертання (як на малюнку), або паралельне перенесення.
Відбиття відносно осі після відбиття відносно іншої не паралельної першій осі дає в результаті обертання навколо точки перетину осей.

Достатньо одного кута для визначення обертання на площині - кута обертання. Для обчислення обертання можна використовувати один з двох методів, або матричну алгебру, або комплексні числа.

Матрична алгебра Редагувати

Для проведення обертання з використанням матриць, точку записують у вигляді вектора, потім множать на матрицю від кута , схожу на:

координати точки після обертання, і можуть бути записані так:

Вектори і мають один і той самий розмір і відокремлені кутом , як і очікувалось.

Комплексні числа Редагувати

Точку також можна обертати за допомогою комплексних чисел. Множина всіх цих чисел, комплексна площина, геометрично являє собою двовимірну площину. Точка на площині представлена комплексним числом

Обертання точки на кут можна здійснити множенням , розгорнемо формулу використавши формулу Ейлера:

що нам дає такий самий як і раніше результат,

Як і комплексні числа обертання в двовимірному просторі комутативні, на відміну від вищих вимірів. Вони мають тільки одну ступінь свободи, тобто обертання однозначно визначено кутом обертання.

У тривимірному просторі Редагувати

Обертання в звичайному тривимірному просторі суттєво відрізняється від двовимірного обертання. Такі обертання, як правило, не комутативні, тобто, результат двох обертань залежить від порядку їх виконання. Вони мають три ступеня свободи, так само як і розмірність простору.

Тривимірне обертання може бути задано різними способами. Найпопулярніші з них такі:

Матрична алгебра Редагувати

Матриця використовується для переведення точки (x, y, z) в (x′, y′, z′). Розмір матриці 3 × 3:

Для отримання результату множимо матрицю на вектор, що представляє початкову точку

Матриця є елементом тривимірної ортогональної групи, SO(3), це ортогональна матриця з визначником 1. Через ортогональність рядки матриці є набором ортогональних одиничних векторів (тобто вони є ортонормованим базисом), так само як і стовпці, що полегшує перевірку, чи дійсно це матриця обертання. Якщо ж визначник −1 (матрична група O(3), ), тоді перетворення буде відбиттям або невласним перетворенням.

Матриці часто використовують для перетворень, особливо коли мова йде про велику кількість точок, через те що вони є прямим представленням лінійного відображення. Обертання представленні іншим чином часто переводяться в матричне представлення. Вони можуть бути розширені для представлення обертань і перетворень в однорідних координатах. Перетворення в проективному просторі представленні матрицею 4 х 4, яка не є матрицею обертання, але яке має її в своєму верхньому лівому куті.

Найбільший недолік у використанні матриць — велика кількість обчислень. Особливо це відчувається в системах, де числова стійкість дуже важлива[джерело?].

Ейлерові кути Редагувати

Крен, тангаж і рискання - основні осі обертання в просторі.

Один з варіантів узагальнення двовимірного кута — задання трьох кутів обертання (навколо трьох координатних осей). В аеродинаміці ці кути називають крен, тангаж і рискання, а в математиці застосовують термін ейлерові кути. Спосіб має переваги при моделюванні таких фізичних систем як джойстик, легко візуалізується, і це дуже компактний спосіб зберігати інформацію про обертання. Але їх важко використовувати в обчисленнях через те, що навіть такі прості операції, як комбінування обертань, дуже дорогі, також для деяких обертань за трьома кутами неможливо обчислити єдиний вірний варіант (оскільки обертання у тривимірному просторі некомутативні).

Кватерніони Редагувати

Кватерніон обертання складається з чотирьох чисел, його довжина вважається рівною 1. Це обмежує кількість ступенів свободи трьома ступенями. Кватерніони можна розглядати як узагальнення поняття комплексних чисел за процедурою Келі — Діксона, вони породжують обертання через множення. Але, на відміну від матриць і комплексних чисел, необхідно лише два множення:

У чотиривимірному просторі Редагувати

Цей розділ потребує доповнення. (січень 2010)

Див. також Редагувати

Джерела Редагувати

  1. Lounesto, 2001, с. 30.

Література Редагувати

  • Hestenes, David (1999). New Foundations for Classical Mechanics. Dordrecht: Kluwer Academic Publishers. ISBN 0-7923-5514-8. 
  • Lounesto, Pertti (2001). Clifford algebras and spinors. Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-00551-7. 
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри
Дата публікації:
Poverta nnya u geometriyi ta linijnij algebri ruh yakij zberigaye oriyentaciyu prostoru ploshini ta maye neruhomi tochki Obertannya ob yekta na ploshini navkolo tochki O displaystyle O U Vikipediyi ye statti pro inshi znachennya cogo termina Povorot Povertannya vidriznyayetsya vid paralelnogo perenesennya yake ne maye neruhomih tochok odnak zberigaye oriyentaciyu Takozh vidriznyayetsya vid vidbittya yake zminyuye oriyentaciyu hocha maye neruhomi tochki Povertannya ta inshi zgadani peretvorennya ye izometriyami voni zalishayut nezminnimi vidstani mizh dvoma bud yakimi tochkami Zmist 1 U dvovimirnomu prostori 1 1 Matrichna algebra 1 2 Kompleksni chisla 2 U trivimirnomu prostori 2 1 Matrichna algebra 2 2 Ejlerovi kuti 2 3 Kvaternioni 3 U chotirivimirnomu prostori 4 Div takozh 5 Dzherela 6 LiteraturaU dvovimirnomu prostori Redaguvati nbsp Plaske povertannya navkolo tochki pislya poperednogo obertannya v rezultati daye abo obertannya yak na malyunku abo paralelne perenesennya nbsp Vidbittya vidnosno osi pislya vidbittya vidnosno inshoyi ne paralelnoyi pershij osi daye v rezultati obertannya navkolo tochki peretinu osej Dostatno odnogo kuta dlya viznachennya obertannya na ploshini kuta obertannya Dlya obchislennya obertannya mozhna vikoristovuvati odin z dvoh metodiv abo matrichnu algebru abo kompleksni chisla Matrichna algebra Redaguvati Dlya provedennya obertannya z vikoristannyam matric tochku x y displaystyle x y nbsp zapisuyut u viglyadi vektora potim mnozhat na matricyu vid kuta 8 displaystyle theta nbsp shozhu na x y cos 8 sin 8 sin 8 cos 8 x y displaystyle begin bmatrix x y end bmatrix begin bmatrix cos theta amp sin theta sin theta amp cos theta end bmatrix begin bmatrix x y end bmatrix nbsp x y displaystyle x y nbsp koordinati tochki pislya obertannya x displaystyle x nbsp i y displaystyle y nbsp mozhut buti zapisani tak x x cos 8 y sin 8 y x sin 8 y cos 8 displaystyle left begin aligned x amp x cos theta y sin theta y amp x sin theta y cos theta end aligned right nbsp Vektori x y displaystyle begin bmatrix x y end bmatrix nbsp i x y displaystyle begin bmatrix x y end bmatrix nbsp mayut odin i toj samij rozmir i vidokremleni kutom 8 displaystyle theta nbsp yak i ochikuvalos Kompleksni chisla Redaguvati Tochku takozh mozhna obertati za dopomogoyu kompleksnih chisel Mnozhina vsih cih chisel kompleksna ploshina geometrichno yavlyaye soboyu dvovimirnu ploshinu Tochka x y displaystyle x y nbsp na ploshini predstavlena kompleksnim chislom z x i y displaystyle z x iy nbsp Obertannya tochki na kut 8 displaystyle theta nbsp mozhna zdijsniti mnozhennyam e i 8 displaystyle e i theta nbsp rozgornemo formulu vikoristavshi formulu Ejlera e i 8 z cos 8 i sin 8 x i y x cos 8 i y cos 8 i x sin 8 y sin 8 x cos 8 y sin 8 i x sin 8 y cos 8 x i y displaystyle begin aligned e i theta z amp cos theta i sin theta x iy amp x cos theta iy cos theta ix sin theta y sin theta amp x cos theta y sin theta i x sin theta y cos theta amp x iy end aligned nbsp sho nam daye takij samij yak i ranishe rezultat x x cos 8 y sin 8 y x sin 8 y cos 8 displaystyle left begin aligned x amp x cos theta y sin theta y amp x sin theta y cos theta end aligned right nbsp Yak i kompleksni chisla obertannya v dvovimirnomu prostori komutativni na vidminu vid vishih vimiriv Voni mayut tilki odnu stupin svobodi tobto obertannya odnoznachno viznacheno kutom obertannya 1 U trivimirnomu prostori RedaguvatiObertannya v zvichajnomu trivimirnomu prostori suttyevo vidriznyayetsya vid dvovimirnogo obertannya Taki obertannya yak pravilo ne komutativni tobto rezultat dvoh obertan zalezhit vid poryadku yih vikonannya Voni mayut tri stupenya svobodi tak samo yak i rozmirnist prostoru Trivimirne obertannya mozhe buti zadano riznimi sposobami Najpopulyarnishi z nih taki Matrichna algebra Redaguvati Dokladnishe Matricya povorotuMatricya vikoristovuyetsya dlya perevedennya tochki x y z v x y z Rozmir matrici 3 3 A a b c d e f g h i displaystyle mathbf A begin pmatrix a amp b amp c d amp e amp f g amp h amp i end pmatrix nbsp Dlya otrimannya rezultatu mnozhimo matricyu na vektor sho predstavlyaye pochatkovu tochku A x y z a b c d e f g h i x y z x y z displaystyle mathbf A begin pmatrix x y z end pmatrix begin pmatrix a amp b amp c d amp e amp f g amp h amp i end pmatrix begin pmatrix x y z end pmatrix begin pmatrix x y z end pmatrix nbsp Matricya A displaystyle mathbf A nbsp ye elementom trivimirnoyi ortogonalnoyi grupi SO 3 ce ortogonalna matricya z viznachnikom 1 Cherez ortogonalnist ryadki matrici ye naborom ortogonalnih odinichnih vektoriv tobto voni ye ortonormovanim bazisom tak samo yak i stovpci sho polegshuye perevirku chi dijsno ce matricya obertannya Yaksho zh viznachnik 1 matrichna grupa O 3 det A 1 displaystyle det A pm 1 nbsp todi peretvorennya bude vidbittyam abo nevlasnim peretvorennyam Matrici chasto vikoristovuyut dlya peretvoren osoblivo koli mova jde pro veliku kilkist tochok cherez te sho voni ye pryamim predstavlennyam linijnogo vidobrazhennya Obertannya predstavlenni inshim chinom chasto perevodyatsya v matrichne predstavlennya Voni mozhut buti rozshireni dlya predstavlennya obertan i peretvoren v odnoridnih koordinatah Peretvorennya v proektivnomu prostori predstavlenni matriceyu 4 h 4 yaka ne ye matriceyu obertannya ale yake maye yiyi v svoyemu verhnomu livomu kuti Najbilshij nedolik u vikoristanni matric velika kilkist obchislen Osoblivo ce vidchuvayetsya v sistemah de chislova stijkist duzhe vazhliva dzherelo Ejlerovi kuti Redaguvati nbsp Kren tangazh i riskannya osnovni osi obertannya v prostori Dokladnishe Ejlerovi kutiOdin z variantiv uzagalnennya dvovimirnogo kuta zadannya troh kutiv obertannya navkolo troh koordinatnih osej V aerodinamici ci kuti nazivayut kren tangazh i riskannya a v matematici zastosovuyut termin ejlerovi kuti Sposib maye perevagi pri modelyuvanni takih fizichnih sistem yak dzhojstik legko vizualizuyetsya i ce duzhe kompaktnij sposib zberigati informaciyu pro obertannya Ale yih vazhko vikoristovuvati v obchislennyah cherez te sho navit taki prosti operaciyi yak kombinuvannya obertan duzhe dorogi takozh dlya deyakih obertan za troma kutami nemozhlivo obchisliti yedinij virnij variant oskilki obertannya u trivimirnomu prostori nekomutativni Kvaternioni Redaguvati Dokladnishe Kvaternioni i povoroti prostoruKvaternion obertannya skladayetsya z chotiroh chisel jogo dovzhina vvazhayetsya rivnoyu 1 Ce obmezhuye kilkist stupeniv svobodi troma stupenyami Kvaternioni mozhna rozglyadati yak uzagalnennya ponyattya kompleksnih chisel za proceduroyu Keli Diksona voni porodzhuyut obertannya cherez mnozhennya Ale na vidminu vid matric i kompleksnih chisel neobhidno lishe dva mnozhennya x q x q 1 displaystyle mathbf x qxq 1 nbsp U chotirivimirnomu prostori RedaguvatiCej rozdil potrebuye dopovnennya sichen 2010 Obertannya v psevdoekvlidovomu prostori Minkovskogo zadayutsya peretvorennyami Lorenca Div takozh RedaguvatiChislo obertannyaDzherela Redaguvati Lounesto 2001 s 30 Literatura RedaguvatiHestenes David 1999 New Foundations for Classical Mechanics Dordrecht Kluwer Academic Publishers ISBN 0 7923 5514 8 Lounesto Pertti 2001 Clifford algebras and spinors Cambridge Cambridge University Press ISBN 978 0 521 00551 7 Otrimano z https uk wikipedia org w index php title Obertannya matematika amp oldid 39211026