www.wikidata.uk-ua.nina.az

Проєктивний простір У математиці проєктивним простором називають множину елементами якої є прямі одновимірні підпростори

Проєктивний простір

У математиці проєктивним простором називають множину елементами якої є прямі (одновимірні підпростори) деякого лінійного простору. Розділ математики, що вивчає проєктивні простори — проєктивна геометрія. Окрім того проєктивні простори застосовуються у алгебраїчній геометрії, теорії еліптичних кривих, топології, комп'ютерній графіці.

Визначення Редагувати

Прямі евклідова простору, що проходять через початок координат, можна уявити точками проєктивної площини

Нехай  — деякий векторний простір розмірності над тілом . Тоді проєктивним простором розмірності над тілом називається множина класів еквівалентності ~ де відношення еквівалентності ~ задається таким чином: два ненульові елементи є еквівалентними тоді і тільки тоді, коли існує , такий що . Іншими словами, два елементи векторного простору є еквівалентними, якщо вони належать одному підпростору розмірності 1 (або, менш формально, лежать на одній прямій). Класи еквівалентності називаються точками проєктивного простору.

У простішому нетривіальному випадку визначається як множина прямих тривимірного евклідова простору, що проходять черех початок координат, в цих термінах пряма є точкою . З топологічної точки зору — це сфера , в якої ототожнені протилежні точки (або напівсфера, в якої ототожнені протилежні точки граничної окружності).

Однорідні координати Редагувати

У проєктивному просторі можна задати координати. Нехай  — деяка точка проєктивного простору. За визначенням вона є класом еквівалентності елементів векторного простору (або класом еквівалентності точок відповідного афінного простору). Тоді координати якогось із представників цього класу можна прийняти як координати відповідної точки проєктивного простору. З визначень отримується, що координати і (де ) визначають одну точку проєктивного простору. Якщо остання координата не рівна нулю координатний запис як правило унормовують так, щоб вона була рівна одиниці.

Афінні і проєктивні простори Редагувати

Всі точки проєктивного простору можна поділити на дві множини в залежності від того чи рівна остання координата нулю чи ні. Якщо вона не рівна нулю то, як правило використовується такий координатний запис при якому вона рівна одиниці. Тоді можна задати природне вкладення афінного простору в проєктивний простір визначене ін'єкцією:

Точки, що не мають прообразу при цьому відображенні (тобто точки виду ) називаються «точками в безмежності». Вони є - вимірним проєктивним підпростором простору . Через таке вкладення багато об'єктів афінних просторів мають свої відповідники у проєктивному просторі. Наприклад у випадку афінної і проєктивної площин прямій:

відповідає пряма:

Підставивши в дане рівняння легко переконатися, що для всіх точок, що лежать на прямій в афінному випадку, відповідні точки лежать на прямій у проєктивному випадку. Крім того у проєктивному випадку даній прямій належить «точка в безмежності» з координатами . В загальному випадку гіперплощині:

в афінному просторі відповідає:

в проєктивному просторі. Многочлену степеня відповідає однорідний многочлен . На відміну від афінних просторів у проєктивному просторі гіперплощини розмірності заважди перетинаються і перетином є проєктивний підпростір розмірності . Наприклад якщо дві прямі і на афінній площині перетинаються в точці то прямі і на проєктивній площині перетинаються в точці . Якщо ж ці прямі паралельні то проєктивні прямі перетинаються в точці (або оскільки у випадку паралельних прямих ці координати позначають одну і ту ж точку). Окрім того, на відміну від афінного простору, проєктивний простір є компактним. Ці та інші властивості роблять проєктивні простори зручнішими ніж афінні у багатьох областях математичних досліджень, зокрема у алгебраїчній геометрії, теорії еліптичних кривих та ін.

Аксіоматика проєктивних просторів Редагувати

Проєктивний простір також може бути визначений за допомогою наступних аксіом для деякої множини (множини точок) і множини підмножин з (множини прямих).

Площина Фано — приклад скінченного проєктивного простору
  1. Для довільних точок і існує єдина пряма якій належать обидві ці точки.
  2. Довільна пряма містить не менше трьох точок.
  3. Якщо ,,, — відмінні точки і прямі і перетинаються, то перетинаються також прямі і .

Для визначених таким чином об'єктів можна визначити розмірність. Якщо складається з однієї точки то розмірність такого простору рівна 0. Якщо всі точки знаходяться на одній прямій — розмірність рівна 1. Якщо є більше однієї прямої і всі прямі перетинаються — розмірність рівна 2. В інших випадках розмірність більша ніж 2.

Згідно з теоремою Веблена-Юнга дане означення еквівалентне поданим вище для всіх розмірностей окрім розмірності 2, коли всі прямі перетинаються. У випадку розмірності 2 існують об'єкти — недезаргові площини, що не можуть бути визначені через векторні простори над деяким тілом.

Див. також Редагувати

Посилання Редагувати

Джерела Редагувати

  • Бурбакі Н. Загальна топологія: Топологічні групи. Числа і пов'язані з ними групи і простори. — М. : Наука, 1969. — С. 392. — (Елементи математики)(рос.)
  • Артин Э. Геометрическая алгебра — М.: Наука, 1969.
  • Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Т. Современная геометрия. Методы и приложения. — М.: Наука, 1979.
  • Хартсхорн Р. Основы проективной геометрии — М.: Мир, 1970.
  • Шафаревич И. Р., Ремизов А. О. Линейная алгебра и геометрия, — Физматлит, Москва, 2009.
  • Александров А. Д., Нецветаев Н. Ю. Геометрия. — Наука, Москва, 1990.
  • Бэр Р. Линейная алгебра и проективная геометрия. — УРСС, Москва, 2004.
  • Beutelspacher, Albrecht; Rosenbaum, Ute (1998), Projective geometry: from foundations to applications, Cambridge University Press, MR1629468, ISBN 978-0-521-48277-6; 978-0-521-48364-3
  • Casse, Rey Projective Geometry: An Introduction,
  • Coxeter, Harold Scott MacDonald (1974), Projective geometry, Toronto, Ont.: University of Toronto Press, MR0346652, OCLC 977732
  • Dembowski, P. (1968), Finite geometries, Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete, Band 44, Berlin, New York: Springer-Verlag, MR0233275
  • Greenberg, M.J.; Euclidean and non-Euclidean geometries, 2nd ed. Freeman (1980).
  • Hartshorne, Robin (1977), Algebraic Geometry, Berlin, New York: Springer-Verlag, MR0463157, ISBN 978-0-387-90244-9 Oxford University Press, ISBN 0-19-929885-8
  • Hilbert, D. and Cohn-Vossen, S.; Geometry and the imagination, 2nd ed. Chelsea (1999).
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри
Дата публікації:
U matematici proyektivnim prostorom nazivayut mnozhinu elementami yakoyi ye pryami odnovimirni pidprostori deyakogo linijnogo prostoru Rozdil matematiki sho vivchaye proyektivni prostori proyektivna geometriya Okrim togo proyektivni prostori zastosovuyutsya u algebrayichnij geometriyi teoriyi eliptichnih krivih topologiyi komp yuternij grafici Zmist 1 Viznachennya 1 1 Odnoridni koordinati 2 Afinni i proyektivni prostori 3 Aksiomatika proyektivnih prostoriv 4 Div takozh 5 Posilannya 6 DzherelaViznachennya Redaguvati nbsp Pryami evklidova prostoru sho prohodyat cherez pochatok koordinat mozhna uyaviti tochkami proyektivnoyi ploshiniNehaj V K n 1 displaystyle V K n 1 nbsp deyakij vektornij prostir rozmirnosti n 1 displaystyle n 1 nbsp nad tilom K displaystyle K nbsp Todi proyektivnim prostorom P K n displaystyle P K n nbsp rozmirnosti n displaystyle n nbsp nad tilom K displaystyle K nbsp nazivayetsya mnozhina klasiv ekvivalentnosti V K n 1 0 displaystyle V K n 1 0 nbsp de vidnoshennya ekvivalentnosti zadayetsya takim chinom dva nenulovi elementi v 1 v 2 V K n 1 displaystyle v 1 v 2 in V K n 1 nbsp ye ekvivalentnimi todi i tilki todi koli isnuye k K displaystyle k in K nbsp takij sho v 1 k v 2 displaystyle v 1 kv 2 nbsp Inshimi slovami dva elementi vektornogo prostoru ye ekvivalentnimi yaksho voni nalezhat odnomu pidprostoru rozmirnosti 1 abo mensh formalno lezhat na odnij pryamij Klasi ekvivalentnosti nazivayutsya tochkami proyektivnogo prostoru U prostishomu netrivialnomu vipadku P R 2 displaystyle P R 2 nbsp viznachayetsya yak mnozhina pryamih trivimirnogo evklidova prostoru sho prohodyat chereh pochatok koordinat v cih terminah pryama R 3 displaystyle R 3 nbsp ye tochkoyu P 2 displaystyle P 2 nbsp Z topologichnoyi tochki zoru ce sfera S 2 displaystyle S 2 nbsp v yakoyi ototozhneni protilezhni tochki abo napivsfera v yakoyi ototozhneni protilezhni tochki granichnoyi okruzhnosti Odnoridni koordinati Redaguvati U proyektivnomu prostori P K n displaystyle P K n nbsp mozhna zadati koordinati Nehaj x P K n displaystyle x in P K n nbsp deyaka tochka proyektivnogo prostoru Za viznachennyam vona ye klasom ekvivalentnosti elementiv vektornogo prostoru V K n 1 displaystyle V K n 1 nbsp abo klasom ekvivalentnosti tochok vidpovidnogo afinnogo prostoru Todi koordinati x 0 x 1 x n displaystyle x 0 x 1 x n nbsp yakogos iz predstavnikiv cogo klasu mozhna prijnyati yak koordinati vidpovidnoyi tochki proyektivnogo prostoru Z viznachen otrimuyetsya sho koordinati x 0 x 1 x n displaystyle x 0 x 1 x n nbsp i k x 0 k x 1 k x n displaystyle kx 0 kx 1 kx n nbsp de k K k 0 displaystyle k in K quad k neq 0 nbsp viznachayut odnu tochku proyektivnogo prostoru Yaksho ostannya koordinata ne rivna nulyu koordinatnij zapis yak pravilo unormovuyut tak shob vona bula rivna odinici Afinni i proyektivni prostori RedaguvatiVsi tochki proyektivnogo prostoru mozhna podiliti na dvi mnozhini v zalezhnosti vid togo chi rivna ostannya koordinata nulyu chi ni Yaksho vona ne rivna nulyu to yak pravilo vikoristovuyetsya takij koordinatnij zapis pri yakomu vona rivna odinici Todi mozhna zadati prirodne vkladennya afinnogo prostoru A K n displaystyle A K n nbsp v proyektivnij prostir P K n displaystyle P K n nbsp viznachene in yekciyeyu x 1 x 2 x n x 1 x 2 x n 1 displaystyle x 1 x 2 x n mapsto x 1 x 2 x n 1 nbsp Tochki sho ne mayut proobrazu pri comu vidobrazhenni tobto tochki vidu y 1 y 2 y n 0 displaystyle y 1 y 2 ldots y n 0 nbsp nazivayutsya tochkami v bezmezhnosti Voni ye n 1 displaystyle n 1 nbsp vimirnim proyektivnim pidprostorom prostoru P K n displaystyle P K n nbsp Cherez take vkladennya bagato ob yektiv afinnih prostoriv mayut svoyi vidpovidniki u proyektivnomu prostori Napriklad u vipadku afinnoyi i proyektivnoyi ploshin pryamij a x b y c 0 displaystyle ax by c 0 nbsp vidpovidaye pryama a X b Y c Z 0 displaystyle aX bY cZ 0 nbsp Pidstavivshi Z 1 displaystyle Z 1 nbsp v dane rivnyannya legko perekonatisya sho dlya vsih tochok sho lezhat na pryamij v afinnomu vipadku vidpovidni tochki lezhat na pryamij u proyektivnomu vipadku Krim togo u proyektivnomu vipadku danij pryamij nalezhit tochka v bezmezhnosti z koordinatami b a 0 displaystyle b a 0 nbsp V zagalnomu vipadku giperploshini a 1 x 1 a 2 x 2 a n x n a n 1 0 displaystyle a 1 x 1 a 2 x 2 a n x n a n 1 0 nbsp v afinnomu prostori vidpovidaye a 1 X 1 a 2 X 2 a n X n a n 1 X n 1 0 displaystyle a 1 X 1 a 2 X 2 a n X n a n 1 X n 1 0 nbsp v proyektivnomu prostori Mnogochlenu P x 1 x 2 x n displaystyle P x 1 x 2 x n nbsp stepenya d displaystyle d nbsp vidpovidaye odnoridnij mnogochlen P X 1 X 2 X n X n 1 X n 1 d p X 1 X n 1 X 2 X n 1 X n X n 1 displaystyle P X 1 X 2 X n X n 1 X n 1 d p left frac X 1 X n 1 frac X 2 X n 1 frac X n X n 1 right nbsp Na vidminu vid afinnih prostoriv u proyektivnomu prostori giperploshini rozmirnosti n displaystyle n nbsp zavazhdi peretinayutsya i peretinom ye proyektivnij pidprostir rozmirnosti n 1 displaystyle n 1 nbsp Napriklad yaksho dvi pryami a 1 x b 1 y c 1 0 displaystyle a 1 x b 1 y c 1 0 nbsp i a 2 x b 2 y c 2 0 displaystyle a 2 x b 2 y c 2 0 nbsp na afinnij ploshini peretinayutsya v tochci x 0 y 0 displaystyle x 0 y 0 nbsp to pryami a 1 X b 1 Y c 1 Z 0 displaystyle a 1 X b 1 Y c 1 Z 0 nbsp i a 2 X b 2 Y c 2 Z 0 displaystyle a 2 X b 2 Y c 2 Z 0 nbsp na proyektivnij ploshini peretinayutsya v tochci x 0 y 0 1 displaystyle x 0 y 0 1 nbsp Yaksho zh ci pryami paralelni to proyektivni pryami peretinayutsya v tochci b 1 a 1 0 displaystyle b 1 a 1 0 nbsp abo b 2 a 2 0 displaystyle b 2 a 2 0 nbsp oskilki u vipadku paralelnih pryamih ci koordinati poznachayut odnu i tu zh tochku Okrim togo na vidminu vid afinnogo prostoru proyektivnij prostir ye kompaktnim Ci ta inshi vlastivosti roblyat proyektivni prostori zruchnishimi nizh afinni u bagatoh oblastyah matematichnih doslidzhen zokrema u algebrayichnij geometriyi teoriyi eliptichnih krivih ta in Aksiomatika proyektivnih prostoriv RedaguvatiProyektivnij prostir takozh mozhe buti viznachenij za dopomogoyu nastupnih aksiom dlya deyakoyi mnozhini P displaystyle P nbsp mnozhini tochok i mnozhini L displaystyle L nbsp pidmnozhin z P displaystyle P nbsp mnozhini pryamih nbsp Ploshina Fano priklad skinchennogo proyektivnogo prostoruDlya dovilnih tochok p displaystyle p nbsp i q displaystyle q nbsp isnuye yedina pryama yakij nalezhat obidvi ci tochki Dovilna pryama mistit ne menshe troh tochok Yaksho a displaystyle a nbsp b displaystyle b nbsp c displaystyle c nbsp d displaystyle d nbsp vidminni tochki i pryami a b displaystyle ab nbsp i c d displaystyle cd nbsp peretinayutsya to peretinayutsya takozh pryami a c displaystyle ac nbsp i b d displaystyle bd nbsp Dlya viznachenih takim chinom ob yektiv mozhna viznachiti rozmirnist Yaksho P displaystyle P nbsp skladayetsya z odniyeyi tochki to rozmirnist takogo prostoru rivna 0 Yaksho vsi tochki znahodyatsya na odnij pryamij rozmirnist rivna 1 Yaksho ye bilshe odniyeyi pryamoyi i vsi pryami peretinayutsya rozmirnist rivna 2 V inshih vipadkah rozmirnist bilsha nizh 2 Zgidno z teoremoyu Veblena Yunga dane oznachennya ekvivalentne podanim vishe dlya vsih rozmirnostej okrim rozmirnosti 2 koli vsi pryami peretinayutsya U vipadku rozmirnosti 2 isnuyut ob yekti nedezargovi ploshini sho ne mozhut buti viznacheni cherez vektorni prostori nad deyakim tilom Div takozh RedaguvatiProyektivno rozshirena chislova pryama Kompleksna proyektivna ploshinaPosilannya RedaguvatiProektivnij prostir Arhivovano 16 lipnya 2010 u Wayback Machine na sajti PlanetMathDzherela RedaguvatiBurbaki N Zagalna topologiya Topologichni grupi Chisla i pov yazani z nimi grupi i prostori M Nauka 1969 S 392 Elementi matematiki ros Artin E Geometricheskaya algebra M Nauka 1969 Dubrovin B A Novikov S P Fomenko A T Sovremennaya geometriya Metody i prilozheniya M Nauka 1979 Hartshorn R Osnovy proektivnoj geometrii M Mir 1970 Shafarevich I R Remizov A O Linejnaya algebra i geometriya Fizmatlit Moskva 2009 Aleksandrov A D Necvetaev N Yu Geometriya Nauka Moskva 1990 Ber R Linejnaya algebra i proektivnaya geometriya URSS Moskva 2004 Beutelspacher Albrecht Rosenbaum Ute 1998 Projective geometry from foundations to applications Cambridge University Press MR1629468 ISBN 978 0 521 48277 6 978 0 521 48364 3 Casse Rey Projective Geometry An Introduction Coxeter Harold Scott MacDonald 1974 Projective geometry Toronto Ont University of Toronto Press MR0346652 OCLC 977732 Dembowski P 1968 Finite geometries Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete Band 44 Berlin New York Springer Verlag MR0233275 Greenberg M J Euclidean and non Euclidean geometries 2nd ed Freeman 1980 Hartshorne Robin 1977 Algebraic Geometry Berlin New York Springer Verlag MR0463157 ISBN 978 0 387 90244 9 Oxford University Press ISBN 0 19 929885 8 Hilbert D and Cohn Vossen S Geometry and the imagination 2nd ed Chelsea 1999 Otrimano z https uk wikipedia org w index php title Proyektivnij prostir amp oldid 36733552