Тіло — алгебрична структура, всі елементи якої утворюють абелеву групу щодо дії додавання, а всі елементи, крім нуля,— мультиплікативну групу і, крім того, обидві групові операції зв'язані між собою законами дистрибутивності. Якщо множення в тілі комутативне, то тіло називається комутативним або полем.
Формальне визначення
Множина з заданими на ній алгебраїчними операціями додавання і множення називається тілом, якщо виконуються умови:
- (комутативність додавання);
- і (асоціативність множення);
- Існують такі елементи , що для довільного виконується (існування нейтральних елементів);
- і (дистрибутивність);
- Для довільного існують , такі, що і ( існування зворотного елемента).
Остання умова виділяє тіло як особливу структуру серед кілець — тіло є кільцем із діленням.
Властивості
- Теорема Веддерберна — довільне скінченне тіло є скінченним полем.
- Кожне тіло є алгеброю з діленням над своїм центром. Зокрема тіло є центральною простою алгеброю над своїм центром.
- Якщо S є простим модулем над кільцем R, то множина всіх ендоморфізмів S є тілом. Довільне тіло можна задати в такий спосіб за допомогою деякого простого модуля
Приклади
- Тіло кватерніонів .
- Тіло дісних чисел
Див. також
Джерела
- Е. Артін (1963). Теорія Галуа. пер. з нім. В.А. Вишенського. Київ: Радянська школа. с. 98. (укр.)