www.wikidata.uk-ua.nina.az

Поле алгебра У Вікіпедії є статті про інші значення цього терміна Поле По ле англ field поле нім körper тіло алгебрична

Поле (алгебра)

У Вікіпедії є статті про інші значення цього терміна: Поле.

По́ле (англ. field — поле, нім. körper — тіло) — алгебрична структура, для якої визначено дві пари бінарних операцій: додавання/віднімання та множення/ділення, що задовольняють умовам, подібним до властивостей арифметичних операцій над раціональними, дійсними або комплексними числами.

Означення

Поле — комутативне кільце , в якому кожен ненульовий елемент має обернений . Більш детально це означає:

Якщо підмножина поля сама утворює поле щодо операцій в (з тими самими нулем й одиницею), то називається підполем а — розширенням поля . Позначається

Історія

Поняття поля неявно застосовувалось Нільсом Абелем та Еваристом Галуа для дослідження розв'язків алгебраїчних рівнянь 5-го та вищих степенів.

1871 року Ріхард Дедекінд запровадив для множини дійсних та комплексних чисел поняття «тіло» (нім. körper), щоб довести їх замкненість щодо арифметичних операцій. Відтоді для позначення полів почала широко застосовуватись літера . 1893 року Е. Г. Мур запровадив для цього поняття назву «поле» (англ. field).

У сучасній математиці розглядаються також і скінченні поля, що відіграють провідну роль у деяких застосуваннях, зокрема, у криптографії та теорії кодування.

Приклади

Так само, множина всіх алгебраїчних чисел замкнена щодо алгебраїчних операцій, а тому утворює поле, яке містить і міститься в .

Ці поля названо на честь Евариста Галуа, який першим розглянув скінченні поля.

  • Мероморфні функції на одиничному крузі , з операціями поточкового додавання та множення, утворюють поле.

Зауваження

  • множина цілих чисел з операціями додавання та множення НЕ утворює поля, тому що, наприклад, 2 не має оберненого в .
  • Для кожного натурального існує єдине (не враховуючи ізоморфізмів) поле Галуа ,

що складається з елементів, але для це поле НЕ дорівнює кільцю лишків . Насправді, , тому не має оберненого в

Термінологія

Характеристика поля , що позначається — це найменше натуральне число , для якого сума ( доданків) дорівнює , якщо ж такого числа не існує, то вважається, що характеристика поля дорівнює нулю. У наведеному означенні та позначають "абстрактні" нуль та одиницю поля , тобто нейтральні елементи відповідно додавання та множення в цьому полі, а не звичні числа нуль та одиницю.

Щодо характеристик полів, приклади яких наведено в попередньому розділі, то поля раціональних, дійсних і комплексних чисел, а також поле мероморфних функцій мають характеристику нуль, у той час як будь-яке скінченне поле з елементів, де — просте число, має характеристику

Взагалі, у довільному полі існує єдине найменше (так зване просте) підполе. Це або поле, ізоморфне полю раціональних чисел (якщо ), або поле з елементів, (якщо )

Зокрема, будь-яке розширення поля має таку ж характеристику, як і саме поле. Поля додатної характеристики мають незвичайні властивості, які істотно відрізняють їх від полів із характеристикою нуль.

Поле — алгебраїчно замкнене, якщо будь-який многочлен з коефіцієнтами в має принаймні один корінь у

За основною теоремою алгебри, поле комплексних чисел є алгебраїчно замкнененим, на відміну від поля раціональних чисел і скінченних полів.

Конструкції полів

Припустимо, що комутативне кільце з одиницею не має дільників нуля, тобто для будь-яких із рівності випливає, що або або . Тоді існує єдине найменше поле , яке містить у собі . Це поле називається полем часток кільця і може бути утворено наступним способом (який узагальнює перехід від кільця цілих чисел до поля раціональних чисел ). Спочатку розглядається множина всіх формальних виразів вигляду , де . Ці вирази додаються і множаться на зразок звичайних дробів:

Два вирази називаються еквівалентними, , якщо . Тоді поле часток — це множина класів еквівалентності виразів, з означенними вище операціями. Можна довести, що утворена таким чином структура — це комутативне кільце, де роль нуля та одиниці відіграють класи еквівалентності відповідно та , а класи еквівалентності виразів є замкнененими відносно додавання та множення й утворюють кільце, ізоморфне (для цього потрібно переконатися, що з випливає , а це справджується завдяки відсутності дільників нуля у ). До того ж, будь-який ненульовий клас еквівалентності має обернений , тому ми одержуємо поле.

Якщо застосувати цю конструкцію до кільця поліномів , то одержимо поле раціональних функцій

Див. також

Джерела

Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри
Дата публікації:
U Vikipediyi ye statti pro inshi znachennya cogo termina Pole Po le angl field pole nim korper tilo algebrichna struktura dlya yakoyi viznacheno dvi pari binarnih operacij dodavannya vidnimannya ta mnozhennya dilennya sho zadovolnyayut umovam podibnim do vlastivostej arifmetichnih operacij nad racionalnimi dijsnimi abo kompleksnimi chislami Zmist 1 Oznachennya 2 Istoriya 3 Prikladi 3 1 Zauvazhennya 4 Terminologiya 5 Konstrukciyi poliv 6 Div takozh 7 DzherelaOznachennya RedaguvatiPole komutativne kilce F displaystyle F v yakomu kozhen nenulovij element a 0 displaystyle a neq 0 maye obernenij a 1 F displaystyle a 1 in F Bilsh detalno ce oznachaye F displaystyle F ye komutativnoyu grupoyu po dodavannyu F 0 displaystyle F setminus 0 ye komutativnoyu grupoyu po mnozhennyu mnozhennya ye distributivnim vidnosno dodavannya a b c a c b c a b c F displaystyle a b c a c b c qquad forall a b c in F Yaksho pidmnozhina F displaystyle F polya L displaystyle L sama utvoryuye pole shodo operacij v L displaystyle L z timi samimi nulem j odiniceyu to F displaystyle F nazivayetsya pidpolem L displaystyle L a L displaystyle L rozshirennyam polya F displaystyle F Poznachayetsya L F displaystyle L F Istoriya RedaguvatiPonyattya polya neyavno zastosovuvalos Nilsom Abelem ta Evaristom Galua dlya doslidzhennya rozv yazkiv algebrayichnih rivnyan 5 go ta vishih stepeniv 1871 roku Rihard Dedekind zaprovadiv dlya mnozhini dijsnih ta kompleksnih chisel ponyattya tilo nim korper shob dovesti yih zamknenist shodo arifmetichnih operacij Vidtodi dlya poznachennya poliv pochala shiroko zastosovuvatis litera K displaystyle K 1893 roku E G Mur zaprovadiv dlya cogo ponyattya nazvu pole angl field U suchasnij matematici rozglyadayutsya takozh i skinchenni polya sho vidigrayut providnu rol u deyakih zastosuvannyah zokrema u kriptografiyi ta teoriyi koduvannya Prikladi RedaguvatiPolyami ye mnozhini racionalnih chisel Q displaystyle mathbb Q dijsnih chisel R displaystyle mathbb R kompleksnih chisel C displaystyle mathbb C zi zvichnimi operaciyami dodavannya vidnimannya ta mnozhennya dilennya Kozhne nastupne z cih poliv ye rozshirennyam poperednogo Q R C displaystyle mathbb Q subset mathbb R subset mathbb C Tak samo mnozhina vsih algebrayichnih chisel zamknena shodo algebrayichnih operacij a tomu utvoryuye pole yake mistit Q displaystyle mathbb Q i mistitsya v C displaystyle mathbb C Yaksho p displaystyle p proste chislo to kilce lishkiv mod p displaystyle operatorname mod p ce skinchenne pole z p displaystyle p elementiv yake nazivayetsya polem Galua poryadku p displaystyle p ta poznachayetsyaG F p F p Z p Z displaystyle GF p mathbb F p mathbb Z p mathbb Z Ci polya nazvano na chest Evarista Galua yakij pershim rozglyanuv skinchenni polya Meromorfni funkciyi f z displaystyle f z na odinichnomu kruzi D z z lt 1 displaystyle D z z lt 1 z operaciyami potochkovogo dodavannya ta mnozhennya utvoryuyut pole Zauvazhennya Redaguvati mnozhina cilih chisel Z displaystyle mathbb Z z operaciyami dodavannya ta mnozhennya NE utvoryuye polya tomu sho napriklad 2 ne maye obernenogo v Z displaystyle mathbb Z Dlya kozhnogo naturalnogo n N displaystyle n in mathbb N isnuye yedine ne vrahovuyuchi izomorfizmiv pole Galua G F p n F p n displaystyle GF p n mathbb F p n sho skladayetsya z p n displaystyle p n elementiv ale dlya n 2 displaystyle n geq 2 ce pole NE dorivnyuye kilcyu lishkiv Z p n Z displaystyle mathbb Z p n mathbb Z Naspravdi p p n 1 0 m o d p n displaystyle p cdot p n 1 0 mod p n tomu p 0 displaystyle p neq 0 ne maye obernenogo v Z p n Z displaystyle mathbb Z p n mathbb Z Terminologiya RedaguvatiHarakteristika polya F displaystyle F sho poznachayetsya c h a r F displaystyle charF ce najmenshe naturalne chislo n displaystyle n dlya yakogo suma 1 1 1 displaystyle 1 1 ldots 1 n displaystyle n dodankiv dorivnyuye 0 displaystyle 0 yaksho zh takogo chisla ne isnuye to vvazhayetsya sho harakteristika polya dorivnyuye nulyu U navedenomu oznachenni 0 displaystyle 0 ta 1 displaystyle 1 poznachayut abstraktni nul ta odinicyu polya F displaystyle F tobto nejtralni elementi vidpovidno dodavannya ta mnozhennya v comu poli a ne zvichni chisla nul ta odinicyu Shodo harakteristik poliv prikladi yakih navedeno v poperednomu rozdili to polya racionalnih dijsnih i kompleksnih chisel a takozh pole meromorfnih funkcij mayut harakteristiku nul u toj chas yak bud yake skinchenne pole z q p n displaystyle q p n elementiv de p displaystyle p proste chislo maye harakteristiku p gt 0 displaystyle p gt 0 Vzagali u dovilnomu poli F displaystyle F isnuye yedine najmenshe tak zvane proste pidpole Ce abo pole izomorfne polyu racionalnih chisel Q displaystyle mathbb Q yaksho c h a r F 0 displaystyle charF 0 abo pole G F p displaystyle GF p z p displaystyle p elementiv yaksho c h a r F p displaystyle charF p Zokrema bud yake rozshirennya polya maye taku zh harakteristiku yak i same pole Polya dodatnoyi harakteristiki mayut nezvichajni vlastivosti yaki istotno vidriznyayut yih vid poliv iz harakteristikoyu nul Pole F displaystyle F algebrayichno zamknene yaksho bud yakij mnogochlen z koeficiyentami v F displaystyle F maye prinajmni odin korin u F displaystyle F Za osnovnoyu teoremoyu algebri pole C displaystyle mathbb C kompleksnih chisel ye algebrayichno zamknenenim na vidminu vid polya racionalnih chisel Q displaystyle mathbb Q i skinchennih poliv Konstrukciyi poliv RedaguvatiPripustimo sho komutativne kilce z odiniceyu R displaystyle R ne maye dilnikiv nulya tobto dlya bud yakih a b R displaystyle a b in R iz rivnosti a b 0 displaystyle ab 0 viplivaye sho abo a 0 displaystyle a 0 abo b 0 displaystyle b 0 Todi isnuye yedine najmenshe pole Q R displaystyle Q R yake mistit u sobi R displaystyle R Ce pole nazivayetsya polem chastok kilcya R displaystyle R i mozhe buti utvoreno nastupnim sposobom yakij uzagalnyuye perehid vid kilcya cilih chisel Z displaystyle mathbb Z do polya racionalnih chisel Q displaystyle mathbb Q Spochatku rozglyadayetsya mnozhina vsih formalnih viraziv viglyadu a b displaystyle frac a b de a b R b 0 displaystyle a b in R b neq 0 Ci virazi dodayutsya i mnozhatsya na zrazok zvichajnih drobiv a b c d a d b c b d a b c d a c b d displaystyle frac a b frac c d frac ad bc bd qquad frac a b cdot frac c d frac ac bd Dva virazi nazivayutsya ekvivalentnimi a b a b displaystyle frac a b sim frac a b yaksho a b a b displaystyle ab a b Todi pole chastok Q R displaystyle Q R ce mnozhina klasiv ekvivalentnosti viraziv z oznachennimi vishe operaciyami Mozhna dovesti sho utvorena takim chinom struktura ce komutativne kilce de rol nulya ta odinici vidigrayut klasi ekvivalentnosti vidpovidno 0 1 displaystyle frac 0 1 ta 1 1 displaystyle frac 1 1 a klasi ekvivalentnosti viraziv a 1 displaystyle frac a 1 ye zamknenenimi vidnosno dodavannya ta mnozhennya j utvoryuyut kilce izomorfne R displaystyle R dlya cogo potribno perekonatisya sho z a 1 a 1 displaystyle frac a 1 sim frac a 1 viplivaye a a displaystyle a a a ce spravdzhuyetsya zavdyaki vidsutnosti dilnikiv nulya u R displaystyle R Do togo zh bud yakij nenulovij klas ekvivalentnosti a b a b 0 displaystyle quad frac a b quad a b neq 0 maye obernenij b a a b 1 displaystyle frac b a left frac a b right 1 tomu mi oderzhuyemo pole Yaksho zastosuvati cyu konstrukciyu do kilcya polinomiv K x displaystyle mathbb K x to oderzhimo pole racionalnih funkcij K x Q K x displaystyle mathbb K x Q mathbb K x Div takozh Redaguvati Portal Matematika Tilo algebra Dzherela RedaguvatiVan der Varden B L Algebra Moskva Nauka 1975 623 s ISBN 5 8114 0552 9 ros Leng S Algebra Moskva Mir 1968 564 s ISBN 5458320840 ros Vinberg E B Kurs algebri 4 e izd Moskva MCNMO 2011 592 s ISBN 978 5 94057 685 3 ros Otrimano z https uk wikipedia org w index php title Pole algebra amp oldid 37799189