www.wikidata.uk-ua.nina.az

Мероморфна функція У комплексному аналізі меромо рфною фу нкцією від грец μέρος дріб грец ὅλος вид на підмножині Ω C dis

Мероморфна функція

У комплексному аналізі меромо́рфною фу́нкцією (від грец. μέρος — дріб, грец. ὅλος — вид) на підмножині називається функція, що є голоморфною, на множині , за винятком деякої множини особливих точок , яка не має граничних точок і в кожній з яких функція має полюс (тобто для всіх ). Оскільки множина особливих точок не має граничних точок, вона є не більш, ніж зліченною.

Гамма-функція мероморфна на всій комплексній площині

Будь-яку мероморфну функцію на підмножині можна задати як частку між двома голоморфними функціями (зі знаменником не рівним нулю) визначених на . Отже, мероморфна функція — це відношення двох голоморфних функцій. Така функція буде голоморфною, окрім точок, де знаменник дробу обертається в нуль і значення функції прямує до нескінченності.

З алгебраїчної точки зору, якщо множина зв'язна, тоді множина мероморфних функцій є полем часток множини голоморфних функцій на , яка є областю цілісності . Аналогічно встановлюється залежність між множиною раціональних та цілих чисел.

Відповідно мероморфною функцією на всій комплексній площині є частка будь-яких двох цілих функцій, тобто частки сум двох степеневих рядів, які збігаються у будь-якій точці.

Приклади Редагувати

є мероморфними на всій комплексній площині
  • Функції і дзета-функція Рімана є мероморфними функціями на всій комплексній площині із скінченною кількістю особливих точок. Функція і гамма-функція є мероморфними на всій комплексній площині із нескінченною множиною полюсів.
  • Функція визначена на всій комплексній площині за винятком точки 0. Проте 0 не є полюсом цієї функції і вона не є мероморфною на всій комплексній площині. Звичайно вона є навіть голоморфною у області .
  • Логарифмічна функція не є мероморфною на всій комплексній площині, оскільки її неможливо однозначно визначити на всій комплексній площині за винятком деякої множини ізольованих точок.
  • Функція не є мероморфною на всій комплексній площині, оскільки точка є граничною точкою полюсів функції. Функція теж не є мероморфною оскільки її особлива точка не є полюсом.
  • Важливим класом мероморфних функцій є еліптичні функції.

Мероморфні функції на Ріманових поверхнях Редагувати

Зважаючи на те, що кожна точка ріманової поверхні має окіл, який є гомеоморфним деякій відкритій підмножині комплексної площини, то поняття мероморфної функції є визначеним і на ріманових поверхнях.

На некомпактних ріманових поверхнях мероморфні функції теж є полем часток кільця голоморфних функцій. Для сфери Рімана множина мероморфних функцій рівна множині раціональних функцій. Вона, зрозуміло, не є полем часток голоморфних функцій на сфері Рімана, оскільки всі голоморфні функції є константами.

Будь-яка мероморфна функція задає неперервне відображення області у сферу Рімана , яке є голоморфним відображенням відносно стандартної комплексної структури .

Навпаки, довільне голоморфне відображення , задає мероморфну функцію на . Множина полюсів визначена як прообраз , а для інших точок у функція задається рівністю

Властивості Редагувати

  • Якщо задана дискретна підмножина (скінченна або зліченна) області і в кожній точці — головна частина розкладу Лорана тоді згідно теореми Міттаг-Лефлера існує мероморфна функція для якої множина є множиною полюсів і в кожному полюсі головна частина розкладу в ряд Лорана рівна Теорема Міттаг-Лефлера справедлива також для некомпактних ріманових поверхонь. На компактній рімановій поверхні (наприклад, на торі) потрібні додаткові умови узгодження головних частин.
  • Пов'язаною є задача знаходжень мероморфних функцій з заданими разом з кратностями нулями і полюсами. Якщо задані дві дискретні підмножини і разом із відповідними множинами натуральних чисел і то існує мероморфна функція з нулями кратностей в точках в і полюсами кратностей в точках Дане твердження є наслідком теореми Вейєрштраса про цілі функції.

Див. також Редагувати

Джерела Редагувати

  • Серж Ленг (1999), «Комплексний аналіз» (4 видання), Берлін, Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-98592-3


Це незавершена стаття з математики.
Ви можете допомогти проєкту, виправивши або дописавши її.
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри
Дата публікації:
U kompleksnomu analizi meromo rfnoyu fu nkciyeyu vid grec meros drib grec ὅlos vid na pidmnozhini W C displaystyle Omega subset mathbb C nazivayetsya funkciya sho ye golomorfnoyu na mnozhini W displaystyle Omega za vinyatkom deyakoyi mnozhini osoblivih tochok a 1 a 2 displaystyle a 1 a 2 ldots yaka ne maye granichnih tochok i v kozhnij z yakih funkciya maye polyus tobto lim z a i f z displaystyle lim z to a i f z infty dlya vsih a i displaystyle a i Oskilki mnozhina osoblivih tochok ne maye granichnih tochok vona ye ne bilsh nizh zlichennoyu Gamma funkciya meromorfna na vsij kompleksnij ploshiniBud yaku meromorfnu funkciyu na pidmnozhini W displaystyle Omega mozhna zadati yak chastku mizh dvoma golomorfnimi funkciyami zi znamennikom ne rivnim nulyu viznachenih na W displaystyle Omega Otzhe meromorfna funkciya ce vidnoshennya dvoh golomorfnih funkcij Taka funkciya bude golomorfnoyu okrim tochok de znamennik drobu obertayetsya v nul i znachennya funkciyi pryamuye do neskinchennosti Z algebrayichnoyi tochki zoru yaksho mnozhina W displaystyle Omega zv yazna todi mnozhina meromorfnih funkcij ye polem chastok mnozhini golomorfnih funkcij na W displaystyle Omega yaka ye oblastyu cilisnosti Analogichno vstanovlyuyetsya zalezhnist mizh mnozhinoyu Q displaystyle mathbb Q racionalnih ta Z displaystyle mathbb Z cilih chisel Vidpovidno meromorfnoyu funkciyeyu na vsij kompleksnij ploshini ye chastka bud yakih dvoh cilih funkcij tobto chastki sum dvoh stepenevih ryadiv yaki zbigayutsya u bud yakij tochci Zmist 1 Prikladi 2 Meromorfni funkciyi na Rimanovih poverhnyah 3 Vlastivosti 4 Div takozh 5 DzherelaPrikladi RedaguvatiVsi racionalni funkciyi taki yakf z z 3 2 z 10 z 5 3 z 1 displaystyle f z frac z 3 2z 10 z 5 3z 1 nbsp dd ye meromorfnimi na vsij kompleksnij ploshiniFunkciyi f z e z z f z sin z z 1 2 displaystyle f z frac e z z quad f z frac sin z z 1 2 nbsp i dzeta funkciya Rimana ye meromorfnimi funkciyami na vsij kompleksnij ploshini iz skinchennoyu kilkistyu osoblivih tochok Funkciya f z 1 sin z displaystyle f z frac 1 sin z nbsp i gamma funkciya ye meromorfnimi na vsij kompleksnij ploshini iz neskinchennoyu mnozhinoyu polyusiv Funkciya f z e 1 z displaystyle f z e frac 1 z nbsp viznachena na vsij kompleksnij ploshini za vinyatkom tochki 0 Prote 0 ne ye polyusom ciyeyi funkciyi i vona ne ye meromorfnoyu na vsij kompleksnij ploshini Zvichajno vona ye navit golomorfnoyu u oblasti C 0 displaystyle mathbb C setminus 0 nbsp Logarifmichna funkciya f z ln z displaystyle f z ln z nbsp ne ye meromorfnoyu na vsij kompleksnij ploshini oskilki yiyi nemozhlivo odnoznachno viznachiti na vsij kompleksnij ploshini za vinyatkom deyakoyi mnozhini izolovanih tochok Funkciya f z 1 sin 1 z displaystyle f z frac 1 sin left frac 1 z right nbsp ne ye meromorfnoyu na vsij kompleksnij ploshini oskilki tochka z 0 displaystyle z 0 nbsp ye granichnoyu tochkoyu polyusiv funkciyi Funkciya f z sin 1 z displaystyle f z sin frac 1 z nbsp tezh ne ye meromorfnoyu oskilki yiyi osobliva tochka z 0 displaystyle z 0 nbsp ne ye polyusom Vazhlivim klasom meromorfnih funkcij ye eliptichni funkciyi Meromorfni funkciyi na Rimanovih poverhnyah RedaguvatiZvazhayuchi na te sho kozhna tochka rimanovoyi poverhni maye okil yakij ye gomeomorfnim deyakij vidkritij pidmnozhini kompleksnoyi ploshini to ponyattya meromorfnoyi funkciyi ye viznachenim i na rimanovih poverhnyah Na nekompaktnih rimanovih poverhnyah meromorfni funkciyi tezh ye polem chastok kilcya golomorfnih funkcij Dlya sferi Rimana mnozhina meromorfnih funkcij rivna mnozhini racionalnih funkcij Vona zrozumilo ne ye polem chastok golomorfnih funkcij na sferi Rimana oskilki vsi golomorfni funkciyi ye konstantami Bud yaka meromorfna funkciya f M W displaystyle f in M Omega nbsp zadaye neperervne vidobrazhennya f displaystyle f nbsp oblasti W displaystyle Omega nbsp u sferu Rimana C displaystyle mathbb C cup infty nbsp yake ye golomorfnim vidobrazhennyam vidnosno standartnoyi kompleksnoyi strukturi C C P 1 displaystyle mathbb C cup infty mathbb C P 1 nbsp Navpaki dovilne golomorfne vidobrazhennya f W C displaystyle bar f Omega to mathbb C cup infty nbsp zadaye meromorfnu funkciyu f displaystyle f nbsp na W displaystyle Omega nbsp Mnozhina polyusiv f displaystyle f nbsp viznachena yak proobraz f 1 displaystyle bar f 1 infty nbsp a dlya inshih tochok u W displaystyle Omega nbsp funkciya f displaystyle f nbsp zadayetsya rivnistyu f z f z displaystyle f z bar f z nbsp Vlastivosti RedaguvatiYaksho zadana diskretna pidmnozhina a 1 a 2 displaystyle a 1 a 2 ldots nbsp skinchenna abo zlichenna oblasti W displaystyle Omega nbsp i v kozhnij tochci a i displaystyle a i nbsp golovna chastina rozkladu Lorana g i z j 1 p i c j i z a i j displaystyle g i z sum j 1 p i frac c j i z a i j nbsp todi zgidno teoremi Mittag Leflera isnuye meromorfna funkciya dlya yakoyi mnozhina a 1 a 2 displaystyle a 1 a 2 ldots nbsp ye mnozhinoyu polyusiv i v kozhnomu polyusi a i displaystyle a i nbsp golovna chastina rozkladu v ryad Lorana rivna g i z displaystyle g i z nbsp Teorema Mittag Leflera spravedliva takozh dlya nekompaktnih rimanovih poverhon Na kompaktnij rimanovij poverhni napriklad na tori potribni dodatkovi umovi uzgodzhennya golovnih chastin Pov yazanoyu ye zadacha znahodzhen meromorfnih funkcij z zadanimi razom z kratnostyami nulyami i polyusami Yaksho zadani dvi diskretni pidmnozhini a 1 a 2 displaystyle a 1 a 2 ldots nbsp i b 1 b 2 displaystyle b 1 b 2 ldots nbsp razom iz vidpovidnimi mnozhinami naturalnih chisel n i displaystyle n i nbsp i m j displaystyle m j nbsp to isnuye meromorfna funkciya z nulyami kratnostej n i displaystyle n i nbsp v tochkah v a i displaystyle a i nbsp i polyusami kratnostej m j displaystyle m j nbsp v tochkah b j displaystyle b j nbsp Dane tverdzhennya ye naslidkom teoremi Vejyershtrasa pro cili funkciyi Div takozh RedaguvatiGolomorfna funkciya Racionalna funkciya Sfera Rimana Teorema Mittag LefleraDzherela RedaguvatiSerzh Leng 1999 Kompleksnij analiz 4 vidannya Berlin Nyu Jork Springer Verlag ISBN 978 0 387 98592 3 nbsp Ce nezavershena stattya z matematiki Vi mozhete dopomogti proyektu vipravivshi abo dopisavshi yiyi Otrimano z https uk wikipedia org w index php title Meromorfna funkciya amp oldid 37135234