Teorema Veyershtrassa pro cili funkciyi takozh teorema Veyershtrassa pro faktorizaciyu v kompleksnomu analizi tverdzhennya pro vlastivosti cilih funkcij sho viznachaye isnuvannya cilih funkcij iz zadanimi nulyami z urahuvannyami kratnosti a takozh stverdzhuye dlya dovilnih cilih funkcij isnuvannya analoga rozkladu mnogochleniv na linijni mnozhniki Zmist 1 Tverdzhennya teoremi 2 Dovedennya 3 Prikladi faktorizaciyi 4 Div takozh 5 Posilannya 6 DzherelaTverdzhennya teoremi RedaguvatiNehaj zadana skinchenna abo zlichenna poslidovnist kompleksnih chisel z k displaystyle z k nbsp yaki vvazhatimemo zanumerovanimi tak sho z 1 z 2 z k displaystyle z 1 leqslant z 2 leqslant leqslant z k leqslant nbsp i dlya yakih lim k z k displaystyle lim k to infty z k infty nbsp Todi isnuye cila funkciya f z displaystyle f z nbsp dlya yakoyi z k displaystyle z k nbsp ye mnozhinoyu vsih nuliv i v kozhnij tochci kratnist nulya ye takoyu skilki raz ce chislo ye v poslidovnosti z k displaystyle z k nbsp Yaksho zh deyaka cila funkciya f z displaystyle f z nbsp maye v tochci 0 nul poryadka l displaystyle lambda nbsp i takozh maye svoyimi nulyami chisla z poslidovnosti z k displaystyle z k nbsp z urahuvannya kratnosti cya kilkist ye ne bilsh nizh zlichennoyu to dlya ciyeyi funkciyi spravedliva faktorizaciya f z z l e h z 1 1 z z n exp z z n 1 2 z z n 2 1 p n z z n p n displaystyle f z z lambda e h z prod 1 infty left 1 frac z z n right exp left frac z z n frac 1 2 left frac z z n right 2 dots frac 1 p n left frac z z n right p n right nbsp de h displaystyle h nbsp deyaka cila funkciya a nevid yemni cili chisla p n displaystyle p n nbsp vibrani tak shob garantuvati zbizhnist ryadu 1 z z n p n 1 displaystyle sum 1 infty left frac z z n right p n 1 nbsp Dovedennya RedaguvatiBez obmezhennya zagalnosti mozhna vvazhati sho z 1 0 displaystyle z 1 neq 0 nbsp V inshomu razi zamist funkciyi f z displaystyle f z nbsp vsyudi mozhna rozglyadati funkciyu f z z l displaystyle frac f z z lambda nbsp de l displaystyle lambda nbsp poryadok nulya v tochci 0 Pidberemo nevid yemni cili chisla p n displaystyle p n nbsp tak shob v dovilnomu kruzi z R displaystyle z leqslant R nbsp ryad 1 z z n p n 1 displaystyle sum 1 infty left frac z z n right p n 1 nbsp buv absolyutno i rivnomirno zbizhnim Dostatno napriklad vzyati n p n 1 displaystyle n p n 1 nbsp Pri takomu vibori p n z displaystyle p n z nbsp neskinchennij dobutokf z 1 1 z z n exp z z n 1 2 z z n 2 1 p n z z n p n displaystyle f z prod 1 infty left 1 frac z z n right exp left frac z z n frac 1 2 left frac z z n right 2 dots frac 1 p n left frac z z n right p n right nbsp zbigayetsya na dovilnij kompaktnij mnozhini K displaystyle K nbsp Dlya dovedennya cogo faktu rozglyanemo funkciyu g 3 p 1 3 exp 3 1 2 3 2 1 p 3 p displaystyle g xi p 1 xi exp left xi frac 1 2 xi 2 dots frac 1 p xi p right nbsp Yiyi logarifm rivnij ln g 3 p ln 1 3 3 1 2 3 2 1 p 3 p 1 p 1 3 p 1 1 p 2 3 p 2 displaystyle ln g xi p ln 1 xi xi frac 1 2 xi 2 dots frac 1 p xi p frac 1 p 1 xi p 1 frac 1 p 2 xi p 2 ldots nbsp Pri 3 q lt 1 displaystyle xi leqslant q lt 1 nbsp spravedlivoyu ye ocinka ln g 3 p lt 3 p 1 1 3 3 p 1 1 q displaystyle ln g xi p lt xi p 1 1 xi ldots leqslant frac xi p 1 1 q nbsp Poznachimo K n z C z lt q z n displaystyle K n z in mathbb C z lt q z n nbsp Dlya dovilnoyi kompaktnoyi mnozhini K displaystyle K nbsp isnuye naturalne chislo N displaystyle N nbsp take sho K K n n N displaystyle K subset K n forall n geqslant N nbsp Dlya vsih tak viznachenih n displaystyle n nbsp z poperednih ocinok mayemo sho ln g z z n p n 1 1 q z z n p n 1 displaystyle left ln g left frac z z n p n right right leqslant frac 1 1 q left frac z z n right p n 1 nbsp Todi ryad n N ln g z z n p n g N z displaystyle sum n N infty left ln g left frac z z n p n right right g N z nbsp na K displaystyle K nbsp mazhoruyetsya zbizhnim ryadom N z z n p n 1 displaystyle sum N infty left frac z z n right p n 1 nbsp i vidpovidno g N z displaystyle g N z nbsp ye golomorfnoyu na K displaystyle K nbsp funkciyeyu Yak naslidok neskinchennij dobutok n N g z z n p n exp g N z f N z displaystyle prod n N infty g left frac z z n p n right exp g N z f N z nbsp ye zbizhnim i viznachaye golomorfnu na K displaystyle K nbsp funkciyu sho ne ye rivnoyu nulyu na vsij mnozhini K displaystyle K nbsp Viznachena ranishe funkciya f z displaystyle f z nbsp vidriznyayetsya vid f N z displaystyle f N z nbsp dobutkom na n 1 N 1 g z z n p n displaystyle prod n 1 N 1 g left frac z z n p n right nbsp Cej dobutok maye nuli v tochkah z 1 z z N 1 z displaystyle z 1 z ldots z N 1 z nbsp i lishe v nih Ce zh spravedlivo i dlya f z displaystyle f z nbsp na mnozhini K displaystyle K nbsp Oskilki K displaystyle K nbsp dovilna kompaktna mnozhina to f z displaystyle f z nbsp cila funkciya i maye v C displaystyle mathbb C nbsp zadani nuli z urahuvannyam kratnosti Yaksho teper f z displaystyle f z nbsp dovilna cila funkciya sho ne maye nulya v tochci 0 v inshomu razi znovu zh mozhna rozglyadati funkciyu f z z l displaystyle frac f z z lambda nbsp to poznachivshi yiyi nuli tak sho z 1 z 2 z k displaystyle z 1 leqslant z 2 leqslant leqslant z k leqslant nbsp i pobuduvavshi yak i vishe neskinchennij dobutokf 0 z 1 1 z z n exp z z n 1 2 z z n 2 1 p n z z n p n displaystyle f 0 z prod 1 infty left 1 frac z z n right exp left frac z z n frac 1 2 left frac z z n right 2 dots frac 1 p n left frac z z n right p n right nbsp otrimuyemo sho chastka f z f 0 z displaystyle f z f 0 z nbsp ye ciloyu funkciyeyu bez nuliv i funkciya h z ln f z f 0 z displaystyle h z ln f z f 0 z nbsp ye neobmezheno prodovzhuvanoyu v C displaystyle mathbb C nbsp i zgidno teoremi pro monodromiyu ye ciloyu funkciyeyu Prikladi faktorizaciyi RedaguvatiNizhche podano prikladi faktorizaciyi dlya deyakih cilih funkcij sin p z p z n 0 1 z n e z n p z n 1 1 z 2 n 2 displaystyle sin pi z pi z prod n neq 0 left 1 frac z n right e z n pi z prod n 1 infty left 1 frac z 2 n 2 right nbsp cos p z q Z q odd 1 2 z q e 2 z q n 0 1 4 z 2 2 n 1 2 displaystyle cos pi z prod q in mathbb Z q text odd left 1 frac 2z q right e 2z q prod n 0 infty left 1 frac 4z 2 2n 1 2 right nbsp Div takozh RedaguvatiCila funkciya Teorema Mittag LefleraPosilannya RedaguvatiHazewinkel Michiel red 2001 Weierstrass theorem Matematichna enciklopediya Springer ISBN 978 1 55608 010 4 Dzherela RedaguvatiShabat B V 1976 Vvedenie v kompleksnyj analiz ch I Nauka Greene Robert E Krantz Steven G 2002 Function Theory of One Complex Variable vid 2nd American Mathematical Society ISBN 0 8218 2905 X Otrimano z https uk wikipedia org w index php title Teorema Veyershtrassa pro cili funkciyi amp oldid 36977097
