Cila funkciya funkciya golomorfna na vsij kompleksnij ploshini Vona rozkladayetsya v stepenevij ryad f z n 0 a n z n a n f n z n displaystyle f z sum n geq 0 a n z n quad a n frac f n z n sho ye zbizhnim u vsij ploshini C displaystyle mathbb C Prikladami cilih funkcij ye mnogochleni trigonometrichni funkciyi eksponenta Zmist 1 Vlastivosti 2 Poryadok i tip ciloyi funkciyi 2 1 Prikladi 2 2 Vlastivosti 3 Funkciyi bagatoh zminnih 4 Div takozh 5 LiteraturaVlastivosti RedaguvatiCila funkciya sho maye na neskinchennosti polyus povinna buti mnogochlenom Takim chinom vsi cili funkciyi sho ne ye mnogochlenami mayut na neskinchennosti istotno osoblivu tochku Taki funkciyi nazivayutsya transcendentnimi cilimi funkciyami Yaksho f z 0 displaystyle f z neq 0 nbsp usyudi to f z e P z displaystyle f z e P z nbsp de P z cila funkciya Yaksho funkciya prijmaye znachennya nul v skinchennij mnozhini tochok z 1 z k displaystyle z 1 ldots z k nbsp to f z z z 1 z z k e P z displaystyle f z z z 1 ldots z z k e P z nbsp U zagalnomu vipadku koli u f z maye neskinchenno bagato nuliv z 1 z 2 displaystyle z 1 z 2 ldots nbsp maye misce predstavlennya f z z l e P z 1 1 z a n exp z a n 1 2 z a n 2 1 p n z a n p n displaystyle f z z lambda e P z prod 1 infty left 1 frac z a n right exp left frac z a n frac 1 2 left frac z a n right 2 dots frac 1 p n left frac z a n right p n right nbsp de R z ye ciloyu funkciyeyu a l 0 displaystyle lambda 0 nbsp yaksho f 0 0 displaystyle f 0 neq 0 nbsp i l displaystyle lambda nbsp rivne kratnosti nulya z 0 yaksho f 0 0 displaystyle f 0 0 nbsp Znachennyami dovilnoyi ciloyi funkciyi ne rivnoyi konstanti ye usi kompleksni chisla za vinyatkom mozhlivo odnogo chisla napriklad znachennyami eksponenti ye vsi chisla krim nulya Poryadok i tip ciloyi funkciyi RedaguvatiNehaj M f r max z r f z displaystyle M f r max z leq r f z nbsp Yaksho pri velikih r velichina Mf r zrostaye ne shvidshe r m displaystyle r mu nbsp to f z mnogochlen stepenya ne bilshogo m displaystyle mu nbsp Vidpovidno yaksho f z ne mnogochlen to Mf r roste shvidshe bud yakogo stepenya r Pri ocinci zrostannya Mf r v comu vipadku beretsya yak funkciya porivnyannya pokaznikova funkciya Za viznachennyam f z ye ciloyu funkciyeyu skinchennogo poryadku yaksho isnuye skinchenne m displaystyle mu nbsp take sho M f r lt exp r m r gt r 0 displaystyle M f r lt exp r mu quad r gt r 0 nbsp Nizhnya gran r displaystyle rho nbsp mnozhini chisel m displaystyle mu nbsp sho zadovolnyayut cij umovi nazivayetsya poryadkom ciloyi funkciyi f z Poryadok obchislyuyetsya za formuloyu r r f lim sup r ln ln M f r ln r displaystyle rho rho f limsup r rightarrow infty frac ln ln M f r ln r nbsp Yaksho f z poryadku r displaystyle rho nbsp zadovolnyaye umovi M f r lt exp a r m a lt r gt r 0 displaystyle M f r lt exp alpha r mu quad alpha lt infty quad r gt r 0 nbsp to kazhut sho f z funkciya poryadku r displaystyle rho nbsp i skinchennogo tipu Nizhnya gran s displaystyle sigma nbsp mnozhini chisel a displaystyle alpha nbsp sho zadovolnyayut vkazanij umovi nazivayetsya tipom ciloyi funkciyi f z Vin viznachayetsya z formuli s f lim sup r ln M f r r r displaystyle sigma f limsup r rightarrow infty frac ln M f r r rho nbsp Sered cilih funkcij skinchennogo tipu rozriznyayut cili funkciyi normalnogo tipu s gt 0 displaystyle sigma gt 0 nbsp i minimalnogo tipu s 0 displaystyle sigma 0 nbsp Yaksho umova pri viznachenni tipu ne vikonuyetsya pri bud yakomu a lt displaystyle alpha lt infty nbsp to cila funkciya nazivayetsya ciloyu funkciyeyu maksimalnogo abo neskinchennogo tipu Prikladi Redaguvati Funkciyi exp z displaystyle exp z nbsp i sin z displaystyle sin z nbsp z cos z displaystyle cos z nbsp mayut poryadok 1 Funkciya Mittag Leflera f z n 0 z n G 1 n r displaystyle f z sum n 0 infty frac z n Gamma left 1 frac n rho right nbsp maye poryadok r displaystyle rho nbsp Vlastivosti Redaguvati Poryadok i tip cilih funkcij zadovolnyayut vlastivosti r f g max r f r g displaystyle rho f g leq max rho f rho g nbsp r f g max r f r g displaystyle rho fg leq max rho f rho g nbsp s f g max s f s g displaystyle sigma f g leq max sigma f sigma g nbsp s f g s f s g displaystyle sigma fg leq sigma f sigma g nbsp Nuli z 1 z 2 displaystyle z 1 z 2 ldots nbsp ciloyi funkciyi f z poryadku r displaystyle rho nbsp dlya yakoyi f 0 0 displaystyle f 0 neq 0 nbsp volodiyut vlastivistyu k 1 1 z k r ϵ lt ϵ gt 0 displaystyle sum k 1 infty frac 1 z k rho epsilon lt infty quad forall epsilon gt 0 nbsp Poryadok i tip mozhna viznachiti cherez koeficiyenti rozkladu funkciyi v ryad r f lim sup n n ln n ln 1 a n displaystyle rho f limsup n rightarrow infty frac n ln n ln 1 a n nbsp s f 1 r e lim sup n n a n r n displaystyle sigma f frac 1 rho e limsup n rightarrow infty n a n rho n nbsp Funkciyi bagatoh zminnih RedaguvatiFunkciya bagatoh zminnih f z1 z2 zn ye ciloyu funkciyeyu yaksho vona ye golomorfnoyu dlya z k lt k 1 n displaystyle z k lt infty k 1 ldots n nbsp Dlya neyi vvodyatsya ponyattya poryadku i tipu spryazhenih poryadkiv i tipiv Prostogo predstavlennya u vidi neskinchennogo dobutku tut oderzhati ne vdayetsya tomu sho na vidminu vid vipadku n 1 displaystyle n 1 nbsp nuli f z ne ye izolovanimi Div takozh RedaguvatiGolomorfna funkciya Meromorfna funkciya Teorema Veyershtrassa pro cili funkciyi Formula Yensena Chislova funkciyaLiteratura RedaguvatiEvgrafov M A Asimptoticheskie ocenki i celye funkcii 3 izd M 1979 Levin B Ya Raspredelenie kornej celyh funkcij M 1956 Ronkin L I Vvedenie v teoriyu celyh funkcij mnogih peremennyh M 1971 Ralph P Boas 1954 Entire Functions Academic Press nbsp Ce nezavershena stattya z matematiki Vi mozhete dopomogti proyektu vipravivshi abo dopisavshi yiyi Cya stattya potrebuye dodatkovih posilan na dzherela dlya polipshennya yiyi perevirnosti Bud laska dopomozhit udoskonaliti cyu stattyu dodavshi posilannya na nadijni avtoritetni dzherela Zvernitsya na storinku obgovorennya za poyasnennyami ta dopomozhit vipraviti nedoliki Material bez dzherel mozhe buti piddano sumnivu ta vilucheno gruden 2018 Otrimano z https uk wikipedia org w index php title Cila funkciya amp oldid 39515145
