www.wikidata.uk-ua.nina.az

Дзета функція Рімана Дзе та фу нкція Рі мана ζ s displaystyle displaystyle zeta s визначена за допомогою ряду ζ s n 1 1

Дзета-функція Рімана

Дзе́та-фу́нкція Рі́мана визначена за допомогою ряду:

У області , цей ряд збіжний, є аналітичною функцією і допускає аналітичне продовження на всю комплексну площину без одиниці. У цій області також правильне представлення у вигляді нескінченного добутку (тотожність Ейлера)

де добуток береться по усіх простих числах p. Ця рівність є однією з основних властивостей дзета-функції.

Властивості Редагувати

  • Існують явні формули для значень дзета-функції у парних цілих точках:

де  — число Бернуллі. Зокрема,

Про значення дзета-функції у непарних цілих точках відомо мало: передбачається, що вони є ірраціональними і навіть трансцендентними, але поки доведена лише ірраціональність числа (Роже Апері, 1978). Є також результати, що показують, що серед деякої безлічі значень дзета-функції у наступних непарних точках є хоча б одне ірраціональне.

  • При

де  — функція Мебіуса

де  — число дільників числа

де  — число простих дільників числа

  • допускає аналітичне продовження на всю комплексну -площину і є регулярною функцією для всіх значень , крім , де вона має простий полюс із лишком, рівним 1.
    • Аналітичне продовжена дзета-функція при задовольняє рівняння:

де  — Гамма-функція Ейлера. Це рівняння називається функціональним рівнянням Рімана.

введеною Ріманом для дослідження і званою ксі-функцією Рімана, це рівняння набуває вигляду

Нулі дзета-функції Редагувати

Як випливає із функціонального рівняння Рімана, у напівплощині

функція має лише прості нулі у від'ємних парних точках: . Ці нулі називаються «тривіальними» нулями дзета-функції. Далі при дійсних . Таким чином, усі «нетривіальні» нулі дзета-функції є комплексними числами, і мають властивість симетрії щодо дійсної осі і щодо вертикалі і лежать у смузі , яка називається критичною смугою. Гіпотеза Рімана полягає у тому, що усі «нетривіальні» нулі дзета-функції розташовані на прямій .

Узагальнення Редагувати

Існує досить велика кількість спеціальних функцій, пов'язаних з дзета-функцією Рімана, які об'єднуються загальною назвою дзета-функції і є її узагальненнями. Наприклад:

  • Дзета-функція Лерха[en]:

Історія Редагувати

Як функція дійсної змінної, дзета-функція була введена у 1737 році Ейлером, який і вказав її розклад у добуток.

Потім ця функція розглядалася Діріхле і, особливо успішно, Чебишо́вим при вивченні закону розподілу простих чисел.

Проте найбільш глибокі властивості дзета-функції були виявлені пізніше, після роботи Рімана (1876), де дзета-функція розглянута як функція комплексної змінної.

Формула добутку Ейлера Редагувати

Зв'язок між дзета-функцією і простими числами відкрив Ейлер, який довів таку тотожність:

де лівий бік - це ζ(s), а нескінченний добуток праворуч містить усі прості числа:

Обидва боки формули Ейлера збігаються якщо Re(s) > 1. Доведення тотожності Ейлера використовує лише геометричні ряди і основну теорему арифметики. З того, що гармонічний ряд при s = 1 розбіжний, випливає, що формула Ейлера (яка набуває виду ) тягне за собою існування нескінченної кількості простих чисел.

Формулу добутку Ейлера можна використати, щоб обчислити асимптотичну ймовірність того, що s випадково вибраних цілих чисел помножинно взаємно прості. Інтуїтивно, ймовірність того, що будь-яке окремо взяте число ділиться на просте (або будь-яке ціле число), p становить 1p. Отже, ймовірність, що кожне з s чисел ділиться на це число становить 1ps, а ймовірність, що хоча б одне ні становить 1 − 1ps. Тепер, для різних простих чисел, ці події подільності взаємно незалежні, бо кандидати на дільники взаємно прості (число ділиться на взаємно прості дільники n і m тоді і тільки тоді, коли число ділиться на nm, подія, що відбувається з ймовірністю 1nm). Отже, асимптотична ймовірність того, що s чисел взаємно прості задається через добуток що включає всі прості,

(Щоб довести цей результат формально потрібно більше роботи).

Див. також Редагувати

Примітки Редагувати

  1. Sandifer, Charles Edward (2007). How Euler Did It. Mathematical Association of America. с. 193. ISBN 978-0-88385-563-8. 
  2. Nymann, J. E. (1972). On the probability that k positive integers are relatively prime. Journal of Number Theory 4 (5): 469–473. Bibcode:1972JNT.....4..469N. doi:10.1016/0022-314X(72)90038-8. 

Посилання Редагувати


Це незавершена стаття з математики.
Ви можете допомогти проєкту, виправивши або дописавши її.
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри
Дата публікації:
Dze ta fu nkciya Ri mana z s displaystyle displaystyle zeta s viznachena za dopomogoyu ryadu z s n 1 1 n s displaystyle zeta s sum n 1 infty frac 1 n s U oblasti s Re s gt 1 displaystyle left s operatorname Re s gt 1 right cej ryad zbizhnij ye analitichnoyu funkciyeyu i dopuskaye analitichne prodovzhennya na vsyu kompleksnu ploshinu bez odinici U cij oblasti takozh pravilne predstavlennya u viglyadi neskinchennogo dobutku totozhnist Ejlera z s p 1 1 p s displaystyle zeta s prod p frac 1 1 p s de dobutok beretsya po usih prostih chislah p Cya rivnist ye odniyeyu z osnovnih vlastivostej dzeta funkciyi Zmist 1 Vlastivosti 1 1 Nuli dzeta funkciyi 2 Uzagalnennya 3 Istoriya 4 Formula dobutku Ejlera 5 Div takozh 6 Primitki 7 PosilannyaVlastivosti RedaguvatiIsnuyut yavni formuli dlya znachen dzeta funkciyi u parnih cilih tochkah 2 z 2 m 1 m 1 2 p 2 m 2 m B 2 m displaystyle 2 zeta 2m 1 m 1 frac 2 pi 2m 2m B 2m nbsp dd de B 2 m displaystyle B 2m nbsp chislo Bernulli Zokrema z 2 p 2 6 displaystyle zeta 2 frac pi 2 6 nbsp z 4 p 4 90 displaystyle zeta 4 frac pi 4 90 nbsp dd Pro znachennya dzeta funkciyi u neparnih cilih tochkah vidomo malo peredbachayetsya sho voni ye irracionalnimi i navit transcendentnimi ale poki dovedena lishe irracionalnist chisla z 3 displaystyle zeta 3 nbsp Rozhe Aperi 1978 Ye takozh rezultati sho pokazuyut sho sered deyakoyi bezlichi znachen dzeta funkciyi u nastupnih neparnih tochkah ye hocha b odne irracionalne Pri Re s gt 1 displaystyle operatorname Re s gt 1 nbsp 1 z s n 1 m n n s displaystyle frac 1 zeta s sum n 1 infty frac mu n n s nbsp de m n displaystyle mu n nbsp funkciya Mebiusa z 2 s n 1 t n n s displaystyle zeta 2 s sum n 1 infty frac tau n n s nbsp de t n displaystyle tau n nbsp chislo dilnikiv chisla n displaystyle n nbsp z 2 s z 2 s n 1 2 n n n s displaystyle frac zeta 2 s zeta 2s sum n 1 infty frac 2 nu n n s nbsp de n n displaystyle nu n nbsp chislo prostih dilnikiv chisla n displaystyle n nbsp z s displaystyle zeta s nbsp dopuskaye analitichne prodovzhennya na vsyu kompleksnu s displaystyle s nbsp ploshinu i ye regulyarnoyu funkciyeyu dlya vsih znachen s displaystyle s nbsp krim s 1 displaystyle s 1 nbsp de vona maye prostij polyus iz lishkom rivnim 1 Analitichne prodovzhena dzeta funkciya pri s 0 s 1 displaystyle s neq 0 s neq 1 nbsp zadovolnyaye rivnyannya z s 2 s p s 1 sin p s 2 G 1 s z 1 s displaystyle zeta s 2 s pi s 1 sin pi s over 2 Gamma 1 s zeta 1 s nbsp dd de G z displaystyle Gamma z nbsp Gamma funkciya Ejlera Ce rivnyannya nazivayetsya funkcionalnim rivnyannyam Rimana Dlya funkciyi3 s p s 2 G s 2 z s displaystyle xi s pi s 2 Gamma frac s 2 zeta s nbsp dd vvedenoyu Rimanom dlya doslidzhennya z s displaystyle zeta s nbsp i zvanoyu ksi funkciyeyu Rimana ce rivnyannya nabuvaye viglyadu3 s 3 1 s displaystyle xi s xi 1 s nbsp dd Nuli dzeta funkciyi Redaguvati Osnovna stattya Gipoteza Rimana dd Yak viplivaye iz funkcionalnogo rivnyannya Rimana u napivploshini Re s lt 0 displaystyle operatorname Re s lt 0 nbsp funkciya z s displaystyle zeta s nbsp maye lishe prosti nuli u vid yemnih parnih tochkah 0 z 2 z 4 z 6 displaystyle 0 zeta 2 zeta 4 zeta 6 dots nbsp Ci nuli nazivayutsya trivialnimi nulyami dzeta funkciyi Dali z s 0 displaystyle zeta s not 0 nbsp pri dijsnih s 0 1 displaystyle s in 0 1 nbsp Takim chinom usi netrivialni nuli dzeta funkciyi ye kompleksnimi chislami i mayut vlastivist simetriyi shodo dijsnoyi osi i shodo vertikali Re s 1 2 displaystyle operatorname Re s 1 2 nbsp i lezhat u smuzi 0 Re s 1 displaystyle 0 leq operatorname Re s leq 1 nbsp yaka nazivayetsya kritichnoyu smugoyu Gipoteza Rimana polyagaye u tomu sho usi netrivialni nuli dzeta funkciyi roztashovani na pryamij 1 2 i t displaystyle 1 2 it nbsp Uzagalnennya RedaguvatiIsnuye dosit velika kilkist specialnih funkcij pov yazanih z dzeta funkciyeyu Rimana yaki ob yednuyutsya zagalnoyu nazvoyu dzeta funkciyi i ye yiyi uzagalnennyami Napriklad Dzeta funkciya Gurvica z s q k 0 k q s displaystyle zeta s q sum k 0 infty k q s nbsp yaka zbigayetsya z dzeta funkciyeyu Rimana pri q 1 oskilki sumuvannya vedetsya vid 0 a ne vid 1 Polilogarifm L i s z k 1 z k k s displaystyle mathrm Li s z sum k 1 infty z k over k s nbsp yakij zbigayetsya z dzeta funkciyeyu Rimana pri z 1 Dzeta funkciya Lerha en F z s q k 0 z k k q s displaystyle Phi z s q sum k 0 infty frac z k k q s nbsp yaka zbigayetsya z dzeta funkciyeyu Rimana pri z 1 i q 1 oskilki sumuvannya vedetsya vid 0 a ne vid 1 Istoriya RedaguvatiYak funkciya dijsnoyi zminnoyi dzeta funkciya bula vvedena u 1737 roci Ejlerom yakij i vkazav yiyi rozklad u dobutok Potim cya funkciya rozglyadalasya Dirihle i osoblivo uspishno Chebisho vim pri vivchenni zakonu rozpodilu prostih chisel Prote najbilsh gliboki vlastivosti dzeta funkciyi buli viyavleni piznishe pislya roboti Rimana 1876 de dzeta funkciya rozglyanuta yak funkciya kompleksnoyi zminnoyi Formula dobutku Ejlera RedaguvatiZv yazok mizh dzeta funkciyeyu i prostimi chislami vidkriv Ejler yakij doviv taku totozhnist n 1 1 n s p prime 1 1 p s displaystyle sum n 1 infty frac 1 n s prod p text prime frac 1 1 p s nbsp de livij bik ce z s a neskinchennij dobutok pravoruch mistit usi prosti chisla p prime 1 1 p s 1 1 2 s 1 1 3 s 1 1 5 s 1 1 7 s 1 1 11 s 1 1 p s displaystyle prod p text prime frac 1 1 p s frac 1 1 2 s cdot frac 1 1 3 s cdot frac 1 1 5 s cdot frac 1 1 7 s cdot frac 1 1 11 s cdots frac 1 1 p s cdots nbsp Obidva boki formuli Ejlera zbigayutsya yaksho Re s gt 1 Dovedennya totozhnosti Ejlera vikoristovuye lishe geometrichni ryadi i osnovnu teoremu arifmetiki Z togo sho garmonichnij ryad pri s 1 rozbizhnij viplivaye sho formula Ejlera yaka nabuvaye vidu 1 1 2 1 3 1 4 1 5 2 3 5 7 11 1 2 4 6 10 displaystyle 1 frac 1 2 frac 1 3 frac 1 4 frac 1 5 ldots frac 2 cdot 3 cdot 5 cdot 7 cdot 11 cdot ldots 1 cdot 2 cdot 4 cdot 6 cdot 10 cdot ldots nbsp tyagne za soboyu isnuvannya neskinchennoyi kilkosti prostih chisel 1 Formulu dobutku Ejlera mozhna vikoristati shob obchisliti asimptotichnu jmovirnist togo sho s vipadkovo vibranih cilih chisel pomnozhinno vzayemno prosti Intuyitivno jmovirnist togo sho bud yake okremo vzyate chislo dilitsya na proste abo bud yake cile chislo p stanovit 1 p Otzhe jmovirnist sho kozhne z s chisel dilitsya na ce chislo stanovit 1 ps a jmovirnist sho hocha b odne ni stanovit 1 1 ps Teper dlya riznih prostih chisel ci podiyi podilnosti vzayemno nezalezhni bo kandidati na dilniki vzayemno prosti chislo dilitsya na vzayemno prosti dilniki n i m todi i tilki todi koli chislo dilitsya na nm podiya sho vidbuvayetsya z jmovirnistyu 1 nm Otzhe asimptotichna jmovirnist togo sho s chisel vzayemno prosti zadayetsya cherez dobutok sho vklyuchaye vsi prosti p prime 1 1 p s p prime 1 1 p s 1 1 z s displaystyle prod p text prime left 1 frac 1 p s right left prod p text prime frac 1 1 p s right 1 frac 1 zeta s nbsp Shob dovesti cej rezultat formalno potribno bilshe roboti 2 Div takozh RedaguvatiDzeta funkciyi Dzeta funkciya Gurvica Formula sumuvannya Abelya Spisok ob yektiv nazvanih na chest Berngarda RimanaPrimitki Redaguvati Sandifer Charles Edward 2007 How Euler Did It Mathematical Association of America s 193 ISBN 978 0 88385 563 8 Nymann J E 1972 On the probability that k positive integers are relatively prime Journal of Number Theory 4 5 469 473 Bibcode 1972JNT 4 469N doi 10 1016 0022 314X 72 90038 8 Posilannya RedaguvatiDzeta funkciya Rimana Arhivovano 9 lyutogo 2010 u Wayback Machine from MathWorld Grigorij Mihajlovich Fihtengolc Kurs diferencialnogo ta integralnogo chislennya 2023 1100 s ukr nbsp Ce nezavershena stattya z matematiki Vi mozhete dopomogti proyektu vipravivshi abo dopisavshi yiyi Otrimano z https uk wikipedia org w index php title Dzeta funkciya Rimana amp oldid 40067259