www.wikidata.uk-ua.nina.az

Аналітична функція Аналіти чна фу нкція функція яка збігається зі своїм рядом Тейлора в околі будь якої точки області ви

Аналітична функція

Аналіти́чна фу́нкція — функція, яка збігається зі своїм рядом Тейлора в околі будь-якої точки області визначення.

У випадку функції комплексної змінної ця властивість збігається із властивістю голоморфності.

Означення Редагувати

Означення 1 Редагувати

Однозначна функція називається аналітичною в точці , якщо вона розкладається в ряд Тейлора в околі з центром у цій точці, і цей розклад збігається до функції (в цьому околі). Тобто це функції, які можуть бути виражені степеневими рядами.

Дійсна функція дійсного аргументу називається аналітичною функцією у точці числової осі, якщо можна вказати такий окіл точки , в якому визначена і може бути виражена формулою виду:

де  — дійсні числа.

Можна показати, що , , де

(Дивись Тейлора ряд).

Зауваження Редагувати

Функція, аналітична в кожній точці інтервалу , називається аналітичною функцією на цьому інтервалі. Така функція необмежено диференційована на , але обернене твердження взагалі не має сили, як показує хоч би приклад функції

де

що

не є А. ф. у точці x = 0.

Аналогічно визначається дійсна аналітична функція кількох дійсних аргументів. Усі ці визначення без принципових ускладнень поширюються і на комплекснозначні функції.

Означення 2 Редагувати

Функцію комплексного аргументу називається аналітичною функцією від у точці комплексної числової площини, якщо визначена в певному круговому околі точки і може бути виражена в цьому околі формулою виду:

де  — певні комплексні числа.

Можна показати, що

(див. Тейлора ряд).

Означення 3 Редагувати

Функція, аналітична в кожній точці якоїсь області комплексної числової площини, називається аналітичною в області .

Зауваження Редагувати

Виявляється, що аналітичність в області є наслідком звичайної її диференційовності в . Аналітична функція кількох комплексних аргументів визначають аналогічно. Аналітичні в області функції тісно пов'язані з гармонічними функціями в цій області, що часто зустрічаються при розв'язуванні так званих плоских задач математичної фізики. Цим в основному пояснюється і важливе застосовне значення самих аналітичних функцій.

Розвиток теорії аналітичних функцій Редагувати

У розвитку теорії аналітичних функцій важливу роль відіграли праці Леонарда Ейлера, Оґюстена-Луї Коші, Бернгард Рімана, Карла Вейєршраса.

В дореволюційній Росії істотні результати в застосуванні цієї теорії одержали Софія Василівна Ковалевська, Микола Єгорович Жуковський, С. О. Чаплигін, Г. В. Колосов. Після Жовтневої соціалістичної революції великих успіхів у розвитку теорії аналітичних функцій та їх застосуванні здобули наукові школи, очолювані академіком АН СРСР і УРСР М. О. Лаврентьєвим і професором Г. М. Голузіним. Розроблення проблематики теорії аналітичних функцій в СРСР тісно пов'язане з потребами народного господарства (авіабудівництва, будівництва гідротехнічних споруд та ін.). В УРСР над розробленням проблем теорії аналітичних функцій працюють члени-кореспонденти АН УРСР Наум Ахієзер і М. Г. Крейн, професори Б. Я. Левін, Володимир Олександрович Марченко, Г. М. Положій, В. А. Зморович, П. П. Фільчаков та ін.

Аналітична калібрувальна функція Редагувати

Вираз, в якому вимірювану величину x елемента i представлено як функцію концентрації c або якоїсь певної величини q для одно- або багатокомпонентних систем, де взаємовпливом елементів можна знехтувати: xi = Fi(ci) або xi = Fi (qi).

Див. також Редагувати

Література Редагувати

  • Українська радянська енциклопедія : у 12 т. / гол. ред. М. П. Бажан ; редкол.: О. К. Антонов та ін. — 2-ге вид. — К. : Головна редакція УРЕ, 1974–1985.
  • Ахієзер М. І. Курс теорії функцій. К., 1933;
  • Соколов Ю. Д Елементи теорії функцій комплексної змінної. К., 1954;
  • Привалов И. И. Введение в теорию функций комплексного переменного. Изд. 9. М., 1954,
  • Маркушевич А. И. Теория аналитических функций. М — Л., 1950;
  • Маркушевич А. И. Кратний курс теории аналитических функций. М., 1957;
  • Маркушевич А. И. Очерки по истории теории аналитических функций. М.—Л., 1951.

Посилання Редагувати

Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри
Дата публікації:
Analiti chna fu nkciya funkciya yaka zbigayetsya zi svoyim ryadom Tejlora v okoli bud yakoyi tochki oblasti viznachennya U vipadku funkciyi kompleksnoyi zminnoyi cya vlastivist zbigayetsya iz vlastivistyu golomorfnosti Zmist 1 Oznachennya 1 1 Oznachennya 1 1 2 Zauvazhennya 1 3 Oznachennya 2 1 4 Oznachennya 3 1 5 Zauvazhennya 2 Rozvitok teoriyi analitichnih funkcij 3 Analitichna kalibruvalna funkciya 4 Div takozh 5 Literatura 6 PosilannyaOznachennya RedaguvatiOznachennya 1 Redaguvati Odnoznachna funkciya f R R displaystyle f mathbb R to mathbb R nbsp nazivayetsya analitichnoyu v tochci z 0 displaystyle displaystyle z 0 nbsp yaksho vona rozkladayetsya v ryad Tejlora v okoli z centrom u cij tochci i cej rozklad zbigayetsya do funkciyi f displaystyle displaystyle f nbsp v comu okoli Tobto ce funkciyi yaki mozhut buti virazheni stepenevimi ryadami Dijsna funkciya f x displaystyle displaystyle f x nbsp dijsnogo argumentu x displaystyle displaystyle x nbsp nazivayetsya analitichnoyu funkciyeyu u tochci x displaystyle displaystyle x nbsp chislovoyi osi yaksho mozhna vkazati takij okil x 0 h x 0 h displaystyle displaystyle x 0 h x 0 h nbsp tochki x 0 displaystyle displaystyle x 0 nbsp v yakomu f x displaystyle displaystyle f x nbsp viznachena i mozhe buti virazhena formuloyu vidu f x k 1 a k x x 0 k displaystyle f x sum k 1 infty a k x x 0 k nbsp de a k displaystyle displaystyle a k nbsp dijsni chisla Mozhna pokazati sho a 0 f x 0 displaystyle displaystyle a 0 f x 0 nbsp a k 1 k f k x 0 displaystyle displaystyle a k 1 over k f k x 0 nbsp de k 1 2 3 4 displaystyle displaystyle k 1 2 3 4 dots nbsp Divis Tejlora ryad Zauvazhennya Redaguvati Funkciya analitichna v kozhnij tochci intervalu a b displaystyle displaystyle a b nbsp nazivayetsya analitichnoyu funkciyeyu na comu intervali Taka funkciya neobmezheno diferencijovana na a b displaystyle displaystyle a b nbsp ale obernene tverdzhennya vzagali ne maye sili yak pokazuye hoch bi priklad funkciyi f x 10 1 x 2 1 lt x lt 1 displaystyle f x 10 1 over x 2 1 lt x lt 1 nbsp f k 0 lim n 0 f k x 0 k 1 2 3 4 displaystyle f k 0 lim n to 0 f k x 0 qquad k 1 2 3 4 dots nbsp deshone ye A f u tochci x 0 Analogichno viznachayetsya dijsna analitichna funkciya kilkoh dijsnih argumentiv Usi ci viznachennya bez principovih uskladnen poshiryuyutsya i na kompleksnoznachni funkciyi Oznachennya 2 Redaguvati Funkciyu f z displaystyle displaystyle f z nbsp kompleksnogo argumentu z x i y displaystyle displaystyle z x iy nbsp nazivayetsya analitichnoyu funkciyeyu vid z displaystyle displaystyle z nbsp u tochci z 0 C displaystyle displaystyle z 0 in mathbb C nbsp kompleksnoyi chislovoyi ploshini yaksho f z displaystyle displaystyle f z nbsp viznachena v pevnomu krugovomu okoli z z 0 lt r displaystyle displaystyle z z 0 lt rho nbsp tochki z 0 displaystyle displaystyle z 0 nbsp i mozhe buti virazhena v comu okoli formuloyu vidu f z k 0 a k z z 0 k displaystyle displaystyle f z sum k 0 infty a k z z 0 k nbsp de a k displaystyle displaystyle a k nbsp pevni kompleksni chisla Mozhna pokazati sho a 0 f z 0 displaystyle displaystyle a 0 f z 0 qquad nbsp a k 1 k f k z 0 z 1 2 3 4 displaystyle displaystyle a k 1 over k f k z 0 z 1 2 3 4 dots nbsp div Tejlora ryad Oznachennya 3 Redaguvati Funkciya analitichna v kozhnij tochci yakoyis oblasti G displaystyle G nbsp kompleksnoyi chislovoyi ploshini nazivayetsya analitichnoyu v oblasti G displaystyle displaystyle G nbsp Zauvazhennya Redaguvati Viyavlyayetsya sho analitichnist f z displaystyle displaystyle f z nbsp v oblasti G displaystyle displaystyle G nbsp ye naslidkom zvichajnoyi yiyi diferencijovnosti v G displaystyle displaystyle G nbsp Analitichna funkciya kilkoh kompleksnih argumentiv viznachayut analogichno Analitichni v oblasti G displaystyle displaystyle G nbsp funkciyi tisno pov yazani z garmonichnimi funkciyami v cij oblasti sho chasto zustrichayutsya pri rozv yazuvanni tak zvanih ploskih zadach matematichnoyi fiziki Cim v osnovnomu poyasnyuyetsya i vazhlive zastosovne znachennya samih analitichnih funkcij Rozvitok teoriyi analitichnih funkcij RedaguvatiU rozvitku teoriyi analitichnih funkcij vazhlivu rol vidigrali praci Leonarda Ejlera Ogyustena Luyi Koshi Berngard Rimana Karla Vejyershrasa V dorevolyucijnij Rosiyi istotni rezultati v zastosuvanni ciyeyi teoriyi oderzhali Sofiya Vasilivna Kovalevska Mikola Yegorovich Zhukovskij S O Chapligin G V Kolosov Pislya Zhovtnevoyi socialistichnoyi revolyuciyi velikih uspihiv u rozvitku teoriyi analitichnih funkcij ta yih zastosuvanni zdobuli naukovi shkoli ocholyuvani akademikom AN SRSR i URSR M O Lavrentyevim i profesorom G M Goluzinim Rozroblennya problematiki teoriyi analitichnih funkcij v SRSR tisno pov yazane z potrebami narodnogo gospodarstva aviabudivnictva budivnictva gidrotehnichnih sporud ta in V URSR nad rozroblennyam problem teoriyi analitichnih funkcij pracyuyut chleni korespondenti AN URSR Naum Ahiyezer i M G Krejn profesori B Ya Levin Volodimir Oleksandrovich Marchenko G M Polozhij V A Zmorovich P P Filchakov ta in Analitichna kalibruvalna funkciya RedaguvatiViraz v yakomu vimiryuvanu velichinu x elementa i predstavleno yak funkciyu koncentraciyi c abo yakoyis pevnoyi velichini q dlya odno abo bagatokomponentnih sistem de vzayemovplivom elementiv mozhna znehtuvati xi Fi ci abo xi Fi qi Div takozh RedaguvatiChislova funkciya Algebrayichni funkciyi Transcendentni funkciyi Teorema HartogsaLiteratura RedaguvatiUkrayinska radyanska enciklopediya u 12 t gol red M P Bazhan redkol O K Antonov ta in 2 ge vid K Golovna redakciya URE 1974 1985 Ahiyezer M I Kurs teoriyi funkcij K 1933 Sokolov Yu D Elementi teoriyi funkcij kompleksnoyi zminnoyi K 1954 Privalov I I Vvedenie v teoriyu funkcij kompleksnogo peremennogo Izd 9 M 1954 Markushevich A I Teoriya analiticheskih funkcij M L 1950 Markushevich A I Kratnij kurs teorii analiticheskih funkcij M 1957 Markushevich A I Ocherki po istorii teorii analiticheskih funkcij M L 1951 Posilannya RedaguvatiANALITI ChNA FU NKCIYa Arhivovano 21 kvitnya 2016 u Wayback Machine ESU Otrimano z https uk wikipedia org w index php title Analitichna funkciya amp oldid 39348199