www.wikidata.uk-ua.nina.az

Ряд Тейлора У математиці Ряд Те йлора представлення функції у вигляді нескінченної суми доданків які обчислюються зі зна

Ряд Тейлора

У математиці Ряд Те́йлора — представлення функції у вигляді нескінченної суми доданків, які обчислюються зі значень функцій похідних в одній точці.

Оскільки степінь полінома Тейлора зростає, він наближається до правильної функції. Це зображення показує і її наближення Тейлора, многочлени степеня 1, 3, 5, 7, 9, 11 і 13.

Концепція ряду Тейлора була сформульована шотландським математиком Джеймсом Грегорі і офіційно представлена англійським математиком Бруком Тейлором в 1715 році. Якщо ряд Тейлора з центром в нулі, то цей ряд також називається рядом Маклорена, який названий на честь шотландського математика Маклорена, який широко використав цей особливий випадок ряду Тейлора в 18-му столітті.

Функція може бути апроксимована за допомогою скінченного числа членів ряду Тейлора. Теорема Тейлора дає кількісні оцінки похибок, які вносяться за допомогою використання такого наближення. Поліном, утворений з деяких початкових членів ряду Тейлора, називається многочленом Тейлора. Ряд Тейлора функції є границею поліномів Тейлора цієї функції у міру збільшення міри, за умови, що існує границя. Функція може не дорівнювати її ряду Тейлора, навіть якщо ряд збігається в кожній точці. Функція, яка дорівнює її ряду Тейлора у відкритому інтервалі (чи в колі в комплексній площині), називається аналітичною в цьому інтервалі.

Визначення Редагувати

Ряд Тейлора дійсної або комплексної функції , яка є нескінченно диференційовною[en] в околі точки , називається степеневий ряд

який може бути записаний в компактному сума-записі:

де означає факторіал і означає -ну похідну в точці . Похідна нульового порядку визначається як сама функція тому, що і -рівні .

При ряд також називають рядом Маклорена.

Приклад Редагувати

Ряд Маклорена для будь-якого многочлена є самим многочленом. Ряд Маклорена  — геометрична прогресія:

так що ряд Тейлора для при є

Інтегруючи наведений вище Маклорена, ми отримуємо ряд Маклорена для , де означає натуральний логарифм:

і відповідний ряд Тейлора для при

У загальному випадку, відповідний ряд Тейлора для в ненульовій точці дорівнює:

Ряд Тейлора для експоненти при дорівнює

Розклад вище вірний, оскільки похідна по також і дорівнюють . Це залишає вирази у чисельнику і у знаменнику для кожного члена у нескінченній сумі.

Історія Редагувати

Грецький філософ Зенон розглядав проблему знаходження суми нескінченного ряду для досягнення скінченного результату, але відхилив його як неможливе: результатом був парадокс Зенона. Пізніше Арістотель запропонував філософський розв'язок парадоксу, але математичний зміст не з'ясував. Його отримав Архімед, як це було зроблено до Арістотеля атомістом Демокрітом. Завдяки методу вичерпування Архімеда, нескінченну кількість поділів можна виконанати для досягнення скінченного результату. Китайський математик Лю Хуей незалежно використав схожий метод через декілька століть.

Уперше використав ряди Тейлора і тісно пов'язані з ними методи у 14-му столітті Мадхаве з Сандамаграми. Хоча жоден звіт про його роботу не уцілів, праці пізніших індійських математиків[en] свідчать про те, що він виявив ряд особливих випадків рядів Тейлора, у тому числі для тригонометричних функцій синуса, косинуса, тангенса і арктангенса. Керальска школа астрономії і математики до 16-го століття розвивала його роботи, збільшуючи кількість розкладів у ряди і раціональні наближення.

У 17-му столітті, Джеймс Грегорі також працював в цій галузі і опублікував декілька рядів Маклорена. Проте лише в 1715 році Брук Тейлор запропонував загальний метод побудови цих рядів для усіх функцій, для яких вони існують, , на честь якого тепер названо ці ряди.

Ряд Маклорена було названо на честь Коліна Маклорена, професора з Единбургу, який опублікував спеціальний випадок ряду Тейлора у 18-му столітті.

Аналітичні функції Редагувати

Функція не є аналітичної в точці : ряд Тейлора тотожно дорівнює , а сама функція тожно не дорівнює .

Якщо задається збіжним степеневим рядом у відкритому крузі (або в інтервалі дійсної прямої) з центром в точці на комплексній площині, то вона називається аналітичною в цьому крузі. Таким чином, для в цьому крузі визначається збіжним степеневим рядом

Диференціюючи по наведені вище формули разів, та підставляючи маємо:

і тому розклад цієї функції в степеневий ряд збігається з її рядом Тейлора. Таким чином, функція є аналітичною у відкритому крузі з центром в точці тоді і тільки тоді, коли її ряд Тейлора збігається до значення функції в кожній точці заданого круга.

Якщо дорівнює її ряду Тейлора для всіх в комплексній площині, то вона називається цілою. Многочлени, експоненційна функція і тригонометричні функції синус і косинус, є прикладами цілих функцій. Функції, такі як квадратний корінь, логарифм, тригонометричні функції тангенс та арктангенс не є цілими. Для цих функцій ряд Тейлора не збігається[en], якщо далеко від . Тобто, ряд Тейлора розбігається[en] в точці , якщо відстань між і більше, ніж його радіус збіжності. Ряд Тейлора можна використовувати для обчислення значення цілої функції в кожній точці, якщо лише в одній точці відомі значення функції і всіх її похідних.

Використання ряду Тейлора для аналітичних функцій включає в себе:

  1. Часткові суми (поліноми Тейлора) рядів можуть бути використані як наближення функції. Ці наближення стають більш точними при включені чим більшої кількості членів розкладу.
  2. Диференціювання та інтегрування степенних рядів можна виконати почленно і, отже, досить легко.
  3. Аналітична функція однозначно продовжується до голоморфної функції у відкритому крузі на комплексній площині. Це робить механізм комплексного аналізу більш доступним.
  4. (Усіченні) ряди можна використовувати для чисельного обчислення значень функції (часто переробляючи поліном у форму Чебишова і його обчислення за допомогою алгоритму Кленшава[en]).
  5. Алгебраїчні операції легко проводити над функціями, які представлені у вигляді степенних рядів; наприклад, формула Ейлера випливає з розкладу ряду Тейлора для тригонометричних і показових функцій. Цей результат має фундаментальне значення в таких областях, як гармонічний аналіз.
  6. Апроксимація з використанням декількох перших членів ряду Тейлора може зробити нерозв'язні проблеми розв'язними для обмеженої області; цей підхід часто використовується у фізиці.

Розклад в ряд Маклорена для деяких функцій Редагувати

Тут наведено декілька важливих розкладів в ряду Маклорена. Всі ці розклади справедливі для комплексного аргументу .

Експоненційна функція Редагувати

Експоненційна функція (синім кольором), та сума перших членів ряду Тейлора в точці (червоним кольором).

Експонента має такий ряд Маклорена

Він збігається для всіх

Натуральний логарифм Редагувати

Для натурального логарифму є наступні важливі ряди Маклорена:

Обидва ці ряди збігаються при однак, ряд для збігається також при , а ряд для  — при

Геометричний ряд Редагувати

Геометричний ряд та його похідні мають такі ряди Маклорена:

Всі ці ряди збігаються при

Біноміальний ряд Редагувати

Біноміальний ряд[en] — це степеневий ряд, вигляду:

з узагальненими біноміальними коефіцієнтами

Цей ряд збігається при для всіх дійсних або комплексних чисел

Якщо то це по суті буде геометричний ряд.

Для і будуть відповідні ряди Маклорена:

Тригонометричні функції Редагувати

Дійсна частина косинусу в комплексній площині.
Наближення восьмого степеня для косинусу в комплексній площині.
Дві вищезгадані поверхні разом.

Тригонометричні функції та їх обернені мають наступні ряди Маклорена:

Числа , що з’являються в розкладі , є числами Бернуллі, а у розкладі  — числа Ейлера.

Гіперболічні функції Редагувати

Гіперболічні функції мають ряди Маклорена, тісно пов’язані з рядами Маклорена для відповідних тригонометричних функцій:

Числа , що з’являються в розкладі , є числами Бернуллі.

W-функція Ламберта Редагувати

W-функція Ламберта має такий ряд Маклорена:

Цей ряд збігається при

Формула Тейлора Редагувати

Формула Тейлора використовується при доведенні багатьох теорем у диференціальному численні. Якщо говорити нестрого, то формула Тейлора відображає поведінку функції в околі деякої точки.

Формула Тейлора з залишковим членом у формі Пеано Редагувати

Нехай функція для точки і для деякого натурального числа задовольняє умовам:

  1. для всіх існує
  2. існує

Тоді справедливе співвідношення

де (o-маленьке) називається залишковим членом у формі Пеано.

Формула Тейлора з залишковим членом у формі Лагранжа Редагувати

Нехай функція , і для деякого натурального числа для всіх існує Тоді для всіх існує таке, що

де називається залишковим членом у формі Лагранжа.

Як видно, умови для формули Тейлора з залишковим членом у формі Пеано слабші ніж з залишковим членом у формі Лагранжа.

Формула Тейлора з залишковим членом у формі Коші Редагувати

Нехай функція , і для деякого натурального числа функція є раз неперервно диференційовною на інтервалі . Тоді для всіх виконується рівність

де називається залишковим членом у формі Коші або залишковим членом у інтегральній формі.

Обчислення рядів Тейлора Редагувати

Існує декілька методів обчислення рядів Тейлора. Можна спробувати використати означення ряду, однак цей спосіб часто вимагає узагальнення форми коефіцієнтів. Також можна використовувати такі маніпуляції, як заміна, множення або ділення, додавання або віднімання стандартних рядів Тейлора, щоб побудувати ряд Тейлора функції, оскільки ряд Тейлора є степеневим рядом. У деяких випадках можна знайти ряд Тейлора, багаторазово застосовуючи інтегрування по частинах.

Перший приклад:

Тут використовується метод під назвою «непряме розширення», щоб розширити задану функцію. Цей метод використовує відомий розклад Тейлора експоненти. Щоб розкласти функцію в ряд Тейлора, використаємо відомий ряд Тейлора функції :

Тому

Другий приклад:

Нехай задано функцію

Знайдемо її формулу Тейлора з точністю до включно.

Перепишемо задану функцію наступним чином:

Формули Тейлора натурального логарифма з точністю до :

і косинуса з точністю до :

Підставимо другу формулу в першу:

Оскільки косинус є парною функцією, то коефіцієнти для всіх непарних степенів x, x3, x5, x7, ... мають дорівнювати нулю.

Третій приклад:

Нехай задано функцію

Знайдемо її ряд Тейлора в точці 0. Для експоненти маємо такий ряд Тейлора:

а для косинуса такий:

В загальному степеневий розклад має такий вигляд:

Тоді множення на її знаменник і підстановка ряду Маклорена косинуса дає наступне:

Групування доданків до четвертого степеня дає

Значення можна знайти шляхом порівняння коефіцієнтів правої частини з відповідними коефіцієнатими розкладу експоненти, що дає:

Наближення і збіжність Редагувати

Синусоїда (синій) добре апроксимується її многочленом Тейлора степеня 7 (рожевий) на всьому періоді з центром у початку координат.
Многочлени Тейлора для забезпечують точні наближення тільки в діапазоні . При многочлени Тейлора більш високого степеня задають погані наближення.
Наближення Тейлора для (чорний). При наближення розбігається.

Зображений справа графік є наближенням в околі точки . Рожева крива задається наступним многочленом сьомої степені:

Похибка в цьому наближенні не перевищує . Для повного періоду з центром в точці (), похибка менша за 0.08215. Зокрема, при , похибка менша ніж 0.000003.

На противагу цьому показано графік функції натурального логарифма і деякі з його многочленів Тейлора в околі точки . Ці наближення сходяться до функції тільки в області ; за межами цієї області многочлени Тейлора вищих степенів гірше наближені до функції. Це схоже на феномен Рунге.

Похибка, що виникає при наближенні функції її поліномом Тейлора n-го степеня, називається залишком або залишковим многочленом та позначається через . Теорема Тейлора може бути використана для отримання оцінки для величини залишку.

Загалом, ряд Тейлора не обв'язково має збігатися[en] у всіх точках. Доведено, що множина функцій зі збіжним рядом Тейлора є множиною міри нуль в просторі Фреше гладких функцій. І навіть якщо ряд Тейлора функції дійсно сходиться, то в загальному випадку його сума не обов'язково дорівнює значенню функції . Наприклад, функція

нескінченно диференційована в точці , і має всі похідні рівні нулю. Отже, ряд Тейлора при тотожно дорівнює нулю. Проте, не нульова функція, так що її ряд Тейлора не дорівнює значенню функції в околі початку координат. Таким чином, є прикладом неаналітичної гладкої функції[en].

В аналізі функцій дійсної змінної, цей приклад показує, що існують нескінченно диференційовані , для яких ряди Тейлора не рівні , навіть якщо вони збігаються. На противагу цьому, голоморфні функції, які вивчаються в комплексному аналізі, завжди мають збіжні ряди Тейлора, і навіть ряди Тейлора мероморфних функцій, які можуть мати особливості, ніколи не збігаються до значень, відмінних від значень самої функції. Комплексна функція не прямує до при , що прямує до вздовж уявної осі, тому вона не є неперервною в комплексній площині і її ряд Тейлора є невизначеним в точці .

У більш загальному сенсі, будь-яка послідовність дійсних або комплексних чисел може бути коефіцієнтами в ряді Тейлора нескінченно диференційованої функції, заданої на дійсній прямій, внаслідок леми Бореля[en]. В результаті радіус збіжності ряду Тейлора може дорівнювати нулю. Є навіть нескінченно диференційовані функції, визначеної на дійсній прямій, ряд Тейлора якої має радіус збіжності, рівний .

Функцію не можна розкласти в ряд Тейлора в особливій точці; в цих випадках часто використовуються ряди з від'ємними степенями змінної ; див. ряд Лорана. Наприклад, можна розкласти в ряд Лорана.

Узагальнення Редагувати

Існує узагальнення ряду Тейлора, що дозволяє збігатися до значення самої функції для будь-якої обмеженої неперервної функції на , використовуючи скінченні різниці. Має місце наступна теорема, яку довів Еінар Хілл[en], що для будь-якого ,

Тут  — -та скінченна різниця з кроком розміру . Ряд — це саме ряд Тейлора, за винятком того, що скінченні різниці стоять замість похідних: ряд формально аналогічний ряду Ньютона. Коли функція є аналітичною в точці , то члени цього ряду збігаються до членів ряду Тейлора, і в цьому сенсі наведений вище ряд узагальнює звичайний ряд Тейлора.

Загалом, для будь-якої нескінченної послідовності має місце наступна рівність:

Зокрема,

Ряд справа є математичним сподіванням , де являє собою випадкову величину розподілу Пуассона, яка приймає значення з ймовірністю . Отже,

Закон великих чисел виконується, якщо виконується наведена вище тотожність.

Ряд Тейлора для функцій багатьох аргументів Редагувати

Ряд Тейлора також можна узагальнити для функцій більш ніж однієї змінної

Наприклад, для функції , яка залежить від двох змінних, x і y, ряд Тейлора в точці (a, b) має вигляд

де нижні індекси позначають відповідні часткові похідні.

Розклад скалярної функції з більш ніж однією змінною в ряд Тейлора компактно можна записати як

де D f (a) —це градієнт функції f, обчислений в точці x = a, а D2 f (a) – це матриця Гесе.

Застосовуючи мультиіндекс позначення, ряд Тейлора кількох змінних можна позначити так:

який слід розуміти як скорочену багатоіндексну версію першої формули цього розділу з повною аналогією до випадку однієї змінної.

Приклад Редагувати

Апроксимація частковою сумою ряду Тейлора до многочленів другого степеня (помаранчевий) функції f (x,y) = e sup x /sup ln (1 + y) (синій) в початку координат.

Щоб обчислити розклад в ряд Тейлора функції в точці (a, b) = (0, 0) до одночленів другого степеня, спочатку знайдемо всі необхідні часткові похідні:

Обчислення цих похідних у початку координат дає коефіцієнти в ряді Тейлора:

Підставивши ці значення в загальну формулу

отримаємо

Оскільки ln(1 + y) є аналітичною в , то маємо

Порівняння з рядом Фур'є Редагувати

Тригонометричний ряд Фур'є дозволяє виразити періодичну функцію або функцію, визначену на відрізку , як нескінченну суму тригонометричних функцій (синусів і косинусів). У цьому сенсі ряд Фур'є схожий на ряд Тейлора, оскільки останній дозволяє виразити функцію як нескінченну суму степенів. Тим не менш, ці два ряди відрізняються один від одного кількома важливими моментами:

  • Значення в точці x = a усіх часткових сум ряду Тейлора f (x) точно дорівнюють значенню f від a. Однак, ряд Фур’є обчислюється шляхом інтегрування по всьому інтервалу, тому, як правило, для нього немає такої точки, де всі часткові суми ряду є точними.
  • Обчислення ряду Тейлора вимагає знання функції на деякому околі точки, тоді як обчислення ряду Фур’є вимагає знання функції на всьому інтервалі, на якому визначена фунція. У певному сенсі можна сказати, що ряд Тейлора є «локальним», а ряд Фур'є — «глобальним».
  • Ряд Тейлора визначається для функції, яка має нескінченно багато похідних в одній точці, тоді як ряд Фур’є визначається для будь-якої інтегровної функції. Зокрема, функція може бути ніде диференційованою. Наприклад, функція Веєрштрасса.
  • Збіжність обох рядів має різні властивості. Навіть якщо ряд Тейлора має додатній радіус збіжності, то отриманий ряд може не збігатися з функцією; але якщо функція є аналітичною, то ряд збігається поточково до функції та рівномірно на кожній компактній підмножині інтервалу збіжності. Щодо ряду Фур’є, якщо функція квадратично інтегровна, то ряд збігається в середньому квадратичному, але необхідні додаткові вимоги для забезпечення поточкової або рівномірної збіжності. Наприклад, якщо функція є періодичною та неперервно диференційовною, то збіжність є рівномірною.
  • На практиці потрібно апроксимувати функцію скінченною кількістю членів, скажімо, поліномом Тейлора або частковою сумою тригонометричного ряду відповідно. У випадку ряду Тейлора помилка дуже мала в околах точки, де вона обчислюється, тоді як вона може бути дуже великою у більш віддаленій точці. У випадку ряду Фур'є похибка розподілена по всій області визначення функції.

Див. також Редагувати

Література Редагувати

Посилання Редагувати

Дата публікації:
U matematici Ryad Te jlora predstavlennya funkciyi u viglyadi neskinchennoyi sumi dodankiv yaki obchislyuyutsya zi znachen funkcij pohidnih v odnij tochci Oskilki stepin polinoma Tejlora zrostaye vin nablizhayetsya do pravilnoyi funkciyi Ce zobrazhennya pokazuye s i n x displaystyle sin x i yiyi nablizhennya Tejlora mnogochleni stepenya 1 3 5 7 9 11 i 13 Koncepciya ryadu Tejlora bula sformulovana shotlandskim matematikom Dzhejmsom Gregori i oficijno predstavlena anglijskim matematikom Brukom Tejlorom v 1715 roci Yaksho ryad Tejlora z centrom v nuli to cej ryad takozh nazivayetsya ryadom Maklorena yakij nazvanij na chest shotlandskogo matematika Maklorena yakij shiroko vikoristav cej osoblivij vipadok ryadu Tejlora v 18 mu stolitti Funkciya mozhe buti aproksimovana za dopomogoyu skinchennogo chisla chleniv ryadu Tejlora Teorema Tejlora daye kilkisni ocinki pohibok yaki vnosyatsya za dopomogoyu vikoristannya takogo nablizhennya Polinom utvorenij z deyakih pochatkovih chleniv ryadu Tejlora nazivayetsya mnogochlenom Tejlora Ryad Tejlora funkciyi ye graniceyu polinomiv Tejlora ciyeyi funkciyi u miru zbilshennya miri za umovi sho isnuye granicya Funkciya mozhe ne dorivnyuvati yiyi ryadu Tejlora navit yaksho ryad zbigayetsya v kozhnij tochci Funkciya yaka dorivnyuye yiyi ryadu Tejlora u vidkritomu intervali chi v koli v kompleksnij ploshini nazivayetsya analitichnoyu v comu intervali Zmist 1 Viznachennya 2 Priklad 3 Istoriya 4 Analitichni funkciyi 5 Rozklad v ryad Maklorena dlya deyakih funkcij 5 1 Eksponencijna funkciya 5 2 Naturalnij logarifm 5 3 Geometrichnij ryad 5 4 Binomialnij ryad 5 5 Trigonometrichni funkciyi 5 6 Giperbolichni funkciyi 5 7 W funkciya Lamberta 6 Formula Tejlora 6 1 Formula Tejlora z zalishkovim chlenom u formi Peano 6 2 Formula Tejlora z zalishkovim chlenom u formi Lagranzha 6 3 Formula Tejlora z zalishkovim chlenom u formi Koshi 7 Obchislennya ryadiv Tejlora 8 Nablizhennya i zbizhnist 8 1 Uzagalnennya 9 Ryad Tejlora dlya funkcij bagatoh argumentiv 9 1 Priklad 10 Porivnyannya z ryadom Fur ye 11 Div takozh 12 Literatura 13 Posilannya 14 PrimitkiViznachennya RedaguvatiRyad Tejlora dijsnoyi abo kompleksnoyi funkciyi f x displaystyle f x nbsp yaka ye neskinchenno diferencijovnoyu en v okoli tochki a displaystyle a nbsp nazivayetsya stepenevij ryadf a f a 1 x a f a 2 x a 2 f a 3 x a 3 displaystyle f a frac f a 1 x a frac f a 2 x a 2 frac f a 3 x a 3 cdots nbsp yakij mozhe buti zapisanij v kompaktnomu suma zapisi n 0 f n a n x a n displaystyle sum n 0 infty frac f n a n x a n nbsp de n displaystyle n nbsp oznachaye faktorial n displaystyle n nbsp i f n a displaystyle f n a nbsp oznachaye n displaystyle n nbsp nu pohidnu f displaystyle f nbsp v tochci a displaystyle a nbsp Pohidna nulovogo poryadku f displaystyle f nbsp viznachayetsya yak sama funkciya f displaystyle f nbsp tomu sho x a 0 displaystyle x a 0 nbsp i 0 displaystyle 0 nbsp rivni 1 displaystyle 1 nbsp Pri a 0 displaystyle a 0 nbsp ryad takozh nazivayut ryadom Maklorena Priklad RedaguvatiRyad Maklorena dlya bud yakogo mnogochlena ye samim mnogochlenom Ryad Maklorena 1 x 1 displaystyle 1 x 1 nbsp geometrichna progresiya 1 x x 2 x 3 displaystyle 1 x x 2 x 3 cdots nbsp tak sho ryad Tejlora dlya x 1 displaystyle x 1 nbsp pri a 1 displaystyle a 1 nbsp ye1 x 1 x 1 2 x 1 3 displaystyle 1 x 1 x 1 2 x 1 3 cdots nbsp Integruyuchi navedenij vishe Maklorena mi otrimuyemo ryad Maklorena dlya ln 1 x displaystyle ln 1 x nbsp de ln displaystyle ln nbsp oznachaye naturalnij logarifm x 1 2 x 2 1 3 x 3 1 4 x 4 displaystyle x frac 1 2 x 2 frac 1 3 x 3 frac 1 4 x 4 cdots nbsp i vidpovidnij ryad Tejlora dlya ln x displaystyle ln x nbsp pri a 1 displaystyle a 1 nbsp x 1 1 2 x 1 2 1 3 x 1 3 1 4 x 1 4 displaystyle x 1 frac 1 2 x 1 2 frac 1 3 x 1 3 frac 1 4 x 1 4 cdots nbsp U zagalnomu vipadku vidpovidnij ryad Tejlora dlya ln x displaystyle ln x nbsp v nenulovij tochci a x 0 displaystyle a x 0 nbsp dorivnyuye ln x 0 1 x 0 x x 0 1 x 0 2 x x 0 2 2 displaystyle ln x 0 frac 1 x 0 x x 0 frac 1 x 0 2 frac x x 0 2 2 cdots nbsp Ryad Tejlora dlya eksponenti e x displaystyle e x nbsp pri a 0 displaystyle a 0 nbsp dorivnyuye1 x 1 1 x 2 2 x 3 3 x 4 4 x 5 5 1 x x 2 2 x 3 6 x 4 24 x 5 120 n 0 x n n displaystyle 1 frac x 1 1 frac x 2 2 frac x 3 3 frac x 4 4 frac x 5 5 cdots 1 x frac x 2 2 frac x 3 6 frac x 4 24 frac x 5 120 cdots sum n 0 infty frac x n n nbsp Rozklad vishe virnij oskilki pohidna e x displaystyle e x nbsp po x displaystyle x nbsp takozh e x displaystyle e x nbsp i e 0 displaystyle e 0 nbsp dorivnyuyut 1 displaystyle 1 nbsp Ce zalishaye virazi x 0 n displaystyle x 0 n nbsp u chiselniku i n displaystyle n nbsp u znamenniku dlya kozhnogo chlena u neskinchennij sumi Istoriya RedaguvatiGreckij filosof Zenon rozglyadav problemu znahodzhennya sumi neskinchennogo ryadu dlya dosyagnennya skinchennogo rezultatu ale vidhiliv jogo yak nemozhlive rezultatom buv paradoks Zenona Piznishe Aristotel zaproponuvav filosofskij rozv yazok paradoksu ale matematichnij zmist ne z yasuvav Jogo otrimav Arhimed yak ce bulo zrobleno do Aristotelya atomistom Demokritom Zavdyaki metodu vicherpuvannya Arhimeda neskinchennu kilkist podiliv mozhna vikonanati dlya dosyagnennya skinchennogo rezultatu 1 Kitajskij matematik Lyu Huej nezalezhno vikoristav shozhij metod cherez dekilka stolit 2 Upershe vikoristav ryadi Tejlora i tisno pov yazani z nimi metodi u 14 mu stolitti Madhave z Sandamagrami 3 4 Hocha zhoden zvit pro jogo robotu ne uciliv praci piznishih indijskih matematikiv en svidchat pro te sho vin viyaviv ryad osoblivih vipadkiv ryadiv Tejlora u tomu chisli dlya trigonometrichnih funkcij sinusa kosinusa tangensa i arktangensa Keralska shkola astronomiyi i matematiki do 16 go stolittya rozvivala jogo roboti zbilshuyuchi kilkist rozkladiv u ryadi i racionalni nablizhennya U 17 mu stolitti Dzhejms Gregori takozh pracyuvav v cij galuzi i opublikuvav dekilka ryadiv Maklorena Prote lishe v 1715 roci Bruk Tejlor zaproponuvav zagalnij metod pobudovi cih ryadiv dlya usih funkcij dlya yakih voni isnuyut 5 na chest yakogo teper nazvano ci ryadi Ryad Maklorena bulo nazvano na chest Kolina Maklorena profesora z Edinburgu yakij opublikuvav specialnij vipadok ryadu Tejlora u 18 mu stolitti Analitichni funkciyi RedaguvatiDokladnishe Analitichna funkciya nbsp Funkciya e 1 x 2 displaystyle e frac 1 x 2 nbsp ne ye analitichnoyi v tochci x 0 displaystyle x 0 nbsp ryad Tejlora totozhno dorivnyuye 0 displaystyle 0 nbsp a sama funkciya tozhno ne dorivnyuye 0 displaystyle 0 nbsp Yaksho f x displaystyle f x nbsp zadayetsya zbizhnim stepenevim ryadom u vidkritomu kruzi abo v intervali dijsnoyi pryamoyi z centrom v tochci b displaystyle b nbsp na kompleksnij ploshini to vona nazivayetsya analitichnoyu v comu kruzi Takim chinom dlya x displaystyle x nbsp v comu kruzi f displaystyle f nbsp viznachayetsya zbizhnim stepenevim ryadom f x n 0 a n x b n displaystyle f x sum n 0 infty a n x b n nbsp Diferenciyuyuchi po x displaystyle x nbsp navedeni vishe formuli n displaystyle n nbsp raziv ta pidstavlyayuchi x b displaystyle x b nbsp mayemo f n b n a n displaystyle frac f n b n a n nbsp i tomu rozklad ciyeyi funkciyi v stepenevij ryad zbigayetsya z yiyi ryadom Tejlora Takim chinom funkciya ye analitichnoyu u vidkritomu kruzi z centrom v tochci b displaystyle b nbsp todi i tilki todi koli yiyi ryad Tejlora zbigayetsya do znachennya funkciyi v kozhnij tochci zadanogo kruga Yaksho f x displaystyle f x nbsp dorivnyuye yiyi ryadu Tejlora dlya vsih x displaystyle x nbsp v kompleksnij ploshini to vona nazivayetsya ciloyu Mnogochleni eksponencijna funkciya e x displaystyle e x nbsp i trigonometrichni funkciyi sinus i kosinus ye prikladami cilih funkcij Funkciyi taki yak kvadratnij korin logarifm trigonometrichni funkciyi tangens ta arktangens ne ye cilimi Dlya cih funkcij ryad Tejlora ne zbigayetsya en yaksho x displaystyle x nbsp daleko vid b displaystyle b nbsp Tobto ryad Tejlora rozbigayetsya en v tochci x displaystyle x nbsp yaksho vidstan mizh x displaystyle x nbsp i b displaystyle b nbsp bilshe nizh jogo radius zbizhnosti Ryad Tejlora mozhna vikoristovuvati dlya obchislennya znachennya ciloyi funkciyi v kozhnij tochci yaksho lishe v odnij tochci vidomi znachennya funkciyi i vsih yiyi pohidnih Vikoristannya ryadu Tejlora dlya analitichnih funkcij vklyuchaye v sebe Chastkovi sumi polinomi Tejlora ryadiv mozhut buti vikoristani yak nablizhennya funkciyi Ci nablizhennya stayut bilsh tochnimi pri vklyucheni chim bilshoyi kilkosti chleniv rozkladu Diferenciyuvannya ta integruvannya stepennih ryadiv mozhna vikonati pochlenno i otzhe dosit legko Analitichna funkciya odnoznachno prodovzhuyetsya do golomorfnoyi funkciyi u vidkritomu kruzi na kompleksnij ploshini Ce robit mehanizm kompleksnogo analizu bilsh dostupnim Usichenni ryadi mozhna vikoristovuvati dlya chiselnogo obchislennya znachen funkciyi chasto pereroblyayuchi polinom u formu Chebishova i jogo obchislennya za dopomogoyu algoritmu Klenshava en Algebrayichni operaciyi legko provoditi nad funkciyami yaki predstavleni u viglyadi stepennih ryadiv napriklad formula Ejlera viplivaye z rozkladu ryadu Tejlora dlya trigonometrichnih i pokazovih funkcij Cej rezultat maye fundamentalne znachennya v takih oblastyah yak garmonichnij analiz Aproksimaciya z vikoristannyam dekilkoh pershih chleniv ryadu Tejlora mozhe zrobiti nerozv yazni problemi rozv yaznimi dlya obmezhenoyi oblasti cej pidhid chasto vikoristovuyetsya u fizici Rozklad v ryad Maklorena dlya deyakih funkcij RedaguvatiDokladnishe Spisok ryadiv ta sumTut navedeno dekilka vazhlivih rozkladiv v ryadu Maklorena 6 Vsi ci rozkladi spravedlivi dlya kompleksnogo argumentu x displaystyle x nbsp Eksponencijna funkciya Redaguvati nbsp Eksponencijna funkciya e x displaystyle e x nbsp sinim kolorom ta suma pershih n 1 displaystyle n 1 nbsp chleniv ryadu Tejlora v tochci 0 displaystyle 0 nbsp chervonim kolorom Eksponenta maye takij ryad Maklorena e x n 0 x n n 1 x x 2 2 x 3 3 displaystyle e x sum n 0 infty frac x n n 1 x frac x 2 2 frac x 3 3 cdots nbsp Vin zbigayetsya dlya vsih x displaystyle x nbsp Naturalnij logarifm Redaguvati Dokladnishe Ryad MerkatoraDlya naturalnogo logarifmu ye nastupni vazhlivi ryadi Maklorena log 1 x n 1 x n n displaystyle log 1 x sum n 1 infty frac x n n nbsp log 1 x n 1 1 n 1 x n n displaystyle log 1 x sum n 1 infty 1 n 1 frac x n n nbsp Obidva ci ryadi zbigayutsya pri x lt 1 displaystyle x lt 1 nbsp odnak ryad dlya log 1 x displaystyle log 1 x nbsp zbigayetsya takozh pri x 1 displaystyle x 1 nbsp a ryad dlya log 1 x displaystyle log 1 x nbsp pri x 1 displaystyle x 1 nbsp Geometrichnij ryad Redaguvati Geometrichnij ryad ta jogo pohidni mayut taki ryadi Maklorena 1 1 x n 0 x n x lt 1 displaystyle frac 1 1 x sum n 0 infty x n quad x lt 1 nbsp 1 1 x 2 n 1 n x n 1 x lt 1 displaystyle frac 1 1 x 2 sum n 1 infty nx n 1 quad x lt 1 nbsp x 1 x 2 n 0 n x n x lt 1 displaystyle frac x 1 x 2 sum n 0 infty nx n quad x lt 1 nbsp 2 1 x 3 n 2 n 1 n x n 2 x lt 1 displaystyle frac 2 1 x 3 sum n 2 infty n 1 nx n 2 quad x lt 1 nbsp 2 x 2 1 x 3 n 0 n 1 n x n x lt 1 displaystyle frac 2x 2 1 x 3 sum n 0 infty n 1 nx n quad x lt 1 nbsp Vsi ci ryadi zbigayutsya pri x lt 1 displaystyle x lt 1 nbsp Binomialnij ryad Redaguvati Binomialnij ryad en ce stepenevij ryad viglyadu 1 x a n 0 a n x n displaystyle 1 x alpha sum n 0 infty alpha choose n x n nbsp z uzagalnenimi binomialnimi koeficiyentami a n k 1 n a k 1 k a a 1 a n 1 n displaystyle alpha choose n prod k 1 n frac alpha k 1 k frac alpha alpha 1 cdots alpha n 1 n nbsp Cej ryad zbigayetsya pri x lt 1 displaystyle x lt 1 nbsp dlya vsih dijsnih abo kompleksnih chisel a displaystyle alpha nbsp Yaksho a 1 displaystyle alpha 1 nbsp to ce po suti bude geometrichnij ryad Dlya a 1 2 displaystyle alpha frac 1 2 nbsp i a 1 2 displaystyle alpha frac 1 2 nbsp budut vidpovidni ryadi Maklorena 1 x 1 2 1 1 2 x 1 8 x 2 1 16 x 3 5 128 x 4 7 256 x 5 n 0 1 n 1 2 n 4 n n 2 2 n 1 x n 1 x 1 2 1 1 2 x 3 8 x 2 5 16 x 3 35 128 x 4 63 256 x 5 n 0 1 n 2 n 4 n n 2 x n displaystyle begin aligned 1 x frac 1 2 amp 1 tfrac 1 2 x tfrac 1 8 x 2 tfrac 1 16 x 3 tfrac 5 128 x 4 tfrac 7 256 x 5 cdots amp amp sum n 0 infty frac 1 n 1 2n 4 n n 2 2n 1 x n 1 x frac 1 2 amp 1 tfrac 1 2 x tfrac 3 8 x 2 tfrac 5 16 x 3 tfrac 35 128 x 4 tfrac 63 256 x 5 cdots amp amp sum n 0 infty frac 1 n 2n 4 n n 2 x n end aligned nbsp Trigonometrichni funkciyi Redaguvati nbsp Dijsna chastina kosinusu v kompleksnij ploshini nbsp Nablizhennya vosmogo stepenya dlya kosinusu v kompleksnij ploshini nbsp Dvi vishezgadani poverhni razom Trigonometrichni funkciyi ta yih oberneni mayut nastupni ryadi Maklorena sin x n 0 1 n 2 n 1 x 2 n 1 x x 3 3 x 5 5 displaystyle sin x sum n 0 infty frac 1 n 2n 1 x 2n 1 x frac x 3 3 frac x 5 5 cdots nbsp cos x n 0 1 n 2 n x 2 n 1 x 2 2 x 4 4 displaystyle cos x sum n 0 infty frac 1 n 2n x 2n 1 frac x 2 2 frac x 4 4 cdots nbsp tg x n 1 B 2 n 4 n 1 4 n 2 n x 2 n 1 x x 3 3 2 x 5 15 17 x 7 315 62 x 9 2835 x lt p 2 displaystyle operatorname tg x sum n 1 infty frac B 2n 4 n 1 4 n 2n x 2n 1 x frac x 3 3 frac 2x 5 15 frac 17x 7 315 frac 62x 9 2835 cdots quad x lt frac pi 2 nbsp sec x n 0 1 n E 2 n 2 n x 2 n x lt p 2 displaystyle sec x sum n 0 infty frac 1 n E 2n 2n x 2n quad x lt frac pi 2 nbsp arcsin x n 0 2 n 4 n n 2 2 n 1 x 2 n 1 x 1 displaystyle arcsin x sum n 0 infty frac 2n 4 n n 2 2n 1 x 2n 1 quad x leqslant 1 nbsp arccos x p 2 arcsin x p 2 n 0 2 n 4 n n 2 2 n 1 x 2 n 1 x 1 displaystyle arccos x pi over 2 arcsin x pi over 2 sum n 0 infty frac 2n 4 n n 2 2n 1 x 2n 1 quad x leqslant 1 nbsp arctg x n 0 1 n 2 n 1 x 2 n 1 x 1 x i displaystyle operatorname arctg x sum n 0 infty frac 1 n 2n 1 x 2n 1 quad x leqslant 1 x not pm i nbsp Chisla B k displaystyle B k nbsp sho z yavlyayutsya v rozkladi tg x displaystyle operatorname tg x nbsp ye chislami Bernulli a E k displaystyle E k nbsp u rozkladi sec x displaystyle sec x nbsp chisla Ejlera Giperbolichni funkciyi Redaguvati Giperbolichni funkciyi mayut ryadi Maklorena tisno pov yazani z ryadami Maklorena dlya vidpovidnih trigonometrichnih funkcij sh x n 0 x 2 n 1 2 n 1 x x 3 3 x 5 5 displaystyle operatorname sh x sum n 0 infty frac x 2n 1 2n 1 x frac x 3 3 frac x 5 5 cdots nbsp ch x n 0 x 2 n 2 n 1 x 2 2 x 4 4 displaystyle operatorname ch x sum n 0 infty frac x 2n 2n 1 frac x 2 2 frac x 4 4 cdots nbsp th x n 1 B 2 n 4 n 4 n 1 2 n x 2 n 1 x 1 3 x 3 2 15 x 5 17 315 x 7 x lt p 2 displaystyle operatorname th x sum n 1 infty frac B 2n 4 n 4 n 1 2n x 2n 1 x frac 1 3 x 3 frac 2 15 x 5 frac 17 315 x 7 cdots quad x lt frac pi 2 nbsp arsh x n 0 1 n 2 n 4 n n 2 2 n 1 x 2 n 1 x 1 displaystyle operatorname arsh x sum n 0 infty frac 1 n 2n 4 n n 2 2n 1 x 2n 1 quad x leqslant 1 nbsp arth x n 0 x 2 n 1 2 n 1 x 1 x 1 displaystyle operatorname arth x sum n 0 infty frac x 2n 1 2n 1 quad x leqslant 1 x not pm 1 nbsp Chisla B k displaystyle B k nbsp sho z yavlyayutsya v rozkladi th x displaystyle operatorname th x nbsp ye chislami Bernulli W funkciya Lamberta Redaguvati W funkciya Lamberta maye takij ryad Maklorena W 0 x n 1 n n 1 n x n x x 2 3 2 x 3 8 3 x 4 125 24 x 5 displaystyle W 0 x sum n 1 infty frac n n 1 n x n x x 2 frac 3 2 x 3 frac 8 3 x 4 frac 125 24 x 5 cdots nbsp Cej ryad zbigayetsya pri x lt 1 e displaystyle x lt frac 1 e nbsp Formula Tejlora RedaguvatiFormula Tejlora vikoristovuyetsya pri dovedenni bagatoh teorem u diferencialnomu chislenni Yaksho govoriti nestrogo to formula Tejlora vidobrazhaye povedinku funkciyi v okoli deyakoyi tochki Formula Tejlora z zalishkovim chlenom u formi Peano Redaguvati Nehaj funkciya f a b R displaystyle f a b to mathbb R nbsp dlya tochki x 0 a b displaystyle x 0 in a b nbsp i dlya deyakogo naturalnogo chisla n displaystyle n nbsp zadovolnyaye umovam dlya vsih x a b displaystyle x in a b nbsp isnuye f n 1 x displaystyle f n 1 x nbsp isnuye f n x 0 displaystyle f n x 0 nbsp Todi spravedlive spivvidnoshennya f x k 0 n f k x 0 k x x 0 k o x x 0 n x x 0 displaystyle f x sum k 0 n frac f k x 0 k x x 0 k o left x x 0 n right x to x 0 nbsp de o x x 0 n displaystyle o left x x 0 n right nbsp o malenke nazivayetsya zalishkovim chlenom u formi Peano Formula Tejlora z zalishkovim chlenom u formi Lagranzha Redaguvati Nehaj funkciya f a b R displaystyle f a b to mathbb R nbsp x 0 a b displaystyle x 0 in a b nbsp i dlya deyakogo naturalnogo chisla n displaystyle n nbsp dlya vsih x a b displaystyle x in a b nbsp isnuye f n 1 x displaystyle f n 1 x nbsp Todi dlya vsih x a b displaystyle x in a b nbsp isnuye 8 0 1 displaystyle theta in 0 1 nbsp take sho f x k 0 n f k x 0 k x x 0 k r n x displaystyle f x sum k 0 n frac f k x 0 k x x 0 k r n x nbsp de r n x f n 1 x 0 8 x x 0 n 1 x x 0 n 1 displaystyle r n x frac f n 1 x 0 theta x x 0 n 1 x x 0 n 1 nbsp nazivayetsya zalishkovim chlenom u formi Lagranzha Yak vidno umovi dlya formuli Tejlora z zalishkovim chlenom u formi Peano slabshi nizh z zalishkovim chlenom u formi Lagranzha Formula Tejlora z zalishkovim chlenom u formi Koshi Redaguvati Nehaj funkciya f a b R displaystyle f a b to mathbb R nbsp x 0 a b displaystyle x 0 in a b nbsp i dlya deyakogo naturalnogo chisla n displaystyle n nbsp funkciya f displaystyle f nbsp ye n 1 displaystyle n 1 nbsp raz neperervno diferencijovnoyu na intervali a b displaystyle a b nbsp Todi dlya vsih x a b displaystyle x in a b nbsp vikonuyetsya rivnist f x k 0 n f k x 0 k x x 0 k R n x displaystyle f x sum k 0 n frac f k x 0 k x x 0 k R n x nbsp de R n x 1 n x 0 x f n 1 t x t n d t displaystyle R n x frac 1 n int limits x 0 x f n 1 t x t n dt nbsp nazivayetsya zalishkovim chlenom u formi Koshi abo zalishkovim chlenom u integralnij formi Obchislennya ryadiv Tejlora RedaguvatiIsnuye dekilka metodiv obchislennya ryadiv Tejlora Mozhna sprobuvati vikoristati oznachennya ryadu odnak cej sposib chasto vimagaye uzagalnennya formi koeficiyentiv Takozh mozhna vikoristovuvati taki manipulyaciyi yak zamina mnozhennya abo dilennya dodavannya abo vidnimannya standartnih ryadiv Tejlora shob pobuduvati ryad Tejlora funkciyi oskilki ryad Tejlora ye stepenevim ryadom U deyakih vipadkah mozhna znajti ryad Tejlora bagatorazovo zastosovuyuchi integruvannya po chastinah Pershij priklad Tut vikoristovuyetsya metod pid nazvoyu nepryame rozshirennya shob rozshiriti zadanu funkciyu Cej metod vikoristovuye vidomij rozklad Tejlora eksponenti Shob rozklasti funkciyu 1 x e x displaystyle 1 x e x nbsp v ryad Tejlora vikoristayemo vidomij ryad Tejlora funkciyi e x displaystyle e x nbsp e x n 0 x n n 1 x x 2 2 x 3 3 x 4 4 displaystyle e x sum n 0 infty frac x n n 1 x frac x 2 2 frac x 3 3 frac x 4 4 cdots nbsp Tomu 1 x e x e x x e x n 0 x n n n 0 x n 1 n 1 n 1 x n n n 0 x n 1 n 1 n 1 x n n n 1 x n n 1 1 n 1 1 n 1 n 1 x n 1 n 1 n 1 n x n n 0 n 1 n x n displaystyle begin aligned 1 x e x amp e x xe x sum n 0 infty frac x n n sum n 0 infty frac x n 1 n 1 sum n 1 infty frac x n n sum n 0 infty frac x n 1 n amp 1 sum n 1 infty frac x n n sum n 1 infty frac x n n 1 1 sum n 1 infty left frac 1 n frac 1 n 1 right x n amp 1 sum n 1 infty frac n 1 n x n amp sum n 0 infty frac n 1 n x n end aligned nbsp Drugij priklad Nehaj zadano funkciyu f x ln cos x x p 2 p 2 displaystyle f x ln cos x quad x in left frac pi 2 frac pi 2 right nbsp Znajdemo yiyi formulu Tejlora z tochnistyu do x 7 displaystyle x 7 nbsp vklyuchno Perepishemo zadanu funkciyu nastupnim chinom f x ln 1 cos x 1 displaystyle f x ln bigl 1 cos x 1 bigr nbsp Formuli Tejlora naturalnogo logarifma z tochnistyu do x 3 displaystyle x 3 nbsp ln 1 x x x 2 2 x 3 3 o x 3 displaystyle ln 1 x x frac x 2 2 frac x 3 3 o left x 3 right nbsp i kosinusa z tochnistyu do x 7 displaystyle x 7 nbsp cos x 1 x 2 2 x 4 24 x 6 720 o x 7 displaystyle cos x 1 frac x 2 2 frac x 4 24 frac x 6 720 o left x 7 right nbsp Pidstavimo drugu formulu v pershu f x ln 1 cos x 1 cos x 1 1 2 cos x 1 2 1 3 cos x 1 3 o cos x 1 3 x 2 2 x 4 24 x 6 720 o x 7 1 2 x 2 2 x 4 24 o x 5 2 1 3 x 2 2 o x 3 3 o x 7 x 2 2 x 4 24 x 6 720 x 4 8 x 6 48 x 6 24 o x 7 x 2 2 x 4 12 x 6 45 o x 7 displaystyle begin aligned f x amp ln bigl 1 cos x 1 bigr amp cos x 1 tfrac 1 2 cos x 1 2 tfrac 1 3 cos x 1 3 o left cos x 1 3 right amp left frac x 2 2 frac x 4 24 frac x 6 720 o left x 7 right right frac 1 2 left frac x 2 2 frac x 4 24 o left x 5 right right 2 frac 1 3 left frac x 2 2 o left x 3 right right 3 o left x 7 right amp frac x 2 2 frac x 4 24 frac x 6 720 frac x 4 8 frac x 6 48 frac x 6 24 o left x 7 right amp frac x 2 2 frac x 4 12 frac x 6 45 o left x 7 right end aligned nbsp Oskilki kosinus ye parnoyu funkciyeyu to koeficiyenti dlya vsih neparnih stepeniv x x3 x5 x7 mayut dorivnyuvati nulyu Tretij priklad Nehaj zadano funkciyu g x e x cos x displaystyle g x frac e x cos x nbsp Znajdemo yiyi ryad Tejlora v tochci 0 Dlya eksponenti mayemo takij ryad Tejlora e x n 0 x n n 1 x x 2 2 x 3 3 x 4 4 displaystyle e x sum n 0 infty frac x n n 1 x frac x 2 2 frac x 3 3 frac x 4 4 cdots nbsp a dlya kosinusa takij cos x 1 x 2 2 x 4 4 displaystyle cos x 1 frac x 2 2 frac x 4 4 cdots nbsp V zagalnomu stepenevij rozklad maye takij viglyad e x cos x c 0 c 1 x c 2 x 2 c 3 x 3 displaystyle frac e x cos x c 0 c 1 x c 2 x 2 c 3 x 3 cdots nbsp Todi mnozhennya g x displaystyle g x nbsp na yiyi znamennik i pidstanovka ryadu Maklorena kosinusa daye nastupne e x c 0 c 1 x c 2 x 2 c 3 x 3 cos x c 0 c 1 x c 2 x 2 c 3 x 3 c 4 x 4 1 x 2 2 x 4 4 c 0 c 0 2 x 2 c 0 4 x 4 c 1 x c 1 2 x 3 c 1 4 x 5 c 2 x 2 c 2 2 x 4 c 2 4 x 6 c 3 x 3 c 3 2 x 5 c 3 4 x 7 c 4 x 4 displaystyle begin aligned e x amp left c 0 c 1 x c 2 x 2 c 3 x 3 cdots right cos x amp left c 0 c 1 x c 2 x 2 c 3 x 3 c 4 x 4 cdots right left 1 frac x 2 2 frac x 4 4 cdots right amp c 0 frac c 0 2 x 2 frac c 0 4 x 4 c 1 x frac c 1 2 x 3 frac c 1 4 x 5 c 2 x 2 frac c 2 2 x 4 frac c 2 4 x 6 c 3 x 3 frac c 3 2 x 5 frac c 3 4 x 7 c 4 x 4 cdots end aligned nbsp Grupuvannya dodankiv do chetvertogo stepenya daye e x c 0 c 1 x c 2 c 0 2 x 2 c 3 c 1 2 x 3 c 4 c 2 2 c 0 4 x 4 displaystyle e x c 0 c 1 x left c 2 frac c 0 2 right x 2 left c 3 frac c 1 2 right x 3 left c 4 frac c 2 2 frac c 0 4 right x 4 cdots nbsp Znachennya c i displaystyle c i nbsp mozhna znajti shlyahom porivnyannya koeficiyentiv pravoyi chastini z vidpovidnimi koeficiyenatimi rozkladu eksponenti sho daye e x cos x 1 x x 2 2 x 3 3 x 4 2 displaystyle frac e x cos x 1 x x 2 frac 2x 3 3 frac x 4 2 cdots nbsp Nablizhennya i zbizhnist RedaguvatiDokladnishe Teorema Tejlora nbsp Sinusoyida sinij dobre aproksimuyetsya yiyi mnogochlenom Tejlora stepenya 7 rozhevij na vsomu periodi z centrom u pochatku koordinat nbsp Mnogochleni Tejlora dlya log 1 x displaystyle log 1 x nbsp zabezpechuyut tochni nablizhennya tilki v diapazoni 1 lt x lt 1 displaystyle 1 lt x lt 1 nbsp Pri x gt 1 displaystyle x gt 1 nbsp mnogochleni Tejlora bilsh visokogo stepenya zadayut pogani nablizhennya nbsp Nablizhennya Tejlora dlya log 1 x displaystyle log 1 x nbsp chornij Pri x gt 1 displaystyle x gt 1 nbsp nablizhennya rozbigayetsya Zobrazhenij sprava grafik ye nablizhennyam sin x displaystyle sin x nbsp v okoli tochki x 0 displaystyle x 0 nbsp Rozheva kriva zadayetsya nastupnim mnogochlenom somoyi stepeni sin x x x 3 3 x 5 5 x 7 7 displaystyle sin left x right approx x frac x 3 3 frac x 5 5 frac x 7 7 nbsp Pohibka v comu nablizhenni ne perevishuye x 9 9 displaystyle frac x 9 9 nbsp Dlya povnogo periodu z centrom v tochci 0 displaystyle 0 nbsp p lt x lt p displaystyle pi lt x lt pi nbsp pohibka mensha za 0 08215 Zokrema pri 1 lt x lt 1 displaystyle 1 lt x lt 1 nbsp pohibka mensha nizh 0 000003 Na protivagu comu pokazano grafik funkciyi naturalnogo logarifma log 1 x displaystyle log 1 x nbsp i deyaki z jogo mnogochleniv Tejlora v okoli tochki a 0 displaystyle a 0 nbsp Ci nablizhennya shodyatsya do funkciyi tilki v oblasti 1 lt x lt 1 displaystyle 1 lt x lt 1 nbsp za mezhami ciyeyi oblasti mnogochleni Tejlora vishih stepeniv girshe nablizheni do funkciyi Ce shozhe na fenomen Runge Pohibka sho vinikaye pri nablizhenni funkciyi yiyi polinomom Tejlora n go stepenya nazivayetsya zalishkom abo zalishkovim mnogochlenom ta poznachayetsya cherez R n x displaystyle R n x nbsp Teorema Tejlora mozhe buti vikoristana dlya otrimannya ocinki dlya velichini zalishku Zagalom ryad Tejlora ne obv yazkovo maye zbigatisya en u vsih tochkah Dovedeno sho mnozhina funkcij zi zbizhnim ryadom Tejlora ye mnozhinoyu miri nul v prostori Freshe gladkih funkcij I navit yaksho ryad Tejlora funkciyi f displaystyle f nbsp dijsno shoditsya to v zagalnomu vipadku jogo suma ne obov yazkovo dorivnyuye znachennyu funkciyi f x displaystyle f x nbsp Napriklad funkciya f x e 1 x 2 x 0 0 x 0 displaystyle f x begin cases e 1 x 2 amp x neq 0 0 amp x 0 end cases nbsp neskinchenno diferencijovana v tochci x 0 displaystyle x 0 nbsp i maye vsi pohidni rivni nulyu Otzhe ryad Tejlora f x displaystyle f x nbsp pri x 0 displaystyle x 0 nbsp totozhno dorivnyuye nulyu Prote f x displaystyle f x nbsp ne nulova funkciya tak sho yiyi ryad Tejlora ne dorivnyuye znachennyu funkciyi v okoli pochatku koordinat Takim chinom f x displaystyle f x nbsp ye prikladom neanalitichnoyi gladkoyi funkciyi en V analizi funkcij dijsnoyi zminnoyi cej priklad pokazuye sho isnuyut neskinchenno diferencijovani f x displaystyle f x nbsp dlya yakih ryadi Tejlora ne rivni f x displaystyle f x nbsp navit yaksho voni zbigayutsya Na protivagu comu golomorfni funkciyi yaki vivchayutsya v kompleksnomu analizi zavzhdi mayut zbizhni ryadi Tejlora i navit ryadi Tejlora meromorfnih funkcij yaki mozhut mati osoblivosti nikoli ne zbigayutsya do znachen vidminnih vid znachen samoyi funkciyi Kompleksna funkciya e z 2 displaystyle e z 2 nbsp ne pryamuye do 0 displaystyle 0 nbsp pri z displaystyle z nbsp sho pryamuye do 0 displaystyle 0 nbsp vzdovzh uyavnoyi osi tomu vona ne ye neperervnoyu v kompleksnij ploshini i yiyi ryad Tejlora ye neviznachenim v tochci 0 displaystyle 0 nbsp U bilsh zagalnomu sensi bud yaka poslidovnist dijsnih abo kompleksnih chisel mozhe buti koeficiyentami v ryadi Tejlora neskinchenno diferencijovanoyi funkciyi zadanoyi na dijsnij pryamij vnaslidok lemi Borelya en V rezultati radius zbizhnosti ryadu Tejlora mozhe dorivnyuvati nulyu Ye navit neskinchenno diferencijovani funkciyi viznachenoyi na dijsnij pryamij ryad Tejlora yakoyi maye radius zbizhnosti rivnij 0 displaystyle 0 nbsp 7 Funkciyu ne mozhna rozklasti v ryad Tejlora v osoblivij tochci v cih vipadkah chasto vikoristovuyutsya ryadi z vid yemnimi stepenyami zminnoyi x displaystyle x nbsp div ryad Lorana Napriklad f x e x 2 displaystyle f x e x 2 nbsp mozhna rozklasti v ryad Lorana Uzagalnennya Redaguvati Isnuye uzagalnennya 8 9 ryadu Tejlora sho dozvolyaye zbigatisya do znachennya samoyi funkciyi dlya bud yakoyi obmezhenoyi neperervnoyi funkciyi na 0 displaystyle 0 infty nbsp vikoristovuyuchi skinchenni riznici Maye misce nastupna teorema yaku doviv Einar Hill en sho dlya bud yakogo t gt 0 displaystyle t gt 0 nbsp lim h 0 n 0 t n n D h n f a h n f a t displaystyle lim h to 0 sum n 0 infty frac t n n frac Delta h n f a h n f a t nbsp Tut D h n displaystyle Delta h n nbsp n displaystyle n nbsp ta skinchenna riznicya z krokom rozmiru h displaystyle h nbsp Ryad ce same ryad Tejlora za vinyatkom togo sho skinchenni riznici stoyat zamist pohidnih ryad formalno analogichnij ryadu Nyutona Koli funkciya f displaystyle f nbsp ye analitichnoyu v tochci a displaystyle a nbsp to chleni cogo ryadu zbigayutsya do chleniv ryadu Tejlora i v comu sensi navedenij vishe ryad uzagalnyuye zvichajnij ryad Tejlora Zagalom dlya bud yakoyi neskinchennoyi poslidovnosti a i displaystyle a i nbsp maye misce nastupna rivnist n 0 u n n D n a i e u j 0 u j j a i j displaystyle sum n 0 infty frac u n n Delta n a i e u sum j 0 infty frac u j j a i j nbsp Zokrema f a t lim h 0 e t h j 0 f a j h t h j j displaystyle f a t lim h to 0 e t h sum j 0 infty f a jh frac t h j j nbsp Ryad sprava ye matematichnim spodivannyam f a X displaystyle f a X nbsp de X displaystyle X nbsp yavlyaye soboyu vipadkovu velichinu rozpodilu Puassona yaka prijmaye znachennya j h displaystyle jh nbsp z jmovirnistyu e t h t h j j displaystyle e t h frac t h j j nbsp Otzhe f a t lim h 0 f a x d P t h h x displaystyle f a t lim h to 0 int limits infty infty f a x dP t h h x nbsp Zakon velikih chisel vikonuyetsya yaksho vikonuyetsya navedena vishe totozhnist Ryad Tejlora dlya funkcij bagatoh argumentiv RedaguvatiRyad Tejlora takozh mozhna uzagalniti dlya funkcij bilsh nizh odniyeyi zminnoyi T x 1 x d n 1 0 n d 0 x 1 a 1 n 1 x d a d n d n 1 n d n 1 n d f x 1 n 1 x d n d a 1 a d f a 1 a d j 1 d f a 1 a d x j x j a j 1 2 j 1 d k 1 d 2 f a 1 a d x j x k x j a j x k a k 1 3 j 1 d k 1 d l 1 d 3 f a 1 a d x j x k x l x j a j x k a k x l a l displaystyle begin aligned T x 1 ldots x d amp sum n 1 0 infty cdots sum n d 0 infty frac x 1 a 1 n 1 cdots x d a d n d n 1 cdots n d left frac partial n 1 cdots n d f partial x 1 n 1 cdots partial x d n d right a 1 ldots a d amp f a 1 ldots a d sum j 1 d frac partial f a 1 ldots a d partial x j x j a j frac 1 2 sum j 1 d sum k 1 d frac partial 2 f a 1 ldots a d partial x j partial x k x j a j x k a k amp qquad qquad frac 1 3 sum j 1 d sum k 1 d sum l 1 d frac partial 3 f a 1 ldots a d partial x j partial x k partial x l x j a j x k a k x l a l cdots end aligned nbsp Napriklad dlya funkciyi f x y displaystyle f x y nbsp yaka zalezhit vid dvoh zminnih x i y ryad Tejlora v tochci a b maye viglyad f a b x a f x a b y b f y a b 1 2 x a 2 f x x a b 2 x a y b f x y a b y b 2 f y y a b displaystyle f a b x a f x a b y b f y a b frac 1 2 Big x a 2 f xx a b 2 x a y b f xy a b y b 2 f yy a b Big cdots nbsp de nizhni indeksi poznachayut vidpovidni chastkovi pohidni Rozklad skalyarnoyi funkciyi z bilsh nizh odniyeyu zminnoyu v ryad Tejlora kompaktno mozhna zapisati yak T x f a x a T D f a 1 2 x a T D 2 f a x a displaystyle T mathbf x f mathbf a mathbf x mathbf a mathsf T Df mathbf a frac 1 2 mathbf x mathbf a mathsf T D 2 f mathbf a mathbf x mathbf a cdots nbsp de D f a ce gradiyent funkciyi f obchislenij v tochci x a a D2 f a ce matricya Gese Zastosovuyuchi multiindeks poznachennya ryad Tejlora kilkoh zminnih mozhna poznachiti tak T x a 0 x a a a a f a displaystyle T mathbf x sum alpha geq 0 frac mathbf x mathbf a alpha alpha left mathrm partial alpha f right mathbf a nbsp yakij slid rozumiti yak skorochenu bagatoindeksnu versiyu pershoyi formuli cogo rozdilu z povnoyu analogiyeyu do vipadku odniyeyi zminnoyi Priklad Redaguvati nbsp Aproksimaciya chastkovoyu sumoyu ryadu Tejlora do mnogochleniv drugogo stepenya pomaranchevij funkciyi f x y e sup x sup ln 1 y sinij v pochatku koordinat Shob obchisliti rozklad v ryad Tejlora funkciyi f x y e x ln 1 y displaystyle f x y e x ln 1 y nbsp v tochci a b 0 0 do odnochleniv drugogo stepenya spochatku znajdemo vsi neobhidni chastkovi pohidni f x e x ln 1 y f y e x 1 y f x x e x ln 1 y f y y e x 1 y 2 f x y f y x e x 1 y displaystyle begin aligned f x amp e x ln 1 y 6pt f y amp frac e x 1 y 6pt f xx amp e x ln 1 y 6pt f yy amp frac e x 1 y 2 6pt f xy amp f yx frac e x 1 y end aligned nbsp Obchislennya cih pohidnih u pochatku koordinat daye koeficiyenti v ryadi Tejlora f x 0 0 0 f y 0 0 1 f x x 0 0 0 f y y 0 0 1 f x y 0 0 f y x 0 0 1 displaystyle begin aligned f x 0 0 amp 0 f y 0 0 amp 1 f xx 0 0 amp 0 f yy 0 0 amp 1 f xy 0 0 amp f yx 0 0 1 end aligned nbsp Pidstavivshi ci znachennya v zagalnu formulu T x y f a b x a f x a b y b f y a b 1 2 x a 2 f x x a b 2 x a y b f x y a b y b 2 f y y a b displaystyle begin aligned T x y amp f a b x a f x a b y b f y a b amp frac 1 2 left x a 2 f xx a b 2 x a y b f xy a b y b 2 f yy a b right cdots end aligned nbsp otrimayemo T x y 0 0 x 0 1 y 0 1 2 0 x 0 2 2 x 0 y 0 1 y 0 2 y x y y 2 2 displaystyle begin aligned T x y amp 0 0 x 0 1 y 0 frac 1 2 Big 0 x 0 2 2 x 0 y 0 1 y 0 2 Big cdots amp y xy frac y 2 2 cdots end aligned nbsp Oskilki ln 1 y ye analitichnoyu v y lt 1 displaystyle y lt 1 nbsp to mayemo e x ln 1 y y x y y 2 2 y lt 1 displaystyle e x ln 1 y y xy frac y 2 2 cdots qquad y lt 1 nbsp Porivnyannya z ryadom Fur ye RedaguvatiDokladnishe Ryad Fur yeTrigonometrichnij ryad Fur ye dozvolyaye viraziti periodichnu funkciyu abo funkciyu viznachenu na vidrizku a b displaystyle a b nbsp yak neskinchennu sumu trigonometrichnih funkcij sinusiv i kosinusiv U comu sensi ryad Fur ye shozhij na ryad Tejlora oskilki ostannij dozvolyaye viraziti funkciyu yak neskinchennu sumu stepeniv Tim ne mensh ci dva ryadi vidriznyayutsya odin vid odnogo kilkoma vazhlivimi momentami Znachennya v tochci x a usih chastkovih sum ryadu Tejlora f x tochno dorivnyuyut znachennyu f vid a Odnak ryad Fur ye obchislyuyetsya shlyahom integruvannya po vsomu intervalu tomu yak pravilo dlya nogo nemaye takoyi tochki de vsi chastkovi sumi ryadu ye tochnimi Obchislennya ryadu Tejlora vimagaye znannya funkciyi na deyakomu okoli tochki todi yak obchislennya ryadu Fur ye vimagaye znannya funkciyi na vsomu intervali na yakomu viznachena funciya U pevnomu sensi mozhna skazati sho ryad Tejlora ye lokalnim a ryad Fur ye globalnim Ryad Tejlora viznachayetsya dlya funkciyi yaka maye neskinchenno bagato pohidnih v odnij tochci todi yak ryad Fur ye viznachayetsya dlya bud yakoyi integrovnoyi funkciyi Zokrema funkciya mozhe buti nide diferencijovanoyu Napriklad funkciya Veyershtrassa Zbizhnist oboh ryadiv maye rizni vlastivosti Navit yaksho ryad Tejlora maye dodatnij radius zbizhnosti to otrimanij ryad mozhe ne zbigatisya z funkciyeyu ale yaksho funkciya ye analitichnoyu to ryad zbigayetsya potochkovo do funkciyi ta rivnomirno na kozhnij kompaktnij pidmnozhini intervalu zbizhnosti Shodo ryadu Fur ye yaksho funkciya kvadratichno integrovna to ryad zbigayetsya v serednomu kvadratichnomu ale neobhidni dodatkovi vimogi dlya zabezpechennya potochkovoyi abo rivnomirnoyi zbizhnosti Napriklad yaksho funkciya ye periodichnoyu ta neperervno diferencijovnoyu to zbizhnist ye rivnomirnoyu Na praktici potribno aproksimuvati funkciyu skinchennoyu kilkistyu chleniv skazhimo polinomom Tejlora abo chastkovoyu sumoyu trigonometrichnogo ryadu vidpovidno U vipadku ryadu Tejlora pomilka duzhe mala v okolah tochki de vona obchislyuyetsya todi yak vona mozhe buti duzhe velikoyu u bilsh viddalenij tochci U vipadku ryadu Fur ye pohibka rozpodilena po vsij oblasti viznachennya funkciyi Div takozh Redaguvati nbsp Portal Matematika Asimptotichnij rozklad Generatrisa Ryad Lorana Mnogochlen Nyutona Aproksimaciya Pade Ryad Pyuyizo Operator zsuvuLiteratura RedaguvatiDorogovcev A Ya Matematichnij analiz Pidruchnik U dvoh chastinah Chastina 1 Kiyiv Libid 1993 320 s ISBN 5 325 00380 1 S T Zavalo Elementi analizu Algebra mnogochleniv Kiyiv Radyanska shkola 1972 Grigorij Mihajlovich Fihtengolc Kurs diferencialnogo ta integralnogo chislennya 2023 1100 s ukr Posilannya RedaguvatiFormula Tejlora Visha matematika v prikladah i zadachah Klepko V Yu Golec V L 2 ge vidannya K Centr uchbovoyi literaturi 2009 S 277 594 s Rozklad funkcij v ryadi Tejlora Visha matematika v prikladah i zadachah Klepko V Yu Golec V L 2 ge vidannya K Centr uchbovoyi literaturi 2009 S 525 594 s Rozklad funkciyi v ryad Maklorena a