www.wikidata.uk-ua.nina.az

Квадратний корінь Квадра тний ко рінь з числа x це число матриця функція оператор тощо квадрат якого результат множення

Квадратний корінь

Квадра́тний ко́рінь з числа x — це число (матриця, функція, оператор тощо), квадрат якого (результат множення на себе) дорівнює x. Квадратний корінь часто називають просто корінь.

Квадратний корінь
Формула
Область визначення функції множина невід'ємних дійсних чиселd
Область значень множина невід'ємних дійсних чиселd
Апроксимаційний алгоритм CORDIC і ітераційна формула Герона
Зображений на √[d]
Нотація Знак кореня
Команда TeX \sqrt[2]{x}
 Квадратний корінь у Вікісховищі

Серед чисел, квадрат яких дорівнює додатному числу , обов'язково є додатне число (крім 0). Це число називається арифметичним значенням квадратного кореня і позначається символом або як .

Число теж є квадратним коренем.

В загальному випадку, коли  — будь-який алгебраїчний вираз, символом позначається один із коренів, той для якого дійсна частина додатна.

При визначенні квадратного кореня з числа завжди існує дві відповіді. Винятком є число 0. Це показують ставлячи перед відповіддю одночасно знак плюс та мінус.

Квадратний корінь як елементарна функція

Графік функції y = √x

Квадратний корінь є елементарною функцією і є окремим випадком степеневої функції xα з α = 1/2. Арифметичний квадратний корінь є гладким при x > 0, в нулі ж він неперервний справа, але не диференційовний.

Як функція комплексної змінної корінь — двозначна функція, листи якої з'єднуються в нулі.

У геометричному сенсі, функція f(x) = √x квадратного кореня співвідносить площу квадрата до довжини його сторони.

Для всіх дійсних чисел x

Для всіх не від'ємних дійсних чисел x і y,

і

Функція квадратного кореня є неперервною для всіх не від'ємних значень x і диференційована для всіх додатних x. Якщо f позначає функцію квадратного кореня, тоді її похідна буде мати наступний вигляд:

Ряд Тейлора для √1 + x при x = 0 буде збіжним для ≤ 1 і буде визначений наступним чином

Квадратний корінь не від'ємного числа використовується для визначення Евклідової норми (і відстані), а також у таких узагальненнях як Гільбертів простір. Вона визначає важливе поняття стандартного відхилення, що використовується в теорії ймовірностей і статистиці.

Узагальнення

Квадратні корені вводяться як розв'язок рівнянь виду і для інших об'єктів: матриць, функцій, операторів тощо. Операцією при цьому можуть бути достатньо довільні мультиплікативні операції, наприклад, суперпозиція.

В алгебрі використовується наступне формальне визначення: нехай  — групоїд і . Елемент називається квадратним коренем з якщо .

Квадратний корінь в елементарній геометрії

Квадратні корені тісно пов'язані з елементарною геометрією: якщо дано відрізок довжиною 1, то з допомогою циркуля та лінійки можна можна побудувати ті і тільки ті відрізки, довжина яких записується виразами, що містять цілі числа, знаки чотирьох дій арифметики, квадратні корені і нічого крім цього.

Квадратний корінь в інформатиці

У багатьох мовах програмування функціонального рівня (а також мовах розмітки типу LATEX) функція квадратного кореня позначається як sqrt (від англ. square root «квадратний корінь»).

Алгоритми знаходження квадратного кореня

Знаходження або обчислення квадратного кореня заданого числа називається добуванням (квадратного) кореня.

Розклад у ряд Тейлора

Груба оцінка

Багато алгоритмів обчислення квадратних коренів з додатного дійсного числа S потребують деякого початкового значення. Якщо початкове значення занадто далеко від справжнього значення кореня, обчислення сповільнюються. Тому корисно мати грубу оцінку, яка може бути дуже неточною, але легко обчислюватися. Якщо S ≥ 1, нехай D буде кількістю цифр S зліва від десяткової коми. Якщо S < 1, нехай D буде кількістю нулів, які йдуть підряд, справа від десяткової коми, взяту зі знаком мінус. Тоді груба оцінка матиме вигляд:

Два і шість використовуються тому, що і

При роботі в двійковій (яка використовується комп'ютерами), слід використовувати іншу оцінку (тут D — кількість двійкових цифр).

Геометричне добування квадратного кореня

Зокрема, якщо , а , то

Ітераційний аналітичний алгоритм

тоді .

Квадратні корені від'ємних і комплексних чисел

Перший виток комплексного квадратного кореня
Другий виток комплексного квадратного кореня
Ріманова поверхня квадратного кореня, показує як ці два витки виглядають разом

Квадрат будь-якого додатного або від'ємного числа буде додатнім, а квадрат 0 це 0. Тому, від'ємне число не може мати квадратного кореня у вигляді дійсного числа. Однак, існує можливість представити його і вести розрахунки у вигляді спеціальних чисел, що називаються комплексними числами, коли не немає рішення для квадратного кореня від'ємних чисел. Для цього вводиться поняття нового числа, що позначається як i (іноді як j, особливо в контексті розрахунку електричного струму де літера "i" традиційно позначає електричний струм) і називається уявною одиницею, що визначена таким чином, що i2 = −1. Використовуючи цю нотацію, ми будемо вважати що i це результат квадратного кореня від −1, але зауважимо, що ми також можемо мати ситуацію, що (−i)2 = i2 = −1 тому −i також є квадратним коренем від −1. Загальноприйнято, що головним квадратним коренем від −1 є i, або в більш загальному випадку, якщо x є будь-яке невід'ємне число, тоді головним квадратним коренем числа −x є

Права частина і насправді є квадратним коренем від −x, оскільки

Для будь-якого не нульового комплексного числа z існує рівно два числа w, таких що w2 = z: головний (позитивний) квадратний корінь z, і його негативний варіант.

Квадратний корінь уявного числа

Квадратні корені числа i в комплексній площині

Квадратний корінь числа i буде наступним

Цей можна отримати алгебраїчним шляхом знайшовши дійсні числа a і b, такі що

або еквівалентно

Це приводить до появи системи двох рівнянь

що мають наступне рішення

Якщо вибрати з них головний (додатній) корень, отримаємо

Результат також можна отримати, якщо використати формулу Муавра і задати

що приводить до

Див. також

Примітки

  1. Г. Корн, Т. Корн «Бёрд Дж. Инженерная математика: Карманный справочник/ Пер. с. англ. — М.: Издательский дом „Додэка- XXI“,2008. — 544 с.»(рос.)
  2. Фихтенгольц, 1962, гл. 2, § 1.
  3. Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. — 5-е. — М: : Физматлит, 2010. — 559 с. — ISBN 5-9221-0524-8.(рос.)
  4. Воеводин В., Воеводин В. Энциклопедия линейной алгебры. Электронная система ЛИНЕАЛ. — Спб : БХВ-Петербург, 2006.(рос.)
  5. Ершов Л. В., Райхмист Р. Б. Построение графиков функций. — Москва : Просвещение, 1984.(рос.)
  6. Каплан И. А. Практические занятия по высшей математике. — Харьков : Изд-во ХГУ, 1966.(рос.)
  7. Хатсон В., Пим Дж. Приложения функционального анализа и теории операторов. — Москва : Мир, 1983.(рос.)
  8. Халмош П. Гильбертово пространство в задачах. — Москва : Мир, 1970.(рос.)
  9. Курант, 2000, Глава III Геометрические построения. Алгебра числовых полей.
  10. Курант, 2000, с. 148.

Посилання

Література


Це незавершена стаття з математики.
Ви можете допомогти проєкту, виправивши або дописавши її.
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри
Дата публікації:
Kvadra tnij ko rin z chisla x ce chislo matricya funkciya operator tosho kvadrat yakogo rezultat mnozhennya na sebe dorivnyuye x Kvadratnij korin chasto nazivayut prosto korin Kvadratnij korinFormulax y y 2 x displaystyle sqrt x y implies y 2 x Oblast viznachennya funkciyimnozhina nevid yemnih dijsnih chiseldOblast znachenmnozhina nevid yemnih dijsnih chiseldAproksimacijnij algoritmCORDIC i iteracijna formula GeronaZobrazhenij na d NotaciyaZnak korenyaKomanda TeX sqrt 2 x Kvadratnij korin u VikishovishiSered chisel kvadrat yakih dorivnyuye dodatnomu chislu x displaystyle x obov yazkovo ye dodatne chislo krim 0 Ce chislo nazivayetsya arifmetichnim znachennyam kvadratnogo korenya i poznachayetsya simvolom x displaystyle sqrt x abo yak x 1 2 displaystyle x frac 1 2 121 11 displaystyle sqrt 121 11 9 3 displaystyle sqrt 9 3 Chislo x displaystyle sqrt x tezh ye kvadratnim korenem V zagalnomu vipadku koli x displaystyle x bud yakij algebrayichnij viraz simvolom x displaystyle sqrt x poznachayetsya odin iz koreniv toj dlya yakogo dijsna chastina dodatna Pri viznachenni kvadratnogo korenya z chisla zavzhdi isnuye dvi vidpovidi Vinyatkom ye chislo 0 Ce pokazuyut stavlyachi pered vidpoviddyu odnochasno znak plyus ta minus 1 Zmist 1 Kvadratnij korin yak elementarna funkciya 2 Uzagalnennya 3 Kvadratnij korin v elementarnij geometriyi 4 Kvadratnij korin v informatici 5 Algoritmi znahodzhennya kvadratnogo korenya 5 1 Rozklad u ryad Tejlora 5 2 Gruba ocinka 5 3 Geometrichne dobuvannya kvadratnogo korenya 5 4 Iteracijnij analitichnij algoritm 6 Kvadratni koreni vid yemnih i kompleksnih chisel 6 1 Kvadratnij korin uyavnogo chisla 7 Div takozh 8 Primitki 9 Posilannya 10 LiteraturaKvadratnij korin yak elementarna funkciya Redaguvati Grafik funkciyi y xKvadratnij korin ye elementarnoyu funkciyeyu i ye okremim vipadkom stepenevoyi funkciyi xa z a 1 2 Arifmetichnij kvadratnij korin ye gladkim pri x gt 0 v nuli zh vin neperervnij sprava ale ne diferencijovnij 2 Yak funkciya kompleksnoyi zminnoyi korin dvoznachna funkciya listi yakoyi z yednuyutsya v nuli U geometrichnomu sensi funkciya f x x kvadratnogo korenya spivvidnosit ploshu kvadrata do dovzhini jogo storoni Dlya vsih dijsnih chisel x x 2 x x if x 0 x if x lt 0 displaystyle sqrt x 2 left x right begin cases x amp mbox if x geq 0 x amp mbox if x lt 0 end cases div absolyutne znachennya Dlya vsih ne vid yemnih dijsnih chisel x i y x y x y displaystyle sqrt xy sqrt x sqrt y i x x 1 2 displaystyle sqrt x x 1 2 Funkciya kvadratnogo korenya ye neperervnoyu dlya vsih ne vid yemnih znachen x i diferencijovana dlya vsih dodatnih x Yaksho f poznachaye funkciyu kvadratnogo korenya todi yiyi pohidna bude mati nastupnij viglyad f x 1 2 x displaystyle f x frac 1 2 sqrt x Ryad Tejlora dlya 1 x pri x 0 bude zbizhnim dlya x displaystyle left x right 1 i bude viznachenij nastupnim chinom 1 x n 0 1 n 2 n 1 2 n n 2 4 n x n 1 1 2 x 1 8 x 2 1 16 x 3 5 128 x 4 displaystyle sqrt 1 x sum n 0 infty frac 1 n 2n 1 2n n 2 4 n x n 1 textstyle frac 1 2 x frac 1 8 x 2 frac 1 16 x 3 frac 5 128 x 4 dots Kvadratnij korin ne vid yemnogo chisla vikoristovuyetsya dlya viznachennya Evklidovoyi normi i vidstani a takozh u takih uzagalnennyah yak Gilbertiv prostir Vona viznachaye vazhlive ponyattya standartnogo vidhilennya sho vikoristovuyetsya v teoriyi jmovirnostej i statistici Uzagalnennya RedaguvatiKvadratni koreni vvodyatsya yak rozv yazok rivnyan vidu x x a displaystyle x circ x a i dlya inshih ob yektiv matric 3 4 funkcij 5 6 operatoriv 7 8 tosho Operaciyeyu displaystyle circ pri comu mozhut buti dostatno dovilni multiplikativni operaciyi napriklad superpoziciya V algebri vikoristovuyetsya nastupne formalne viznachennya nehaj G displaystyle G cdot grupoyid i a G displaystyle a in G Element x G displaystyle x in G nazivayetsya kvadratnim korenem z a a yaksho x x a displaystyle x cdot x a Kvadratnij korin v elementarnij geometriyi RedaguvatiKvadratni koreni tisno pov yazani z elementarnoyu geometriyeyu yaksho dano vidrizok dovzhinoyu 1 to z dopomogoyu cirkulya ta linijki mozhna mozhna pobuduvati ti i tilki ti vidrizki dovzhina yakih zapisuyetsya virazami sho mistyat cili chisla znaki chotiroh dij arifmetiki kvadratni koreni i nichogo krim cogo 9 Kvadratnij korin v informatici RedaguvatiU bagatoh movah programuvannya funkcionalnogo rivnya a takozh movah rozmitki tipu LA TE X funkciya kvadratnogo korenya poznachayetsya yak sqrt vid angl square root kvadratnij korin Algoritmi znahodzhennya kvadratnogo korenya RedaguvatiZnahodzhennya abo obchislennya kvadratnogo korenya zadanogo chisla nazivayetsya dobuvannyam kvadratnogo korenya Rozklad u ryad Tejlora Redaguvati 1 x n 0 1 n 2 n 1 2 n n 2 4 n x n 1 1 2 x 1 8 x 2 1 16 x 3 5 128 x 4 displaystyle sqrt 1 x sum n 0 infty frac 1 n 2n 1 2n n 2 4 n x n 1 textstyle frac 1 2 x frac 1 8 x 2 frac 1 16 x 3 frac 5 128 x 4 dots pri x 1 displaystyle x leqslant 1 Gruba ocinka Redaguvati Bagato algoritmiv obchislennya kvadratnih koreniv z dodatnogo dijsnogo chisla S potrebuyut deyakogo pochatkovogo znachennya Yaksho pochatkove znachennya zanadto daleko vid spravzhnogo znachennya korenya obchislennya spovilnyuyutsya Tomu korisno mati grubu ocinku yaka mozhe buti duzhe netochnoyu ale legko obchislyuvatisya Yaksho S 1 nehaj D bude kilkistyu cifr S zliva vid desyatkovoyi komi Yaksho S lt 1 nehaj D bude kilkistyu nuliv yaki jdut pidryad sprava vid desyatkovoyi komi vzyatu zi znakom minus Todi gruba ocinka matime viglyad Yaksho D neparne D 2n 1 todi vikoristovuyemo S 2 10 n displaystyle sqrt S approx 2 cdot 10 n Yaksho D parne D 2n 2 todi vikoristovuyemo S 6 10 n displaystyle sqrt S approx 6 cdot 10 n Dva i shist vikoristovuyutsya tomu sho 1 10 10 4 2 displaystyle sqrt sqrt 1 cdot 10 sqrt 4 10 approx 2 i 10 100 1000 4 6 displaystyle sqrt sqrt 10 cdot 100 sqrt 4 1000 approx 6 Pri roboti v dvijkovij yaka vikoristovuyetsya komp yuterami slid vikoristovuvati inshu ocinku 2 D 2 displaystyle 2 left lfloor D 2 right rfloor tut D kilkist dvijkovih cifr Geometrichne dobuvannya kvadratnogo korenya Redaguvati B H A H H C displaystyle BH sqrt AH cdot HC Zokrema yaksho A H 1 displaystyle AH 1 a H C x displaystyle HC x to B H x displaystyle BH sqrt x 10 Iteracijnij analitichnij algoritm Redaguvati Dokladnishe Iteracijna formula Gerona x 0 a x n 1 1 2 x n a x n displaystyle begin cases x 0 a x n 1 dfrac 1 2 left x n dfrac a x n right end cases todi lim n x n a displaystyle lim n to infty x n sqrt a Kvadratni koreni vid yemnih i kompleksnih chisel Redaguvati Pershij vitok kompleksnogo kvadratnogo korenya Drugij vitok kompleksnogo kvadratnogo korenya Rimanova poverhnya kvadratnogo korenya pokazuye yak ci dva vitki viglyadayut razom Kvadrat bud yakogo dodatnogo abo vid yemnogo chisla bude dodatnim a kvadrat 0 ce 0 Tomu vid yemne chislo ne mozhe mati kvadratnogo korenya u viglyadi dijsnogo chisla Odnak isnuye mozhlivist predstaviti jogo i vesti rozrahunki u viglyadi specialnih chisel sho nazivayutsya kompleksnimi chislami koli ne nemaye rishennya dlya kvadratnogo korenya vid yemnih chisel Dlya cogo vvoditsya ponyattya novogo chisla sho poznachayetsya yak i inodi yak j osoblivo v konteksti rozrahunku elektrichnogo strumu de litera i tradicijno poznachaye elektrichnij strum i nazivayetsya uyavnoyu odiniceyu sho viznachena takim chinom sho i2 1 Vikoristovuyuchi cyu notaciyu mi budemo vvazhati sho i ce rezultat kvadratnogo korenya vid 1 ale zauvazhimo sho mi takozh mozhemo mati situaciyu sho i 2 i2 1 tomu i takozh ye kvadratnim korenem vid 1 Zagalnoprijnyato sho golovnim kvadratnim korenem vid 1 ye i abo v bilsh zagalnomu vipadku yaksho x ye bud yake nevid yemne chislo todi golovnim kvadratnim korenem chisla x ye x i x displaystyle sqrt x i sqrt x Prava chastina i naspravdi ye kvadratnim korenem vid x oskilki i x 2 i 2 x 2 1 x x displaystyle i sqrt x 2 i 2 sqrt x 2 1 x x Dlya bud yakogo ne nulovogo kompleksnogo chisla z isnuye rivno dva chisla w takih sho w2 z golovnij pozitivnij kvadratnij korin z i jogo negativnij variant Kvadratnij korin uyavnogo chisla Redaguvati Kvadratni koreni chisla i v kompleksnij ploshiniKvadratnij korin chisla i bude nastupnim i 1 2 2 i 1 2 2 2 2 1 i displaystyle sqrt i frac 1 2 sqrt 2 i frac 1 2 sqrt 2 frac sqrt 2 2 1 i Cej mozhna otrimati algebrayichnim shlyahom znajshovshi dijsni chisla a i b taki sho i a b i 2 displaystyle i a bi 2 abo ekvivalentno i a 2 2 a b i b 2 displaystyle i a 2 2abi b 2 Ce privodit do poyavi sistemi dvoh rivnyan 2 a b 1 a 2 b 2 0 displaystyle begin cases 2ab 1 a 2 b 2 0 end cases sho mayut nastupne rishennya a b 2 2 displaystyle a b pm frac sqrt 2 2 Yaksho vibrati z nih golovnij dodatnij koren otrimayemo a b 2 2 displaystyle a b frac sqrt 2 2 Rezultat takozh mozhna otrimati yaksho vikoristati formulu Muavra i zadati i cos p 2 i sin p 2 displaystyle i cos left frac pi 2 right i sin left frac pi 2 right sho privodit do i cos p 2 i sin p 2 1 2 cos p 4 i sin p 4 2 2 i 2 2 2 2 1 i displaystyle begin aligned sqrt i amp left cos left frac pi 2 right i sin left frac pi 2 right right frac 1 2 amp cos left frac pi 4 right i sin left frac pi 4 right amp frac sqrt 2 2 i frac sqrt 2 2 amp frac sqrt 2 2 1 i end aligned Div takozh RedaguvatiKvadratnij korin z dvoh Den kvadratnogo korenya Vkladeni radikaliPrimitki Redaguvati G Korn T Korn Byord Dzh Inzhenernaya matematika Karmannyj spravochnik Per s angl M Izdatelskij dom Dodeka XXI 2008 544 s ros Fihtengolc 1962 gl 2 1 Gantmaher F R Teoriya matric 5 e M Fizmatlit 2010 559 s ISBN 5 9221 0524 8 ros Voevodin V Voevodin V Enciklopediya linejnoj algebry Elektronnaya sistema LINEAL Spb BHV Peterburg 2006 ros Ershov L V Rajhmist R B Postroenie grafikov funkcij Moskva Prosveshenie 1984 ros Kaplan I A Prakticheskie zanyatiya po vysshej matematike Harkov Izd vo HGU 1966 ros Hatson V Pim Dzh Prilozheniya funkcionalnogo analiza i teorii operatorov Moskva Mir 1983 ros Halmosh P Gilbertovo prostranstvo v zadachah Moskva Mir 1970 ros Kurant 2000 Glava III Geometricheskie postroeniya Algebra chislovyh polej Kurant 2000 s 148 Posilannya RedaguvatiAlgoritmi obchislennya kvadratnogo korenya Arhivovano 19 Listopada 2010 u Wayback Machine angl A geometric view of the square root algorithm Arhivovano 23 Sichnya 2016 u Wayback Machine angl Solovev Yu Staryj algoritm Arhivovano 3 Bereznya 2016 u Wayback Machine ros Literatura RedaguvatiFihtengolc G M Kurs differencialnogo i integralnogo ischisleniya Moskva Nauka 1962 T 1 607 s ros Kurant R Robbins G Chto takoe matematika MCNMO 2000 ros Ce nezavershena stattya z matematiki Vi mozhete dopomogti proyektu vipravivshi abo dopisavshi yiyi Otrimano z https uk wikipedia org w index php title Kvadratnij korin amp oldid 39339314