www.wikidata.uk-ua.nina.az

Формула Муавра формула за якою для будь якого комплексного числа x displaystyle x та будь якого цілого числа n displayst

Формула Муавра

Формула Муавра — формула, за якою для будь-якого комплексного числа та будь-якого цілого числа виконується рівність:

Важливість формули полягає у поєднанні двох розділів математики — тригонометрії та комплексного аналізу.

Вперше опублікована у 1730 році у праці Абрахама де Муавра «Miscellanea analytica».

Зв’язок з формулою Ейлера Редагувати

Історично формулу Муавра було доведено раніше за формулу Ейлера:

проте її легко отримати з неї. Згідно із законом піднесення до цілого степеня :

далі по формулі Ейлера:

Доведення по індукції Редагувати

Слушність формули Муавра може бути доведена для натуральних чисел за допомогою математичної індукції, а потім поширена на всю множину цілих чисел. Позначимо як S(n) таке твердження (n - ціле):

Вочевидь S(1) певне, оскільки при n = 1 твердження обертається на тотожність. Припустимо, що S(k) певне для будь-якого натурального k:

Розглянемо S(k + 1):

Дивіться Формули для суми аргументів тригонометричних функцій.

Отже, ми довели, що в разі певності S(k) також певне S(k + 1). Зважаючи на певність S(1), згідно принципу математичної індукції приходимо до висновку, що твердження певне для всіх натуральних чисел. Далі, вочевидь S(0) також певне, оскільки cos(0x) + i sin(0x) = 1 + 0i = 1. Насамкінець , в разі негативного показника −n, розглядатимемо степінь як обернену величину степеня з натуральним показником n:

Рівність (*) є результатом тотожності:

де z = cos (nx) + i sin (nx).

Отже, S(n) певне для всієї множини цілих чисел n.

Обчислення коренів n ступеня Редагувати

Схожа формула може бути використана й и при обчисленні корнів n-й ступеня з ненулевого комплексного числа:

де .

З основної теореми алгебри випливає, що корені -го ступеня з комплексного числа завжди існуюсть, та їх кількість дорівнює . На комплексній площині, як видно з формули, усі ці корені є вершинами правильного n-кутника, що вписаний у коло радіусу з центром у нулі.

При з формули Муавра випливає вираз для обчислення значень тригонометричних функцій з кратним аргументом.

Див. також Редагувати

Примітки Редагувати

  1. Якщо b - неціле число, то - багатозначна функція змінної a, і є лише одним з її значень.
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри
Дата публікації:
Formula Muavra formula za yakoyu dlya bud yakogo kompleksnogo chisla x displaystyle x ta bud yakogo cilogo chisla n displaystyle n vikonuyetsya rivnist cos x i sin x n cos n x i sin n x displaystyle left cos x i sin x right n cos left nx right i sin left nx right Vazhlivist formuli polyagaye u poyednanni dvoh rozdiliv matematiki trigonometriyi ta kompleksnogo analizu Vpershe opublikovana u 1730 roci u praci Abrahama de Muavra Miscellanea analytica Zmist 1 Zv yazok z formuloyu Ejlera 2 Dovedennya po indukciyi 3 Obchislennya koreniv n stupenya 4 Div takozh 5 PrimitkiZv yazok z formuloyu Ejlera RedaguvatiIstorichno formulu Muavra bulo dovedeno ranishe za formulu Ejlera e i x cos x i sin x displaystyle e ix cos x i sin x nbsp prote yiyi legko otrimati z neyi Zgidno iz zakonom pidnesennya do cilogo stepenya 1 e i x n e i n x displaystyle left e ix right n e i nx nbsp dali po formuli Ejlera e i n x cos n x i sin n x displaystyle e i nx cos nx i sin nx nbsp Dovedennya po indukciyi RedaguvatiSlushnist formuli Muavra mozhe buti dovedena dlya naturalnih chisel za dopomogoyu matematichnoyi indukciyi a potim poshirena na vsyu mnozhinu cilih chisel Poznachimo yak S n take tverdzhennya n cile cos x i sin x n cos n x i sin n x displaystyle cos x i sin x n cos nx i sin nx nbsp Vochevid S 1 pevne oskilki pri n 1 tverdzhennya obertayetsya na totozhnist Pripustimo sho S k pevne dlya bud yakogo naturalnogo k cos x i sin x k cos k x i sin k x displaystyle left cos x i sin x right k cos kx i sin kx nbsp Rozglyanemo S k 1 cos x i sin x k 1 cos x i sin x k cos x i sin x cos k x i sin k x cos x i sin x vnaslidok induktivnogo pripushennya cos k x cos x sin k x sin x i cos k x sin x sin k x cos x cos k 1 x i sin k 1 x zgidno z trigonometrichnimi totozhnostyami displaystyle begin alignedat 2 left cos x i sin x right k 1 amp left cos x i sin x right k left cos x i sin x right amp left cos kx i sin kx right left cos x i sin x right amp amp qquad text vnaslidok induktivnogo pripushennya amp cos kx cos x sin kx sin x i left cos kx sin x sin kx cos x right amp cos k 1 x i sin k 1 x amp amp qquad text zgidno z trigonometrichnimi totozhnostyami end alignedat nbsp Divitsya Formuli dlya sumi argumentiv trigonometrichnih funkcij Otzhe mi doveli sho v razi pevnosti S k takozh pevne S k 1 Zvazhayuchi na pevnist S 1 zgidno principu matematichnoyi indukciyi prihodimo do visnovku sho tverdzhennya pevne dlya vsih naturalnih chisel Dali vochevid S 0 takozh pevne oskilki cos 0x i sin 0x 1 0i 1 Nasamkinec v razi negativnogo pokaznika n rozglyadatimemo stepin yak obernenu velichinu stepenya z naturalnim pokaznikom n cos x i sin x n cos x i sin x n 1 cos n x i sin n x 1 cos n x i sin n x displaystyle begin aligned left cos x i sin x right n amp big left cos x i sin x right n big 1 amp left cos nx i sin nx right 1 amp cos nx i sin nx qquad end aligned nbsp Rivnist ye rezultatom totozhnosti z 1 z z 2 displaystyle z 1 frac bar z z 2 nbsp de z cos nx i sin nx Otzhe S n pevne dlya vsiyeyi mnozhini cilih chisel n Obchislennya koreniv n stupenya RedaguvatiShozha formula mozhe buti vikoristana j i pri obchislenni korniv n j stupenya z nenulevogo kompleksnogo chisla z 1 n r cos f 2 p k i sin f 2 p k 1 n r 1 n cos f 2 p k n i sin f 2 p k n displaystyle z 1 n big r big cos varphi 2 pi k i sin varphi 2 pi k big big 1 n r 1 n left cos frac varphi 2 pi k n i sin frac varphi 2 pi k n right nbsp de k 0 1 n 1 displaystyle k 0 1 dots n 1 nbsp Z osnovnoyi teoremi algebri viplivaye sho koreni n displaystyle n nbsp go stupenya z kompleksnogo chisla zavzhdi isnuyust ta yih kilkist dorivnyuye n displaystyle n nbsp Na kompleksnij ploshini yak vidno z formuli usi ci koreni ye vershinami pravilnogo n kutnika sho vpisanij u kolo radiusu r n displaystyle sqrt n r nbsp z centrom u nuli Pri r 1 displaystyle r 1 nbsp z formuli Muavra viplivaye viraz dlya obchislennya znachen trigonometrichnih funkcij z kratnim argumentom Div takozh RedaguvatiFormula EjleraPrimitki Redaguvati Yaksho b necile chislo to e a b displaystyle e a b nbsp bagatoznachna funkciya zminnoyi a i e a b displaystyle e ab nbsp ye lishe odnim z yiyi znachen Otrimano z https uk wikipedia org w index php title Formula Muavra amp oldid 40167674