www.wikidata.uk-ua.nina.az

Тригонометрія Тригономе трія від грец τρίγονο трикутник та μετρειν вимірюю тобто буквально вимірювання трикутників розді

Тригонометрія

Тригономе́трія (від грец. τρίγονο — трикутник та μετρειν — вимірюю, тобто буквально вимірювання трикутників) — розділ елементарної математики, що лежить на перетині алгебри та геометрії і вивчає співвідношення між сторонами й кутами трикутників, дозволяючи проводити кутові обчислення через спеціально визначені функції кутів.

Визначені для прямокутного трикутника тригонометричні функції є основним інструментом тригонометрії, що значно полегшує обчислення, оскільки ці функції дозволяють замінити геометричні побудови алгебраїчними операціями.

Титульна сторінка «Тригонометрії» (перевидання 1612 року) В.Пітіска, що дала назву однойменному розділу математики

Історичні відомості Редагувати

Деякі відомості з науки, що пізніше одержала назву «тригонометрія», були ще у стародавніх єгиптян. У папірусі Ахмеса є п'ять задач, що стосуються вимірювання пірамід, у яких згадується якась функція кута — «сект». Є думка, що «сект» відповідає котангенсу кута. Застосування цієї функції мало суто практичну причину: єгипетські архітектори будували піраміди, строго дотримуючись одного й того самого значення кута нахилу бічної грані до основи (52°) і кута між ребром та діагоналлю основи (42°). А для цього треба було знати відповідні відношення між лінійними елементами чотирикутної піраміди.

Вавилоняни так само мали деякі знання з цієї галузі математики: вони запровадили поділ кола на 360° та поділ градуса на 60 частин, що відповідало прийнятій у стародавній Месопотамії шістдесятковій системі числення. Для вимірювання кутів вавилоняни користувалися примітивною астролябією.

Стародавні греки вміли розв'язувати багато тригонометричних задач, але вони застосовували геометричні, а не алгебраїчні методи.

Тригонометричну функцію синус вперше запровадили стародавні індійці в «Сур'я Сіддханті». Властивості цієї функції дослідив індійський математик 5 століття Аріабхата I. Подальший внесок у розвиток тригонометрії зробили арабські математики. До 10 століття вони оперували всіма тригонометричними функціями і протабулювали їх. В Європу поняття тригонометричних функцій прийшло з перекладами праць аль-Баттані та Ат-Тусі. Однією з перших праць європейської математики, присвячених тригонометрії була книга «De Triangulis» німецького математика 15 століття Регіомонтана. Проте, ще в 16 столітті тригонометрія була мало відома. Миколай Коперник змушений був посвятити її опису 2 окремих розділи в своїй праці «Про обертання небесних сфер» (лат. «De revolutionibus orbium coelestium»).

Швидкий подальший розвиток тригонометрії був зумовлений вимогами навігації та картографії. Сам термін тригонометрія запровадив, опублікувавши в 1595 книгу під такою ж назвою, німецький математик Варфоломей Пітіск (нім. Bartholomäus Pitiscus, 1561—1613). Гемма Фрізій описав метод триангуляції.

Із становленням математичного аналізу тригонометрія отримала нові методи. Завдяки працям Брука Тейлора та Коліна Маклорена тригонометричні функції отримали представлення у вигляді рядів. Формула Муавра встановила зв'язок між тригонометричними функціями та експонентою. Леонард Ейлер розширив означення тригонометричних функцій на комплексну площину.

Тригонометричні функції Редагувати

Прямокутний трикутник

Тригонометрія ґрунтується на співвідношенні подібності. Трикутники з двома рівними кутами подібні, тому подібні прямокутні трикутники, в яких рівний один гострий кут. Відношення довжин сторін у подібних трикутників однакове, тому відношення сторін прямокутних трикутників залежить тільки від одного параметра — величини гострого кута. Ця обставина дозволяє означити тригонометричні функції: синус, косинус, тангенс, котангенс, секанс і косеканс, через відношення різних сторін прямокутного трикутника.

Нехай ABC — прямокутний трикутник. C — вершина прямого кута, AB — гіпотенуза, AC і BC — катети, α — кут BAC.

Прямі тригонометричні функції Редагувати

Формула Назва Визначення
sin α =BC/AB=a/c синус відношення протилежного катета до гіпотенузи
cos α =AC/AB=b/c косинус відношення прилеглого катета до гіпотенузи
tg α =BC/AC=a/b тангенс відношення протилежного катета до прилеглого
ctg α =AC/BC=b/a котангенс відношення прилеглого катета до протилежного
sec α =AB/AC=c/b секанс відношення гіпотенузи до прилеглого катета
csc α =AB/BC=c/a косеканс відношення гіпотенузи до протилежного катета
Тригонометричні функції кута θ всередині одиничного кола

Наведені у таблиці визначення дозволяють обчислити значення функцій для гострих кутів, тобто від 0° до 90° (від 0 до радіан). У XVIII столітті Леонард Ейлер дав сучасні, загальніші визначення, розширивши область визначення цих функцій на всю числову вісь. Якщо розглянути у прямокутній системі координат коло одиничного радіуса (див. малюнок) і відкласти від горизонтальної осі кут (додатня величина кута відкладається проти годинникової стрілки, у протилежному випадку — за годинниковою стрілкою). Точку перетину побудованої сторони кута з колом позначено A. Тоді:

Для гострих кутів нові визначення збігаються з попередніми.

Можливим є також чисто аналітичне визначення цих функцій, що не пов'язане з геометрією і представляє кожну функцію її розкладанням у нескінчений ряд.

Властивості функції sin Редагувати

Синус (sin)
  1. Область визначення функції — множина усіх дійсних чисел: .
  2. Множина значень — проміжок [−1; 1]: = [−1;1].
  3. Функція є непарною: .
  4. Функція є періодичною, найменший додатній період становить : .
  5. Графік функції перетинає вісь Ох при .
  6. Проміжки знакосталості: при і при .
  7. Функція є нерозривною і має похідну при будь-якому значенні аргументу:
  8. Функція зростає при , і спадає при .
  9. Функція має мінімум при і максимум при .

Властивості функції cos Редагувати

Косинус (cos)
  1. Область визначення функції — множина усіх дійсних чисел: .
  2. Множина значень — проміжок [−1; 1]: = [−1;1].
  3. Функція є парною: .
  4. Функція є періодичною, найменший додатній період дорівнює : .
  5. Графік функції перетинає вісь Ох при .
  6. Проміжки знакосталості: при і при
  7. Функція є нерозривною і має похідну при будь-якому значенні аргументу:
  8. Функція зростає при і спадає при
  9. Функція має мінімум при і максимум при

Властивості функції tg Редагувати

Тангенс (tg)
  1. Область визначення функції — множина усіх дійсних чисел: , крім чисел
  2. Множина значень — множина всіх дійсних чисел:
  3. Функція є непарною: .
  4. Функція є періодичною, найменший додатній період становить : .
  5. Графік функції перетинає вісь Ох при .
  6. Проміжки знакосталості: при і при .
  7. Функція є нерозривною і має похідну при будь-якому значенні аргумента з області визначення:
  8. Функція зростає при .

Властивості функції ctg Редагувати

Котангенс (ctg)
  1. Область визначення функції — множина всіх дійсних чисел: крім чисел
  2. Множина значень — множина всіх дійсних чисел:
  3. Функція є непарною:
  4. Функція є періодичною, найменший додатній період дорівнює :
  5. Графік функції перетинає вісь Ох при
  6. Проміжки знакосталості: при і при
  7. Функція є нерозривною і має похідну при будь-якому значенні аргументу з області визначення:
  8. Функція спадає при

Обернені тригонометричні функції Редагувати

Для кожної прямої тригонометричної функції існує обернена. Назви оберенних функцій утворюються додаванням префікса арк- до назви відповідної прямої фунцкії. Наприклад,

Формули переходу Редагувати

Це співвідношення є наслідком теореми Піфагора й називається тригонометричною одиницею.

Основні теореми тригонометрії Редагувати

Визначені для прямокутного трикутника тригонометричні функції дозволяють розв'язувати довільні трикутники з використанням основних теорем: теореми синусів, теореми косинусів й теореми тангенсів.

Теорема синусів Редагувати

Теорема синусів стверджує, що відношення синуса кута до довжини протилежної сторони трикутника однакова для всіх кутів трикутника. Для плоского трикутника зі сторонами і відповідними протилежними до них кутами можна записати:

де  — радіус описаного кола навколо трикутника.

Теорема косинусів Редагувати

За теоремою косинусів, квадрат сторони трикутника дорівнює сумі квадратів двох інших сторін мінус подвоєний добуток цих сторін на косинус кута між ними. Для плоского трикутника зі сторонами і кутом , між сторонами :

або:

Теорема косинусів дозволяє визначити довжину третьої сторони трикутника, якщо відомі довжини двох сторін та значення кута між ними.

Теорема тангенсів Редагувати

Теорема тангенсів — теорема про співвідношення між двома сторонами довільного трикутника і тангенсами півсуми й піврізниці протилежних до них кутів записується рівнянням (формула Регіомонтана):

Площа трикутника Редагувати

Площа трикутника теж може бути визначена через тригонометричні функції: вона дорівнює половині добутку прилеглих сторін на синус кута між ними:

Найпростіші тригонометричні рівняння Редагувати

Рівняння, в яких фігурують тригонометричні функції, називають тригонометричними. Найпростіші з них мають аналітичні розв'язки, завдяки існуванню обернених тригонометричних функцій. Оскільки тригонометричні функції періодичні, такі розв'язки не єдині, а визначаються з точністю до періоду.

Формули перетворення тригонометричних виразів Редагувати

Синус та косинус суми/різниці

Сума/різниця синусів та косинусів

Формула Ейлера Редагувати

Формула Ейлера — співвідношення, що пов'язує комплексну експоненту з тригонометричними функціями. Названа на честь Леонарда Ейлера, який її запропонував.

Формула Ейлера стверджує, що для будь-якого дійсного числа виконується рівність:

де  — основа натурального логарифма,

Формула Ейлера надає зв'язок між математичним аналізом й тригонометрією, а також дозволяє інтерпретувати функції синуса і косинуса як зважені суми експоненціальної функції:

Приведені рівняння можуть бути отримані шляхом додавання або віднімання формул Ейлера:

з наступним вирішенням відносно синуса або косинуса.

Також ці формули можуть слугувати визначенням тригонометричних функцій комплексною змінною. Наприклад, виконуючи підстановку x = iy, отримуємо:

Комплексні експоненти дозволяють спростити тригонометричні розрахунки, оскільки ними простіше маніпулювати, ніж синусоїдальними компонентами. Один з підходів передбачає перетворення синусоїд у відповідні експоненціальні вирази. Після спрощення результат виразу залишається дійсним. Суть другого підходу у представленні синусоїд як дійсних частин комплексного виразу і проведення маніпуляцій безпосередньо з комплексним виразом.

Сферична тригонометрія Редагувати

Сферична тригонометрія — розділ сферичної геометрії головними об'єктами якого є многокутники (особливо трикутники) на сфері та співвідношення між сторонами і кутами. Виникнення сферичної геометрії пов'язане з задачами сферичної астрономії.

Основними елементами сферичної геометрії є точки та великі кола сфери. Великі кола є геодезичними лініями сфери, тому вони в сферичній геометрії відіграють роль, аналогічну ролі прямих у планіметрії. Віддаль між двома точками в сферичній геометрії вимірюється кутом між радіусами сфери, проведеними в ці точки. Кут між двома «прямими» дорівнює двогранному кутові між площинами великих кіл, які визначають ці «прямі». Дві будь-які «прямі» в сферичній геометрії перетинаються у двох точках і розбивають поверхню сфери на 4 двокутники. Три «прямі», перетинаючись попарно, утворюють 8 сферичних трикутників. Ці трикутники мають багато незвичайних властивостей, які відрізняють їх від плоских трикутників. Наприклад, сума кутів сферичного трикутника завжди більша за 180° і менша за 540°.

Сторони і кути сферичного трикутника пов'язані залежностями:

де  — сторони сферичного трикутника;  — кути, протилежні до цих сторін;  — радіус сфери.

Сферична тригонометрія дуже важлива в астрономічних обчисленнях, а також в орбітальній, космічній навігації та навігації на поверхні Землі.

Застосування Редагувати

Тригонометричні обчислення застосовуються практично у всіх областях геометрії, фізики й інженерної справи. Велике значення має техніка тріангуляції, що дозволяє вимірювати відстані до недалеких зірок в астрономії, між орієнтирами в географії, контролювати системи навігації супутників. Також слід відзначити застосування тригонометрії в таких областях, як теорія музики, акустика, оптика, аналіз фінансових ринків, електроніка, теорія ймовірностей, статистика, біологія, медицина (включаючи ультразвукове дослідження (УЗД) і комп'ютерну томографію), фармацевтика, хімія, теорія чисел (і, як наслідок, криптографія), сейсмологія, метеорологія, океанологія, картографія, фізика, топографія та геодезія, архітектура, фонетика, економіка, електронна техніка, машинобудування, комп'ютерна графіка, кристалографія.

Див. також Редагувати

Вікісховище має мультимедійні дані за темою: Тригонометрія

Примітки Редагувати

  1. К. І. Швецов, Г. П. Бевз Довідник з елементарної математики, 1967, К.: Наукова думка. — C. 250—252.
  2. Boyer, Carl B. (1991). A History of Mathematics (вид. Second Edition). John Wiley & Sons, Inc. с. 215. ISBN 0471543977. 
  3. Grattan-Guinness, Ivor (1997). The Rainbow of Mathematics: A History of the Mathematical Sciences. W.W. Norton. ISBN 0-393-32030-8. 
  4. . Архів оригіналу за 1 січня 2014. Процитовано 23 березня 2011. 
  5. William Bragg Ewald (2008).From Kant to Hilbert: a source book in the foundations of mathematics [ 1 січня 2014 у Wayback Machine.]. Oxford University Press US. p.93. ISBN 0-19-850535-3

Джерела Редагувати

  • Барановська Г. Г., Ясінський В. В. Тригонометрія. Індивідуальна атестаційна робота № 2.—К.: НТУУ «КПІ», 2001.— 108 с. — (Серія «На допомогу абітурієнту»)
  • Шкіль М. І., Колесник Т. В., Хмара Т. М. Алгебра і початки аналізу: Підруч. Для 10 кл. з поглибленим вивченням математики в середніх закладах освіти. — К.:Освіта, 2000. — 318 с.
  • Шкіль М. І., Слєпкань З. І., Дубинчук О. С. Алгебра і початки аналізу: Підруч. Для 10-11 кл. загальноосвіт. навч. закладів. — 2-ге вид. — Зодіак-ЕКО, 2001. — 656 с.
  • Швецов К. І., Бевз Г. П. Довідник з елементарної математики. — 1967, К.: Наукова думка. — 656 с.
  • Андронов И. К., Окунев А. К. Курс тригонометрии, развиваемый на основе реальных задач. — М.: Просвещение, 1967. — 648 с.
  • Волынский Б. А. Сферическая тригонометрия. — М.: Наука, 1977. — 136 с.
  • Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. М.: Наука, 1984. — 830 c.

Посилання Редагувати

Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри
Дата публікації:
Trigonome triya vid grec trigono trikutnik ta metrein vimiryuyu tobto bukvalno vimiryuvannya trikutnikiv rozdil elementarnoyi matematiki sho lezhit na peretini algebri ta geometriyi i vivchaye spivvidnoshennya mizh storonami j kutami trikutnikiv dozvolyayuchi provoditi kutovi obchislennya cherez specialno viznacheni funkciyi kutiv Viznacheni dlya pryamokutnogo trikutnika trigonometrichni funkciyi ye osnovnim instrumentom trigonometriyi sho znachno polegshuye obchislennya oskilki ci funkciyi dozvolyayut zaminiti geometrichni pobudovi algebrayichnimi operaciyami Titulna storinka Trigonometriyi perevidannya 1612 roku V Pitiska sho dala nazvu odnojmennomu rozdilu matematikiZmist 1 Istorichni vidomosti 2 Trigonometrichni funkciyi 2 1 Pryami trigonometrichni funkciyi 2 1 1 Vlastivosti funkciyi sin 2 1 2 Vlastivosti funkciyi cos 2 1 3 Vlastivosti funkciyi tg 2 1 4 Vlastivosti funkciyi ctg 2 2 Oberneni trigonometrichni funkciyi 2 3 Formuli perehodu 3 Osnovni teoremi trigonometriyi 3 1 Teorema sinusiv 3 2 Teorema kosinusiv 3 3 Teorema tangensiv 3 4 Plosha trikutnika 4 Najprostishi trigonometrichni rivnyannya 5 Formuli peretvorennya trigonometrichnih viraziv 6 Formula Ejlera 7 Sferichna trigonometriya 8 Zastosuvannya 9 Div takozh 10 Primitki 11 Dzherela 12 PosilannyaIstorichni vidomosti RedaguvatiDokladnishe Istoriya trigonometriyiDeyaki vidomosti z nauki sho piznishe oderzhala nazvu trigonometriya buli she u starodavnih yegiptyan 1 U papirusi Ahmesa ye p yat zadach sho stosuyutsya vimiryuvannya piramid u yakih zgaduyetsya yakas funkciya kuta sekt Ye dumka sho sekt vidpovidaye kotangensu kuta Zastosuvannya ciyeyi funkciyi malo suto praktichnu prichinu yegipetski arhitektori buduvali piramidi strogo dotrimuyuchis odnogo j togo samogo znachennya kuta nahilu bichnoyi grani do osnovi 52 i kuta mizh rebrom ta diagonallyu osnovi 42 A dlya cogo treba bulo znati vidpovidni vidnoshennya mizh linijnimi elementami chotirikutnoyi piramidi Vavilonyani tak samo mali deyaki znannya z ciyeyi galuzi matematiki voni zaprovadili podil kola na 360 ta podil gradusa na 60 chastin sho vidpovidalo prijnyatij u starodavnij Mesopotamiyi shistdesyatkovij sistemi chislennya Dlya vimiryuvannya kutiv vavilonyani koristuvalisya primitivnoyu astrolyabiyeyu Starodavni greki vmili rozv yazuvati bagato trigonometrichnih zadach ale voni zastosovuvali geometrichni a ne algebrayichni metodi Trigonometrichnu funkciyu sinus vpershe zaprovadili starodavni indijci v Sur ya Siddhanti Vlastivosti ciyeyi funkciyi doslidiv indijskij matematik 5 stolittya Ariabhata I 2 Podalshij vnesok u rozvitok trigonometriyi zrobili arabski matematiki Do 10 stolittya voni operuvali vsima trigonometrichnimi funkciyami i protabulyuvali yih V Yevropu ponyattya trigonometrichnih funkcij prijshlo z perekladami prac al Battani ta At Tusi Odniyeyu z pershih prac yevropejskoyi matematiki prisvyachenih trigonometriyi bula kniga De Triangulis nimeckogo matematika 15 stolittya Regiomontana Prote she v 16 stolitti trigonometriya bula malo vidoma Mikolaj Kopernik zmushenij buv posvyatiti yiyi opisu 2 okremih rozdili v svoyij praci Pro obertannya nebesnih sfer lat De revolutionibus orbium coelestium Shvidkij podalshij rozvitok trigonometriyi buv zumovlenij vimogami navigaciyi ta kartografiyi 3 Sam termin trigonometriya zaprovadiv opublikuvavshi v 1595 knigu pid takoyu zh nazvoyu nimeckij matematik Varfolomej Pitisk nim Bartholomaus Pitiscus 1561 1613 4 Gemma Frizij opisav metod triangulyaciyi Iz stanovlennyam matematichnogo analizu trigonometriya otrimala novi metodi Zavdyaki pracyam Bruka Tejlora ta Kolina Maklorena trigonometrichni funkciyi otrimali predstavlennya u viglyadi ryadiv 5 Formula Muavra vstanovila zv yazok mizh trigonometrichnimi funkciyami ta eksponentoyu Leonard Ejler rozshiriv oznachennya trigonometrichnih funkcij na kompleksnu ploshinu Trigonometrichni funkciyi Redaguvati nbsp Pryamokutnij trikutnikTrigonometriya gruntuyetsya na spivvidnoshenni podibnosti Trikutniki z dvoma rivnimi kutami podibni tomu podibni pryamokutni trikutniki v yakih rivnij odin gostrij kut Vidnoshennya dovzhin storin u podibnih trikutnikiv odnakove tomu vidnoshennya storin pryamokutnih trikutnikiv zalezhit tilki vid odnogo parametra velichini gostrogo kuta Cya obstavina dozvolyaye oznachiti trigonometrichni funkciyi sinus kosinus tangens kotangens sekans i kosekans cherez vidnoshennya riznih storin pryamokutnogo trikutnika Nehaj ABC pryamokutnij trikutnik C vershina pryamogo kuta AB gipotenuza AC i BC kateti a kut BAC Pryami trigonometrichni funkciyi Redaguvati Dokladnishe Trigonometrichni funkciyiFormula Nazva Viznachennya sin a displaystyle sin alpha nbsp sin a BC AB a c sinus vidnoshennya protilezhnogo kateta do gipotenuzi cos a displaystyle cos alpha nbsp cos a AC AB b c kosinus vidnoshennya prileglogo kateta do gipotenuzi tg a displaystyle text tg alpha nbsp tg a BC AC a b tangens vidnoshennya protilezhnogo kateta do prileglogo ctg a displaystyle text ctg alpha nbsp ctg a AC BC b a kotangens vidnoshennya prileglogo kateta do protilezhnogo sec a displaystyle text sec alpha nbsp sec a AB AC c b sekans vidnoshennya gipotenuzi do prileglogo kateta csc a displaystyle text csc alpha nbsp csc a AB BC c a kosekans vidnoshennya gipotenuzi do protilezhnogo kateta nbsp Trigonometrichni funkciyi kuta 8 vseredini odinichnogo kolaNavedeni u tablici viznachennya dozvolyayut obchisliti znachennya funkcij dlya gostrih kutiv tobto vid 0 do 90 vid 0 do p 2 displaystyle pi over 2 nbsp radian U XVIII stolitti Leonard Ejler dav suchasni zagalnishi viznachennya rozshirivshi oblast viznachennya cih funkcij na vsyu chislovu vis Yaksho rozglyanuti u pryamokutnij sistemi koordinat kolo odinichnogo radiusa div malyunok i vidklasti vid gorizontalnoyi osi kut 8 displaystyle theta nbsp dodatnya velichina kuta vidkladayetsya proti godinnikovoyi strilki u protilezhnomu vipadku za godinnikovoyu strilkoyu Tochku peretinu pobudovanoyi storoni kuta z kolom poznacheno A Todi Sinus kuta 8 displaystyle theta nbsp viznachayetsya yak ordinata tochki A Kosinus abscisa tochki A Tangens vidnoshennya sinusa do kosinusa Kotangens vidnoshennya kosinusa do sinusa tobto velichina obernena do tangensa Sekans velichina obernena do kosinusa Kosekans velichina obernena do sinusa Dlya gostrih kutiv novi viznachennya zbigayutsya z poperednimi Mozhlivim ye takozh chisto analitichne viznachennya cih funkcij sho ne pov yazane z geometriyeyu i predstavlyaye kozhnu funkciyu yiyi rozkladannyam u neskinchenij ryad Vlastivosti funkciyi sin Redaguvati nbsp Sinus sin Oblast viznachennya funkciyi mnozhina usih dijsnih chisel D y R displaystyle D y R nbsp Mnozhina znachen promizhok 1 1 E y displaystyle E y nbsp 1 1 Funkciya y sin a displaystyle y sin left alpha right nbsp ye neparnoyu sin a sin a displaystyle sin left alpha right sin alpha nbsp Funkciya ye periodichnoyu najmenshij dodatnij period stanovit 2 p displaystyle 2 pi nbsp sin a 2 p sin a displaystyle sin left alpha 2 pi right sin left alpha right nbsp Grafik funkciyi peretinaye vis Oh pri a p n n Z displaystyle alpha pi n n in Z nbsp Promizhki znakostalosti y gt 0 displaystyle y gt 0 nbsp pri 2 p n 0 p 2 p n n Z displaystyle left 2 pi n 0 pi 2 pi n right n in Z nbsp i y lt 0 displaystyle y lt 0 nbsp pri p 2 p n 2 p 2 p n n Z displaystyle left pi 2 pi n 2 pi 2 pi n right n in Z nbsp Funkciya ye nerozrivnoyu i maye pohidnu pri bud yakomu znachenni argumentu sin a cos a displaystyle sin alpha cos alpha nbsp Funkciya y sin a displaystyle y sin alpha nbsp zrostaye pri a p 2 2 p n p 2 2 p n n Z displaystyle alpha in left frac pi 2 2 pi n frac pi 2 2 pi n right n in Z nbsp i spadaye pri a p 2 2 p n 3 p 2 2 p n n Z displaystyle alpha in left frac pi 2 2 pi n 3 frac pi 2 2 pi n right n in Z nbsp Funkciya maye minimum pri a p 2 2 p n n Z displaystyle alpha frac pi 2 2 pi n n in Z nbsp i maksimum pri a p 2 2 p n n Z displaystyle alpha frac pi 2 2 pi n n in Z nbsp Vlastivosti funkciyi cos Redaguvati nbsp Kosinus cos Oblast viznachennya funkciyi mnozhina usih dijsnih chisel D y R displaystyle D y R nbsp Mnozhina znachen promizhok 1 1 E y displaystyle E y nbsp 1 1 Funkciya y cos a displaystyle y cos left alpha right nbsp ye parnoyu cos a cos a displaystyle cos left alpha right cos alpha nbsp Funkciya ye periodichnoyu najmenshij dodatnij period dorivnyuye 2 p displaystyle 2 pi nbsp cos a 2 p cos a displaystyle cos left alpha 2 pi right cos left alpha right nbsp Grafik funkciyi peretinaye vis Oh pri a p 2 p n n Z displaystyle alpha frac pi 2 pi n n in Z nbsp Promizhki znakostalosti y gt 0 displaystyle y gt 0 nbsp pri p 2 2 p n p 2 2 p n n Z displaystyle left frac pi 2 2 pi n frac pi 2 2 pi n right n in Z nbsp i y lt 0 displaystyle y lt 0 nbsp pri p 2 2 p n 3 p 2 2 p n n Z displaystyle left frac pi 2 2 pi n 3 frac pi 2 2 pi n right n in Z nbsp Funkciya ye nerozrivnoyu i maye pohidnu pri bud yakomu znachenni argumentu cos a sin a displaystyle cos alpha sin alpha nbsp Funkciya y cos a displaystyle y cos alpha nbsp zrostaye pri a p 2 p n 2 p n n Z displaystyle alpha in left pi 2 pi n 2 pi n right n in Z nbsp i spadaye pri a 2 p n p 2 p n n Z displaystyle alpha in left 2 pi n pi 2 pi n right n in Z nbsp Funkciya maye minimum pri a p 2 p n n Z displaystyle alpha pi 2 pi n n in Z nbsp i maksimum pri a 2 p n n Z displaystyle alpha 2 pi n n in Z nbsp Vlastivosti funkciyi tg Redaguvati nbsp Tangens tg Oblast viznachennya funkciyi mnozhina usih dijsnih chisel D y R displaystyle D y R nbsp krim chisel a p 2 p n displaystyle alpha frac pi 2 pi n nbsp Mnozhina znachen mnozhina vsih dijsnih chisel E y R displaystyle E y R nbsp Funkciya y t g a displaystyle y mathrm tg left alpha right nbsp ye neparnoyu t g a t g a displaystyle mathrm tg left alpha right mathrm tg alpha nbsp Funkciya ye periodichnoyu najmenshij dodatnij period stanovit p displaystyle pi nbsp t g a p t g a displaystyle mathrm tg left alpha pi right mathrm tg left alpha right nbsp Grafik funkciyi peretinaye vis Oh pri a p n n Z displaystyle alpha pi n n in Z nbsp Promizhki znakostalosti y gt 0 displaystyle y gt 0 nbsp pri p n p 2 p n n Z displaystyle left pi n frac pi 2 pi n right n in Z nbsp i y lt 0 displaystyle y lt 0 nbsp pri p 2 p n p n n Z displaystyle left frac pi 2 pi n pi n right n in Z nbsp Funkciya ye nerozrivnoyu i maye pohidnu pri bud yakomu znachenni argumenta z oblasti viznachennya tg x 1 cos 2 x displaystyle mathop operatorname tg x frac 1 cos 2 x nbsp Funkciya y t g a displaystyle y mathrm tg alpha nbsp zrostaye pri a p 2 p n p 2 p n n Z displaystyle alpha in left frac pi 2 pi n frac pi 2 pi n right n in Z nbsp Vlastivosti funkciyi ctg Redaguvati nbsp Kotangens ctg Oblast viznachennya funkciyi mnozhina vsih dijsnih chisel D y R displaystyle D y R nbsp krim chisel a p n displaystyle alpha pi n nbsp Mnozhina znachen mnozhina vsih dijsnih chisel E y R displaystyle E y R nbsp Funkciya y ctg a displaystyle y mathop operatorname ctg left alpha right nbsp ye neparnoyu ctg a ctg a displaystyle mathop operatorname ctg left alpha right mathop operatorname ctg alpha nbsp Funkciya ye periodichnoyu najmenshij dodatnij period dorivnyuye p displaystyle pi nbsp ctg a p ctg a displaystyle mathop operatorname ctg left alpha pi right mathop operatorname ctg left alpha right nbsp Grafik funkciyi peretinaye vis Oh pri a p 2 p n n Z displaystyle alpha frac pi 2 pi n n in Z nbsp Promizhki znakostalosti y gt 0 displaystyle y gt 0 nbsp pri p n p 2 p n n Z displaystyle left pi n frac pi 2 pi n right n in Z nbsp i y lt 0 displaystyle y lt 0 nbsp pri p 2 p n p n 1 n Z displaystyle left frac pi 2 pi n pi left n 1 right right n in Z nbsp Funkciya ye nerozrivnoyu i maye pohidnu pri bud yakomu znachenni argumentu z oblasti viznachennya ctg x 1 sin 2 x displaystyle mathop operatorname ctg x frac 1 sin 2 x nbsp Funkciya y ctg a displaystyle y mathop operatorname ctg alpha nbsp spadaye pri a p n p n 1 n Z displaystyle alpha in left pi n pi left n 1 right right n in Z nbsp Oberneni trigonometrichni funkciyi Redaguvati Dokladnishe Oberneni trigonometrichni funkciyiDlya kozhnoyi pryamoyi trigonometrichnoyi funkciyi isnuye obernena Nazvi oberennih funkcij utvoryuyutsya dodavannyam prefiksa ark do nazvi vidpovidnoyi pryamoyi funckiyi Napriklad arcsin x displaystyle arcsin x nbsp arksinus kut sinus yakogo dorivnyuye h arccos x displaystyle arccos x nbsp arkkosinus kut kosinus yakogo dorivnyuye h arctg x displaystyle text arctg x nbsp arktangens kut tangens yakogo dorivnyuye h Formuli perehodu Redaguvati sin 2 x cos 2 x 1 displaystyle sin 2 x cos 2 x 1 nbsp Ce spivvidnoshennya ye naslidkom teoremi Pifagora j nazivayetsya trigonometrichnoyu odiniceyu tg x sin x cos x displaystyle text tg x frac sin x cos x nbsp ctg x cos x sin x displaystyle text ctg x frac cos x sin x nbsp Osnovni teoremi trigonometriyi RedaguvatiViznacheni dlya pryamokutnogo trikutnika trigonometrichni funkciyi dozvolyayut rozv yazuvati dovilni trikutniki z vikoristannyam osnovnih teorem teoremi sinusiv teoremi kosinusiv j teoremi tangensiv Teorema sinusiv Redaguvati Teorema sinusiv stverdzhuye sho vidnoshennya sinusa kuta do dovzhini protilezhnoyi storoni trikutnika odnakova dlya vsih kutiv trikutnika Dlya ploskogo trikutnika zi storonami a b c displaystyle a b c nbsp i vidpovidnimi protilezhnimi do nih kutami A B C displaystyle A B C nbsp mozhna zapisati a sin A b sin B c sin C 2 R displaystyle frac a sin A frac b sin B frac c sin C 2R nbsp de R displaystyle R nbsp radius opisanogo kola navkolo trikutnika R a b c a b c a b c a b c b c a displaystyle R frac abc sqrt a b c a b c a b c b c a nbsp Teorema kosinusiv Redaguvati Za teoremoyu kosinusiv kvadrat storoni trikutnika dorivnyuye sumi kvadrativ dvoh inshih storin minus podvoyenij dobutok cih storin na kosinus kuta mizh nimi Dlya ploskogo trikutnika zi storonami a b c displaystyle a b c nbsp i kutom C displaystyle C nbsp mizh storonami a b displaystyle a b nbsp c 2 a 2 b 2 2 a b cos C displaystyle c 2 a 2 b 2 2ab cos C nbsp abo cos C a 2 b 2 c 2 2 a b displaystyle cos C frac a 2 b 2 c 2 2ab nbsp Teorema kosinusiv dozvolyaye viznachiti dovzhinu tretoyi storoni trikutnika yaksho vidomi dovzhini dvoh storin ta znachennya kuta mizh nimi Teorema tangensiv Redaguvati Teorema tangensiv teorema pro spivvidnoshennya mizh dvoma storonami dovilnogo trikutnika i tangensami pivsumi j pivriznici protilezhnih do nih kutiv zapisuyetsya rivnyannyam formula Regiomontana a b a b tg 1 2 A B tg 1 2 A B displaystyle frac a b a b frac mathop operatorname tg left tfrac 1 2 A B right mathop operatorname tg left tfrac 1 2 A B right nbsp Plosha trikutnika Redaguvati Plosha trikutnika tezh mozhe buti viznachena cherez trigonometrichni funkciyi vona dorivnyuye polovini dobutku prileglih storin na sinus kuta mizh nimi A 1 2 a b sin C displaystyle A frac 1 2 ab sin C nbsp Najprostishi trigonometrichni rivnyannya RedaguvatiRivnyannya v yakih figuruyut trigonometrichni funkciyi nazivayut trigonometrichnimi Najprostishi z nih mayut analitichni rozv yazki zavdyaki isnuvannyu obernenih trigonometrichnih funkcij Oskilki trigonometrichni funkciyi periodichni taki rozv yazki ne yedini a viznachayutsya z tochnistyu do periodu sin x a a 1 x 1 n arcsin a p n cos x a a 1 x arccos a 2 p n tg x a x arctg a p n ctg x a x arcctg a p n n Z displaystyle begin matrix sin x a amp a leq 1 amp x 1 n arcsin a pi n cos x a amp a leq 1 amp x pm arccos a 2 pi n text tg x a amp amp x text arctg a pi n text ctg x a amp amp x text arcctg a pi n n in mathbb Z end matrix nbsp Formuli peretvorennya trigonometrichnih viraziv RedaguvatiDokladnishe Spisok trigonometrichnih totozhnostejSinus ta kosinus sumi riznici sin x y sin x cos y cos x sin y displaystyle sin x y sin x cos y cos x sin y nbsp sin x y sin x cos y cos x sin y displaystyle sin x y sin x cos y cos x sin y nbsp cos x y cos x cos y sin x sin y displaystyle cos x y cos x cos y sin x sin y nbsp cos x y cos x cos y sin x sin y displaystyle cos x y cos x cos y sin x sin y nbsp Suma riznicya sinusiv ta kosinusiv sin x sin y 2 sin x y 2 cos x y 2 displaystyle sin x sin y 2 sin frac x y 2 cos frac x y 2 nbsp sin x sin y 2 sin x y 2 cos x y 2 displaystyle sin x sin y 2 sin frac x y 2 cos frac x y 2 nbsp cos x cos y 2 cos x y 2 cos x y 2 displaystyle cos x cos y 2 cos frac x y 2 cos frac x y 2 nbsp cos x cos y 2 sin x y 2 sin x y 2 displaystyle cos x cos y 2 sin frac x y 2 sin frac x y 2 nbsp Formula Ejlera RedaguvatiDokladnishe Formula EjleraFormula Ejlera spivvidnoshennya sho pov yazuye kompleksnu eksponentu z trigonometrichnimi funkciyami Nazvana na chest Leonarda Ejlera yakij yiyi zaproponuvav Formula Ejlera stverdzhuye sho dlya bud yakogo dijsnogo chisla x displaystyle x nbsp vikonuyetsya rivnist e i x cos x i sin x displaystyle e ix cos x i sin x nbsp de e displaystyle e nbsp osnova naturalnogo logarifma i displaystyle i nbsp uyavna odinicya Formula Ejlera nadaye zv yazok mizh matematichnim analizom j trigonometriyeyu a takozh dozvolyaye interpretuvati funkciyi sinusa i kosinusa yak zvazheni sumi eksponencialnoyi funkciyi cos x R e e i x e i x e i x 2 displaystyle cos x mathrm Re e ix e ix e ix over 2 nbsp sin x I m e i x e i x e i x 2 i displaystyle sin x mathrm Im e ix e ix e ix over 2i nbsp Privedeni rivnyannya mozhut buti otrimani shlyahom dodavannya abo vidnimannya formul Ejlera e i x cos x i sin x displaystyle e ix cos x i sin x nbsp e i x cos x i sin x cos x i sin x displaystyle e ix cos x i sin x cos x i sin x nbsp z nastupnim virishennyam vidnosno sinusa abo kosinusa Takozh ci formuli mozhut sluguvati viznachennyam trigonometrichnih funkcij kompleksnoyu zminnoyu Napriklad vikonuyuchi pidstanovku x iy otrimuyemo cos i y e y e y 2 ch y displaystyle cos iy e y e y over 2 operatorname ch y nbsp sin i y e y e y 2 i 1 i e y e y 2 i sh y displaystyle sin iy e y e y over 2i 1 over i e y e y over 2 i operatorname sh y nbsp Kompleksni eksponenti dozvolyayut sprostiti trigonometrichni rozrahunki oskilki nimi prostishe manipulyuvati nizh sinusoyidalnimi komponentami Odin z pidhodiv peredbachaye peretvorennya sinusoyid u vidpovidni eksponencialni virazi Pislya sproshennya rezultat virazu zalishayetsya dijsnim Sut drugogo pidhodu u predstavlenni sinusoyid yak dijsnih chastin kompleksnogo virazu i provedennya manipulyacij bezposeredno z kompleksnim virazom Sferichna trigonometriya RedaguvatiDokladnishe Sferichna trigonometriyaSferichna trigonometriya rozdil sferichnoyi geometriyi golovnimi ob yektami yakogo ye mnogokutniki osoblivo trikutniki na sferi ta spivvidnoshennya mizh storonami i kutami Viniknennya sferichnoyi geometriyi pov yazane z zadachami sferichnoyi astronomiyi Osnovnimi elementami sferichnoyi geometriyi ye tochki ta veliki kola sferi Veliki kola ye geodezichnimi liniyami sferi tomu voni v sferichnij geometriyi vidigrayut rol analogichnu roli pryamih u planimetriyi Viddal mizh dvoma tochkami v sferichnij geometriyi vimiryuyetsya kutom mizh radiusami sferi provedenimi v ci tochki Kut mizh dvoma pryamimi dorivnyuye dvogrannomu kutovi mizh ploshinami velikih kil yaki viznachayut ci pryami Dvi bud yaki pryami v sferichnij geometriyi peretinayutsya u dvoh tochkah i rozbivayut poverhnyu sferi na 4 dvokutniki Tri pryami peretinayuchis poparno utvoryuyut 8 sferichnih trikutnikiv Ci trikutniki mayut bagato nezvichajnih vlastivostej yaki vidriznyayut yih vid ploskih trikutnikiv Napriklad suma kutiv sferichnogo trikutnika zavzhdi bilsha za 180 i mensha za 540 Storoni i kuti sferichnogo trikutnika pov yazani zalezhnostyami sin a R sin A sin b R sin B sin c R sin C displaystyle frac sin frac a R sin A frac sin frac b R sin B frac sin frac c R sin C nbsp cos c R cos a R cos b R sin a R sin b R cos C displaystyle cos frac c R cos frac a R cos frac b R sin frac a R sin frac b R cos C nbsp cos a R cos A cos B cos C sin B sin C displaystyle cos frac a R frac cos A cos B cos C sin B sin C nbsp de a b c displaystyle a b c nbsp storoni sferichnogo trikutnika A B C displaystyle A B C nbsp kuti protilezhni do cih storin R displaystyle R nbsp radius sferi Sferichna trigonometriya duzhe vazhliva v astronomichnih obchislennyah a takozh v orbitalnij kosmichnij navigaciyi ta navigaciyi na poverhni Zemli Zastosuvannya RedaguvatiTrigonometrichni obchislennya zastosovuyutsya praktichno u vsih oblastyah geometriyi fiziki j inzhenernoyi spravi Velike znachennya maye tehnika triangulyaciyi sho dozvolyaye vimiryuvati vidstani do nedalekih zirok v astronomiyi mizh oriyentirami v geografiyi kontrolyuvati sistemi navigaciyi suputnikiv Takozh slid vidznachiti zastosuvannya trigonometriyi v takih oblastyah yak teoriya muziki akustika optika analiz finansovih rinkiv elektronika teoriya jmovirnostej statistika biologiya medicina vklyuchayuchi ultrazvukove doslidzhennya UZD i komp yuternu tomografiyu farmacevtika himiya teoriya chisel i yak naslidok kriptografiya sejsmologiya meteorologiya okeanologiya kartografiya fizika topografiya ta geodeziya arhitektura fonetika ekonomika elektronna tehnika mashinobuduvannya komp yuterna grafika kristalografiya Div takozh RedaguvatiVikishovishe maye multimedijni dani za temoyu TrigonometriyaTablicya integraliv trigonometrichnih funkcij Tablicya integraliv obernenih trigonometrichnih funkcij Spisok trigonometrichnih totozhnostejPrimitki Redaguvati K I Shvecov G P Bevz Dovidnik z elementarnoyi matematiki 1967 K Naukova dumka C 250 252 Boyer Carl B 1991 A History of Mathematics vid Second Edition John Wiley amp Sons Inc s 215 ISBN 0471543977 Grattan Guinness Ivor 1997 The Rainbow of Mathematics A History of the Mathematical Sciences W W Norton ISBN 0 393 32030 8 Groundbreaking Scientific Experiments Inventions and Discoveries Arhiv originalu za 1 sichnya 2014 Procitovano 23 bereznya 2011 William Bragg Ewald 2008 From Kant to Hilbert a source book in the foundations of mathematics Arhivovano 1 sichnya 2014 u Wayback Machine Oxford University Press US p 93 ISBN 0 19 850535 3Dzherela RedaguvatiBaranovska G G Yasinskij V V Trigonometriya Individualna atestacijna robota 2 K NTUU KPI 2001 108 s Seriya Na dopomogu abituriyentu Shkil M I Kolesnik T V Hmara T M Algebra i pochatki analizu Pidruch Dlya 10 kl z pogliblenim vivchennyam matematiki v serednih zakladah osviti K Osvita 2000 318 s Shkil M I Slyepkan Z I Dubinchuk O S Algebra i pochatki analizu Pidruch Dlya 10 11 kl zagalnoosvit navch zakladiv 2 ge vid Zodiak EKO 2001 656 s Shvecov K I Bevz G P Dovidnik z elementarnoyi matematiki 1967 K Naukova dumka 656 s Andronov I K Okunev A K Kurs trigonometrii razvivaemyj na osnove realnyh zadach M Prosveshenie 1967 648 s Volynskij B A Sfericheskaya trigonometriya M Nauka 1977 136 s Korn G Korn T Spravochnik po matematike dlya nauchnyh rabotnikov i inzhenerov M Nauka 1984 830 c Posilannya RedaguvatiTrigonometriya Universalnij slovnik enciklopediya 4 te vid K Teka 2006 Dinamichni matematichni modeli FIZMA neT Arhivovano 1 kvitnya 2022 u Wayback Machine David Joyce Dave s Short Course in Trigonometry Arhivovano 15 chervnya 2008 u Wayback Machine Universitet Klarka angl Michael Corral Trigonometry Arhivovano 29 lipnya 2013 u Wayback Machine poshiryuyetsya na umovah GNU Free Documentation License angl Otrimano z https uk wikipedia org w index php title Trigonometriya amp oldid 38237935